专题03 圆锥曲线与方程（3知识&10题型&2易错）（期末复习知识清单）高二数学上学期苏教版

该高中数学“圆锥曲线与方程”专题知识清单系统梳理了椭圆、双曲线、抛物线三大曲线内容，涵盖直线与曲线联立求解步骤、弦长与中点弦等核心问题，搭建从基础方法到综合题型的递进式学习支架。 清单以“步骤化流程+题型分类+易错警示”构建知识体系，如直线与椭圆联立分九步详解，中点弦问题突出点差法应用，培养学生数学思维与表达能力。标注“弦长公式使用频率”等实用提示，设计易错题型案例，助力学生自主突破难点，教师可精准教学提升效率。

专题03 圆锥曲线与方程 【答案】 一、1. 2. 3. 二、1. 2. 3. 【清单01】直线与椭圆方程 直线与椭圆联立，求解步骤： 第一步：代入消元，联立 化简： 第二步：计算判别式； 可直接利用结论：（范围、最值问题） 第三步：根与系数关系表达式； ， 第四步：利用 ，计算 第五步：利用，计算 第六步：利用，，计算弦中点 第七步：利用,计算弦长和的面积 进而计算原点到直线的距离 第八步:利用,，计算 第九步：利用,计算 1、弦长问题 （最常用公式，使用频率最高） 2、中点弦问题 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 3、圆锥曲线中的三角形的面积 （1）、三角形面积问题 直线方程： （2）、焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 【清单02】直线与双曲线方程 直线与双曲线联立，求解步骤： 第一步：代入消元，联立 化简： 第二步：计算判别式 可直接利用结论：（范围、最值问题） 第三步：根与系数关系表达式 ， 第四步：利用 ，计算 第五步：利用，计算 第六步：利用，，计算弦中点 第七步：利用,计算弦长和的面积 进而计算原点到直线的距离， 【清单03】直线与抛物线方程 直线与抛物线联立，求解步骤： 第一步：代入消元，联立 化简： 第二步：根与系数关系表达式 ， 第三步：一些小结论 点在抛物线的准线上，过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 结论1：的斜率为结论2：若的中点为，则 结论3： 结论4：过焦点 结论5： 【题型一】圆锥曲线的定义及轨迹方程 【例1】．（25-26高二上·河北沧州·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、椭圆定义及辨析、轨迹问题——椭圆 【分析】由圆与圆的位置关系确定，，，再利用椭圆的定义可求. 【详解】如图， 设动圆的圆心为P，半径为r，如图， 因圆与圆外切，则， 圆，即， 因与圆内切，则， 又，因，所以点P在以，为焦点的椭圆上. 故选：A. 【变式1-1】．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，已知圆，点，P为圆A上的动点，线段的垂直平分线与线段相交于点M    (1)过点B的直线m被圆A截得的弦长为，求直线m的方程； (2)求动点M的轨迹方程； (3)设（2）中曲线为C，直线l：与曲线C交于E，F两点，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、已知圆的弦长求方程或参数、轨迹问题——椭圆、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）先根据圆的方程得出圆心和半径，利用已知弦长得出圆心到直线的距离，分直线斜率存在和不存在两种情况讨论求出直线方程； （2）根据已知条件，利用椭圆的定义求出动点的方程； （3）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理结合两点间距离公式求出，利用点到直线距离公式求出距离，进而利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 已知弦长为，设圆心到直线的距离为， 则，而直线过点， 当直线斜率不存在时，直线为，圆心到直线距离， 弦长，符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，则方程为，即， 圆心到直线距离，化简得，无解， 直线的方程为． （2）由垂直平分线的性质可知，， ，， ，， 由椭圆的定义可知，动点M是以为长轴，以为焦距的椭圆， 即， 动点M的方程为：． （3）如图，作出符合题意的图形，    联立直线与曲线方程，得， 设，由韦达定理得， ， 点到直线的距离为， ． 【变式1-2】．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知定点，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．以上都不是 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解 【分析】结合垂直平分线以及中位线的性质，分析计算出的值，则结果可知. 【详解】因为为中点，为中点，所以， 因为在线段的中垂线上，所以， 因此， 即点的轨迹是以为焦点的双曲线， 故选：C. 【题型二】直线与椭圆的位置关系 【例2】．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，上的点到其焦点的最大距离为． (1)求的方程； (2)设为椭圆上两点，且，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的弦长、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程. （2）根据斜率存在与不存在讨论，直线方程和椭圆方程联立，化为关于的一元二次方程，由，可得，结合根与系数的关系可得的关系，再利用弦长公式结合基本不等式可求出最大值. 【详解】（1）由题意可得，又， 解得，，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设直线， 由，得， 所以， 设，． 所以，． 因为， 所以， 所以， 所以 当时，，此时. 当时，， 当且仅当，即时取等号． 所以的最大值． 当直线的斜率不存在时，设直线方程为，代入椭圆方程可得解得， 由,可得, 即，由， 所以，即，解得， 故. 因为. 综上，的最大值为. 【变式2-1】．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)4. 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可得椭圆方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式及点到直线距离公式列出三角形面积，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）由椭圆：的短轴长为4，得， 由椭圆的离心率，得，则， 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，， 由消去并整理得， ，解得，则， ， 原点到直线的距离，因此的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为4.      【题型三】直线与双曲线的位置关系 【例3】．（25-26高二上·重庆·期中）已知双曲线的实轴长为2，点 到双曲线的渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于两点，设线段的中点为，求点 M 的轨迹方程． 【答案】(1) (2)，其中或． 【难度】0.4 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求平面轨迹方程 【分析】（1）根据双曲线实轴长、渐近线方程，结合点到直线的距离公式进行求解即可； （2）法一：设出直线方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可； 法二：利用点差法进行求解即可. 【详解】（1）双曲线的实轴长为，由已知，，则． 因为双曲线的一条渐近线为． 点到双曲线的渐近线的距离为， 所以， 所以，所以， 所以双曲线的方程为； （2）（法一）易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 设、、， 联立直线与双曲线的方程，得，消去， 得， 由且，得且． 由韦达定理，得， 所以， 由消去，得． 由且，得或， 所以，点的轨迹方程为，其中或． （法二）设，中点，则：， 因为在双曲线，故， 两式相减（点差法）：， 因式分解得：， 两边除以（直线斜率显然存在），代入： ， 又直线过和，故斜率，因此：， 整理得轨迹方程（将换为）：， 所以点的轨迹方程为，其中或． 【变式3-1】．（2025高三上·安徽合肥·专题练习）已知双曲线：的离心率为，实轴长为4. (1)求双曲线的方程； (2)若直线：与的右支交于A，B两点，O为坐标原点，若直线与y轴交于点P，且，求的面积 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】(1) 利用实轴长和离心率求双曲线的基本量，进而得方程； (2) 联立直线与双曲线，结合韦达定理和距离公式求参数，进而求得的坐标，从而求得三角形面积. 【详解】（1）由实轴长为，得. 离心率，故. 由，得. 因此双曲线的方程为. （2）直线与轴交于， 联立与双曲线方程得， 设、，双曲线渐近线方程为， 由直线与右支相交于两点，得. ， 由韦达定理，. ，同理， 故：， 解得（）. 将代入联立方程，得， 解得、，对应、. 即， 因此的面积为：. 【题型四】直线与抛物线的位置关系 【例4】．（25-26高二上·宁夏银川·月考）已知直线l与椭圆交于两点，的中点坐标为． (1)求l的方程； (2)若l与抛物线交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、由弦中点求弦方程或斜率、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）利用点差法及点斜式计算即可； （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）设，的中点为D，则， 所以， 又的中点坐标为，所以， 则， 所以l的方程为，即； （2） 设l交横轴于E点，由上可知，， 设， 联立，可得， 则， 所以. 【变式4-1】．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知为抛物线的焦点，为上的一点，且，过点的直线与交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）结合题中条件和抛物线的定义计算参数，进而得到抛物线方程； （2）设过点的直线的方程为，，联立方程组，消元，化简，结合韦达定理得到，再根据向量数量积的坐标公式结合二次函数性质解得最大值. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 已知为上的一点，代入抛物线方程得， 因为抛物线的定义，，将代入得，解得， 因此抛物线的方程为 （2）由上分析可知，则，即, 设过点的直线的方程为，， 联立消元得，由韦达定理得， ，， 将代入： 这是关于的二次函数，开口向下，对称轴 将代入得最大值 【题型五】中点弦问题 【例5】．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即. 经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 【变式5-1】．（25-26高二上·河北·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程． 【详解】椭圆，由，得点在椭圆内， 设，则， 两式相减得，而， 因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 故选：A 【变式5-2】．（25-26高二上·江西·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据a、b、c求双曲线的标准方程、斜率公式的应用 【分析】根据焦距为4，求得m的值，利用点差法，结合中点坐标，求得直线的斜率. 【详解】由题可知，解得. 所以双曲线. 若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性知，线段的中点均在轴上，不合题意，所以直线的斜率存在. 设，则，整理得. 因为线段的中点为，所以. 所以. 直线的斜率为2. 故选：D. 【题型六】圆锥曲线中的三角形问题 【例6】．（25-26高二上·四川成都·期中）圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最大值为6 B．的最小值为 C．M的轨迹方程为 D．的最小值为8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、轨迹问题——圆、基本不等式求和的最小值 【分析】根据椭圆的定义和性质、等腰三角形的性质，结合圆的定义、对勾函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：根据题意可知直线如果存在斜率，斜率一定不为零， 由椭圆， 设直线的方程为， 于是有， ，设， ， ， 令， ， 对钩函数在上单调递增， 所以当时，对钩函数单调递增， 于是由， 所以，即， 所以当，面积有最大值为3，因此本选项不正确； B：因为， 所以 ， 即，当且仅当时取等号， 即当时，的最小值为，所以本选项不正确； C：因为过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M， 所以， 因为， 所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为，所以本选项正确； D：由上可知：， 所以， 因为A，B两点是椭圆上非长轴上顶点， 所以由椭圆的性质可知：， 所以没有最小值，故本选项不正确， 故选：C      【变式6-1】．（25-26高二上·山东青岛·期中）吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线如图2所示，曲线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】点代入半圆上的点，求出的值，写出的坐标，当的面积最大时，点为与直线平行的直线且此直线与半圆相切于第四象限的切点，求出，设与直线平行的直线且与半圆相切的直线方程为，求出圆心为到的距离为，与半圆相切，得到，得到关于的一个方程，当点的坐标为时，的面积最大，得到在上，将点代入，得到关于的另一个方程，这两个的方程联立方程组求解即可. 【详解】是半圆上的点， ，，，， 半椭圆（，交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点， ， 当的面积最大时， 点为与直线平行的直线且此直线与半圆相切于第四象限的切点， ， 设与直线平行的直线且与半圆相切的直线方程为， 半圆的圆心为，半径为， 圆心为到的距离为， 与半圆相切， ，，，， 当点的坐标为时，的面积最大， 在上，，， 联立，解得，半椭圆方程为， . 故选：D. 【变式6-2】．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线定义的理解、余弦定理解三角形 【分析】双曲线定义结合对称性，根据三角形面积公式列方程求出，然后利用余弦定理求解可得. 【详解】由于，则由双曲线定义知，所以． 如图，根据双曲线对称性知四边形为平行四边形，则， 结合， 所以， 解得， 又为锐角，故，则. 在中，由余弦定理可知，则， 所以． 故选：B 【题型七】求离心率的值或取值范围 【例7】．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆的定义，结合在圆中直径所对的圆周角为直角、勾股定理、椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】设，则，于是有， 由椭圆的定义可知：， ， 在圆中，是直径，所以， 由勾股定理可得：， ，代入中，得 ， 故选：B 【变式7-1】．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知双曲线的左右两个焦点分别为、，过右焦点作直线，交右支于、两点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的定义求得，，利用二倍角的余弦公式结合可求出的值，然后在中，利用余弦定理可得出、的等量关系，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】因为，所以，    即，且， 所以，解得， 所以在△中，由余弦定理可得， 即，即，解得. 故选：C. 【变式7-2】．（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，线段的中垂线过，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，可求得，又根据中垂线的性质，可得，进而可求得，代入所求代数式，结合双曲线离心率的性质和不等式，即可求解. 【详解】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，焦距都为， 根据椭圆定义，可得①， 根据双曲线定义，可得，又，所以②， 联立①②，可求得， 又线段的中垂线过，所以， 所以，所以，即，所以， 所以， 又根据双曲线的性质，可得，所以，所以， 即， 所以的取值范围是. 故答案为： 【题型八】最值（或范围）问题 【例8】．（2025高二·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．    (1)证明：直线MN过定点； (2)设G为直线AE与直线BD的交点，求面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）分析可得两直线斜率都存在且不为0，设出各点坐标，根据斜率公式，可得，同时满足，，且同时满足，根据两直线垂直，斜率关系，可得，代入直线MN的方程，化简整理，即可得证. （2）由（1）知，可得直线AB方程，根据直线AB过点，可得，同理可得，求出直线AE和直线BD的方程，联立得：，即为G点横坐标，由于，化简计算，可得MN轨迹方程，过点G作轴，交直线MN于点Q，可得面积的表达式，结合基本不等式，可得，根据抛物线的性质，证明，综合即可得答案. 【详解】（1）证明：由，故，由直线AB与直线CD垂直， 故两直线斜率都存在且不为0， 设、、、、、， 则，且同时满足， 同理，且同时满足， 所以，则， 所以， 又直线MN方程为， 所以 ， 所以直线MN过定点. （2）由（1）知，直线AB的方程为， 即， 又直线AB过点，所以， 同理，，又直线DE过点，所以， 直线AE的方程为①， 直线BD的方程为②， 将直线AE的方程转化为，即， 和直线BD的方程，联立得：． 所以点G的横坐标为，即直线AE与BD的交点在定直线上． 由于，故，且， 同理，所以MN轨迹方程为， 过点G作轴，交直线MN于点Q，    则， 故，当且仅当时等号成立， 此时，，， 下证，即证，， 由抛物线的对称性，不妨设，则， 当时，有，则点G在x轴上方，点Q亦在x轴上方，有， 由直线MN过定点，此时， 同理，当时，有点G在x轴下方，点Q亦在x轴下方，有， 故此时， 当且仅当时，，故恒成立， 故， 【变式8-1】．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知抛物线（）过点，其焦点为，若. (1)求的值以及抛物线的方程； (2)过点斜率为的直线交抛物线于，两点，求面积的取值范围. 【答案】(1)的值为，抛物线的方程为 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）根据题意结合抛物线的方程和定义列式求，即可得结果； （2）设直线，，联立方程可得韦达定理，进而可求和面积，结合函数的单调性求值域即可. 【详解】（1）由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 则， 且点在抛物线（）上，则，即， 联立方程，解得，即， 所以的值为，抛物线的方程为. （2）由（1）可知：，，抛物线的方程为， 由题意可设：直线，，，且， 联立方程，消去x可得， 则，可得，， 则， 又因为点到直线的距离， 则面积， 构造函数， 显然在内单调递增，且，， 可知在内的值域为， 所以面积的取值范围为. 【题型九】定点与定值问题 【例9】．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C、D两点，直线CD的斜率为，求的值及直线CD所经过的定点坐标． 【答案】(1) (2)，定点为 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的直线过定点问题、椭圆中的定值问题、直线与二次曲线方程及性质 【分析】（1）依题意得，再由求得，从而可得椭圆的标准方程； （2）将椭圆向左平移一个单位得，进而根据曲线系方程求解即可. 【详解】（1）由题意，得，解得， 则，所以椭圆C的标准方程为. （2）将椭圆向左平移一个单位得： ，即：， 设，，， 故曲线系方程为：， 则的系数：，常数项：，的系数：，的系数：， 则，所以，即， 此时直线，即， 则直线CD的方程为，恒过定点.    【变式9-1】．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3. (1)求椭圆C的方程； (2)若点P在第一象限且轴，求的角平分线所在直线的方程； (3)过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴对称的点为D（异于点B），直线交x轴于点E，记与的面积分别为，.求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】已知点到直线距离求参数、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】(1)由题可得，解方程即可求解. (2)求出点坐标，设的角平分线所在直线与轴的交点为，根据角平分线性质可知点到直线和的距离相等即可求解； (3)设直线的方程为：,,联立,由韦达定理可得,由直线的方程为：, 令，可得点,由三角形面积公式即可证明. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3， 所以，解得：, 则, 所以椭圆C的方程为:, （2）由题可得，，因为点P在第一象限且轴， 所以,解得：或(舍去)， 则点 所以，则直线的方程为：，即 设的角平分线所在直线与轴的交点为，显然 则，解得:或(舍去)； 所以, 则， 所以的角平分线所在直线的方程为，即, 故的角平分线所在直线的方程为； （3）由题可得直线的斜率不为，设直线的方程为：,, 则, 联立,得, 所以,, 直线的方程为：, 令，则, 所以, 即点, 则,, 所以，则为定值 【题型十】开放性与探索性问题 【例10】．（25-26高二上·湖北·期中）已知椭圆过点，且离心率为． (1)求的方程． (2)设为的右顶点，为上一点，求面积的最大值． (3)若过点，斜率为（为定值且）的直线与交于点，直线上是否存在不同于点的点，使得平分？若存在，求出点的坐标（用含的式子表示）．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据题意可知，结合离心率可得，即可得椭圆方程； （2）设平行于直线的直线的方程为，分析可知当直线与椭圆相切时，直线与直线之间的距离有最大值，此时的面积最大，进而运算求解； （3）设，可得过的直线：，联立方程可得韦达定理，结合向量的数量积可得，代入整理可得，进而分析求解. 【详解】（1）由题意得：，即， 又因为，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可知：， 则，直线的斜率， 则直线的方程为， 设平行于直线的直线的方程为， 则当直线与椭圆相切时，直线与直线之间的距离有最大值，此时的面积最大， 联立方程，消去y得， 则，解得：， 当时，直线与直线距离：， 此时面积； 当时，直线与直线距离：， 此时面积； 所以面积的最大值为. （3）假设直线上存在点，使得平分， 因为，可知点在椭圆内，则过的直线与椭圆必相交， 过的直线：，设，， 联立方程，消去y可得， 则，， 若，则， 设， 则，，， 可得， ， 则，即， 整理得：， 可得， 整理可得，即， 当时，点不存在； 当时，点Q与D重合应排除，点不存在； 当且时，则，， 所以存在点，使得平分，此时. 【变式10-1】．（25-26高二上·广东中山·月考）已知在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知直线与轨迹交于两点． ①求的取值范围； ②已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一定点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②存在，. 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——椭圆、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）利用已知条件可得出关于、的等式，化简可得出轨迹的方程； （2）①直线方程联立椭圆方程消元，利用判别式求解可得；②利用直线表示出点的坐标，结合韦达定理求出中点坐标，结合为平行四边形求解可得. 【详解】（1）由题得：，两边平方并化简得， 所以，轨迹的方程为. （2）①设，， 由，得， 由直线与轨迹交于两点，得， 所以或. ②存在点使得四边形为平行四边形，理由如下： 因为在椭圆上，所以易知， 设直线的方程为， 令，得，同理， 又由①知，所以， 所以 ， 所以线段的中点坐标为， 连接，若四边形为平行四边形，则线段的中点坐标也为， 由于，可得得， 所以点的坐标为. 【题型一】容易直线的斜率不存在的情况致错 【例1】．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴长为直径的圆与直线相切． (1)求椭圆的标准方程； (2)设过椭圆右焦点且不重合于轴的动直线与椭圆相交于、两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，定值， 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴为直径的圆与直线相切，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，结合向量的数量积的运算求得，进而得到，确定定点，②当直线的斜率不存在时，验证成立，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴为直径的圆与直线相切， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，整理得， 由，且，， 假设轴上存在定点，使得为定值， 则， 要使得为定值，则的值与无关， 所以，解得， 此时为定值，定点， ②当直线的斜率不存在时，，，， 则，，可得， 综上所述，在轴上存在定点，使得为定值． 【变式1-1】．（25-26高二上·宁夏银川·月考）已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，过点的直线与椭圆交于不同两点A，B，证明：； (3)过点斜率为的直线，与椭圆相交于不同两点E，F，设点关于原点的对称点为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据条件列方程组即可； （2）联立方程得出，再利用斜率公式进行化简即可； （3）由关于原点的对称点为，得出 ，联立方程得出，再代入三角形面积公式，最后利用均值不等式即可求出. 【详解】（1）椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍， ， 又点在椭圆上，， 即联立，解得， 故椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，则过点的直线为，则直线与椭圆交于不同两点，此时不满足，故舍掉， 当直线的斜率存在时，则设过点的直线为，即， 设，联立，得， 由韦达定理得， 又点，， ， 又， 故 . （3） 关于原点的对称点为， 为中点，, 设过点斜率为的直线的方程为，即， 设，联立，得， 由韦达定理得， 又， 令，则，， ， 利用均值不等式可得，当且仅当时，等号成立， 又在上单调递增，， . 【题型二】容易圆锥曲线方程的限制条件致错 【例2】．（25-26高二上·全国·课后作业）已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、求平面轨迹方程 【分析】结合题意得到，再利用平面向量数量积的坐标表示求解轨迹方程即可. 【详解】由题意得圆心在轴上的圆经过点，，三点， 可得线段为圆的直径，而点在圆上，则，得到， 又，，则，而不重合，得到， 故点的轨迹方程为． 故答案为： 【变式2-1】．（2025·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由斜率判断两条直线垂直、求平面轨迹方程、求双曲线的轨迹方程 【分析】设点，利用点到直线距离公式以及四边形的形状和面积即可求得动点的轨迹方程. 【详解】设点， 易知与互相垂直，又与直线垂直，与直线垂直， 所以四边形为矩形，如下图所示：    依题意可知点在轴上方，即，且； 因此， 所以四边形的面积为， 即可得; 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 【变式2-2】．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求平面轨迹方程、已知两点求斜率 【分析】设点，根据两点斜率公式直接列式即可求解. 【详解】设点，则，整理得，显然. 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 【变式2-3】．（25-26高二上·四川遂宁·期中）已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】设点，根据题目信息得到方程，对方程进行化简得到点的轨迹方程. 【详解】设点，则， 化简得， 所以点的轨迹方程为. 故选：D 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线与方程 【清单01】直线与椭圆方程 直线与椭圆联立，求解步骤： 第一步：代入消元，联立 化简： 第二步：计算判别式； 可直接利用结论：（范围、最值问题） 第三步：根与系数关系表达式； ， 第四步：利用 ，计算 第五步：利用，计算 第六步：利用，，计算弦中点 第七步：利用,计算弦长和的面积 进而计算原点到直线的距离 第八步:利用,，计算 第九步：利用,计算 1、弦长问题 （最常用公式，使用频率最高） 2、中点弦问题 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 3、圆锥曲线中的三角形的面积 （1）、三角形面积问题 直线方程： （2）、焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 【清单02】直线与双曲线方程 直线与双曲线联立，求解步骤： 第一步：代入消元，联立 化简： 第二步：计算判别式 可直接利用结论：（范围、最值问题） 第三步：根与系数关系表达式 ， 第四步：利用 ，计算 第五步：利用，计算 第六步：利用，，计算弦中点 第七步：利用,计算弦长和的面积 进而计算原点到直线的距离， 【清单03】直线与抛物线方程 直线与抛物线联立，求解步骤： 第一步：代入消元，联立 化简： 第二步：根与系数关系表达式 ， 第三步：一些小结论 点在抛物线的准线上，过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 结论1：的斜率为结论2：若的中点为，则 结论3： 结论4：过焦点 结论5： 【题型一】圆锥曲线的定义及轨迹方程 【例1】．（25-26高二上·河北沧州·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【变式1-1】．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，已知圆，点，P为圆A上的动点，线段的垂直平分线与线段相交于点M    (1)过点B的直线m被圆A截得的弦长为，求直线m的方程； (2)求动点M的轨迹方程； (3)设（2）中曲线为C，直线l：与曲线C交于E，F两点，求的面积． 【变式1-2】．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知定点，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．以上都不是 【题型二】直线与椭圆的位置关系 【例2】．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，上的点到其焦点的最大距离为． (1)求的方程； (2)设为椭圆上两点，且，求的最大值． 【变式2-1】．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 【题型三】直线与双曲线的位置关系 【例3】．（25-26高二上·重庆·期中）已知双曲线的实轴长为2，点 到双曲线的渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于两点，设线段的中点为，求点 M 的轨迹方程． 【变式3-1】．（2025高三上·安徽合肥·专题练习）已知双曲线：的离心率为，实轴长为4. (1)求双曲线的方程； (2)若直线：与的右支交于A，B两点，O为坐标原点，若直线与y轴交于点P，且，求的面积 【题型四】直线与抛物线的位置关系 【例4】．（25-26高二上·宁夏银川·月考）已知直线l与椭圆交于两点，的中点坐标为． (1)求l的方程； (2)若l与抛物线交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）． 【变式4-1】．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知为抛物线的焦点，为上的一点，且，过点的直线与交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)求的最大值． 【题型五】中点弦问题 【例5】．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【变式5-1】．（25-26高二上·河北·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】．（25-26高二上·江西·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．2 【题型六】圆锥曲线中的三角形问题 【例6】．（25-26高二上·四川成都·期中）圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最大值为6 B．的最小值为 C．M的轨迹方程为 D．的最小值为8 【变式6-1】．（25-26高二上·山东青岛·期中）吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线如图2所示，曲线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【题型七】求离心率的值或取值范围 【例7】．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知双曲线的左右两个焦点分别为、，过右焦点作直线，交右支于、两点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】．（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，线段的中垂线过，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 【题型八】最值（或范围）问题 【例8】．（2025高二·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．    (1)证明：直线MN过定点； (2)设G为直线AE与直线BD的交点，求面积的最小值． 【变式8-1】．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知抛物线（）过点，其焦点为，若. (1)求的值以及抛物线的方程； (2)过点斜率为的直线交抛物线于，两点，求面积的取值范围. 【题型九】定点与定值问题 【例9】．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C、D两点，直线CD的斜率为，求的值及直线CD所经过的定点坐标． 【变式9-1】．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3. (1)求椭圆C的方程； (2)若点P在第一象限且轴，求的角平分线所在直线的方程； (3)过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴对称的点为D（异于点B），直线交x轴于点E，记与的面积分别为，.求证：为定值. 【题型十】开放性与探索性问题 【例10】．（25-26高二上·湖北·期中）已知椭圆过点，且离心率为． (1)求的方程． (2)设为的右顶点，为上一点，求面积的最大值． (3)若过点，斜率为（为定值且）的直线与交于点，直线上是否存在不同于点的点，使得平分？若存在，求出点的坐标（用含的式子表示）．若不存在，请说明理由． 【变式10-1】．（25-26高二上·广东中山·月考）已知在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知直线与轨迹交于两点． ①求的取值范围； ②已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一定点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型一】容易直线的斜率不存在的情况致错 【例1】．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴长为直径的圆与直线相切． (1)求椭圆的标准方程； (2)设过椭圆右焦点且不重合于轴的动直线与椭圆相交于、两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】．（25-26高二上·宁夏银川·月考）已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，过点的直线与椭圆交于不同两点A，B，证明：； (3)过点斜率为的直线，与椭圆相交于不同两点E，F，设点关于原点的对称点为，求面积的最大值. 【题型二】容易圆锥曲线方程的限制条件致错 【例2】．（25-26高二上·全国·课后作业）已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为 ． 【变式2-1】．（2025·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是 ． 【变式2-2】．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，则点的轨迹方程是 . 【变式2-3】．（25-26高二上·四川遂宁·期中）已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $