精品解析：辽宁省锦州市某校2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试卷

2025~2026学年第一学期高一第二次月考 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教B版必修第一册，必修第二册第四章~第五章第3节5.3.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题；命题，则（ ） A. 是假命题 B. 的否定是真命题 C. 是真命题 D. 的否定是真命题 4. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 5. 已知互不相等的一组数的平均数为，方差为，若，的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 6. 已知函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 7. 著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（ ） A. 众数为65 B. 极差为7 C. 平均数为65.4 D. 80%分位数为67.5 10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最大值为2 D. 的最小值为8 11. 已知函数，且时，，则（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 函数的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是不等式成立的一个充分非必要条件，则实数的取值范围是______． 13. 若将，，，，这个数字不重复填入如下表格中，有个表格中数字不能确定，用字母，，，表示，但可以确定为奇数，则的概率为__________． 14. 已知函数的零点为，的零点为，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 化简求值： （1） （2） 16. 已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求a，b的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）解关于x的不等式. 18. 某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在内（单位：分），随机抽取了100名学生的成绩，整理后按照分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出的值并估计获奖学生的最低分数线； （2）现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人，求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率； （3）已知样本数据落在的平均数是77，方差是6，落在的平均数是82，方差是3，求这两组数据合并后的平均数和总方差． 19. 对于函数，若存在实数k，使得等式对定义域中每一个实数x都成立，则称函数为型函数． （1）若函数（且）是型函数，求a的值； （2）已知函数的定义域为，恒大于0，且是型函数，当时，． ①若，求的解析式； ②若对任意的恒成立，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期高一第二次月考 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教B版必修第一册，必修第二册第四章~第五章第3节5.3.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，又， 所以. 故选：A. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的真数大于零和分式函数的分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】由题意知解得且， 所以函数的定义域为． 故选：D 3. 已知命题；命题，则（ ） A. 是假命题 B. 的否定是真命题 C. 是真命题 D. 的否定是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断命题和命题的真假，进而判断选项即可. 【详解】命题， 当时，，则是真命题； 命题， 当时，，则是假命题. 综上所述，是真命题，的否定是假命题，是假命题，的否定是真命题. 故选：D. 4. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析即可. 【详解】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误； 当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误； 当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 事件A与事件B不能同时发生，故D正确． 故选：D 5. 已知互不相等的一组数的平均数为，方差为，若，的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均值的性质求得平均数，然后利用方差的概念求解即可判断各项. 【详解】由题意可知，， 所以，则， 所以数据的平均数是， 又 ，， 与的分子相同，比较分母，可知． 故选：C 6. 已知函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，画出图形，数形结合得答案． 【详解】函数的零点为函数与的图象交点的横坐标， 函数的零点为函数与的图象交点的横坐标， 函数的零点为函数与的图象交点的横坐标． 在同一直角坐标系内作出函数、、与的图象如图： 由图可知，. 故选：B． 7. 著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得出，，，将代入关系可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】由题知，，，所以，可得， 再经过分钟后，该物体的温度为， 即该物体的温度为． 故选：C． 8. 已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若对任意，总存在，使得成立，等价于，利用函数的单调性求得在固定区间的最值，即可求得参数范围. 【详解】若对任意，总存在， 使得成立，即， 又在上单调递减， 所以． 且在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以，所以，解得， 即的取值范围是． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（ ） A. 众数为65 B. 极差为7 C. 平均数为65.4 D. 80%分位数为67.5 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据众数、极差、平均数以及百分位数的概念，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由题意知样本数据从小到大排列如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69， 65出现次数最多，故众数为65，故A正确； 极差为，故B正确； 平均数，故C错误； ，所以80%分位数为，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最大值为2 D. 的最小值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式依次判断选项即可. 【详解】对于A,因为，，，所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，且时，，则（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 函数的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，作出函数的图象，，A正确；由，求得，B错误；，，从而判定C；设，则，则，可得值域，判断D. 【详解】作出函数的图象， 由图可知，若， 则，A正确； 因为，可得， 所以，可得，B错误； 依题意，，得， 则，且当接近时，接近，接近4， 此时， 且当接近时，无限增大，所以趋于负无穷， 则的取值范围为，C正确； 函数，， 设，则， 则，， 所以函数的值域为，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：选项C，依题意，，得，则，从而求范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是不等式成立的一个充分非必要条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，然后列不等式组可求出结果. 【详解】因为是不等式成立的一个充分非必要条件， 所以， 所以，且等号不能同时成立， 解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 13. 若将，，，，这个数字不重复填入如下表格中，有个表格中数字不能确定，用字母，，，表示，但可以确定为奇数，则的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】列出数组的所有情况，即可得实数对的所有情况，可判断满足条件的概率. 【详解】由已知数组的所有情况有，，，，，，，，，，，， 对应实数对的所有情况有，，，，，，，，，，，，共种， 其中满足的有，，，，共种， 所以满足的概率， 故答案为：. 14. 已知函数的零点为，的零点为，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式的互化关系可得，再利用零点的意义，结合函数的单调性即可求得答案. 【详解】依题意，， 而函数在R上单调递增，则函数在R上单调递增， 而，即，因此， 则，所以. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：利用同构的思想将函数化成是求解的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 化简求值： （1） （2） 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）利用指数的运算性质即可求得答案； （2）利用换底公式、对数运算性质即可求得答案. 【小问1详解】 【小问2详解】 16. 已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义以及性质求解； （2）问题为对任意恒成立，即，求出的最小值即可. 【小问1详解】 依题意，解得或； 当时，在区间上单调递减，不合题意，舍去； 当时，在区间上单调递增，符合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 则问题为对任意恒成立， 即，， 由于的最小值为， 所以，即实数的取值范围为. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求a，b的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）解关于x的不等式. 【答案】（1），； （2） 函数在上单调递增. 任取，且，则 ，由，得且， 则，即，所以在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数，利用奇函数的定义及性质求解. （2）判断单调性，再利用增函数的定义推理证明. （3）利用奇函数性质及日记账性求解不等式. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，得，则， 即是定义在上的奇函数，于是， 此时，，满足题意， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数为奇函数，且在上单调递增，得在上单调递增， 不等式， 则，解得，所以原不等式的解集为. 18. 某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在内（单位：分），随机抽取了100名学生的成绩，整理后按照分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出的值并估计获奖学生的最低分数线； （2）现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人，求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率； （3）已知样本数据落在的平均数是77，方差是6，落在的平均数是82，方差是3，求这两组数据合并后的平均数和总方差． 【答案】（1），84分 （2） （3）78，9.4 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小组频率之和等于1，求出的值，根据题意，由百分位数确定获奖学生的最低分数线即可； （2）依题意，根据抽样比确定在和这两组内所抽取的人数，分别记为和，列出试验和所求事件包含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得； （3）根据混合样本后的平均数与方差公式计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图易知，，解得， 由图知，的频率为．的频率为， 所以获奖学生最低分数线落在内，不妨设为， 则，解得， 所以估计获奖学生的最低分数线为84分． 【小问2详解】 由图可知，与的频率之比是， 根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取4人，记为，在内抽取1人，记为， 从这5人中选取2人，则该试验的样本空间为： 则， 记事件“这2人中恰有1人的成绩落在内”， 则，则， 由古典概型概率公式，可得． 【小问3详解】 样本数据在内的人数为，在内的人数为， 所以， ． 19. 对于函数，若存在实数k，使得等式对定义域中每一个实数x都成立，则称函数为型函数． （1）若函数（且）是型函数，求a的值； （2）已知函数的定义域为，恒大于0，且是型函数，当时，． ①若，求的解析式； ②若对任意的恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据新函数定义可得，然后利用指数运算求解即可. （2）①根据新函数定义可得，，即可求出时的函数解析式，然后利用求解的函数解析式，即可得解； ②满足；当时，运用换元法，分离参数利用函数单调性求得；当时，根据新定义得，运用换元法，令，，分离参数利用基本不等式求得，最后求交集即可. 【小问1详解】 因为函数（且）是型函数， 所以对定义域中每一个实数x都成立，即， 又且，所以． 【小问2详解】 ①因为是型函数，所以， 当时，，又，所以； 令，得， 所以， 又当时，， 所以， 解得， 所以当时，； 当时，， 所以． 综上， ②因为是型函数，所以， 当时，，又，所以，满足； 当时，恒成立， 令，则当时，恒成立，所以恒成立， 而函数在上单调递增，则，当且仅当时取等号，所以； 当时，， 则， 由，得， 令，则当时，， 又，则只需时，恒成立，即恒成立， 又，当且仅当时取等号，所以， 综上，m的取值范围是． 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则 （1）恒成立： ；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立： ；； （2）能成立：；. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $