清单10 等差数列、等比数列基本量（考点清单，知识导图+2个考点清单+5题型解读+变式训练）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

清单10 等差数列、等比数列基本量（2个考点梳理+5题型解读+变式训练） 【清单01】等差数列 ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）， 那么这个数列就叫做等差数列． ⑵等差中项：若三数成等差数列 ⑶通项公式： 或 ⑷前项和公式： ⑸常用性质： ①若，则； ②下标为等差数列的项，仍组成等差数列； ③数列（为常数）仍为等差数列； ④若、是等差数列，则、 （、是非零常数）、、，…也成等差数列． ⑤单调性：的公差为，则： ⅰ）为递增数列； ⅱ）为递减数列； ⅲ）为常数列； ⑥数列{}为等差数列（p，q是常数） ⑦若等差数列的前项和，则、、… 是等差数列． 【清单02】等比数列 ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列． ⑵等比中项：若三数成等比数列（同号）．反之不一定成立． ⑶通项公式： ⑷前项和公式： ⑸常用性质 ①若，则； ②为等比数列，公比为（下标成等差数列，则对应的项成等比数列） ③数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；正项等比数列；则是公差为的等差数列； ④若是等比数列，则 是等比数列，公比依次是 ⑤单调性： 为递增数列；为递减数列； 为常数列； 为摆动数列； ⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列． ⑦若等比数列的前项和，则、、… 是等比数列． 考点题型1：等差数列及其性质 【典例1-1】（2024·高二·河南漯河·期末）等差数列中，，则其前100项和为（    ） A．5050 B．10010 C．10100 D．11000 【答案】C 【解析】∵， ∴，解得， 所以. 故选：C. 【典例1-2】（2024·高二·河北保定·期末）若数列为等差数列，且，则等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】依题意，. 故选：D 【变式1-1】（2024·高二·云南昆明·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】B 【解析】依题意，. 故选：B 【变式1-2】（2024·高二·陕西渭南·期末）我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同（如图）．已知数列的通项公式为，现将该数列的前项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（    ）    A．60 B．72 C．76 D．80 【答案】C 【解析】由等差数列的性质得，四阶幻方所有数字之和为， 由于每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等， 所以每行的数字之和为. 故选：C. 【变式1-3】（2024·高二·湖南邵阳·期末）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由题可知，，则，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为1， 故选：B． 【变式1-4】（2024·高二·西藏拉萨·期末）记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，化简得， 解得， 所以. 故选：B 【变式1-5】（2024·高二·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（    ） A．0 B．8 C．10 D．19 【答案】A 【解析】因为即，所以数列为等差数列， 因为且，所以，得， 所以. 故选：A. 考点题型2：等比数列及其性质 【典例2-1】（2024·高二·青海·期末）在等比数列中，，，则（   ） A．64 B．128 C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，得，则. 由，得. 所以. 故选：B． 【典例2-2】（2024·高二·河北保定·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为q， 则由，，得， 解得， 故， 故选：B 【变式2-1】（2024·高二·贵州黔南·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为， 因为，可得解得， 所以． 故选：A． 【变式2-2】（2024·高二·江苏南京·期末）数列满足，则数列的前8项和为（      ）. A．63 B．127 C．255 D．256 【答案】C 【解析】由，得， 因此数列是首项为1，公比为2的等比数列， 数列的前8项和为. 故选：C 【变式2-3】（2024·高二·云南保山·期末）设等比数列的前项的和为，若，则的近似值为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【解析】由，得， 则. 故选：C． 【变式2-4】（2024·高二·湖南益阳·期末）已知等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 则. 故选：B 考点题型3：等差等比数列的证明 【典例3-1】（2024·高二·福建三明·期末）某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为，，，… (1)写出，，，并证明数列是等比数列； (2)至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？ 【解析】（1），， ， 因为，所以， 又，所以是首项为3，公比为的等比数列； （2）由（1）得， 故，令，解得， 其中， 所以，所以， 故至少需要在年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元. 【典例3-2】（2024·高二·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 【解析】（1）当时，，解得， 当时，由， 得， 作差得. 所以有，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列 所以，故 （2）令 所以， ， 两式作差得 所以 【变式3-1】（2024·高二·辽宁·期末）已知数列满足． (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)证明： 【解析】（1）因为，所以，且，则， 即，所以数列是首项为，公比为7的等比数列， 所以，则； （2）由（1）可知，， ，即，只有当时，等号成立， 所以，只有当时，等号成立， 当时，，成立， 当时，， 综上可知，. 【变式3-2】（2024·高二·湖南张家界·期末）已知数列是递增数列，其前项和满足. (1)证明：是等差数列； (2)记，数列的前项和为，求. 【解析】（1）当时，，解得， 当时，，则， 即，即 又数列为递增数列， 所以，故， 即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）得， 所以， 则 . 【变式3-3】（2024·高二·广东广州·期末）数列的首项，. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)设， ①当数列的项取得最大值时，求的值； ②求数列的前项和. 【解析】（1）由，可得， 所以，即 又由，可得， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以 则，即数列的通项公式为. （2）①由（1）知，可得， 当时，所以不是最大项， 设第项（）最大，则， 可得，解得，所以数列第项和第项取得最大， ②由， ① 可得，  ② 由①-②得， ， 可得， 即， 所以 . 【变式3-4】（2024·高二·江西鹰潭·期末）已知数列的首项，且. (1)证明：是等比数列. (2)求数列的前n项和. 【解析】（1）因为，所以 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列 （2）由（1）知，则， 所以.. 记， 则， 两式相减得 所以，故 【变式3-5】（2024·高二·河南商丘·期末）在数列中，已知． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解析】（1）由题意知，， 两边同除以，得， ， ，则， 根据等比数列的定义知，是首项为3，公比为3的等比数列， ，； （2）由（1）知，， ，① ，② ①②，得 ， ． 考点题型4：等差等比数列的交汇问题 【典例4-1】（2024·高二·陕西西安·期末）在等差数列中，，，且12是，的等比中项． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【解析】（1）由，得． 因为12是，的等比中项，所以， 则， 则． 设的公差为d，则， 故． （2）由（1）可知， 则． 【典例4-2】（2024·高二·四川攀枝花·期末）已知数列的前项和为，且满足，公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【解析】（1）数列的前项和为，，当时，， 两式相减得，即，由，得， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，； 由是与的等比中项，得，又，则， 整理得，又，解得，于是， 所以数列的通项公式分别为，. （2）由（1）知，， ， 于是， 两式相减得， 所以. 【变式4-1】（2024·高二·安徽滁州·期末）已知公差不为0的等差数列，其前项和为.若，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解析】（1）设的首项为，公差为， ，即.① 又成等比数列，即， 所以. 化简得：.② 联立①②，可得，故. （2），即. . ， . 【变式4-2】（2024·上海长宁·一模）已知数列是公差为2的等差数列，数列为等比数列． (1)若，，，求数列的通项公式： (2)设数列的前n项和为，若，，求． 【解析】（1）由题意得，，. 因为，所以， 解得，所以，， 所以数列的公比为3， 所以数列的通项公式为. （2）∵数列为等差数列，且公差为2， ，， ∴， 解得，故. 【变式4-3】（2024·高二·山东日照·期中）已知公差为正数的等差数列的前项和为，数列为等比数列，且，. (1)求数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列公比为， ， 解得：， ， ， ， ， 两式作差得： . （2）由（1）得：. 则 . 考点题型5：范围与最值问题 【典例5-1】（2024·高二·辽宁本溪·期中）已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，由，得， 则，即， 因为，所以，解得，所以， 所以， 当为奇数时，，所以， 当为偶数时，，所以，所以. 故选：C. 【典例5-2】（2024·高二·辽宁·阶段练习）设数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．成等差数列，公差为 C．当且仅当时，取得最大值 D．时，的最大值为33 【答案】D 【解析】因为， 所以数列是以为公差，32为首项的等差数列， 所以，所以， 所以当时，， 所以， 因为，所以， 对于A，因为， 所以是以为公差的等差数列，所以A错误， 对于B，因为，所以， 所以， 因为， 所以成等差数列，公差为，所以B错误， 对于C，，对称轴为， 因为，所以当或时，取得最大值，所以C错误， 对于D，由，得，且，所以的最大值为33，所以D正确， 故选：D 【变式5-1】（多选题）（2024·高二·四川乐山·期末）已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．最小值为 【答案】BCD 【解析】依题意，，解得， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由，得，即数列前5项均为负数，从第6项起为正数， 因此，D正确. 故选：BCD 【变式5-2】（多选题）（2024·高二·四川成都·期末）已知数列的通项公式为 ，前 项积为 ，则下列说法正确的是（    ） A．在数列中，是最大项 B．在数列中， 是最小项 C．数列单调递减 D．使取得最小值的为 9 【答案】ABD 【解析】，∴当时随着的增大越来越小且小于， 当时随着的增大越来越小且大于，则前项中最大项为，最小项为， 故A，B选项正确； 当时， 当时，,所以数列不是单调递减，C选项错误； 前 n 项积取得最小值时为9，故D选项正确. 故选：ABD. 【变式5-3】（多选题）（2024·高二·安徽滁州·期末）已知等差数列的前项和为，公差，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当取得最小值时，的值为22 D．当时，的最小值为44 【答案】ABD 【解析】因为，所以，所以，又，所以，故A正确；，故B正确；因为，所以该等差数列是递增数列，又，所以当，或时，取得最小值，故C错误；，又，所以，因此的最小值为44，故D正确. 故选：ABD. 【变式5-4】（多选题）（2024·高二·内蒙古·期末）已知公比为的正项等比数列的前项积为，则（    ） A． B．当时， C． D．当，且取得最小值时，只能等于6 【答案】ABC 【解析】由题意，， 在正项等比数列中，， A项，，A正确； B项，当时，因为，所以，可得，B正确； C项，，C正确． D项，当时，因为，所以，则的最小值为或，D错误． 故选：ABC. 【变式5-5】（多选题）（2024·高二·陕西渭南·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大值是 D．数列无最大值 【答案】ABC 【解析】由，，可得为单调递减的数列且， 由可得，. A选项：，显然A正确； B选项：， 根据等比中项可得，显然B正确； C选项：由，为单调递减的数列且， 可知的前2023项（包含2023项）都大于1，从第2024项（包含2024项）往后都小于1， 所以数列中的最大值是，所以C正确； D选项：由C正确可知，有最大值，所以D错误. 故选：ABC. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单10 等差数列、等比数列基本量（2个考点梳理+5题型解读+变式训练） 【清单01】等差数列 ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）， 那么这个数列就叫做等差数列． ⑵等差中项：若三数成等差数列 ⑶通项公式： 或 ⑷前项和公式： ⑸常用性质： ①若，则； ②下标为等差数列的项，仍组成等差数列； ③数列（为常数）仍为等差数列； ④若、是等差数列，则、 （、是非零常数）、、，…也成等差数列． ⑤单调性：的公差为，则： ⅰ）为递增数列； ⅱ）为递减数列； ⅲ）为常数列； ⑥数列{}为等差数列（p，q是常数） ⑦若等差数列的前项和，则、、… 是等差数列． 【清单02】等比数列 ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列． ⑵等比中项：若三数成等比数列（同号）．反之不一定成立． ⑶通项公式： ⑷前项和公式： ⑸常用性质 ①若，则； ②为等比数列，公比为（下标成等差数列，则对应的项成等比数列） ③数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；正项等比数列；则是公差为的等差数列； ④若是等比数列，则 是等比数列，公比依次是 ⑤单调性： 为递增数列；为递减数列； 为常数列； 为摆动数列； ⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列． ⑦若等比数列的前项和，则、、… 是等比数列． 考点题型1：等差数列及其性质 【典例1-1】（2024·高二·河南漯河·期末）等差数列中，，则其前100项和为（    ） A．5050 B．10010 C．10100 D．11000 【典例1-2】（2024·高二·河北保定·期末）若数列为等差数列，且，则等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-1】（2024·高二·云南昆明·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 【变式1-2】（2024·高二·陕西渭南·期末）我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同（如图）．已知数列的通项公式为，现将该数列的前项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（    ）    A．60 B．72 C．76 D．80 【变式1-3】（2024·高二·湖南邵阳·期末）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式1-4】（2024·高二·西藏拉萨·期末）记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-5】（2024·高二·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（    ） A．0 B．8 C．10 D．19 考点题型2：等比数列及其性质 【典例2-1】（2024·高二·青海·期末）在等比数列中，，，则（   ） A．64 B．128 C． D． 【典例2-2】（2024·高二·河北保定·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·高二·贵州黔南·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高二·江苏南京·期末）数列满足，则数列的前8项和为（      ）. A．63 B．127 C．255 D．256 【变式2-3】（2024·高二·云南保山·期末）设等比数列的前项的和为，若，则的近似值为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【变式2-4】（2024·高二·湖南益阳·期末）已知等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 考点题型3：等差等比数列的证明 【典例3-1】（2024·高二·福建三明·期末）某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为，，，… (1)写出，，，并证明数列是等比数列； (2)至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？ 【典例3-2】（2024·高二·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 【变式3-1】（2024·高二·辽宁·期末）已知数列满足． (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)证明： 【变式3-2】（2024·高二·湖南张家界·期末）已知数列是递增数列，其前项和满足. (1)证明：是等差数列； (2)记，数列的前项和为，求. 【变式3-3】（2024·高二·广东广州·期末）数列的首项，. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)设， ①当数列的项取得最大值时，求的值； ②求数列的前项和. 【变式3-4】（2024·高二·江西鹰潭·期末）已知数列的首项，且. (1)证明：是等比数列. (2)求数列的前n项和. 【变式3-5】（2024·高二·河南商丘·期末）在数列中，已知． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 考点题型4：等差等比数列的交汇问题 【典例4-1】（2024·高二·陕西西安·期末）在等差数列中，，，且12是，的等比中项． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【典例4-2】（2024·高二·四川攀枝花·期末）已知数列的前项和为，且满足，公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式4-1】（2024·高二·安徽滁州·期末）已知公差不为0的等差数列，其前项和为.若，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式4-2】（2024·上海长宁·一模）已知数列是公差为2的等差数列，数列为等比数列． (1)若，，，求数列的通项公式： (2)设数列的前n项和为，若，，求． 【变式4-3】（2024·高二·山东日照·期中）已知公差为正数的等差数列的前项和为，数列为等比数列，且，. (1)求数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. 考点题型5：范围与最值问题 【典例5-1】（2024·高二·辽宁本溪·期中）已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【典例5-2】（2024·高二·辽宁·阶段练习）设数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．成等差数列，公差为 C．当且仅当时，取得最大值 D．时，的最大值为33 【变式5-1】（多选题）（2024·高二·四川乐山·期末）已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．最小值为 【变式5-2】（多选题）（2024·高二·四川成都·期末）已知数列的通项公式为 ，前 项积为 ，则下列说法正确的是（    ） A．在数列中，是最大项 B．在数列中， 是最小项 C．数列单调递减 D．使取得最小值的为 9 【变式5-3】（多选题）（2024·高二·安徽滁州·期末）已知等差数列的前项和为，公差，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当取得最小值时，的值为22 D．当时，的最小值为44 【变式5-4】（多选题）（2024·高二·内蒙古·期末）已知公比为的正项等比数列的前项积为，则（    ） A． B．当时， C． D．当，且取得最小值时，只能等于6 【变式5-5】（多选题）（2024·高二·陕西渭南·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大值是 D．数列无最大值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$