专题03 二次函数各代数类考点大综合（期末复习专项训练）九年级数学上学期浙教版

专题03 二次函数各代数类考点大综合 题型1 二次函数的图象 题型6 二次函数的图象与几何变换 题型2 二次函数的性质（重点）（常考点） 题型7 抛物线与x轴的交点 题型3 二次函数与最值（难点） 题型8 二次函数与方程、不等式的关系 题型4 二次函数图象与系数的关系（常考点） 题型9 二次函数的实际应用（重点）（常考点） 题型5 二次函数图象上点的坐标特征（重点） 题型10 二次函数的综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数的图象（共3小题） 1．（2024秋•余杭区校级期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】分当k＞0，b＞0时，当k＞0，b＜0时，当k＜0，b＞0时，当k＜0，b＜0时，四种情况讨论即可． 【解答】解：对于一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的图象， ①当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、三象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，没有选项符合题意； ②当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、三、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，没有选项符合题意； ③当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，选项B符合题意； ④当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象过第二、三、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，没有选项符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数k和b进行分类讨论． 2．（2024春•拱墅区期末）二次函数y＝ax2+ax+c2+1（a，c为常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】求得抛物线的对称轴和与y轴的交点即可判断． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+ax+c2+1（a，c为常数，且a≠0）， ∴对称轴为直线x，在y轴的左侧，与y轴的交点为（0，c2+1）在正半轴， 故图象可能是A． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象，明确对称轴和与y轴的交点位置是解题的关键． 3．（2024秋•嘉兴期末）小华同学根据学习二次函数的经验，用描点法画出了函数的图象．由图象可知，方程的实数根有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据函数图象直接得出结论． 【解答】解：观察函数的图象可知，图象与直线y＝1有3个交点， ∴方程的实数根有3个． 故选：C． 【点评】本题考查函数的图象以及性质，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． 题型二 二次函数的性质（共7小题） 1．（2024秋•滨江区期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 … 当x＝3时，y＝（　　） A．5 B．﹣4 C．﹣3 D．0 【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以求出该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性，即可求得当x＝3对应的函数值． 【解答】解：由表格可得， 该函数的对称轴为直线x1， ∴x＝3和x＝﹣1对应的函数值相等， ∵当x＝﹣1时，y＝0， ∴当x＝3时，y＝0， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2．（2024秋•天台县期末）若点A（1，﹣5），B（5，﹣5）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，则该抛物线的对称轴是（　　） A．直线x＝6 B．直线 C．直线 D．直线x＝3 【分析】由点A、B的纵坐标相等可得出点A、B关于抛物线的对称轴对称，再由点A、B的横坐标即可求出抛物线的对称轴，此题得解． 【解答】解：∵点A（1，﹣5），B（5，﹣5）的纵坐标相等， ∴点A、B关于抛物线对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线x． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，牢记二次函数的性质是解题的关键． 3．（2024秋•义乌市校级期末）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．抛物线的顶点坐标是（1，2） D．当x＞3时，y随x的增大而增大 【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2，且a＝﹣3＜0， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线x＝1，故选项B不符合题意； 顶点坐标是（1，2），故选项C符合题意； 当x＞3时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是关键． 4．（2024秋•拱墅区期末）在直角坐标系中，设函数，．（　　） A．若a＞b，则函数y1和y2的图象有两个交点 B．若函数y1和y2的值互为相反数，则x＝﹣1 C．当x＝1时，函数y1和y2的值相等 D．函数y1和y2的图象必经过同一个定点 【分析】依据题意，对于A，令y1＝y2，从而x2+ax+b＝﹣x2+bx+a，则2x2+（a﹣b）x+b﹣a＝0，进而Δ＝（a﹣b）2﹣8（b﹣a）＝（a﹣b）2+8（a﹣b），结合a＞b，故Δ＝（a﹣b）2+8（a﹣b）＞0，进而可以判断A；又对于B，由函数y1和y2的值互为相反数，从而x2+ax+b+（﹣x2+bx+a）＝0，则（a+b）x+（a+b）＝0，故（a+b）（x+1）＝0，进而a+b＝0或x+1＝0，故可判断B；又对于C，令y1＝y2，则x2+ax+b＝﹣x2+bx+a，从而2x2+（a﹣b）x+b﹣a＝0，又当x＝1时，2+a﹣b+b﹣a＝2≠0，进而可得当x＝1时，函数y1和y2的值不相等，故可判断C；对于D，令y1＝y2，则x2+ax+b＝﹣x2+bx+a，结合A可得，两个图象有两个公共点，且不能确定是不是定点，故可判断D． 【解答】解：由题意，对于A，令y1＝y2， ∴x2+ax+b＝﹣x2+bx+a． ∴2x2+（a﹣b）x+b﹣a＝0． ∴Δ＝（a﹣b）2﹣8（b﹣a） ＝（a﹣b）2+8（a﹣b）． ∵a＞b， ∴Δ＝（a﹣b）2+8（a﹣b）＞0． ∴若a＞b，则函数y1和y2的图象有两个交点，故A正确． 对于B，∵函数y1和y2的值互为相反数， ∴x2+ax+b+（﹣x2+bx+a）＝0． ∴（a+b）x+（a+b）＝0． ∴（a+b）（x+1）＝0． ∴a+b＝0或x+1＝0，故B错误． 对于C，令y1＝y2， ∴x2+ax+b＝﹣x2+bx+a． ∴2x2+（a﹣b）x+b﹣a＝0． 又∵当x＝1时，2+a﹣b+b﹣a＝2≠0， ∴当x＝1时，函数y1和y2的值不相等，故C错误． 对于D，令y1＝y2， ∴x2+ax+b＝﹣x2+bx+a． ∴2x2+（a﹣b）x+b﹣a＝0． ∴结合A可得，两个图象有两个公共点，且不能确定是不是定点，故D错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 5．（2024秋•江北区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0且a，b都是常数）经过点（3，1），且对于符合﹣1＜x1＜0，4＜x2＜5的任意实数x1，x2，其对应的函数值y1，y2始终满足y1y2＜0，则抛物线顶点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】抛物线经过点（3，1）和（0，1），则该抛物线的对称轴为直线x＝1.5．根据题意可知a＜0，y1＞0，y2＜0．点（﹣1，0）关于直线1.5的对称点为（4，0），不妨设该抛物线的函数表达式为 y＝a（x+1）（x﹣4），代入（0，1）求得，进一步即可求得顶点的纵坐标． 【解答】解：∵该抛物线经过点（3，1）和（0，1）， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝1.5． ∴点 （﹣1，0）关于该对称轴对称的点的坐标是（4，0）． ∵对于符合﹣1＜x1＜0，4＜x2＜5的任意实数x1，x2，其对应的函数值y1，y2始终满足y1y2＜0， ∴a＜0，y1＞0，y2＜0， ∴﹣1＜x1＜0，4＜x2＜5的任意实数x1，x2，始终满足y1y2＜0， ∴函数刚好经过（﹣1，0），（4，0）， 设该抛物线的函数表达式为 y＝a（x+1）（x﹣4）． 代入（0，1），得1＝a×（0+1）×（0﹣4）， 解得， ∴当x＝1.5 时，， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，能够理解题意，明确抛物线经过点（﹣1，0）和（4，0）是解题的关键． 6．（2024秋•冷水江市期末）函数y的图象如图所示，若直线y＝x+t与该图象只有一个交点，则t的取值范围为 　 ． 【分析】由y＝x+t与y＝x平行可得当t＞0时，直线y＝x+t与原图象只有一个交点，将y＝x2﹣3x与直线y＝x+t联立方程组，使b2﹣4ac＝0，此时只有一个交点． 【解答】解：∵y＝x+t与y＝x平行， ∴当t＞0时，直线y＝x+t与原图象只有一个交点， 联立， ∴x2﹣3x＝x+t，即，x2﹣4x﹣t＝0， ∵只有一个交点， ∴16+4t＝0， ∴t＝﹣4， ∴t的取值范围为：t＞0或 t＝﹣4． 【点评】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的相关知识是解决本题的关键． 7．（2024秋•仙居县期末）抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝1只有一个交点，且过点A（m+2，n），B（m﹣6，n），则n等于 　 　 ． 【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x＝m﹣2．故设抛物线解析式为y＝2（x﹣m+2）2+1，直接将A（m+2，n）代入，通过解方程来求n的值． 【解答】解：∵抛物线y＝2x2+bx+c过点A（m+2，n），B（m﹣6，n）， ∴对称轴是直线x＝m﹣2． 又∵抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝1只有一个交点， ∴设抛物线解析式为y＝2（x﹣m+2）2+1， 把A（m+2，n）代入，得 n＝2（m+2﹣m+2）2+1＝33，即n＝33． 故答案为：33． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式． 题型三 二次函数与最值（共9小题） 1．（2024秋•长兴县期末）关于二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的最大值或最小值，下列叙述正确的是（　　） A．当x＝2时，y有最大值﹣3 B．当x＝﹣2时，y有最大值﹣3 C．当x＝2时，y有最小值﹣3 D．当x＝﹣2时，y有最小值﹣3 【分析】y＝（x﹣2）2﹣3中a＝1＞0，抛物线开口向上，抛物线的顶点坐标为（2，﹣3）． 【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2﹣3，a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，二次函数有最小值， ∴当x＝2时，二次函数有最小值为﹣3． 故选：C． 【点评】此题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数表达式的三种形式是解决此题的关键． 2．（2024秋•江山市期末）设二次函数y＝x2+bx+2b﹣3，当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣15，则b的值为 　 　 ． 【分析】分三种情况讨论，利用二次函数的性质得到关于b的方程，解方程即可． 【解答】解：二次函数 y＝x2+bx+2b﹣3 的对称轴为x， ①当1即b＞2时，x＝﹣1的函数值最小，y最小＝1﹣b+2b﹣3＝﹣15， 解得b＝﹣13（舍去）； ②当﹣12即﹣4≤b≤2时，x的函数值最小，y最小b22b﹣3＝﹣15， 解得b＝12（舍去）或b＝﹣4， ③当2即b＜﹣4时，x＝2的函数值最小，y最小＝4+2b+2b﹣3＝﹣15， 解得b＝﹣4（舍去）， 综上，b的值为﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，关键是找到分类标准，一般以对称轴对应的值与范围的两个端点值比较大小． 3．（2024秋•杭州期末）已知抛物线（b为常数），直线L：y＝b+4，当时，抛物线的最高点到直线L的距离为2，则b的值是　 　 ． 【分析】依据题意，由抛物线为yx2+bx+4（x﹣b）2b2+4，从而抛物线开口向下，对称轴是直线x＝b，且当x≤b时，y随x的增大而增大，当x＞b时，y随x的增大而减小，再分bb和bb两种情形进行讨论计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线为yx2+bx+4（x﹣b）2b2+4， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝b，且当x≤b时，y随x的增大而增大，当x＞b时，y随x的增大而减小． ①当bb时，则b≤0， ∴当x≤b时，y随x的增大而增大，当b＜xb时，y随x的增大而减小． ∴当x＝b时，y取最大值为yb2+4． ∵抛物线的最高点到直线L的距离为2， ∴|b2+4﹣（b+4）|＝2． ∴b＝1（舍去）或b＝1． ②当bb时，则b＞0， ∴当xb时，y随x的增大而增大． ∴当xb时，y取最大值为yb2+4． ∵抛物线的最高点到直线L的距离为2， ∴|b2+4﹣（b+4）|＝2． ∴b（舍去）或b＝4． 综上，b＝1或b＝4． 故答案为：1或4． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 4．（2024秋•丽水期末）二次函数y＝x2+bx+c中，自变量x与函数y的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 8 5 4 5 8 … 下列结论：①函数y有最大值；②函数图象的开口方向向上；③该函数图象的对称轴是直线x＝0；④当x≤0时，y随x的增大而增大．其中正确的是（　　） A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【分析】把（0，4）、（1，5）点代入二次函数y＝x2+bx+c，即可求得b、c的值，求得二次函数的解析式为y＝x2+4，即可判断①②③④描述的正确与否． 【解答】解：把（0，4）点代入二次函数y＝x2+bx+c， ∴c＝4， 把（1，5）点代入二次函数y＝x2+bx+4， ∴b＝0， ∴二次函数的解析式为：y＝x2+4， ∵a＝1＞0， ∴函数有最小值，故①错误， ∴函数图象开口向上，故②正确， ∴该函数图象对称轴是x0，故③正确， ∴该函数图象当x≤0时，y随x的增大而减小，故④错误． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（2024秋•温州期末）已知二次函数y＝﹣3x2+9．当﹣2≤x≤n时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（　　） A． B．0≤n≤2 C． D． 【分析】先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为n＜0，0≤n≤2和n＞2三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【解答】解：由条件可知：抛物线在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当n＜0时，当﹣2≤x≤n时，y随的x增大而增大， 那么x＝﹣2时取得最小值，x＝n时取得最大值， 最小值为﹣3，最大值为﹣3n2+9， 则可列出方程：﹣3n2+9+3＝12， 解得n＝0， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； ②当0≤n≤2时， 此时 x＝0时取得最大值，x＝2时取得最小值， 最大值为9，最小值为﹣3， 此时最大值与最小值的差为12， 符合题意； ③当n＞2时， 此时x＝0时取得最大值，x＝n时取得最小值， 最大值为9，最小值为﹣3n2+9， 已知最大值与最小值的差为12， 则9+3n2﹣9＝12， 解得n1＝﹣2，n2＝2， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去． ∴综上，得到n的取值范围为：0≤n≤2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2024秋•义乌市校级期末）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（﹣1，﹣3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣3 B．最小值3 C．最大值﹣3 D．最大值3 【分析】把（﹣1，﹣3）代入y＝x2+mx+n确定m，n之间的数量关系，即可得到mn+1＝（m﹣2）2﹣3，根据二次函数的性质即可得到代数式mn+1有最小值﹣3． 【解答】解：把（﹣1，﹣3）代入y＝x2+mx+n得﹣3＝1﹣m+n， ∴n＝m﹣4， ∴mn+1 ＝m（m﹣4）+1 ＝m2﹣4m+1 ＝（m﹣2）2﹣3； 所以mn+1有最小值﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数图象上点的特征．根据二次函数性质确定m，n的数量关系是解答关键． 7．（2024秋•婺城区校级期末）已知点A（m，2m）（m＞2）是二次函数y＝ax2+k（a＞0）图象上一点，当m﹣4≤x≤m时，二次函数的最大值和最小值分别为6和﹣2，则a的值为　 ． 【分析】由A（m，2m）在y＝ax2+k上，可得函数解析式为y＝ax2+2m﹣am2，进而可得二次函数开口向上，对称轴为直线x＝0，结合m＞2知区间m﹣4≤x≤m的中点在对称轴直线x＝0的右侧，故呈现左低右高趋势，再对区间左端点分类讨论即可． 【解答】解：∵把A（m，2m）代入y＝ax2+k中，得2m＝am2+k， 故k＝2m﹣am2，从而函数解析式为y＝ax2+2m﹣am2， ∵a＞0， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线x＝0， ∵m＞2， ∴（m﹣4+m）＝m﹣2＞0，m﹣4＞﹣2， 从而可分为： ①当﹣2＜m﹣4≤0，即2＜m≤4时，函数在x＝m处取得最大值6，在x＝0处取得最小值﹣2， ∴am2+2m﹣am2＝6，解得m＝3，且2m﹣am2＝﹣2， 把m＝3代入2m﹣am2＝﹣2中，解得a； ②当m﹣4＞0，即m＞4时，函数在x＝m处取得最大值6， ∴am2+2m﹣am2＝6，解得m＝3，这与m＞4矛盾，故不成立． 综上可得a． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的增减性，区间最值，结合对称轴对区间进行分类讨论是解题的关键． 8．（2024秋•滨江区期末）课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数y＝（x+t﹣6）（x﹣t+2）的最值问题． （1）当t＝3时，求该二次函数的最值． （2）当t取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由． 【分析】（1）依据题意，当t＝3时，y＝（x+3﹣6）（x﹣3+2）＝（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，从而可以判断得解； （2）依据题意，由y＝（x+t﹣6）（x﹣t+2）＝（x﹣2）2﹣t2+8t﹣16，从而当x＝2时，y取最小值为﹣t2+8t﹣16＝﹣（t﹣4）2，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，当t＝3时，y＝（x+3﹣6）（x﹣3+2）＝（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴当x＝2时，y取最小值为﹣1． （2）小滨的想法正确．理由如下： 由题意，y＝（x+t﹣6）（x﹣t+2）＝（x﹣2）2﹣t2+8t﹣16， ∴当x＝2时，y取最小值为﹣t2+8t﹣16＝﹣（t﹣4）2． ∴这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0． 【点评】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 9．（2024秋•金东区期末）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）． （1）当a＝1时， ①求函数图象的顶点坐标； ②当0＜x＜3时，求y的取值范围； （2）当0＜x＜3时，y≤2． ①若a＜0，求a的最小值； ②若a＞0，求a的最大值． 【分析】（1）①依据题意，将a＝1代入二次函数解析式，即可判断得解； ②依据题意，结合①中的解析式，然后再结合二次函数的图象与性质进行求解即可； （2）①根据a＜0，以及开口方向向下进而可以判断得解； ②根据a＞0得出抛物线的开口方向向上，再结合抛物线的性质进行计算即可． 【解答】解：（1）当a＝1时， ∴y＝（x﹣1）（x﹣2）． ①∵y＝（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2， ∴函数图象的顶点坐标为（）． ②由①得抛物线的对称轴为直线x，且开口向上， 又∵0＜x＜3， ∴当x＝0时，y＝2，当x时，y时， ∴此时y的取值范围是：． （2）由y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）得， 抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（a+1，0）． ∴对称轴是直线xa+1． ∴当xa+1时，y＝a•a•（a）a3； 当x＝0时，y＝a+a2；当x＝3时，y＝﹣2a2+4a． ①当a＜0时，抛物线开口向下． 又当03时，则﹣2＜a＜0， ∴此时二次函数在顶点处取得最大值为a3≤2． ∴a≥﹣2，则﹣2≤a＜0． 当0时，则a≤﹣2， ∴a+a2≤2， ∴﹣2≤a≤1． ∴若a＜0，a的最小值为﹣2． ②当a＞0时，抛物线开口向上， ∴1． ∵当0＜x＜3时，y≤2， ∴． ∴0＜a≤1． ∴若a＞0，a的最大值为1． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 题型四 二次函数图象与系数的关系（共6小题） 1．（2024春•海曙区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①abc＞0；②a+b+c＝2；③；④b＜1． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①∵图象开口向上，与y轴交于负半轴，能得到：a＞0，c＜0， ∵对称轴在y轴左边， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错误； ②当x＝1时，由图象知y＝2， 把x＝1，y＝2代入解析式得：a+b+c＝2，故②正确； ③由图象得，1， ∴b＜2a， 由①②得，a+b+c＝2，c＜0， ∴2＝a+b+c＜a+2a+c＝3a+c， ∴3a+c＞2， ∴a（2﹣c）， ∵c＜0， ∴2﹣c＞2， ∴a， ∴a，故③正确； ④由图象得，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， 由①②得，a+b+c＝2，c＜0， ∴（a+b+c）﹣（a﹣b+c）＞2， ∴2b＞2， ∴b＞1，故④错误； 综上，②③正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数图象与a、b、c的关系是解决本题的关键． 2．（2024秋•温州期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x．对于下列结论：①abc＜0；②2a+c＝0；③am2+bm（a﹣2b）（其中m）；④若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点（﹣2，0）以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点（1，0），利用待定系数法得到b＝a，c＝﹣2a，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②正确，①错误，根据am2+bm＝am2+am＝a（m）2.（a﹣2b）（a﹣2a）a，a＜0，m，可以得到a（m）2＜0，从而得到③正确；根据抛物线的增减性可以判断出④错误，问题得解． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x，且抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0）， 把（﹣2，0），（1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），可得： ， 解得， ∴2a+c＝0，故②正确； ∵抛物线开口方向向下， ∴a＜0， ∴b＝a＜0，c＝﹣2a＞0， ∴abc＞0，故①错误； ∵am2+bm＝am2+am＝a（m）2.（a﹣2b）（a﹣2a）a， ∴am2+bm（a﹣2b）＝a（m）2， 又∵a＜0，m， ∴a（m）2＜0， 即am2+bm（a﹣2b）（其中m），故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线x，且抛物线开口朝下， ∴当x时，y随x的增大而减小， ∵x1＞x2＞1， ∴y1＜y2，故④错误， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是关键． 3．（2024秋•仙居县期末）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点是（1，0）．下列结论正确的是（　　） A．16a+c＞4b B．16a+c＜4b C．16a+c＝4b D．16a+c与4b的大小关系不确定 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，求出抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0），由抛物线性质结合函数图象得出结论． 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0）， ∵抛物线开口向下， ∴当x＝﹣4时，y＜0， ∴16a﹣4b+c＜0， ∴16a+c＜4b， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，关键是掌握二次函数的性质． 4．（2024秋•金东区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x＝﹣2时判定②，由抛物线图象性质判定④． 【解答】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确； ②x＝﹣2时，函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0，故正确； ③与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），则对称轴，故a＝﹣b，即a+b＝0，故③正确； ④当x时，图象位于对称轴左边，y随x的增大而增大．故④错误； 综上所述，正确的为①②③，有3个． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 5．（2024秋•鄞州区期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的正半轴交于点A（m，0），m＜3，与y轴的负半轴交于点B，对称轴为直线x＝1．其中判断错误的是（　　） A．3a+c＞0 B．若点P（4，2n），Q（﹣1，4n+2）在图象上，则n＜﹣1 C．3b＜2c D．若点P（1+2k，2n），Q（1﹣2k，4n+2）在图象上，则a﹣c≥2 【分析】根据二次函数的性质逐项分析判断即可． 【解答】解：由条件可知， ∴， ∵A（m，0），m＜3， 结合函数图象可知，当x＝3时，抛物线上的点在A点右侧，一定在x轴的上方， 当x＝3时，y＝a×32+b×3+c＞0，即9a+3b+c＞0， 将b＝﹣2a代入9a+3b+c＞0可得， 9a+3（﹣2a）+c＞0 3a+c＞0，故选项A正确； 由条件可知Q（﹣1，4n+2）关于对称轴直线x＝1的对称点的坐标为（3，4n+2）， 则点（3，4n+2）和P（4，2n）都在对称轴右侧，但n＜﹣1时，点P不在抛物线上， 故选项B错误； 将代入3a+c＞0可得， ， ， ， 2c＞3b， 即3b＜2c，故选项C正确， ∵， ∴P（1+2k，2n），Q（1﹣2k，4n+2）在抛物线上关于对称轴对称， ∴2n＝4n+2， ∴n＝﹣1， ∴P（1+2k，﹣2），Q（1﹣2k，﹣2）， ∴抛物线顶点坐标的纵坐标小于或等于﹣2， 当x＝1时，y＝a+b+c≤﹣2， 将b＝﹣2a代入a+b+c≤1可得，a﹣2a+c≤﹣2， ∴﹣a+c≤﹣2 ∴a﹣c≥2，故选项D正确， 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握该知识点是关键． 6．（2024秋•丽水期末）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2（m为常数）． （1）若函数图象经过点（2，4），求二次函数的表达式； （2）当1≤x≤3时，y有最大值为﹣5，求m的值； （3）若点A（m﹣3，p），B（﹣2m，q）都在该函数的图象上，当p＞q时，求m的取值范围． 【分析】（1）把（2，4）点代入y＝x2﹣2mx+2中，即可求的m的值； （2）求得二次函数y＝x2﹣2mx+2的对称轴是直线x＝m，分m≥3时、m≤1、2≤m≤3、当1≤m≤2四种情况，代入最大值时x＝1或x＝3时，y有最大值，即可求得m的取值； （3）把点A（m﹣3，p），B（﹣2m，q）代入y＝x2﹣2mx+2中，得﹣m2+11＞8m2+2，即可求得m的取值范围． 【解答】解：（1）把（2，4）点代入y＝x2﹣2mx+2中， ∴4﹣4m+2＝4， ∴m， ∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣x+2； （2）二次函数y＝x2﹣2mx+2的对称轴是直线x＝m， 当m≥3时，1≤x≤3时，y随x的增大而减小， ∴x＝1时y取最大值，解得m＝4， 当m≤1时，1≤x≤3时，y随x的增大而增大， ∴当x＝3时y取最大值，解得m， ∴当m≤1时，m值不存在， 当2≤m≤3时，x＝1时y取最大值，解得m＝4， ∴当2≤m≤3时，m值不存在， 当1≤m≤2时，当x＝3时y取最大值，解得m， ∴当1≤m≤2时，m值不存在， 综上所述：m＝4； （3）把点A（m﹣3，p），B（﹣2m，q）代入y＝x2﹣2mx+2中， （m﹣3）2﹣2m×（m﹣3）+2＝p，（﹣2m）2﹣2m×（﹣2m）+2＝q， ∵p＞q， ∴﹣m2+11＞8m2+2， ∴﹣1＜m＜1． 【点评】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的极值，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键． 题型五 二次函数图象上点的坐标特征（共6小题） 1．（2024秋•镇海区期末）已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（4，y3）在抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+k（k为常数）上，则下列结论正确的是（　　） A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+k（k为常数）图象开口向下，对称轴是直线x＝1， A（﹣3，y1）点距离对称轴4个单位长度， B（﹣1，y2）点距离对称轴2个单位长度， C（4，y3）点距离对称轴3个单位长度， 根据开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可得：y2＞y3＞y1． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是关键． 2．（2024秋•越城区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，﹣m），B（1，m），C（﹣2，n），D（3，m），其中m，n为常数，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，由B（1，m），D（3，m）可知抛物线的对称轴为直线x＝2，从而2，则b＝﹣4a，又由题意可得，c＝﹣m，a+b+c＝m，4a﹣2b+c＝n，从而a﹣4a﹣m＝m，可得am，bm，最后可得n＝4a﹣2b+cmm﹣m＝﹣9m，进而可以判断得解． 【解答】解：由B（1，m），D（3，m）可知抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴2． ∴b＝﹣4a． 又由题意可得，c＝﹣m，a+b+c＝m，4a﹣2b+c＝n． ∵a﹣4a﹣m＝m． ∴am，bm． ∴n＝4a﹣2b+cmm﹣m＝﹣9m． ∴． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 3．（2024秋•温州期末）二次函数y＝x2+2x+3的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当t＞﹣1时，y2＞y1＞0 B．当﹣3＜t＜﹣1时，y1＞y2＞0 C．当﹣5＜t＜﹣3时，y2＜y1＜0 D．当t＜﹣5时，y1＜y2＜0 【分析】根据解析式可得对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口向上，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＝﹣1时，函数有最小值2，然后根据图象和性质判断即可． 【解答】解：∵二次函数为y＝x2+2x+3， ∴对称轴是直线x1， 又∵抛物线开口向上， ∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＝﹣1时，函数有最小值1﹣2+3＝2， 当t＞﹣1时，﹣1＜t＜t+4， ∴y2＞y1＞2＞0，故选项A符合题意； 当﹣3＜t＜﹣1时，1＜t+4＜3， ∴y2＞y1＞0，故选项D不符合题意； 当﹣5＜t＜﹣3时，﹣1＜t+4＜1， ∴y1＞y2＞0，故选项C不符合题意； 当t＜﹣5时，t＜t+4＜﹣1， ∴y1＞y2＞0，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键． 4．（2024秋•东阳市期末）如图，在网格中标记了4个格点，已知网格的单位长度为1，若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中的3个格点，则a的最大值为（　　） A． B．1 C． D． 【分析】根据二次函数的性质，开口向上，a为正值，开口越小，a值越大，建立平面直角坐标系，求出a值即可． 【解答】解：∵二次函数图象开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数的开口越小，a值越大， ∴如图，建立平面直角坐标系， ∵A（﹣1，0），B（2，0），C（1，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上， ∴， 解得：a，b，c＝﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 5．（2024秋•义乌市校级期末）已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣5（b＞0）上有A（t，y1），B（3，y2），C（t+2，y1）三点，且y1＞y2＞﹣5，则t的取值范围是 　 　 ． 【分析】依据题意，由﹣1＜0，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，又抛物线过A（t，y1），C（t+2，y1），可得对称轴是直线xt+1，又y1＞y2＞﹣5，且抛物线过（0，﹣5），故|t+1﹣0|＞|t+1﹣3|＞|t+1﹣t|，再分类讨论判断即可得解． 【解答】解：由题意，∵﹣1＜0， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 又∵抛物线过A（t，y1），C（t+2，y1）， ∴对称轴是直线xt+1． 又∵y1＞y2＞﹣5，且抛物线过（0，﹣5）， ∴|t+1﹣0|＞|t+1﹣3|＞|t+1﹣t|． ∴|t+1|＞|t﹣2|＞1． ①当t＞2时，t+1＞t﹣2＞1， ∴t＞3； ②当﹣1≤t≤2时，t+1＞2﹣t＞1， ∴t＜1； ③当t＜﹣1时，﹣t﹣1＞2﹣t＞1， ∴无解； 综上所述，t＜1或t＞3． 故答案为：t＜1或t＞3． 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 6．（2024秋•杭州期末）已知二次函数的图象经过点A（x1，y1），B（2，y2），若y1＞y2，则x1的取值范围是 　 　 ． 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵二次函数（x+1）2+2， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴B（2，y2）关于对称轴的对称点为（﹣4，y2）， ∵点A（x1，y1），B（2，y2）在抛物线上，且y1＞y2， 根据距离对称轴越远，函数值越小可得： x1的取值范围为：﹣4＜x1＜2． 故答案为：﹣4＜x1＜2． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握抛物线的对称性是关键． 题型六 二次函数的图象与几何变换（共4小题） 1．（2025春•镇海区期末）将函数y＝x2+4的图象向右平移3个单位，所得的二次函数解析式是（　　） A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝x2+7 C．y＝（x+3）2+4 D．y＝x2+1 【分析】依据题意，由函数y＝x2+4的图象向右平移3个单位，从而根据“左加右减”的平移规律即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵函数y＝x2+4的图象向右平移3个单位， ∴根据“左加右减”的平移规律可得，平移后二次函数解析式是y＝（x﹣3）2+4． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是关键． 2．（2024秋•新昌县期末）抛物线y＝x2﹣2向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得到的抛物线是（　　） A．y＝（x+1）2﹣5 B．y＝（x+1）2+1 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣5 【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握函数平移规律是解题的关键．根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可． 【解答】解：抛物线y＝x2﹣2先向左平移1一个单位得到解析式：y＝（x+1）2﹣2再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y＝（x+1）2+1． 故选：B． 【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 3．（2024秋•永康市期末）已知抛物线C1：y1＝x2+2x+1经过平移后得到抛物线C2：y2＝x2+2x﹣1．若抛物线C1上点P的坐标是（m，n），则点P平移后的对应点Q的坐标是（　　） A．（m，n+2） B．（m﹣2，n） C．（m，n﹣2） D．（m﹣2，n﹣2） 【分析】先将两个解析式配方成顶点式，得到平移规律，即可得到点Q的坐标． 【解答】解：y1＝x2+2x+1＝（x+1）2；y2＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2． ∴y1＝x2+2x+1经过向下平移2个单位后得到抛物线C2：y2＝x2+2x﹣1． ∴抛物线C1上点P的坐标是（m，n），则点P平移后的对应点Q的坐标是（m，n﹣2）． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 4．（2024秋•钱塘区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）． （1）若抛物线经过点（﹣6，4），求该抛物线的对称轴． （2）若将抛物线上的点（﹣3，﹣5）先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式． （3）若抛物线的对称轴为直线，点（﹣1，m），（1，n）在抛物线上，求证：mn≤18． 【分析】（1）将点（﹣6，4）代入抛物线解析式，得出关于a，b的等式，再结合抛物线对称轴的公式即可解决问题． （2）先求出平移之后的点，再将点（﹣3，﹣5）和平移之后的点代入函数解析式即可． （3）先根据抛物线的对称轴得出a，b之间的关系，再用a分别表示出m和n，最后表示出mn，再进行配方即可解决问题． 【解答】（1）解：由题知， 将（﹣6，4）代入y＝ax2+bx+4得： 36a﹣6b+4＝4， 则b＝6a， 所以抛物线的对称轴为直线x． （2）解：由题知， 将点（﹣3，﹣5）先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，所得点的坐标为（﹣1，﹣1）， 则， 解得， 所以抛物线的解析式为y＝x2+6x+4． （3）证明：因为抛物线的对称轴为直线x， 所以， 则b＝﹣3a， 所以抛物线的解析式可表示为y＝ax2﹣3a+4． 将（﹣1，m）和（1，n）分别代数抛物线的解析式得： m＝4a+4，n＝﹣2a+4， 所以mn＝（4a+4）（﹣2a+4）＝﹣8a2﹣8a+16＝﹣8（）2+18， 因为0， 所以﹣8（）2+18≤18， 即mn≤18． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 题型七 抛物线与x轴交点（共6小题） 1．（2024秋•湖州期末）小吴用描点法画二次函数y＝x2+bx﹣3图象时，得到了如下表格，则方程x2+bx＝3的其中一个解是（　　） x …… 1 2 3 4 …… y＝x2+bx﹣3 …… ﹣4 ﹣3 0 5 …… A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据x2+bx＝3，得到x2+bx﹣3＝0，推出当y＝0时，x＝3，于是得到结论． 【解答】解：∵x2+bx＝3， ∴x2+bx﹣3＝0， ∴当y＝0时，x＝3， 即方程x2+bx＝3的其中一个解是x＝3， 故选：B． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，把原方程化为x2+bx﹣3＝0是解题的关键． 2．（2024秋•婺城区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … ﹣3 0 2 … y … 15 0 0 … 则关于x的方程ax2+bx＝15的解为（　　） A．x1＝﹣3，x2＝5 B．x1＝﹣3，x2＝3 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝2 【分析】由表格可知，二次函数y＝ax2+bx图象的对称轴为直线x1，图象经过点（﹣3，15），结合抛物线的对称性可得二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（5，15），则可得关于x的方程ax2+bx＝15的解为x1＝﹣3，x2＝5． 【解答】解：由表格可知，二次函数y＝ax2+bx图象的对称轴为直线x1，图象经过点（﹣3，15）， ∴二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（5，15）， ∴关于x的方程ax2+bx＝15的解为x1＝﹣3，x2＝5． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2024秋•江山市期末）如图，二次函数y＝ax2﹣4ax+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣4ax+m＝0（m为常数）的两实数根是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝﹣5 D．x1＝1，x2＝3 【分析】由题意得，抛物线的对称轴为直线x2，则二次函数y＝ax2﹣4ax+m（m为常数）的图象与x轴的另一个交点为（5，0），即可得关于x的一元二次方程ax2﹣4ax+m＝0（m为常数）的两实数根是x1＝﹣1，x2＝5． 【解答】解：二次函数y＝ax2﹣4ax+m（m为常数）的图象的对称轴为直线x2， ∵二次函数y＝ax2﹣4ax+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0）， ∴二次函数y＝ax2﹣4ax+m（m为常数）的图象与x轴的另一个交点为（5，0）， ∴关于x的一元二次方程ax2﹣4ax+m＝0（m为常数）的两实数根是x1＝﹣1，x2＝5． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．（2024秋•柯桥区期末）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上一点，连结AP交BC于点D，连结AC，CP，记△ACD的面积为S1，△PCD的面积为S2，则的最大值为（　　） A． B． C． D．1 【分析】先将转化为，再过点P作x轴的平行线交BC的延长线于点M，利用相似三角形的性质将转化为，再借助点P坐标表示出即可解决问题． 【解答】解：由题知，， 如图，过点P作x轴的平行线交BC的延长线于点M， ∵PM∥x轴， ∴△PMD∽△ABD， ∴． 由，得A（﹣1，0），B（4，0）， ∴AB＝4﹣（﹣1）＝5． 将x＝0代入，得：y＝3， ∴点C的坐标为（0，3）． 令直线BC的函数解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线BC的函数解析式为yx+3． ∵x2x+3， 令点P坐标为（m，m2m+3）， 则yMx2x+3， ∴xM＝3﹣（m2m+3）m2m， 则PM＝m﹣（m2m）m2m， ∴m2m， 则当m时， 有最大值为：（）2， 即的最大值为． 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、抛物线与x轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 5．（2024秋•婺城区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c+3＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个相等实数根 【分析】大致画出抛物线与直线y＝﹣3的交点，然后根据交点位置判断关于x的方程ax2+bx+c+3＝0的根的情况． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣3有2个交点，并且两交点的横坐标都为正数，如图， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的正实数解． 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，把抛物线与直线的交点个数转化为方程根的个数是解决问题的关键． 6．（2024秋•西湖区期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）的图象经过点（1，﹣4）． （1）求a的值和二次函数的对称轴． （2）若把该函数图象向上平移m（m＞0）个单位长度后与x轴恰好只有一个交点，求m的值． 【分析】（1）把已知点的坐标代入y＝ax2﹣2ax﹣3中可求出a＝1，则二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3，然后利用配方法得到y＝（x﹣1）2﹣4，从而得到二次函数图象的对称轴； （2）根据抛物线的几何变换得到平移后的函数图象的解析式为y＝x2﹣2x﹣3+m，再根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3+m）＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：（1）把（1，﹣4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3得﹣4＝a﹣2a﹣3， 解得a＝1， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴二次函数图象的对称轴为直线x＝1； （2）该函数图象向上平移m（m＞0）个单位长度后所得函数图象的解析式为y＝x2﹣2x﹣3+m， ∵平移后的二次函数图象与x轴只有一个交点， ∴关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3+m＝0有2个相等的实数解， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3+m）＝0， 解得m＝4， 即m的值为4． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 题型八 抛物线与方程、不等式的关系（共4小题） 1．（2024秋•温岭市期末）如表是函数y＝2x2﹣3x﹣6的部分自变量与对应的函数值： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y ﹣1 ﹣0.28 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程2x2﹣3x﹣6＝0的一个解x可能的取值范围是（　　） A．2.5＜x＜2.6 B．2.6＜x＜2.7 C．2.7＜x＜2.8 D．2.8＜x＜2.9 【分析】根据表格可知二次函数y＝2x2﹣3x﹣6与x轴一个交点在直线x＝2.6和直线x＝2.7之间，则方程2x2﹣3x﹣6＝0的一个解x的范围是2.6＜x＜2.7． 【解答】解：由表格可知，当x＝2.6时，y＝﹣0.28＜0，当x＝2.7，y＝0.48＞0， ∴二次函数y＝2x2﹣3x﹣6与x轴一个交点在直线x＝2.6和直线x＝2.7之间， ∴方程2x2﹣3x﹣6＝0的一个解x的范围是2.6＜x＜2.7． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程与二次函数之间的关系，正确记忆二次函数的性质是解题关键． 2．（2024秋•路桥区期末）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A，B两点，它们的横坐标分别为﹣1和4，则不等式ax2+c﹣kx﹣b＜0的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞4 C．x＜﹣1或x＞4 D．﹣1＜x＜4 【分析】根据函数与不等式的关系求解． 【解答】解：由图象得：当﹣1＜x＜4时，ax2+c＜kx+b，即ax2+c﹣kx﹣b＜0， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 3．（2024秋•义乌市期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c≥0的解集为　 　 ． 【分析】由抛物线的对称性可得二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为（3，0），再结合图象可得答案． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴不等式ax2+bx+c≥0的解集为﹣5≤x≤3． 故答案为：﹣5≤x≤3． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组）、抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 4．（2024秋•平湖市校级期末）已知抛物线y＝a（x+1）2+b经过点P（x1，y1），Q（x2，y2），且|x1+1|＜|x2+1|，则下列不等式一定成立的是（　　） A．y1﹣y2＞0 B．y1﹣y2＜0 C．a（y1﹣y2）＞0 D．a（y1﹣y2）＜0 【分析】根据解析式推出对称轴为直线x＝﹣1，再根据|x1+1|＜|x2+1|推出a＞0与a＜0时，y1与y2的大小即可求解． 【解答】解：由y＝a（x+1）2+b可知对称轴为直线x＝﹣1， ∵抛物线经过点P（x1，y1），Q（x2，y2），且|x1+1|＜|x2+1|， ①当a＞0时，抛物线开口向上，且|x1+1|＜|x2+1|， ∴y1＜y2，即y1﹣y2＜0， ∴a（y1﹣y2）＜0； ②当a＜0时，抛物线开口向下，且|x1+1|＜|x2+1|， ∴y1＞y2，即y1﹣y2＞0， ∴a（y1﹣y2）＜0， 综上分析，a（y1﹣y2）＜0． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握性质并学会应用是解题的关键． 题型九 二次函数的实际应用（共5小题） 1．（2024秋•温州期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线ACB）的薄壳屋顶．已知它的拱宽AB为4米，拱高CO为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣0.2x2+0.8 B．y＝﹣0.2x2﹣0.8 C．y＝0.2x2+0.8 D．y＝﹣0.2x+0.4 【分析】由AB，OC的长，可得出点A，B，C的坐标，再利用待定系数法，即可求出图②中的抛物线的解析式． 【解答】解：设图②中的抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∵AB＝4，CO＝0.8， ∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，0.8）， 将A（﹣2，0），B（2，0），C（0，0.8）代入y＝ax2+bx+c，得： ， 解得：， ∴图②中的抛物线的解析式为y＝﹣0.2x2+0.8． 故选：A． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式以及待定系数法求二次函数解析式，构造坐标系，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键． 2．（2024秋•北仑区期末）如图，某游乐园要建造一个直径为30m的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心6m处达到最高，高度为9m，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（　　） A．5m B．6m C．7m D．8m 【分析】由待定系数法求出函数表达式，即可求解． 【解答】解：由题意得，抛物线顶点的坐标为：（6，9），点C（15，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣6）2+9， 将点C的坐标代入上式得：0＝a（15﹣6）2+9，则a， 则抛物线的表达式为：y（x﹣6）2+9， 当x＝0时，y＝5（cm）， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 3．（2024秋•慈溪市期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在100～150元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 　 　 元时，客房的日营业收入最大． 【分析】首先设宾馆客房租金每间日租金提高x个10元，以及客房租金总收入为y．，建立y与x的关系式，并通过二次函数求解最大值． 【解答】解：设宾馆客房租金每间日租金提高x个10元， 将有6x间客房空出，客房租金总收入为y． 由题意可得： y＝（100+10x）（120﹣6x）（10≤x≤50且x是整数）． ＝60（﹣x2+10x+200） ＝﹣60（x﹣5）2+13500 当x＝5时，ymax＝13500． 因此每间租金100+10×5＝150元时，客房租金总收入最高，日租金13500元． 故答案为：150． 【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，通过实际问题，抽象出函数模型，并通二次函数计算最大值，考查对知识的综合运用能力，属于中档题． 4．（2024秋•路桥区期末）如图，小明从离地面高度为1.5m的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+2，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的.现在地上摆放一个底面半径为0.3m，高为0.42m的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（　　） A．3.7 B．4.1 C．5.5 D．5 【分析】依据题意，先把点A坐标代入y＝a（x﹣1）2+2求出a，令y＝0，解方程求出点B坐标，再根据弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，且两条抛物线形状相同，可以设弹力球第一次着地后的抛物线解析式为y（x﹣h）2，再把点B坐标代入解析式求出h，然后令y＝0.42，解方程求出x，再根据框的底面直径求出框最左端距离原点的取值范围，从而得出结论． 【解答】解：∵点A（0，1.5）是抛物线y＝a（x﹣1）2+2的起点， ∴1.5＝a（0﹣1）2+2． ∴a． ∴第一次着地前抛物线的解析式为y（x﹣1）2+2， 当y＝0时，（x﹣1）2+2＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1（舍去）． ∴点B的坐标为（3，0）． ∵两条抛物线是形状相同的两条抛物线，且着地后抛物线的高度是着地前抛物线高度的， ∴设弹力球第一次着地后的抛物线解析式为y（x﹣h）2， 将点B代入该解析式， ∴h1＝4，h2＝2（舍去）． ∴弹力球第一次着地后的抛物线解析式为y（x﹣4）2； ∵弹力球第一次着地后的抛物线的对称轴为直线x＝4， ∵点B的横坐标为3， ∴点B到第一次着地后的抛物线的对称轴的距离为4﹣3＝1． ∴点C的横坐标为3+1+1＝5． ∴点C（5，0）． ∴弹力球第二次着地点到点O的距离为5m； ∵圆柱形水桶的高为0.42m， ∴当y＝0.42时，（x﹣4）20.42， 解得x1＝3.6（舍去）．x2＝4.4， ∵筐的底面半径为0.3m，直径为0.6m， ∴当弹力球恰好落入框内，框的最左端到原点的距离s的取值范围为4.4﹣0.6≤s≤4.4，即3.8≤s≤4.4． 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解一元二次方程，平移，掌握二次函数的性质以及平移的性质是解题关键． 5．（2024秋•新昌县期末）某玩具店销售一款玩具，已知该玩具成本为20元，经试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系式：y＝﹣x+50，为了保证利润，规定20＜x＜50． （1）当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为多少？（销售额＝销售量××销售单价） （2）求销售该玩具每天的利润w（元）的最大值． （3）该店为响应“助力防控，回馈社会”活动，决定每卖出一个玩具就捐赠a元（1≤a≤5），若每天扣除捐款后仍可获最大利润196元，则a的值为多少？ 【分析】（1）先求出x＝30时y的值，再根据“销售额＝销售量×销售单价”计算即可； （2）根据“利润＝（销售单价﹣成本）×销售量”列出w与x之间的函数关系式，再根据抛物线的顶点的坐标，结合x的范围即可求出w的最大值． （3）设每天扣除捐款后的利润为z，根据“利润＝（销售单价﹣成本﹣a）×销售量”列出z与x之间的函数关系式，再根据抛物线的顶点的坐标，可得时，，结合a的范围即可求出a的值． 【解答】解：（1）当x＝30元时，y＝﹣30+50＝20（件）， 30×20＝600（元）， 答：当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为600元； （2）w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+50）＝﹣x2+70x﹣1000＝﹣（x﹣35）2+225， ∵20＜x＜50， ∴当x＝35时，y最大＝225． 答：销售该玩具每天的利润最大值为225元； （3）设每天扣除捐款后的利润为z， 则z＝﹣x2+（70+a）x﹣1000﹣50a， 当时，z达到最大值．将代入得： 即， 即， ∴， ∴或， ∴a1＝2，a2＝58， ∵1≤a≤5， ∴a＝2． 答：a的值为2． 【点评】本题考查了二次函数的应用、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型十 二次函数的综合（共6小题） 1．（2024秋•滨江区期末）已知点（x1，m），（x2，n），（x3，p）均在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，若n＝c﹣a，则（　　） A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，则n≥m≥p B．若n≥m≥p，则|x1﹣x2|≤|x3﹣x2| C．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，则n≥m≥p D．若n≥m≥p，则|x1﹣x2|≥|x3﹣x2| 【分析】依据题意，由二次函数为y＝ax2+2ax+c，从而对称轴是直线x1，又（x2，n）在二次函数y＝ax2+2ax+c上，且n＝c﹣a，故x2＝﹣1，则（x2，n）为二次函数的顶点，进而结合二次函数的性质逐个判断可以得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝ax2+2ax+c， ∴对称轴是直线x1． 又∵（x2，n）在二次函数y＝ax2+2ax+c上，且n＝c﹣a， ∴x2＝﹣1． ∴（x2，n）为二次函数的顶点． ∴①当|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|时，点（x1，m）到顶点的距离比（x3，p）到顶点的距离小，则若a＞0时，则n≤m≤p；若a＜0时，则n≥m≥p； ②当|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|时，点（x1，m）到顶点的距离比（x3，p）到顶点的距离大，则若a＞0时，则n≤p≤m；若a＜0时，则n≥p≥m； ③若n≥m≥p，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 2．（2024秋•杭州期末）已知二次函数y＝x2+bx+c图象与x轴只有一个交点，且图象过（2，n）和（2m，n）两点，设p＝m+n，则（　　） A．p的最小值为 B．p的最小值为1 C．p的最大值为 D．p的最大值为1 【分析】由抛物线与x轴只有一个交点可得c，由抛物线的对称性可得对称轴为直线1+m，可用含m的代数式表示b，进而得出函数为y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，代入（2，n）得含m的代数式表示n，进一步得出p＝m+n＝m2﹣m+1＝（m）2，利用二次函数的性质即可求得p有最小值． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点， ∴b2﹣4c＝0， ∴c， ∴y＝x2+bx， ∵抛物线经过过（2，n）和（2m，n）两点， ∴抛物线对称轴为直线1+m， ∴1+m， ∴b＝﹣2﹣2m， ∴y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2， 代入（2，n）得，n＝4﹣4（m+1）+（m+1）2＝（m﹣1）2， ∴p＝m+n＝m2﹣m+1＝（m）2， ∴当m时，p有最小值． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 3．（2024秋•义乌市期末）如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为0.3m，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的距离可以不大于0.3m，即图中AP≤0.3m，BQ≤0.3m，则最多可安装支撑杆 　 　 条． 【分析】令y＝0，求出x的值，然后结合实际情况得出结论． 【解答】解：令y＝0，则x2+2＝0， 解得x＝2或x＝﹣2， ∴AB＝4， ∵相邻支撑杆之间的距离为0.3m，AP≤0.3m，BQ≤0.3m， ∴在y轴右侧x＝0.15，0.45，0.75，1.05，1.35，1.65，1.95共7条， 同理在y轴左侧最多安装7条， ∴最多可安装支撑杆14条， 故答案为：14． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是利用数形结合的思想解答． 4．（2024秋•湖州期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，则下列说法中正确的是（　　） ①当ac＜0时，则方程ax2+bx+c＝0有两个不同的实数根； ②若二次函数的图象过点（2，c），则该图象的对称轴为直线x＝﹣1； ③当a＞0时，若二次函数的图象与x轴负半轴交于A（m，0）和B（n，0），且m＜n，方程﹣3x＝ax2+bx+c的解为x1＝p，x2＝q，若p＜q，则有m＜p＜q＜n． ④当a＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+c图象与一次函数y＝x图象有两个交点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜2＜x2，则2b+c＞4． A．①② B．①④ C．①③ D．③④ 【分析】利用根的判别式即可判断①；利用二次函数的对称性即可判断②；根据题意画出图象，结合图象即可判断③；若a＝﹣1，则二次函数为y＝﹣x2+bx+c，可得抛物线开口向下，又图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且x1＜2＜x2，从而可得当x＝2时，y＝﹣4+2b+c＞0，进而可以判断④． 【解答】解：①∵ac＜0， ∴b2﹣4ac＞0， ∴二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点， ∴方程ax2+bx+c＝0有两个不同的实数根，故正确； ②∵x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c， ∴二次函数的图象过点（0，c）， ∵二次函数的图象过点（2，c）， ∴图象的对称轴为直线x1，故错误； ③当a＞0时，二次函数的图象开口向上， ∵二次函数的图象与x轴负半轴交于A（m，0）和B（n，0），且m＜n，方程﹣3x＝ax2+bx+c的解为x1＝p，x2＝q，且p＜q， ∴二次函数的图象与直线y＝﹣3x交点的横坐标为p、q， 如图， 由图象可知p＜m＜n＜q，故c错误； ④若a＝﹣1，则二次函数为y＝﹣x2+bx+c， ∴抛物线开口向下． 又图象与直线y＝x有两个交点（x1，y1），（x2，y2），y1，y2均为非负数，且x1＜2＜x2， ∴当x＝2时，y＝﹣4+2b+c＞0． ∴2b+c＞4，故正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，正比例函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 5．（2024秋•宁波期末）小雨同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于x轴对称的图象，得到新的图象G（如图所示）．若点A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在图象G上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 【分析】由图象可得，函数图象关于点（1，0）中心对称，结合题意可得y1+y2+y3+……+y19+y20＝y10+y20，求出y10＝0，，即可得解． 【解答】解：∵这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1， ∴， ∴y1+y19＝0，y2+y18＝0，……， ∴y1+y2+y3+⋯⋯+y19+y20＝y10+y20， ∵A10（1，y10），A20（2，y20）， ∴当x＝1时，y10＝0，当x＝2时，， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了中心对称、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是关键． 6．（2024秋•柯桥区期末）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，a、b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … ﹣1 0 1 2 … y … p 1 q 1 … （1）若p＝4时，求二次函数的表达式； （2）当﹣1≤x≤4时，y有最小值为﹣1，求a的值； （3）求2p﹣q2的最大值． 【分析】（1）依据题意，由图象过（0，1），（2，1），从而对称轴是直线x1，可得1，则b＝﹣2a，故二次函数为y＝ax2+bx+1＝ax2﹣2ax+1，又图象过（﹣1，4），即4＝a+2a+1，进而a＝1，最后可以得解； （2）依据题意，抛物线的对称轴是直线x＝1，则b＝﹣2a，再分a＞0和a＜0讨论即可判断得解； （3）依据题意，抛物线的对称轴是直线x1，从而b＝﹣2a，又p＝a﹣b+1，q＝a+b+1，故p＝3a+1，q＝﹣a+1，则2p﹣q2＝2（3a+1）﹣（﹣a+1）2＝﹣（a﹣4）2+17，最后可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵图象过（0，1），（2，1）， ∴对称轴是直线x1． ∴1． ∴b＝﹣2a． ∴二次函数为y＝ax2+bx+1＝ax2﹣2ax+1． 又图象过（﹣1，4）， ∴4＝a+2a+1． ∴a＝1． ∴二次函数为y＝x2﹣2x+1． （2）由题意，抛物线的对称轴是直线x＝1． ∴b＝﹣2a． ①当a＞0时，∵﹣1≤x≤4， ∴当x＝1时，y取最小值为a+b+1＝a﹣2a+1＝﹣1． ∴a＝2． ②当a＜0时， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小． ∵﹣1≤x≤4， ∴当x＝4时，y取最小值为16a+4b+1＝16a﹣8a+1＝﹣1． ∴a． 综上，a＝2或a． （3）由题意，抛物线的对称轴是直线x1， ∴b＝﹣2a． 又∵p＝a﹣b+1，q＝a+b+1， ∴p＝3a+1，q＝﹣a+1． ∴2p﹣q2＝2（3a+1）﹣（﹣a+1）2 ＝6a+2﹣a2+2a﹣1 ＝﹣a2+8a+1 ＝﹣（a﹣4）2+17． ∴当a＝4时，2p﹣q2的最大值为17． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． $专题03 二次函数各代数类考点大综合 题型1 二次函数的图象 题型6 二次函数的图象与几何变换 题型2 二次函数的性质（重点）（常考点） 题型7 抛物线与x轴的交点 题型3 二次函数与最值（难点） 题型8 二次函数与方程、不等式的关系 题型4 二次函数图象与系数的关系（常考点） 题型9 二次函数的实际应用（重点）（常考点） 题型5 二次函数图象上点的坐标特征（重点） 题型10 二次函数的综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数的图象（共3小题） 1．（2024秋•余杭区校级期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•拱墅区期末）二次函数y＝ax2+ax+c2+1（a，c为常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•嘉兴期末）小华同学根据学习二次函数的经验，用描点法画出了函数的图象．由图象可知，方程的实数根有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 二次函数的性质（共7小题） 1．（2024秋•滨江区期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 … 当x＝3时，y＝（　　） A．5 B．﹣4 C．﹣3 D．0 2．（2024秋•天台县期末）若点A（1，﹣5），B（5，﹣5）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，则该抛物线的对称轴是（　　） A．直线x＝6 B．直线 C．直线 D．直线x＝3 3．（2024秋•义乌市校级期末）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．抛物线的顶点坐标是（1，2） D．当x＞3时，y随x的增大而增大 4．（2024秋•拱墅区期末）在直角坐标系中，设函数，．（　　） A．若a＞b，则函数y1和y2的图象有两个交点 B．若函数y1和y2的值互为相反数，则x＝﹣1 C．当x＝1时，函数y1和y2的值相等 D．函数y1和y2的图象必经过同一个定点 5．（2024秋•江北区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0且a，b都是常数）经过点（3，1），且对于符合﹣1＜x1＜0，4＜x2＜5的任意实数x1，x2，其对应的函数值y1，y2始终满足y1y2＜0，则抛物线顶点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•冷水江市期末）函数y的图象如图所示，若直线y＝x+t与该图象只有一个交点，则t的取值范围为 　 ． 7．（2024秋•仙居县期末）抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝1只有一个交点，且过点A（m+2，n），B（m﹣6，n），则n等于 　 　 ． 题型三 二次函数与最值（共9小题） 1．（2024秋•长兴县期末）关于二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的最大值或最小值，下列叙述正确的是（　　） A．当x＝2时，y有最大值﹣3 B．当x＝﹣2时，y有最大值﹣3 C．当x＝2时，y有最小值﹣3 D．当x＝﹣2时，y有最小值﹣3 2．（2024秋•江山市期末）设二次函数y＝x2+bx+2b﹣3，当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣15，则b的值为 　 　 ． 3．（2024秋•杭州期末）已知抛物线（b为常数），直线L：y＝b+4，当时，抛物线的最高点到直线L的距离为2，则b的值是　 　 ． 4．（2024秋•丽水期末）二次函数y＝x2+bx+c中，自变量x与函数y的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 8 5 4 5 8 … 下列结论：①函数y有最大值；②函数图象的开口方向向上；③该函数图象的对称轴是直线x＝0；④当x≤0时，y随x的增大而增大．其中正确的是（　　） A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 5．（2024秋•温州期末）已知二次函数y＝﹣3x2+9．当﹣2≤x≤n时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（　　） A． B．0≤n≤2 C． D． 6．（2024秋•义乌市校级期末）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（﹣1，﹣3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣3 B．最小值3 C．最大值﹣3 D．最大值3 7．（2024秋•婺城区校级期末）已知点A（m，2m）（m＞2）是二次函数y＝ax2+k（a＞0）图象上一点，当m﹣4≤x≤m时，二次函数的最大值和最小值分别为6和﹣2，则a的值为　 ． 8．（2024秋•滨江区期末）课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数y＝（x+t﹣6）（x﹣t+2）的最值问题． （1）当t＝3时，求该二次函数的最值． （2）当t取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由． 9．（2024秋•金东区期末）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）． （1）当a＝1时， ①求函数图象的顶点坐标； ②当0＜x＜3时，求y的取值范围； （2）当0＜x＜3时，y≤2． ①若a＜0，求a的最小值； ②若a＞0，求a的最大值． 题型四 二次函数图象与系数的关系（共6小题） 1．（2024春•海曙区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①abc＞0；②a+b+c＝2；③；④b＜1． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 2．（2024秋•温州期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x．对于下列结论：①abc＜0；②2a+c＝0；③am2+bm（a﹣2b）（其中m）；④若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024秋•仙居县期末）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点是（1，0）．下列结论正确的是（　　） A．16a+c＞4b B．16a+c＜4b C．16a+c＝4b D．16a+c与4b的大小关系不确定 4．（2024秋•金东区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024秋•鄞州区期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的正半轴交于点A（m，0），m＜3，与y轴的负半轴交于点B，对称轴为直线x＝1．其中判断错误的是（　　） A．3a+c＞0 B．若点P（4，2n），Q（﹣1，4n+2）在图象上，则n＜﹣1 C．3b＜2c D．若点P（1+2k，2n），Q（1﹣2k，4n+2）在图象上，则a﹣c≥2 6．（2024秋•丽水期末）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2（m为常数）． （1）若函数图象经过点（2，4），求二次函数的表达式； （2）当1≤x≤3时，y有最大值为﹣5，求m的值； （3）若点A（m﹣3，p），B（﹣2m，q）都在该函数的图象上，当p＞q时，求m的取值范围． 题型五 二次函数图象上点的坐标特征（共6小题） 1．（2024秋•镇海区期末）已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（4，y3）在抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+k（k为常数）上，则下列结论正确的是（　　） A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1 2．（2024秋•越城区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，﹣m），B（1，m），C（﹣2，n），D（3，m），其中m，n为常数，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•温州期末）二次函数y＝x2+2x+3的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当t＞﹣1时，y2＞y1＞0 B．当﹣3＜t＜﹣1时，y1＞y2＞0 C．当﹣5＜t＜﹣3时，y2＜y1＜0 D．当t＜﹣5时，y1＜y2＜0 4．（2024秋•东阳市期末）如图，在网格中标记了4个格点，已知网格的单位长度为1，若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中的3个格点，则a的最大值为（　　） A． B．1 C． D． 5．（2024秋•义乌市校级期末）已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣5（b＞0）上有A（t，y1），B（3，y2），C（t+2，y1）三点，且y1＞y2＞﹣5，则t的取值范围是 　 　 ． 6．（2024秋•杭州期末）已知二次函数的图象经过点A（x1，y1），B（2，y2），若y1＞y2，则x1的取值范围是 　 　 ． 题型六 二次函数的图象与几何变换（共4小题） 1．（2025春•镇海区期末）将函数y＝x2+4的图象向右平移3个单位，所得的二次函数解析式是（　　） A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝x2+7 C．y＝（x+3）2+4 D．y＝x2+1 2．（2024秋•新昌县期末）抛物线y＝x2﹣2向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得到的抛物线是（　　） A．y＝（x+1）2﹣5 B．y＝（x+1）2+1 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣5 3．（2024秋•永康市期末）已知抛物线C1：y1＝x2+2x+1经过平移后得到抛物线C2：y2＝x2+2x﹣1．若抛物线C1上点P的坐标是（m，n），则点P平移后的对应点Q的坐标是（　　） A．（m，n+2） B．（m﹣2，n） C．（m，n﹣2） D．（m﹣2，n﹣2） 4．（2024秋•钱塘区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）． （1）若抛物线经过点（﹣6，4），求该抛物线的对称轴． （2）若将抛物线上的点（﹣3，﹣5）先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式． （3）若抛物线的对称轴为直线，点（﹣1，m），（1，n）在抛物线上，求证：mn≤18． 题型七 抛物线与x轴交点（共6小题） 1．（2024秋•湖州期末）小吴用描点法画二次函数y＝x2+bx﹣3图象时，得到了如下表格，则方程x2+bx＝3的其中一个解是（　　） x …… 1 2 3 4 …… y＝x2+bx﹣3 …… ﹣4 ﹣3 0 5 …… A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2024秋•婺城区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … ﹣3 0 2 … y … 15 0 0 … 则关于x的方程ax2+bx＝15的解为（　　） A．x1＝﹣3，x2＝5 B．x1＝﹣3，x2＝3 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝2 3．（2024秋•江山市期末）如图，二次函数y＝ax2﹣4ax+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣4ax+m＝0（m为常数）的两实数根是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝﹣5 D．x1＝1，x2＝3 4．（2024秋•柯桥区期末）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上一点，连结AP交BC于点D，连结AC，CP，记△ACD的面积为S1，△PCD的面积为S2，则的最大值为（　　） A． B． C． D．1 5．（2024秋•婺城区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c+3＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个相等实数根 6．（2024秋•西湖区期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）的图象经过点（1，﹣4）． （1）求a的值和二次函数的对称轴． （2）若把该函数图象向上平移m（m＞0）个单位长度后与x轴恰好只有一个交点，求m的值． 题型八 抛物线与方程、不等式的关系（共4小题） 1．（2024秋•温岭市期末）如表是函数y＝2x2﹣3x﹣6的部分自变量与对应的函数值： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y ﹣1 ﹣0.28 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程2x2﹣3x﹣6＝0的一个解x可能的取值范围是（　　） A．2.5＜x＜2.6 B．2.6＜x＜2.7 C．2.7＜x＜2.8 D．2.8＜x＜2.9 2．（2024秋•路桥区期末）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A，B两点，它们的横坐标分别为﹣1和4，则不等式ax2+c﹣kx﹣b＜0的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞4 C．x＜﹣1或x＞4 D．﹣1＜x＜4 3．（2024秋•义乌市期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c≥0的解集为　 　 ． 4．（2024秋•平湖市校级期末）已知抛物线y＝a（x+1）2+b经过点P（x1，y1），Q（x2，y2），且|x1+1|＜|x2+1|，则下列不等式一定成立的是（　　） A．y1﹣y2＞0 B．y1﹣y2＜0 C．a（y1﹣y2）＞0 D．a（y1﹣y2）＜0 题型九 二次函数的实际应用（共5小题） 1．（2024秋•温州期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线ACB）的薄壳屋顶．已知它的拱宽AB为4米，拱高CO为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣0.2x2+0.8 B．y＝﹣0.2x2﹣0.8 C．y＝0.2x2+0.8 D．y＝﹣0.2x+0.4 2．（2024秋•北仑区期末）如图，某游乐园要建造一个直径为30m的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心6m处达到最高，高度为9m，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（　　） A．5m B．6m C．7m D．8m 3．（2024秋•慈溪市期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在100～150元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 　 　 元时，客房的日营业收入最大． 4．（2024秋•路桥区期末）如图，小明从离地面高度为1.5m的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+2，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的.现在地上摆放一个底面半径为0.3m，高为0.42m的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（　　） A．3.7 B．4.1 C．5.5 D．5 5．（2024秋•新昌县期末）某玩具店销售一款玩具，已知该玩具成本为20元，经试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系式：y＝﹣x+50，为了保证利润，规定20＜x＜50． （1）当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为多少？（销售额＝销售量××销售单价） （2）求销售该玩具每天的利润w（元）的最大值． （3）该店为响应“助力防控，回馈社会”活动，决定每卖出一个玩具就捐赠a元（1≤a≤5），若每天扣除捐款后仍可获最大利润196元，则a的值为多少？ 题型十 二次函数的综合（共6小题） 1．（2024秋•滨江区期末）已知点（x1，m），（x2，n），（x3，p）均在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，若n＝c﹣a，则（　　） A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，则n≥m≥p B．若n≥m≥p，则|x1﹣x2|≤|x3﹣x2| C．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，则n≥m≥p D．若n≥m≥p，则|x1﹣x2|≥|x3﹣x2| 2．（2024秋•杭州期末）已知二次函数y＝x2+bx+c图象与x轴只有一个交点，且图象过（2，n）和（2m，n）两点，设p＝m+n，则（　　） A．p的最小值为 B．p的最小值为1 C．p的最大值为 D．p的最大值为1 3．（2024秋•义乌市期末）如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为0.3m，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的距离可以不大于0.3m，即图中AP≤0.3m，BQ≤0.3m，则最多可安装支撑杆 　 　 条． 4．（2024秋•湖州期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，则下列说法中正确的是（　　） ①当ac＜0时，则方程ax2+bx+c＝0有两个不同的实数根； ②若二次函数的图象过点（2，c），则该图象的对称轴为直线x＝﹣1； ③当a＞0时，若二次函数的图象与x轴负半轴交于A（m，0）和B（n，0），且m＜n，方程﹣3x＝ax2+bx+c的解为x1＝p，x2＝q，若p＜q，则有m＜p＜q＜n． ④当a＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+c图象与一次函数y＝x图象有两个交点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜2＜x2，则2b+c＞4． A．①② B．①④ C．①③ D．③④ 5．（2024秋•宁波期末）小雨同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于x轴对称的图象，得到新的图象G（如图所示）．若点A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在图象G上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 6．（2024秋•柯桥区期末）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，a、b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … ﹣1 0 1 2 … y … p 1 q 1 … （1）若p＝4时，求二次函数的表达式； （2）当﹣1≤x≤4时，y有最小值为﹣1，求a的值； （3）求2p﹣q2的最大值． $