专题05 导数及其应用（3知识&10题型&2易错）（期末复习知识清单）高二数学上学期苏教版

专题05 导数及其应用 【清单01】导数的概念及运算 1、导数的概念 函数在处瞬时变化率是 ，我们称它为函数在处的导数，记作 或．导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即 ． 2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的 ． ⑴、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为 ，抓住关键． ⑵、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 3、导数的运算 ⑴、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） ⑵、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则： ； （2）函数积的求导法则： ； （3）函数商的求导法则：，则 ． （3）、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 【清单02】导数与函数的单调性 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为 ；如果，则为 ． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 【清单03】导数与函数的极值、最值 1、函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个 ，记作 ．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个 ，记作 ．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号异号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 2、函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 【题型一】导数的计算 【例1】．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．（24-25高二下·福建泉州·月考）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（25-26高二上·浙江宁波·期中）（多选题）下列导数计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】导数的几何意义及其应用 【例2】．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数，则函数在处的切线方程是 ． 【变式2-1】．（25-26高二·全国·假期作业）曲线在点处的导数为 ，在点处的切线方程为 ． 【变式2-2】．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【题型三】证明（判断）函数的单调性 【例3】．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【变式3-1】．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，讨论单调性． 【变式3-2】．（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【题型四】函数单调性的简单应用 【例4】．（24-25高二下·云南昭通·期中）若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【变式4-2】．（24-25高二下·上海黄浦·月考）若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【题型五】函数的极值 【例5】．已知函数，当时，取得极小值5. (1)求的值； (2)当时，求的最小值. 【变式5-1】．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数在处有极小值，则的值为（    ） A．1或3 B．2 C．3 D．1 【变式5-2】．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是的极小值点，求实数m的取值范围． 【题型六】函数的最值 【例6】．（25-26高三上·广东广州·月考）已知函数． (1)当，求在区间上的最大值； (2)讨论的单调性． 【变式6-1】．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知函数，其中e是自然对数的底数． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【变式6-2】．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求的最值； (2)若，求的取值范围． 【题型七】函数中的构造问题 【例7】．已知是函数的导函数，，其中是自然对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】．已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，且，则的解集为 . 【变式7-2】．已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为 ． 【题型八】不等式的恒成立问题 【例8】．（24-25高二下·北京大兴·期中）在下列不等式中，当时，关于x的不等式对任意的不能恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】.当时，恒成立，则实数的取值范围为 . 【变式8-2】．已知函数，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【题型九】不等式的证明问题 【例9】．（2025高三·全国·专题练习）已知函数. 求证：当 时，； 【变式9-1】．（25-26高三上·福建莆田·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，． 【变式9-2】．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)设，当时，证明． 【题型十】函数的零点问题 【例10】．（25-26高三上·广东河源·月考）已知函数在处有极值. (1)求的值； (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围. 【变式10-1】．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 【题型一】容易函数的定义域而致错 【例1】．（2025·青海·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，恒成立，求的取值范围． 【变式1-1】．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【题型二】容易求错复合函数的导数而导致出错 【例2】．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数，则（    ） A．10 B．20 C．60 D．42 【变式2-1】．（24-25高二下·陕西渭南·期末（多选题）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 导数及其应用 【答案】 一、1. 2.函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．3. 4.复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 二、1. 2. 三、1.极大值与极小值 2.最大值与最小值 【清单01】导数的概念及运算 1、导数的概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即． 2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． ⑴、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． ⑵、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 3、导数的运算 ⑴、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） ⑵、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． （3）、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 【清单02】导数与函数的单调性 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 【清单03】导数与函数的极值、最值 1、函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号异号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 2、函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 【题型一】导数的计算 【例1】．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值 【分析】利用导数公式直接计算即可. 【详解】由解析式知，所以. 故选：B 【变式1-1】．（24-25高二下·福建泉州·月考）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】利用常见函数的导数，对选项进行逐一求导即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D不正确； 故选：A 【变式1-2】．（25-26高二上·浙江宁波·期中）（多选题）下列导数计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】导数的乘除法、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数运算公式计算判断各个选项. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确； 故选：AD. 【题型二】导数的几何意义及其应用 【例2】．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数，则函数在处的切线方程是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】在等式两边求导，令，可求出的值，即可得出函数的解析式，再求出切点坐标，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程. 【详解】因为，所以， 令可得，解得，故， 所以，即切点坐标为， 因此函数在处的切线方程是，即. 故答案为：. 【变式2-1】．（25-26高二·全国·假期作业）曲线在点处的导数为 ，在点处的切线方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求某点处的导数值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求出导函数代入可得导数值；再由直线的点斜式方程可求处的切线方程. 【详解】依题意得，， 因此所求的切线方程是，即， 故答案为：；. 【变式2-2】．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】利用导数的几何意义即可求解． 【详解】， 又因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以切线斜率，解得． 故选：D． 【题型三】证明（判断）函数的单调性 【例3】．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）设切点为，求导得，解得，，分类讨论可求得的值； （2）先对函数求导，首先分，两种情况，令，求得方程的根，进而分，和三种情况讨论导数的正负，从而可得函数的单调区间. 【详解】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 当时，解得，切点为，即，解得（舍去）； 当时，解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2）， 当时，令，可得， 若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增， 当时，令，得或． ①当时，恒成立，所以在上单调递增． ②当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区问为，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【变式3-1】．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，讨论单调性． 【答案】答案见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】求导，对参数分，，三种情况讨论单调性即可. 【详解】求导得， 当时，，令得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增． 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令得或， 所以当或时，单调递减； 所以当时，，单调递增． 所以在上单调递减，在内单调递增； 当时，，故在上单调递减． 【变式3-2】．（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)函数单调递减区间为，单调递增区间为 (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用求导并因式分解，再结合定义域，即可由导数的正负确定函数的单调区间； （2）利用求导，再通过对参数的分类讨论，来决定导数的正负，从而确定函数的单调区间. 【详解】（1）由，可得， 因为定义域，所以由，解得， ，解得， 即在上单调递减，在上单调递增． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时， 当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【题型四】函数单调性的简单应用 【例4】．（24-25高二下·云南昭通·期中）若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】由题可得在上恒成立，即在恒成立，据此可得答案. 【详解】因为， 而时，函数单调递减，所以在恒成立， 即恒成立，因为，所以， 即在恒成立， 因为在上单调递增， 则，所以. 故选：A． 【变式4-1】．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】利用导函数分析函数的单调性，结合分类讨论求得，经验证符合题意. 【详解】由求导可得， 当时，，单调递减，无单调递增区间，不符合题意； 当时，因为函数的单调递增区间为，则有，解得. 当时，， 则时，，单调递减；时，；时，，单调递增. 故函数的单调递增区间为，符合题意. 所以. 故选：C. 【变式4-2】．（24-25高二下·上海黄浦·月考）若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】求得导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，求得的取值范围. 【详解】∵，∴，     ∵函数在区间上单调递增， ∴在区间上恒成立， 由于在区间上单调递增， ∴必须且只需 解得， 故答案为：. 【题型五】函数的极值 【例5】．已知函数，当时，取得极小值5. (1)求的值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)， (2)1 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）由函数解析式求导，根据可导函数取极值的必要条件，建立方程求得，利用极小值的判别方法进行检验，再根据函数解析式求值，可得答案； （2）由导数与函数单调性的关系，求得导数与零的大小关系，明确函数的单调区间，可得答案． 【详解】（1）由题意函数，当时，取得极小值5， 可得， 所以，得， 此时； 当时，，当时，， 所以在时取极小值，符合题意； 所以，．又，所以． 即实数，； （2）由（1）可得，所以， 令解得或， 、随的变化情况如下表： 1 2 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 而，，由此可得函数的最小值为. 【变式5-1】．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数在处有极小值，则的值为（    ） A．1或3 B．2 C．3 D．1 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据极值点求参数 【分析】由在处有极小值可知，解出的值，并根据单调性验证可求得的值. 【详解】因为，所以． 因为函数在处有极小值， 所以，解得或． 当时，， 当时，或，当时，， 所以在处取到极小值，符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 所以在处取到极大值，不符合题意． 综上，的值为1． 故选：D 【变式5-2】．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是的极小值点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减； (2) 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】(1)利用导数，再构造函数二次求导，即可判断一次导数的正负，确定原函数的单调性； (2)求导数，再分四类进行讨论，即可判断处是否取到极小值点，最终可得参数取值范围. 【详解】（1）当时，函数， 则， 令，易知函数在上是减函数，且， 所以当时，有，即，当时，有，即， 所以在上单调递增，在上单调递减； （2）由已知得：，且， 令，则， 当时，，则在上是减函数，又， 所以当时，有，即，当时，有，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即在时取到极大值，不符合题意，故舍去； 当时，则，令得，， 故在上单调递减， 又，且， 所以当时，有，从而，即在上单调递增， 当时，有，从而，即在上单调递减， 即在时取到极大值，仍不符合题意，故舍去； 当时，则，令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在时取到极小值，也是最小值，所以， 从而有，所以在上单调递增， 又不符合题意，故舍去； 当时，则，令得，， 故在上单调递增， 又，且， 所以当时，有，从而，即在上单调递增， 当时，有，从而，即在上单调递减， 即在时取到极小值，符合题意，故； 综上所述可得实数m的取值范围是 【题型六】函数的最值 【例6】．（25-26高三上·广东广州·月考）已知函数． (1)当，求在区间上的最大值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)6 (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导后分析单调性和端点值可得； （2）求导后分、、三种情况讨论可得. 【详解】（1）当时，，求导得， 因，当或时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值为，又， 故在区间上的最大值为6. （2）因，令或， 则当，即时，，即在上单调递增； 当，即时，由可得或；由可得， 故在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，由可得或；由可得， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上， 当时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式6-1】．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知函数，其中e是自然对数的底数． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）对函数求导，讨论参数研究导数符号，进而确定区间单调性，即可求最大值； （2）问题化为在上恒成立，应用导数研究左侧的单调性和最值，进而得到且，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设且， 当，即时，，即在上单调递增， 此时，函数在区间上的最大值为； 当，即时，得，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 若，即时，函数在区间上的最大值为， 若，即时，函数在区间上的最大值为， 若，即时，函数在区间上的最大值为， 综上，时，区间上最大值为， 时，区间上最大值为， 时，区间上最大值为； （2）由题设在上恒成立， 即在上恒成立， 令，可得， 令，可得，故在上单调递增， 又，故使，则， 对于且，则，故在上单调递增，对应值域为， 对于且，则，故在上单调递减，对应值域为， 显然，，在上有， 综上，， 则，即有，，即有， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上，只需，故. 【变式6-2】．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求的最值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)最小值为，无最大值 (2) 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出导函数并求出单调区间，即可求解其最值. （2）将问题转化为在上恒成立，令，利用导数法求得的最大值，令，利用导数研究其单调性，求出，最后利用单调性求得的取值范围. 【详解】（1）的定义域为，求导得． 则当单调递减；当单调递增， 所以，无最大值． （2）因为在上恒成立，即在上恒成立． 令，则． 因为方程中， 故该方程有两个不相等的根，且，故有且仅有一个正根，记为， 所以，即． 故当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以． 令， 则．故当时，单调递减； 当时，单调递增． 令，解得或，所以． 易知在上单调递增，所以． 又，故的取值范围为． 【题型七】函数中的构造问题 【例7】．已知是函数的导函数，，其中是自然对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，令函数，，求导得， 则函数在R上单调递增，， 而，则，因此有，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 【变式7-1】．已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，且，则的解集为 . 【答案】 【详解】令，可得 因为时，， 所以， 即函数在为单调递增函数， 又因为函数为偶函数，可得， 所以函数为偶函数，所以在为单调递减函数， 因为， 即，可得，即， 解得，即不等式的解集为. 故答案为：. 【变式7-2】．已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】令函数，当时，，即函数在上单调递减， 由为偶函数，得，即函数是奇函数，于是在R上单调递减， 不等式， 因此，解得，所以原不等式的解集是. 故答案为： 【题型八】不等式的恒成立问题 【例8】．（24-25高二下·北京大兴·期中）在下列不等式中，当时，关于x的不等式对任意的不能恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数根据导函数得出函数单调性计算判断A，B，C，应用特殊值计算判断D. 【详解】对于A：令单调递增，所以，所以A恒成立； 对于B：令，所以，所以恒成立，B选项恒成立； 对于C：令所以单调递增，所以， 所以，C选项恒成立； 对于D：取时，，D选项不能恒成立； 故选：D. 【变式8-1】.当时，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】设，对其三次求导后可就、分类讨论后可得参数的取值范围，注意利用局部保号性来讨论. 【详解】∵，则，故， 设，， 设， ， 令， 则 ， 因为，故，而， 故，故为上的增函数， 故， 若，则恒成立，故恒成立，为上的增函数， 故，故为上的增函数， 故即成立, 故成立. 若，则，故存在， 使得，总有即在为减函数， 故，总有，故在为减函数， 故，故，这与题设矛盾. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：不等式成立问题，往往需要构建新函数并结合导数的符号利用单调性来讨论，有时还需要多次求导转化，另外注意结合范围的端点的导数值结合函数值的局部保号性来处理. 【变式8-2】．已知函数，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数证明，将圆不等式转化为对恒成立，设，只需函数在上单调递增，由可得，即可求解. 【详解】设，则（）， 令，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 得，即，即. 由题意，对恒成立， 转化为对恒成立， 设，则对恒成立， 只需函数在上单调递增， 即在上恒成立， 有在上恒成立，得， 即实数a的取值范围为. 故答案为：. 【题型九】不等式的证明问题 【例9】．（2025高三·全国·专题练习）已知函数. 求证：当 时，； 【答案】证明见解析； 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、导数的运算法则 【分析】先对求导，再构造函数，再对求导，可得，即，进而可证不等式成立. 【详解】由函数，可得， 令，可得， 当时，可得，所以在单调递减，且， 所以，即，所以在单调递减，且，所以. 故 时，. 【变式9-1】．（25-26高三上·福建莆田·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，． 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）当时，要证，即证，构造函数，其中，利用导数法证明出即可. 【详解】（1）函数的定义域为，， 设，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 所以函数的增区间为，无减区间. （2）当时，要证，即证， 令，其中，则， 故函数在上单调递增，则，即， 故原不等式得证. 【变式9-2】．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)设，当时，证明． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可； （2）构造新函数，利用导数分析新函数的单调性及最值，通过证明的最小值大于等于零，证明． 【详解】（1）当时，，则. 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）设，则. 因为，所以当时，，所以)在单调递减； 当时，，所以)在单调递增． 所以当时，取得极小值，即最小值，最小值为. 设，则. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以当时，取得极小值，即最小值，最小值为. 即的最小值为0，即. 综上所述，，即. 故得证. 【题型十】函数的零点问题 【例10】．（25-26高三上·广东河源·月考）已知函数在处有极值. (1)求的值； (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）求得，根据，求得，结合函数的单调性和极值点定义，即可求解； （2）由（1）中，函数的单调性，求得的极值，画出函数的图象，转化为函数与的图象有三个公共点，即可图象，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得， 因为在处取极值，可得，解得， 当时，， 当或时，；当，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 故满足在处取极值，所以. （2）解：由（1）知：函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以，， 由于当时，，时，， 时，，当时，， 画出函数的图象，如图所示， 又因为方程有3个实数根时，即函数与的图象有三个公共点， 结合图象，可得， 所以恰有3个零点时，实数的取值范围为. 【变式10-1】．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用导数计算研究函数的单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性及零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）当时，， 所以， 所以当时，，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减， （2）易知，，， 当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增， 又， 所以当时，，所以； 又， 所以在上有零点． 又因为在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点. 【题型一】容易函数的定义域而致错 【例1】．（2025·青海·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案详见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）由题可得切线方程斜率与切线所过点，据此可得答案； （2）分类讨论，两种情况下，的正负性可得单调区间； （3）由题可得，结合单调性，可得，最后由单调性可得答案. 【详解】（1）若，则，． 又，所以， 故曲线在处的切线方程为，即； （2）的定义域为，． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； （3）由，可得， 即， 令，易知单调递增， 由，可得， 则，即． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，因此的取值范围为． 【变式1-1】．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）令，根据导数求得最小值，结合题意即可求解. 【详解】（1）函数的导函数为，所以， 又，所以在处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 由恒成立，得恒成立， 设，则， 当时，，所以函数在区间上单调递减； 当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围是． 【题型二】容易求错复合函数的导数而导致出错 【例2】．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数，则（    ） A．10 B．20 C．60 D．42 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求某点处的导数值、简单复合函数的导数 【分析】求得导函数，令，可求得. 【详解】，则． 故选：C. 【变式2-1】．（24-25高二下·陕西渭南·期末（多选题）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则 【分析】根据函数求导法则求导即可逐项判断. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确； 故选：BCD. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $