小专题5 与全等、相似有关的常见模型-【众相原创·赋能中考】2026年数学课堂精讲册（贵州专用）

小专题5与全等、相似有关的常见模型（必考） 模型1旋转（手拉手)模型（贵州3年必考，贵阳2022.16,2021.19） 1.(2025铜仁适应性训练)如图，△ABC和△ADE均为等边三角 园模型解读 形，点B,D,E在同一直线上，若∠EBC=35°，则∠ECA的度数1.“手拉手”全等 为 ()已知： (1)有一个公共顶，点； (2)有两组由公共顶点引出的相等 的线段； (3)两组相等线段之间的夹角 相等 A.35° B.25° C.30° D.45° 【解题策略】 2.如图，在△ABC中，AC=9,过点A作AD⊥AB,使AD=AB,连接 (1)通过基本图形（特殊三角形或 CD,若CD=3√2，∠ACD=45°，则BC的长为 四边形)的性质得到等边和等角： (2)通过角的和差得到等角. 【其他常见图形】常见特殊图形中 的“手拉手”全等模型： 3.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（为锐角）得到△ADE, 等腰三角形 等边三角形 点D与点B对应，连接BD,CE.求证：△ABD∽△ACE. B B B 正方形 结论：△ACE≌△ABD 2.“手拉手”相似 4.[等腰直角三角形手拉手]如图，△ADB和△ACE都是等腰直 已知： 角三角形，连接DC,BE相交于点M. （1)有一个公共点； (2)有两组由公共，点引出的成比例 (1)求证：△ADC≌△ABE; 线段； (2)试判断线段BE与线段CD的数量关系和位置关系，并证 (3)两组成比例线段之间的夹角 明你的结论： 相等 B 一般三角形 等腰直角三角 “手拉手” 形“手拉手” 结论：△ABD'∽△ACE'. 78 模型2一线三等角模型(2023.25) 5.(2025清镇模拟)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别是 园模型解读 BC,AB边上的点，连接EF,FD,DE,若EF⊥DE,则图中 已知：(1)点A,P,B在同一条直线上； ①，②，③，④四个三角形一定相似的是 (2)∠1=∠2=∠3. 情形1：等角在同侧 A ① ② ④ 1609 C12/3 ③ B E B P 锐角 直角 钝角 第5题图 第6题图 第7题图 情形2：等角在异侧 6.（北师七下P110T4改编)如图，在四边形ABCD中，AB= AD,AB⊥AD,AC⊥DC.过点B作BE⊥CA,垂足为E.若 CD=2,CE=6,则四边形ABCD的面积是 7.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1,D 锐角 直角 钝角 为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为 结论：(1)△APC△BDP; 8.如图，点B,C,D在同一条直线上 (2)当AP=BD时（或其他一组对应边相 (1)若∠B=∠ACE=∠D,求证：△ABC∽△CDE; 等)，△APC≌△BDP. (2)在(1)的条件下，若C为BD的中点，求证：AC 【知识拓展】特殊图形中的一线三等角： AB·AE. 模型3半角模型 9.如图，△ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD,∠BDC园模型解读 =120°.点E,F分别在边AB,AC上，且∠EDF=60°，则 已知：图形由一组共端，点的等线段和共 △AEF的周长为 顶点的半角组成 1等边三角形含半角 已知：△ABC为等边三角形，DB=DC, ∠BDC=120°，∠EDF=60° 结论：△EDF≌△GDF,EF=BE+CF. 79 10.如图，四边形ABCD是正方形，E,F分别是边BC,CD2.正方形含半角 上的点，连接AE,AF,EF,∠EAF=45°，试判断BE,EF, DF之间的数量关系，并说明理由. B 旋转：将△ADF绕，点A顺时针旋转90° 得到△ABG; 截长补短：延长CB至点G,使得GB= DF. 结论：△AFE≌△AGE,EF=BE+DF 3.等腰直角三角形含半角 45 B D E B D 结论：△DAE≌△DAF,BD+CE=DE. 【解题策略】 (1)“半角模型，必旋转”，根据旋转的性 质及等量代换得到相等的线段和角； 【变式设问】在上述条件下，若正方形的边长为3，BE (2)运用已知图形的性质证明三角形全等」 1,则CF的长为 模型4对角互补模型(2024.25(3)) 11.如图，在四边形ABCD中，已知∠B+∠D=180°，AC平分 同模型解读 ∠DAB,CM⊥AB于点M,若BC=3,则CD= 已知：一组对角互补，∠ABC+∠ADC =180° 作垂线：过点D分别作AB,BC的垂线段， D 第11题图 第12题图 12.(2024遵义一模)如图，在四边形ABCD中，已知AB= AD,∠BAD=60°，∠BCD=120°，若四边形ABCD的面 结论：(1)△ADE∽△CDF; 积为4√3，则AC= (2)当AD=CD时，△ADE≌△CDF 13.多解法如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD= 旋转：过点D作∠CDE=∠ADB. ∠BCD=90°，连接AC,BD.若AC=5√2，CD=2,则BD 的长为 结论：(1)△ABD∽△CED; (2)当DA=DC时，△ABD≌△CED △BDE是等腰三角形 80∵AB=AC,∴.∠ABC=∠C=70°. 由(1)的条件，得BN平分∠ABC, ·.∠NBC=∠MBN= 1 ∠ABC=35 在△NBC中，∠NBC+∠BNC+∠C=180° ∴.∠BNC=180°-35°-70°=75°. 10.1911.40°12.3 第16节 全等三角形 核心知识全梳理 ①完全重合②相等③相等④相等⑤相等⑥相等 (AB=DE. A∠A=∠D. 1∠C=∠F, ⑦三边⑧ ∠B=∠E, ⑨ AB=DE. 0 ∠A=∠D BC=EF ∠B=∠E AB=DE ①HL 方法模型精讲练 1.60° 2.(1)AB=DE(2)∠ACB=∠DFE(或AC∥DF) (3)∠A=∠D(4)AC=DF (5)证明略 3.证明：·四边形ABCD是菱形，.AB=AD,∠B=∠D, 在△ABE和△ADF中. AB=AD, ∠B=∠D,.△ABE≌△ADF(SAS). BE =DF .AE=AF,.∠AEF=∠AFE 4.(1)证明略； (2)Sm边形BCw=4V5-8。 【变式】证明：，∠BAD=∠CAE ∴.∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD,即∠BAC=∠DAE, I∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE中 ∠C=∠E BC=DE. ∴.△ABC≌△ADE(AAS),∴.AD=AB. 第17节相似三角形（含位似) 核心知识全梳理 ①k②EF AC ④相等⑤成比例⑥相似比 ⑦相似比⑧相似比的平方⑨DE∥BC①成比例 ①∠B=∠B'②相等B相等④成比例⑤相似比 G相似比的平方⑦位似比⑧(kx,ky)或(-kx,-y) 贵州考法变式练 1.②④⑤⑥2.6.18 3.2【变式】平行线分线段成比例4.C 8()号(2)0625}②0③1：214 AB'CB'2 (3)∠AED=∠C(答案不唯一) 6.D 10 7.解：任务一：小镜子、皮尺： 任务二：画示意图如解图所示： D E 任务三：选择：②小星到镜子的距离为2m;③镜子到旗 杆的距离为16m:⑤小星的身高为1.7m ·∠E=∠B=90°，∠DCE=∠ACB. ÷△DEC∽△ABC,∴ABBC DE EC 1.72 六AB6心AB≈14m 答：旗杆的高度约为14m(答案不唯一) 方法模型精讲练 8D9.B10. 3 11.812.C13.3.2 【新教材素材】D 小专题5 与全等、相似有关的常见模型 1.B2.65 3.证明略. 4.(1)证明：△ADB和△ACE都是等腰直角三角形， .∠DAB=∠CAE=90°，AD=AB,AC=AE. ∴.∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE. AD=AB. 在△ADC和△ABE中 ∠DAC=∠BAE, AC=AE. .△ADC≌△ABE(SAS); (2)数量关系：BE=CD:位置关系：BE⊥CD.证明略 5.③和④6.407.。 8.(1)证明：：∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE, ∠ACE=∠B,∴.∠BAC=∠DCE. .·∠B=∠D,.△ABC∽△CDE: AB BC AC (2)解：由(1)得△ABC△CDE,∴CD-DE C正 C为BD的中点，BC=DC,BCC正 AB AC 又.∠B=∠ACE,∴.△ABC∽△ACE, AB AC 六ACAC=AB·AE, 9.10 10.解：结论：BE+DF=EF. 理由：如解图，延长CD到点G,使得DG=BE,连接AG 四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠B=∠ADG=90°， ∴.△ABE≌△ADG(SAS), ∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG. :∠EAF=45°， .∠BAE+∠DAF=45°， .∴.∠DAG+∠DAF=45°， D .∴.∠EAF=∠GAF 又.AF=AF, ∴.△AFE≌△AFG(SAS), .EF=FG=DF+DG=DF+BE. 【变式设问1号 B 11.312.413.2√7 第18节锐角三角函数 核心知识全梳理 c 3 2 ⑧时 ⑨a2+b2=c2090° ①6 2aB6 b 贵州考法变式练 1子【拓展设问1 2 1 及原式号 400603022E号 3 (2)①45°√22②1(3)①②④⑤ 5.(3+5)【变式】1502 第19节解直角三角形的实际应用 核心知识全梳理 ①北偏东30°②南偏东60°③北偏西45°④上方 ⑤下方0装角@片 ⑧7.6⑨7.58 例1.解：连接CD并延长交MN于点E, 由题意可知四边形ABDC,BMED均为矩形， .∴.AC=BD=ME=1.7米，CD=AB=35米， 设EN=x米， 在Rt△CEN中，.'∠ECN=45°， .CE=EN=x米，∴.DE=CE-CD=(x-35)米 在Rt△DNE中，am∠NDE=Ex DEx-35L80, 解得x≈78.75， .∴.MW=EN+ME≈78.75+1.7≈80（米） 答：商业大厦的高MN约为80米 【变式】商业大厦的高MW约为80米. 例2.解：(1)如解图，过点A作AF上B BC,垂足为F,在Rt△ABF中，ABFF- =5米，∠BAF=16°， .AF=AB·cos16°≈5×0.96=C 45 4.8(米)， .点A到墙面BC的距离约为4.8米； (2)如解图，过点A作AG⊥CE,垂足为G 由题意得AG=CF,AF=CG=4.8米. .·CD=1.8米..DG=CG-CD=4.8-1.8=3(米)， 在Rt△ADG中，∠ADG=45°， .AG=DG·tan45°=3（米），.CF=AG=3米， 在Rt△ABF中，AB=5米，∠BAF=16°， .∴.BF=AB·sin16°≈5×0.28=1.4（米）， .BC=BF+CF≈1.4+3=4.4（米）， ∴.遮阳篷靠墙端离地高BC的长约为4.4米. 贵州考法变式练 1.(1)斜坡的铅垂高AC约为6.8米： (2)需要铺设40级台阶， 2.解：(1)BC的长为20cm: 2)由题可知0N=BC2AC=10cmB=0N=10cm, 又.·∠D0N=32°. ∴.DN=0N·tan∠D0N=10·tan32°≈10x0.62=6.2(cm), .BD=BN-DN≈10-6.2=3.8(cm) 答：B,D之间的距离为3.8cm 3.解：(1)在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠A=15°，AE= 576m, 4AB=AE、576 ≈600(m), cosA cos15° .索道AB的长约为600m: (2)如解图，延长BC交DF于点G .·BC∥AF D ∴.∠CBE=90°. DF⊥AF, BC45° .∠AFD=90°， 15o 四边形BEFG为矩形， EF=BG,∠CGD=∠BGF=90°. .·CD=AB=600m,∠DCG=45°. ∴.CG=CD·cos∠DCG=600xcos45°=300W2(m), .AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC+CG=576+50+3002 1049(m), .水平距离AF的长约为1049m. 【新教材素材】解：AC∥ME, .∠BAC=∠AEM=28 在Rt△ABC中，∠BAC=28°，AC=10m, ∴.BC=AC·tan28°≈10x0.53=5.3(m), .BD=BC-CD≈5.3-0.5=4.8(m). 在Rt△BDF中，∠BDF=∠BAC=28°，BD=4.8(m), ∴.DF=BD·cos28°≈4.8×0.88≈4.2(m). 答：坡道口的限高DF的长约是4.2m. 单元整合提升 易错题专练 1.B【变式】C2.45°或135°【变式】60 3.B4.B【变式】C 11