第4单元 第18节 锐角三角函数&第19节 解直角三角形的实际应用-【众相原创·赋能中考】2026年数学分层练习册（贵州专用）

第18节 锐角三角函数 阶基础巩固练 的长是 ()》 1.tan45°+1的值等于 A.43 B.6 C.23D.3 7.在△ABC中，已知（√3tanA-3)2+|2cosB- A.1 B月 C.2 D.2 √3I=0,则△ABC为 三角形 2.在Rt△ABC中，∠C=90°.若AB=13,BC=8. 如图，在△ABC中，∠ABC=135°，AD是 5,则sinA= ( BC边上的高线，△ABC的面积为6，BC=2. 号 D.3 (1)求AB的长； (2)求cos∠ACB的值. 3.（人教九下P44T13改编)如图，CD是 Rt△ABC斜边上的高.若AB=5,AC=3, 则tan∠BCD为 A.3 4 3 B.4 C. 3 5 D. D 5 二阶能力提升练 9. 如图，在△ABC中， BD是△ABC的中 线，BC=2BD,AC= 第3题图 第4题图 4.△ABC在如图所示正方形网格中，A,B,C 6,5,n4=)则AB的长为 都在格点上，则cosB= ( 10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，tanC= 2 D.② 4 3,AD1BC于点D,点F在边AC上，且 5.（2025贵阳白云区二模)如图，将两张宽 在BC的垂直平分线上，连接BF交AD 度均为2的纸条交叉重叠在一起，若 于点E. ∠DCE=60°，则AC的长为 (1)求证：△AEF是等边三角形： A.4 B. 43 2W3 (2)若BD=2,求CD的长 C.2 D 3 609 第5题图 第6题图 6.（2025安徽)如图，在△ABC中，∠A= 120°，AB=AC,边AC的中点为D,边BC 上的点E满足ED⊥AC.若DE=√3，则AC 42 第19节 解直角三角形的实际应用 一阶基础巩固练 测得∠B0D=20°，OD⊥BD,OD=10cm, 则线段OB的长是 cm.（结果精 1.(2025深圳)如图，有一处建筑物直立于 确到0.1cm,参考数据：sin20°≈0.34， 地面，在点A处测得BC为10m,AC为 cos20°≈0.94，tan20°≈0.36) 30m,则sinA为 ( B C.② 5.（2025广安)随着科技的发展，无人机在 实际生活中广泛应用.如图，O,C是同一 2.(2025长春)如图，已知某山峰的海拔高 水平线上的两点，无人机从O点竖直上升 度为m米，一位登山者到达海拔高度为n 到A点，在A点测得C点的俯角为30°，A, 米的点A处，测得山峰顶端B的仰角为 C两，点的距离为24m.无人机继续竖直上 α，则A,B两点之间的距离为 升到B点，在B点测得C点的俯角为 36.9°.求无人机从A点上升到B点的高 度AB.（结果精确到0.1m,点O,A,B,C 海平面 在同一平面内，参考数据：sin36.9°≈ 0.60,cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75， A.(m-n)sina米 B. m米 sino √3≈1.73) C.(m-n)cosa米 D.m-米 cosa 36.91 3.（人教九下P77T2改编)如图，为方便行 304 人过天桥，市政府在10米高的天桥两端 修建斜道，设计斜坡AC的坡度i=1:3,则 斜坡AC的长度是 B E D A.30米 B.10√10米 C.40米 D.205米 4.)跨学科·物理光从空气射入液体中会 发生折射现象.如图，水平放置的容器中 装有某种液体，光线AO斜射到液面发生 折射，折射光线为OB,折射角为∠BOD, 43 二阶能力提升练 7.}跨学科·化学（2025黔西南州册亨县 二模)实验是培养学生创新能力的重要途 6.（2025毕节二模)如图，为了测量河对岸 径.如图1是小亮同学安装的化学实验装 A,B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸 南侧选定观测点C,测得点A,B均在点C 置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹 的北偏东37°方向上，沿正东方向行走 应固定在距试管口的三分之一处.现将左 侧的实验装置图抽象成图2所示示意图， 105m至观测点D,测得点A在点D的正 北方向，点B在点D的北偏西45°方向 已知试管AB=24cm,BE=】AB,试管倾 3 上.求A,B两点间的距离 斜角∠ABG为14°.（参考数据：sinl4°≈ 同学甲：在纸上利用“比例尺”画出相应的 0.24,c0s14°≈0.97，tanl4°≈0.25) 图，并测得纸上CD长度约为21cm,AB 高锰酸钾 蓬松的 长度约为20cm,再求出实际A,B两点间 棉花团 的距离 同学乙：通过计算器得到数据：sin37°≈ 图1 0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，再结合 三角函数知识求出A,B两点间的距离. 请按照同学甲、乙的方法分别计算出A,B 两点间的距离 图2 (1)求试管口B与铁杆DE的水平距离 BG的长度：（结果保留两位小数） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN,延长 BM交CW的延长线于点F,且MW⊥CE 于点N(点C,D,N,F在一条直线上)，经 测得：DE=28cm,MN=8cm,∠ABM= 149°，求线段DN的长度.（结果保留一位 小数) 4416.42【解析】延长ED到A, 点G,使DG=DE,连接 FG,AG,如解图.：DF⊥ DE,CE=2,EF=6,∴.DF 是线段EG的垂直平分线.F ∴.FG=EF=6..D为AC边上的中点，.AD=CD.又. ∠ADG=∠CDE.△ADG≌△CDE(SAS),∴.AG=CE=2, ∠DAG=∠C,在△ABC中，∠ABC=90°，∴.∠C+∠BAC= 90°，.∠FAG=∠DAG+∠BAC=∠C+∠BAC=90°， △FAG是直角三角形，由勾股定理得AF=√FG-AG= √6-2=42. 第16节全等三角形 1.C2.D3.B4.C5.C6.D 7.AC=AE(答案不唯一）8.1.7cm9.证明略。 10.证明：.∠CBE=∠CDF,.180°-∠CBE=180°-∠CDF .∴.∠ABC=∠ADC. 1∠ABC=∠ADC, 在△ABC和△ADC中， ∠ACB=∠ACD, AC=AC. ∴.△ABC≌△ADC(AAS),∴.AB=AD. 11.C 12.A【解析】如解图，过点M作ME∥AC 交BC于点E,则∠MEB=∠ACB, ∠EMD=∠CND.:AM=3,BM=1,M 六AC=AB=4,.LB=∠ACB,·BED ∠MEB=∠B,.EM=BM=1.BM= CN,∴.CN=EM=1..'∠MDE=∠NDC,.△MDE≌ △NDC(AAS),∴.MD=DN=2,∴.MN=4..AN=AC+CN =4+1=5,AM+MN2=32+42=25=AW2,.∠AMN=90°， 六∠BW0=90Sao=子1·MD=子x1x2=1枚 选A 13解：(1)选择①②，证明如下： .BD⊥AC,.∠DOA=∠DOC=90° DO=DO.AD=DC. .∴.Rt△ADO≌Rt△CDO(HL):(答案不唯一) (2)由勾股定理得CD=4V2,CB=2√3. E,F分别为AB,AD的中点，EF=2BD=5, 同理0P=cD=2,0E=CB=E .△E0F的周长为5+22+√3 第17节相似三角形（含位似) 1.B2.B3.A4.C5.C6.B7.B 8B【变式设问】1：39. 3 。10.211.证明略。 12.解：如解图，过点E作EG⊥BC于点G, DE,∥BC,·.△ABC∽△ADE, ACBC84 AE DE147' AC 4 BG/C ·EC3 .·AF⊥BC,EG⊥BC, D E AF∥EG,.△ACF∽△ECG, 记品即号解得=10， AF AC .河流的宽度为10米. 13.C 14.C【解析】设AD的长为x,则CD=AC-AD=1-x.∠A= 36°，AB=AC,.∠ABC=∠ACB=72°..BD=BC, .∠BDC=∠BCD=72°，∠DBC=36°，.∠ABD=∠BDC- ∠A=36°，∴.∠DBC=∠ABD=∠A,∴.AD=BD=BC=x S∠CBD=∠A,∠C=LC,·△ABC∽△BDC,0 器即产0=（负值不符合题意，已舍 去).故选C. 15.(1)证明略： (2)解：由(I)得△ABE∽△ECF,∴CFC正 BE AB .·四边形ABCD是平行四边形，.BC=AD=7, .EC=BC-BE=7-2=5,.6=5,·CF=0 3 第18节锐角三角函数 1.D2.D3.A4.A5.B6.B7.直角 8.解：(I)AD是BC边上的高线，.Sac=2BC·AD, 又.△ABC的面积为6，BC=2,.AD=6. ,∠ABC=135°，∴.∠ABD=45°， .△ADB是等腰直角三角形，AB=√2AD=62: (2)由(1)知，BD=AD=6,∴.CD=6+2=8. 在Rt△ADC中，AC=√6+82=10， 六osL4CB=CD-8、4 AC105 9.8【解析】如解图，过点D 作DE⊥AB于点E,过点C 作CF⊥AB交AB的延长线 于点F,BD是△ABC的中A E B 线，AC=65,AD=CD=35.在Rt△ADE中，an4=DE AE F2DE=3,AE=6DE⊥AB,CF⊥AB,DE/CF, .DE是△ACF的中位线，.CF=2DE=6,AE=EF=6,设 BE=a,则BF=EF-BE=6-a,AB=AE+BE=6+a.在 Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2=32+a2.在Rt△CBF中， BC2=BF2+CF=(6-a)2+62,BC=2BD,.4(32+a2)= (6-a)2+62,整理，得a2+4a-12=0,解得a=2或a=-6 (不合题意，舍去)，∴.AB=6+a=8. 35 10（证明：nG=5∠0=0 又.AD⊥BC,∴.∠CAD=90°-30°=60° :点F在BC的垂直平分线上， ∴.FB=FC,∴.∠FBC=∠C=30° .∠AFB=∠FBC+∠C=30°+30°=60°， △AEF是等边三角形； (2)解：.·∠CAD=60°，∠BAC=90°，∴.∠BAD=30° 在Rt△ABD中，AD=√5BD=2√. 在Rt△ACD中，CD=√3AD=6. 第19节解直角三角形的实际应用 1.D2.B3.B4.10.6 5.无人机从A点上升到B点的高度AB约为3.6m 6解：同学甲总治则4=0m 答：实际A,B两点间的距离为100m. 同学乙：如解图，过点B作BM⊥CD,垂足为M. 在Rt△CBM和Rt△BDM中， 光 tan∠CBM=tan37o .CM ≈0.75 十东 BM DM B tan∠DBM=tan45-BML 379 15 可设CM=3k,则BM=4k, .CB=√CM+BMr=5k,DM= BM=4k. .CD=CM+DM=3k+4k=7k=105,.k=15,CB=75. 在t△4GD中，in∠CAD=in37=C 40≈0.6， ·ACCD 175,∴.AB=AC-BC≈175-75=100. 0.6 答：A,B两点间的距离约为100m 7.解：(1)由题意可得BE=×24=-8cm cos140=BG 1 .∴.BG=8×cos14°≈8×0.97≈7.76(cm): (2)n∠Aia6=sml4-8e5G=&nl4m）. 如解图，延长GB,NMM交于点H, C D 则NH=DG=DE-EG=(28-8sinl4°)cm,DN=GH, ..HM=NH-MN=(20-8sin14)cm. .∠ABG=14°，∠ABM=149° .∠FBG=135°，.∠MBH=45°，∠MBH=∠BMH=45°， ∴.BH=HM=(20-8sinl4°)cm. ∴DN=GH=BG+BH=≈7.76+20-8sin14°≈7.76+20-8× 36 0.24≈25.8(cm) 答：线段DW的长度约为25.8cm 专项加练6测量问题一锐角三角函数与 相似三角形的应用 1.解：(1)如解图，作BH⊥AF于点K,交MN于点H, 则BK∥CG,△ABK∽△ACG. 设圆形滚轮⊙A的半径AD的长是xcm, 整-提解8 经检验，x=8是分式方程的解，且符合题意， ∴.圆形滚轮⊙A的半径长是8cm: B GF MD H EN (2)在Rt△ACG中，CG=80-8=72,∠CAF=64°， CG 则sin∠CAF= ≈0.9..AC=80 AC .∴.BC=AC-AB=80-50=30. .此时拉杆BC的伸长距离约为30cm 2.解：选择方案 如解图，过点E作EH⊥CD,垂足为H,延长EH交AB于 点G, 长E H DF M 由题意，得DH=BG=EF=1.72m,EH=DF=1m,EG=BF= BD+DF=45+1=46(m),∠CHE=∠AGE=90°. .CD=2.4m,∴.CH=CD-DH=2.4-1.72=0.68(m). 又.·∠CEH=∠AEG,∴.△CEH∽△AEG. CH EH 0.68 1 AGEG心AG464G=31.28m, ∴.AB=AG+BG=31.28+1.72=33(m), ∴.塔的高度AB为33m. (答案不唯一，选择一种解答即可) 3.解：.EF⊥BC,AB⊥BC,.∴.∠EFC=∠ABC=90°， 又∠C=∠C,∴△EFC∽△ABC, ..EF-FC.2 6 ·ABBC·ABBF+6 在R△ABF中，∠AFB=19.5,则an∠AFB= BE .AB=BF·tan19.5o≈0.35BF. 2 6 0.35BFBF+6 .BF=120米， ..AB=0.35BF≈0.35×120=42（米）. 答：电线塔AB的高度约为42米