精品解析：湖南省郴州市桂阳县第三中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025年下期八年级数学第三次素质检测试卷 考试时间：120分钟 分数：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 有下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形，三角形的三边关系， 根据三角形的三边关系判断能否成为三角形，再根据等腰三角形的定义解答即可. 【详解】解：因为，不能组成三角形，所以A不符合题意； 因为，不能组成三角形，所以B不符合题意； 因为，不能组成三角形，所以C不符合题意； 因为，能组成三角形，且两边相等，所以D符合题意. 故选：D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的运算法则逐项计算，即可解答． 【详解】解：选项A. ，故此选项运算错误，不符合题意； 选项B. ，故此选项运算错误，不符合题意； 选项C. ，故此选项运算错误，不符合题意； 选项D. ，故此选项运算正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列因式分解结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，将各式因式分解后进行判断即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键， 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、不能进行因式分解，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 4. 将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 由平行线的性质可得，再由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ， 是的外角，， ． 故选：A． 5. 如图，已知：，则下列说法正确的个数有（ ） （1）平分 （2）垂直平分 （3）与互相垂直平分 （4）平分 A. 一个 B. 两个 C. 三个 D. 四个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形三线合一． 由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分，进而得到平分． 【详解】，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． ∴平分 ∴说法正确的个数有一个 故选：A． 6. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马建度的2倍，根据题意列方程为其中x表示（ ） A. 总路程 B. 规定的时间 C. 快马的速度 D. 慢马的速度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．由快、慢马需要的时间与规定时间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马需要的时间，表示快马需要的时间，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出表示慢马的速度，根据各数量之间的关系及所列方程，找出的意义是解题的关键． 【详解】解：已知快马的速度是慢马的倍，根据题意列方程为， ∴表示慢马需要的时间，表示快马需要的时间， ∴表示慢马的速度， 故选：． 7. 下列命题是真命题的是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 两条直线被第三条直线所截， 内错角相等 D. 已知点与点，，均不为，则直线平行于轴． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了真命题，解题的关键是：明白正确的命题叫真命题，错误的叫假命题，需要结合所学的定理进行判断． 正确的命题叫真命题，错误的叫假命题，结合所学知识点进行依次判断． 【详解】解：A.相等角不一定是对顶角，该选项不正确，不符合题意； B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项不正确，不符合题意； C. 两条直线被第三条直线所截， 如果两直线平行，那么内错角相等，该选项不正确，不符合题意； D.该选项正确，例如：“因为点与点的纵坐标相等，均为，且，所以直线平行于轴，符合题意； 故选：D． 8. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：， 去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分） 9. 袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；据此即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 计算：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘除法法则进行计算． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】考查了幂的乘方、同底数幂的乘除法，解题关键是熟记幂的乘方、同底数幂的乘除法计算法则． 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 12. 若有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题关键． 要使分式有意义，需同时满足二次根式的被开方数非负且分式的分母不为零两个条件，分别求解后取公共部分即可． 【详解】解：要使 有意义，需满足以下条件： 1． 分母 ，即 ； 2． 根号内的表达式 ，解得 ； 综上，x 的取值范围为 且 ． 13. 如图，，是的垂直平分线，则的度数为________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一，解题的关键是掌握以上知识点． 先求出，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得． 【详解】解：∵， ， ∵是的垂直平分线， ， ， 故答案为：． 14. 已知，满足方程，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】利用幂的乘方公式，同底数幂的乘法公式进行计算，即可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方公式，同底数幂公式是解决问题的关键． 15. 如图，已知点在同一直线上，并且．请你只添加一个条件（不再添加辅助线），使得．你添加的条件是________． 【答案】（或或） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定． 根据全等三角形的判定求解． 【详解】解：∵点在同一直线上，并且， ∴， ∴， 又， 添加，可根据使得； 添加，可根据使得； 添加，可根据使得， 故答案为：（或或）． 16. 已知、、是三角形的三边长，化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 ）以及绝对值的性质（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数）是解题的关键．利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简． 【详解】解：∵ 、、是三角形的三边长 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ∴ ，即；，即 ∵ 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 ∴ ， 则 故答案为： ． 17. 如图，将一角折叠，若，则_______． 【答案】##144度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为________°． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、线段最短问题、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，先证明得到，从而推出当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小；如图：过点C作于点交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，、，同理可得，则，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小， 如图：过点C作于点交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴． ∴当取得最小值时，的度数为． 故答案为：40． 三、解答题（19-20题每小题6分，21-24每小题8分，25题10分，26题12分，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据数的开方法则，零指数幂及绝对值的性质分别计算出各数，再算加减即可． 本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：原式 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可； （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【小问1详解】 解：， ， 两边都乘以，得： ，     ， ， 检验：当时，， ∴为原方程的根． 【小问2详解】 解：， ， 两边都乘以，得： ， ， ， ， 检验：当时，， ∴为原方程的增根， ∴原方程无解． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 22. 如图，在中 （1）使用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图形中，当时，求的周长． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图---线段垂直平分线，垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据作线段垂直平分线的步骤作图即可； （2）根据线段垂直平分线得到，则的周长转化为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长=, ∴的周长． 23. 已知：． （1）如图1，试说明：； （2）如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键． （1）先求出，根据“”推出，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质和判定进行分析即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：图中的全等三角形有，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∵在和中， ， ∴． 24. 为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． （1）分别求出A型和B型运动器材每件的价格； （2）购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 【答案】（1）A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元 （2）该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元，根据学校预算资金为1900元，若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件，根据A型运动器材按原价的八折销售，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，结合（1）的结果，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元； 【小问2详解】 设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件． 25. 定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：． （1）求的值； （2）若，则______； （3）若有理数，满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积． 【答案】（1） （2） （3）①2；② 【解析】 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解以及因式分解的应用，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得由线段，，，围成的图形的面积为，化简后代入，即可求解； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知：，，，围成的图形的面积 ， 将，代入可得，． 26. 【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】 （1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期八年级数学第三次素质检测试卷 考试时间：120分钟 分数：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 有下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知：，则下列说法正确的个数有（ ） （1）平分 （2）垂直平分 （3）与互相垂直平分 （4）平分 A. 一个 B. 两个 C. 三个 D. 四个 6. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马建度的2倍，根据题意列方程为其中x表示（ ） A. 总路程 B. 规定的时间 C. 快马的速度 D. 慢马的速度 7. 下列命题是真命题的是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 两条直线被第三条直线所截， 内错角相等 D. 已知点与点，，均不为，则直线平行于轴． 8. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A. 或 B. C. D. 或 二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分） 9. 袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，将用科学记数法表示为______． 10. 计算：_______________________． 11. 因式分解：________． 12. 若有意义，则x的取值范围是__________． 13. 如图，，是的垂直平分线，则的度数为________． 14. 已知，满足方程，则______． 15. 如图，已知点在同一直线上，并且．请你只添加一个条件（不再添加辅助线），使得．你添加的条件是________． 16. 已知、、是三角形的三边长，化简：______． 17. 如图，将一角折叠，若，则_______． 18. 如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为________°． 三、解答题（19-20题每小题6分，21-24每小题8分，25题10分，26题12分，共66分） 19. 计算：． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在中 （1）使用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图形中，当时，求的周长． 23. 已知：． （1）如图1，试说明：； （2）如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 24. 为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． （1）分别求出A型和B型运动器材每件的价格； （2）购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 25. 定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：． （1）求的值； （2）若，则______； （3）若有理数，满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积． 26. 【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $