清单03 圆的方程（考点清单，知识导图+3个考点清单+6题型解读+变式训练）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

清单03 圆的方程（3个考点梳理+6题型解读+变式训练） 【清单01】圆的方程 1、圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 2、圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 诠释：由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 3、用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【清单02】点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【清单03】轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． （1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． （2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． （3）求轨迹方程的步骤： ①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； ②列出关于的方程； ③把方程化为最简形式； ④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； ⑤作答． 考点题型1：圆的标准方程 【典例1-1】（24-25高二上·江苏盐城·期中）圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，的圆心，半径， 由题意则与关于直线对称， 所以，解得， 所以圆的标准方程为， 故选：A 【典例1-2】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径， 故方程为. 故选：A. 【变式1-1】（24-25高二上·浙江台州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆心为， 由题意得，即， 解得，故圆心， 半径为， 故圆的标准方程为. 故选：C 【变式1-2】（24-25高二上·河南濮阳·期中）若圆过，两点，则当圆的半径最小时，圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，线段的中点，， 圆过，两点，当圆的半径最小时，线段为圆的直径， 所以圆的标准方程为. 故选：D 【变式1-3】（22-23高二下·河南开封·期末）已知圆 与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，圆的圆心坐标为，圆和圆的半径均为2， 设圆心关于直线的对称点为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：A 考点题型2：圆的一般方程 【典例2-1】（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 【典例2-2】（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 【变式2-1】（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线与两坐标轴的交点为， 则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：. 故选：A 【变式2-2】（22-23高二上·河南驻马店·期末）以，为直径两端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， 的中点坐标为， 以为直径的圆的圆心为，又， 圆的半径为1， 以为直径的圆的方程为即. 故选：A. 【变式2-3】（22-23高二上·天津和平·期末）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设所求圆方程为, 因为，，三点都在圆上， 所以，解得， 即所求圆方程为：. 故选：C. 考点题型3：点与圆的位置关系 【典例3-1】（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为2， 由解得， 则直线与的交点为， 依题意，，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：B 【典例3-2】（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 【答案】A 【解析】， 在圆外， 故选：A. 【变式3-1】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点在圆上，点，则的值可能为（   ） A．1 B．7 C．13 D．15 【答案】B 【解析】因为，所以点在圆内， 圆心，半径，点到圆心的距离为， 所以的取值范围为，所以的值可能为7， 故选：B. 【变式3-2】（24-25高二上·安徽·期中）若点在圆的外部，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在圆的外部， 则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 【变式3-3】（23-24高二上·广西·期末）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，则两直线与的交点为， 依题意得，解得. 故选：B. 【变式3-4】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 考点题型4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【典例4-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 【典例4-2】（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程表示一个圆， 所以， 即，所以或， 故选：C. 【变式4-1】（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以， 若曲线是圆，所以，所以或， 所以“”是“曲线是圆”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式4-2】（23-24高二上·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，即. 故选：D. 【变式4-3】（23-24高二上·四川成都·期末）若方程表示一个圆，则m可取的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由方程分别对进行配方得：， 依题意它表示一个圆，须使，解得：或，在选项中只有D项满足. 故选：D. 考点题型5：定点问题 【典例5-1】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 【典例5-2】（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 【变式5-1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是 ;②圆E恒过的两个定点是 . 【答案】 【解析】①当时， 二次函数的图象与两坐标轴交于点，，， 的外接圆为圆E， 设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得， 此方程有一个根为，代入此方程得出， 所以圆E的一般方程为； ②设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得，此方程有一个根为， 代入此方程得出，所以圆E的一般方程为， 当时，或， 故圆E恒过定点. 故答案为：； 【变式5-2】（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 【答案】 【解析】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 【变式5-3】（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 【答案】 【解析】设，且， ， 因为为定值，设， 化简得：，与点位置无关， 所以， 解得：或， 因为异于点，所以定点N为. 故答案为：. 考点题型6：轨迹问题 【典例6-1】（24-25高二上·吉林通化·期中）在中，，，，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设点， 则，， 则， 化简可得， 故答案为：. 【典例6-2】（23-24高二上·北京·期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 . 【答案】 【解析】方法一：设点， ，，，， 由题意可知：， ，， 整理得：， 三点不共线， ，，应去除. 直角顶点的轨迹方程为：. 方法二：设BC中点为，则，即A在以D为圆心， 为半径的圆上(不能和B、C重合)， 故A的轨迹方程为. 【变式6-1】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，由，故， 化简得：，故P的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式6-2】（23-24高二上·广东佛山·期末）已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形． (1)当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程； (2)求点的轨迹方程． 【解析】（1）设点，由，得，直线的斜率，而， 所以直线的方程为，即. （2）由于线段是圆的弦，则线段的中垂线必过圆心， 又线段的中垂线是矩形的对称轴，因此该对称轴垂直平分线段，即， 显然不重合，当重合时，点重合，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除点外）， 所以点的轨迹方程是. 【变式6-3】（23-24高二上·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【解析】（1）由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. （2）设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为. 【变式6-4】（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知的三个顶点坐标分别是，，.求： (1)外接圆的方程； (2)若点P是外接圆上的一动点，点为平面内一定点，求线段MP的中点N的轨迹方程. 【解析】（1）由题意可作图如下： 由，则线段的中点坐标为， 线段的中垂线的斜率， 直线的方程为：； 同理可得线段的中垂线的方程：， 联立可得，解得，则直线与的交点， 显然点为外接圆的圆心，则该圆的半径， 所以外接圆的方程为：. （2）由题意可作图如下： 设的坐标为，的坐标为， 由为的中点，且，则，整理可得， 由在圆上，则， 所以，化简可得：. 【变式6-5】（23-24高二上·河北保定·期末）已知点在圆上运动，，点为线段MN中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知，求的最大值． 【解析】（1）设点，因为为中点， ，于是有， 因为点在圆上运动， 所以， 代入得， 化简得， 所以点的轨迹方程为； （2） 因为，所以 所以的最大值为89． 【变式6-6】（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点. (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程. 【解析】（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为， 它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为； （2）设，，由，得， 所以，又点在圆上，故， 所以，化简得的轨迹方程为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 圆的方程（3个考点梳理+6题型解读+变式训练） 【清单01】圆的方程 1、圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 2、圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 诠释：由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 3、用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【清单02】点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【清单03】轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． （1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． （2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． （3）求轨迹方程的步骤： ①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； ②列出关于的方程； ③把方程化为最简形式； ④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； ⑤作答． 考点题型1：圆的标准方程 【典例1-1】（24-25高二上·江苏盐城·期中）圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·浙江台州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·河南濮阳·期中）若圆过，两点，则当圆的半径最小时，圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（22-23高二下·河南开封·期末）已知圆 与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 考点题型2：圆的一般方程 【典例2-1】（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23高二上·河南驻马店·期末）以，为直径两端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（22-23高二上·天津和平·期末）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 考点题型3：点与圆的位置关系 【典例3-1】（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 【变式3-1】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点在圆上，点，则的值可能为（   ） A．1 B．7 C．13 D．15 【变式3-2】（24-25高二上·安徽·期中）若点在圆的外部，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·广西·期末）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点题型4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【典例4-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例4-2】（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】（23-24高二上·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·四川成都·期末）若方程表示一个圆，则m可取的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点题型5：定点问题 【典例5-1】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式5-1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是 ;②圆E恒过的两个定点是 . 【变式5-2】（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 【变式5-3】（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 考点题型6：轨迹问题 【典例6-1】（24-25高二上·吉林通化·期中）在中，，，，则点的轨迹方程为 ． 【典例6-2】（23-24高二上·北京·期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 . 【变式6-1】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ． 【变式6-2】（23-24高二上·广东佛山·期末）已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形． (1)当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程； (2)求点的轨迹方程． 【变式6-3】（23-24高二上·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【变式6-4】（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知的三个顶点坐标分别是，，.求： (1)外接圆的方程； (2)若点P是外接圆上的一动点，点为平面内一定点，求线段MP的中点N的轨迹方程. 【变式6-5】（23-24高二上·河北保定·期末）已知点在圆上运动，，点为线段MN中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知，求的最大值． 【变式6-6】（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点. (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$