专题44：随机变量的分布与特征 常用分布讲义（3大考点+10大题型） -2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题44 随机变量的分布与特征 常用分布 知识点1 随机变量的分布与特征 1.随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 2.随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 3.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 4.随机变量的均值(数学期望)与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值(数学期望) 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的平均水平. (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度. 5.均值(数学期望)与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 知识点2 常用分布 1.二项分布 (1)伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). ②若X~B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 2.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 3.正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2). (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X~N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 考点一 随机变量的分布 题型01：随机变量分布列的性质 1.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（   ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 2.(2025上海高三阶段练习）设随机变量的概率分布列如下表： 1 2 3 4 则________ 3.(2025上海高三阶段练习）设离散型随机变量的分布列为： 则________ 4.(2025上海徐汇高三三模）随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________. 题型02：求随机变量的分布列 5．(2025上海高三阶段练习）一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球. (1)求取出的3个球恰有一个红球的概率； (2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列. 6．(2025上海闵行区高三三模）在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球． (1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； (2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列． 7．(2025上海徐汇高三阶段练习）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 考点二 随机变量的期望与方差 题型03：随机变量的期望 8.已知随机变量的分布列为： X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 则等于______ 9.(2025上海高三阶段练习）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 若，则___________. 10．一个质点从数轴上的原点0开始移动，通过抛掷一枚质地均匀的硬币决定质点向左或者向右移动.若硬币正面向上，则质点向右移动一个单位；若硬币反面向上，则质点向左移动一个单位.抛掷硬币8次后，质点所在位置对应数轴上的数记为随机变量 X. (1)求质点位于位置2且移动过程中始终位于0的右侧的概率； (2)求随机变量 X 的分布列和数学期望 E(X)． 11．(2025上海宝山高三三模）某学校高三年级组织“人工智能”知识竞赛，竞赛试题有，两类（每类试题的数量足够多），竞赛分两轮答题依次进行．其竞赛规则为： 第一轮，从类试题中任选一道作答，若正确，进入第二轮答题；若错误，再从类试题中另选一道作答，若正确，同样进入第二轮答题；否则，结束比赛． 第二轮，从类试题中任选一道作答，若正确，则竞赛成功；若错误，再从类试题中另选一道作答，若正确，同样竞赛成功；否则，竞赛失败． 已知学生甲每次正确回答类问题的概率为，正确回答类问题的概率为，每次答题相互独立． (1)求学生甲竞赛成功的概率； (2)记学生甲回答试题的数量为，求的分布列及数学期望． 题型04：随机变量的方差 12．（2025·上海长宁·二模）已知随机变量的分布是，则其方差 ． 13.(2025上海高三阶段练习）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则_________ 14.（2025·上海静安·二模）已知随机变量服从二项分布，若，则的值为　　． 15.(2025上海高三阶段练习）已知随机变量X的分布列是： 若，则_______ 16．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下： X 1 2 3 P a b 2b—a 则的最大值为_______ 17．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如表所示，且． X 0 1 x P p (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 18．(2025上海高三阶段练习）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由. 19．某校将开展“古诗词””知识竞赛，经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生．现准备了个不同问题进行测试，甲、乙两名学生都能正确回答其中的个问题，且甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都相互独立．评委会设计了两种测试方案： 方案一：从装有个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取个问题作答； 方案二：从装有个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取个问题作答． 假设甲同学选择方案一，乙同学选择方案二． (1)求乙同学答对问题个数的分布列和均值； (2)若测试过程中答对个问题得分，答错扣分．你认为哪位学生得分高？哪位学生发挥更稳定？请说明理由． 20．甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.5，乙赢机器人的概率为0.4．求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列； (2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及其均值和方差． 考点三 常用分布 题型05：二项分布 【方法点拨】 根据题目条件，结合二项分布的期望与方差公式，进行转化求解即可. 21.(2025上海高三阶段练习）已知随机变量X服从二项分布X～B（4，），则P（X＝2）＝______ 22.设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P（η≥2）的值为______ 23.设随机变量X服从二项分布X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则p＝______ 24．（2024·上海虹口·二模）已知随机变量，且，则 . 25.(2025上海高三阶段练习）已知随机变量ξ～B（100，），则当P（ξ＝k）取得最大值时，k的值为_____ 题型06：二项分布的实际应用 【方法点拨】 利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤： (1)根据题意设出随机变量； (2)分析随机变量是否服从二项分布； (3)若服从二项分布，则求出参数n和p的值； (4)根据需要列出相关式子并解决问题. 26．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）某种植户对一块地上的（）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种. （1）当取何值时，有3个坑要补种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当时，用表示要补种的坑的个数，求的分布列. 27．（2025·上海普陀·二模）某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. (1)现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率； (2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望． 28．（2024·上海闵行·二模）ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个. (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率； (3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差. 题型07：超几何分布的分布列 29.下列随机变量X中，不服从超几何分布的是（　　） A．在含有4件次品的15件产品中，任取3件，其中正品数和次品数的差为X B．在6个黑球和3个白球中，任取4个球，其中黑球的个数为X C．在20个乒乓球中，有12个正品和8个次品，从中任取4个，其中次品的个数为X D．从24名男生和16名女生中，任选10名学生，其中女生的人数为X 30.(2025上海高三阶段练习）袋中有6个白球、3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． （1）若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X，求X的分布列； （2）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列． 31.现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列． 32.在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求： （1）取出的3个球中红球的个数X的分布列； （2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率． 题型08：超几何分布的实际应用 33．（2024·上海长宁·二模）盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球； (1)从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率； (2)从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为，求的分布、期望与方差； 34．（23-24高三下·上海浦东新·期中）某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图. (1)若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元； (2)若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少； (3)为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案.方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响.中奖1次当天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折.若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由. 题型09：正态分布 35.当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时，正态曲线N（0，σ2）的图象如图所示， 则下列选项中正确的是（　　） A．σ1＜σ2＜σ3 B．σ1＜σ3＜σ2 C．σ2＜σ1＜σ3 D．σ3＜σ2＜σ1 36.已知正态密度曲线的函数关系式是f（x）e，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）e（x∈R），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（　　） A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 37.已知正态分布密度函数φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞），以下关于正态曲线的说法错误的是（　　） A．曲线与x轴之间的面积为1 B．曲线在x＝μ处达到峰值 C．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移 D．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖” 38．（2025·上海闵行·二模）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为 ．（精确到） 39．（2025·上海青浦·模拟预测）已知随机变量，若，则 . 40．（2024·上海青浦·二模）设随机变量服从正态分布，若，则实数 ． 41．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则 . 42．（2024·上海杨浦·二模）某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．350 B．400 C．450 D．500 43．（2024·上海松江·二模）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 44．（2024·上海普陀·二模）已知，若，则 . 45．（2024·上海静安·二模）某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为 ． 46．（2024·上海黄浦·二模）随机变量服从正态分布，若，则 . 47．（2025·上海嘉定·二模）已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了 %的学生（精确到0.1%）．（参考数据：） 题型10：正态分布的实际应用 48．（2025·上海徐汇·二模）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布. (1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）； (2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）. 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数. 49．（2024·上海虹口·二模）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件） 5 21 46 25 3 (1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. （i）求抽取的零件为废品的概率； （ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则. 50．（2024·上海金山·二模）有标号依次为1，2，…，(，)的个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止． (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)设号盒子中红球个数为随机变量，求的分布及，并猜想的值（无需证明此猜想）． 2．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； (2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 【答案】(1)，事件相互独立； (2)分布列见解析，271元. 【详解】（1）由给定的数表知，，，， 而，因此事件相互独立， 所以，事件相互独立. （2）设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色， 依题意，；； ，则， 因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖； 外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的可能值为：， 奖金额的分布列： 600 300 150 奖金额的期望（元）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题44 随机变量的分布与特征 常用分布 知识点1 随机变量的分布与特征 1.随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 2.随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 3.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 4.随机变量的均值(数学期望)与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值(数学期望) 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的平均水平. (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度. 5.均值(数学期望)与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 知识点2 常用分布 1.二项分布 (1)伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). ②若X~B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 2.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 3.正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2). (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X~N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 考点一 随机变量的分布 题型01：随机变量分布列的性质 1.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（   ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选：D． 2.(2025上海高三阶段练习）设随机变量的概率分布列如下表： 1 2 3 4 则________ 【解析】根据随机变量分布列的概率分布列知，，解得．又，∴或，则． 3.(2025上海高三阶段练习）设离散型随机变量的分布列为： 则________ 【解析】由题意，有，且，，解得， 4.(2025上海徐汇高三三模）随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________. 【答案】1024 【解析】由题意. 故答案为：1024. 题型02：求随机变量的分布列 5．(2025上海高三阶段练习）一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球. (1)求取出的3个球恰有一个红球的概率； (2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析. 【详解】（1）设取出的3个球恰有一个红球为事件A， 则 （2）随机变量X可能取值为0,1,2, ，，， 故X的分布列为： X 0 1 2 P 6．(2025上海闵行区高三三模）在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球． (1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； (2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）设事件A为“取球放球结束后袋子里白球的个数为2”， 则取出的2个球没有白球，得， 所以取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率为． （2）依题意，随机变量的取值为1，2，3， ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 7．(2025上海徐汇高三阶段练习）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）设事件A为“小张被选入医疗救援队”， 则. （2）由题意，X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 考点二 随机变量的期望与方差 题型03：随机变量的期望 8.已知随机变量的分布列为： X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 则等于______ 【解析】由随机变量的分布列，可得期望， 所以. 9.(2025上海高三阶段练习）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 若，则___________. 【答案】 【解析】由随机变量分布列的性质，得，解得， ∴. 由，得，即.故答案为： . 10．一个质点从数轴上的原点0开始移动，通过抛掷一枚质地均匀的硬币决定质点向左或者向右移动.若硬币正面向上，则质点向右移动一个单位；若硬币反面向上，则质点向左移动一个单位.抛掷硬币8次后，质点所在位置对应数轴上的数记为随机变量 X. (1)求质点位于位置2且移动过程中始终位于0的右侧的概率； (2)求随机变量 X 的分布列和数学期望 E(X)． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）设硬币正面向上记为1，反面向上记为0，则样本空间有个基本事件， 设质点位于位置2且移动过程中始终位于0的右侧为事件A，则其包含“11111000，11110100，11110010，11110001，11101100，11101010，11101001，11100110，11100101，11011100，11011010，11011001，11010110，11010101”共14个基本事件， 则. （2）随机变量的可能取值为：， 则，， ，， ，， ，，， 所以分布列为： 0 2 4 6 8 数学期望. 11．(2025上海宝山高三三模）某学校高三年级组织“人工智能”知识竞赛，竞赛试题有，两类（每类试题的数量足够多），竞赛分两轮答题依次进行．其竞赛规则为： 第一轮，从类试题中任选一道作答，若正确，进入第二轮答题；若错误，再从类试题中另选一道作答，若正确，同样进入第二轮答题；否则，结束比赛． 第二轮，从类试题中任选一道作答，若正确，则竞赛成功；若错误，再从类试题中另选一道作答，若正确，同样竞赛成功；否则，竞赛失败． 已知学生甲每次正确回答类问题的概率为，正确回答类问题的概率为，每次答题相互独立． (1)求学生甲竞赛成功的概率； (2)记学生甲回答试题的数量为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）记事件“学生甲先答对类一道试题”，“学生甲继续答对另一道类试题”， “学生甲答对乙类试题”，“学生甲继续答对类试题”， 则，， 则学生甲竞赛成功的概率为. （2）由题意，的所有取值为, 则， , ， 所以的分布列为： 2 3 4 则. 题型04：随机变量的方差 12．（2025·上海长宁·二模）已知随机变量的分布是，则其方差 ． 【答案】/ 【分析】利用方差公式可求方差. 【详解】的期望为， 故， 故答案为： 13.(2025上海高三阶段练习）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则_________ 【解析】由，解得 由随机变量的分布列的性质得，得 所以 14.（2025·上海静安·二模）已知随机变量服从二项分布，若，则的值为　　． 【解析】，则． 15.(2025上海高三阶段练习）已知随机变量X的分布列是： 若，则_______ 16．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下： X 1 2 3 P a b 2b—a 则的最大值为_______ 【解析】，只需求的最大值即可，根据题意：，，， 所以， 当时，其最大值为，故的最大值为． 17．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如表所示，且． X 0 1 x P p (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【解析】（1）由题意可知，解得， 又∵，解得． ∴． （2）∵， ∴． （3）∵， ∴． 18．(2025上海高三阶段练习）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望； (3)，理由见解析 【详解】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场. 设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则. （2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场， 分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场， 分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以的所有可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 所以. （3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛， 而甲、乙、丙获胜的场数服从二项分布， 所以，，， 故. 19．某校将开展“古诗词””知识竞赛，经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生．现准备了个不同问题进行测试，甲、乙两名学生都能正确回答其中的个问题，且甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都相互独立．评委会设计了两种测试方案： 方案一：从装有个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取个问题作答； 方案二：从装有个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取个问题作答． 假设甲同学选择方案一，乙同学选择方案二． (1)求乙同学答对问题个数的分布列和均值； (2)若测试过程中答对个问题得分，答错扣分．你认为哪位学生得分高？哪位学生发挥更稳定？请说明理由． 【答案】(1)分布列答案见解析，均值为 (2)甲、乙得分相同，但乙发挥更为稳定，理由见解析 【详解】（1）乙同学答对问题的个数为，由题意可知随机变量的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. （2）甲同学答对问题的个数为，则， 由二项分布的期望和方差公式得，， 甲回答问题得分为， 所以，甲得分的均值为， 方差为， 由（1）知，， 所以乙同学回答问题得分为， 所以乙得分的均值为， 方差为， 因为，， 所以，甲、乙得分相同，但乙发挥更为稳定. 20．甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.5，乙赢机器人的概率为0.4．求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列； (2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及其均值和方差． 【答案】(1)答案见解析 (2)分布列见解析；期望为， 【详解】（1）X的可能取值为：， ，，， X的分布列为 X 0 3 P 0.2 0.5 0.3 （2）Y的可能取值为：， 由（1）得，，， ，， ， Y的分布列为： Y 0 3 6 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 所以， . 考点三 常用分布 题型05：二项分布的性质与计算 【方法点拨】 根据题目条件，结合二项分布的期望与方差公式，进行转化求解即可. 21.(2025上海高三阶段练习）已知随机变量X服从二项分布X～B（4，），则P（X＝2）＝______ 【解题思路】根据二项分布X～B（4，），表示4次独立重复试验，每次实验成功概率为，计算P（x＝2）表示4次试验中恰有两次成功的概率． 【解答过程】解：随机变量X服从二项分布X～B（4，），则P（X＝2）． 22.设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P（η≥2）的值为______ 【解题思路】根据随机变量ξ～B（2，p），，写出概率的表示式，求出其中P的值，把求得的P的值代入η～B（4，p），求出概率． 【解答过程】解：∵随机变量ξ～B（2，p），， ∴1p0•（1﹣p）2， ∴p， ∴η～B（4，）， ∴P（η≥2）， 23.设随机变量X服从二项分布X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则p＝______ 【解题思路】利用二项分布的数学期望公式以及方差公式，列出方程组求解即可． 【解答过程】解：因为随机变量X服从二项分布X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28， 所以E（X）＝np＝1.6，D（X）＝np（1﹣p）＝1.28， 解得p＝0.2． 24．（2024·上海虹口·二模）已知随机变量，且，则 . 【答案】12 【分析】利用二项分布方差和期望的公式求解即可. 【详解】随机变量， ， ， 则. 故答案为：12 25.(2025上海高三阶段练习）已知随机变量ξ～B（100，），则当P（ξ＝k）取得最大值时，k的值为_____ 【解题思路】根据二项分布，独立重复试验的概率求解得出P（ξ＝k）（）k（1）100﹣k（）100，转化为取最大值，得出不等式组，且求解即可，利用k∈N，选择答案． 【解答过程】解：∵随机变量ξ～B（100，）， ∴k＝0，1，2，3，…100． ∴P（ξ＝k）（）k（1）100﹣k（）100 ∴当P（ξ＝k）取得最大值时，即取最大值， ∵，且， ∴， ∵k∈N， ∴K＝50， 故选：B． 题型06：二项分布的实际应用 【方法点拨】 利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤： (1)根据题意设出随机变量； (2)分析随机变量是否服从二项分布； (3)若服从二项分布，则求出参数n和p的值； (4)根据需要列出相关式子并解决问题. 26．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）某种植户对一块地上的（）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种. （1）当取何值时，有3个坑要补种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当时，用表示要补种的坑的个数，求的分布列. 【解析】（1）由题意可知每个坑要补种的概率，则个坑中有3个坑要补种的概率为. 欲使最大，只需 解得.因为，所以，6. 当时，， 当时，， 所以当或时，有3个坑要补种的概率最大，最大概率. （2）易知的取值范围为，且， 因此， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 27．（2025·上海普陀·二模）某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. (1)现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率； (2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先求出在层选题的概率和不在层选题的概率，再结合题意得到，最后利用二项分布概率公式求解即可. （2）先依据题意求出在层最多抽到7道，再求出对应概率，进而求出分布列和数学期望即可. 【详解】（1）因为三层题量之比为， 所以在层选题的概率为，不在层选题的概率为， 设至少2人的选题来自层的概率为，从层选题数量为， 由题意得，而二项分布概率公式为， 则至少2人的选题来自层的概率为， 故. （2）因为三层题量之比为， 所以在层最多抽到7道，且可取， 则， ， 其分布列为 所以期望. 28．（2024·上海闵行·二模）ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个. (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率； (3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差. 【答案】(1)；(2)0.9；(3)小张答对题数的的期望为8.1，方差为0.09，ChatGPT答对题数的期望为8.1，方差为0.81. 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，即可求得答案； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，确定相应概率，根据全概率公式，即可求得答案； （3）根据期望以及方差的计算公式，即可求得答案； 【详解】（1）设小张答对的题数为，则. （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”， 由题意知，，， 则， ； （3）设小张答对的题数为，则的可能取值是， 且，， 设ChatGPT答对的题数为，则服从二项分布， 则，， ， . 题型07：超几何分布的分布列 29.下列随机变量X中，不服从超几何分布的是（　　） A．在含有4件次品的15件产品中，任取3件，其中正品数和次品数的差为X B．在6个黑球和3个白球中，任取4个球，其中黑球的个数为X C．在20个乒乓球中，有12个正品和8个次品，从中任取4个，其中次品的个数为X D．从24名男生和16名女生中，任选10名学生，其中女生的人数为X 【解题思路】利用超几何分布的定义判断即可． 【解答过程】解：A：总体分为明确的两类，但A中的随机变量X不是抽取样本中一类元素的个数，∴A不服从超几何分布， BCD：总体分为明确的两类，且随机变量X都是抽取样本中一类元素的个数，∴BCD都服从超几何分布， 故选：A． 30.(2025上海高三阶段练习）袋中有6个白球、3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． （1）若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X，求X的分布列； （2）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列． 【答案】 （1）分布列见解析 （2）分布列见解析 【解析】（1）由题意，每次抽取后都放回，取得黑球的次数的可能取值为， 其中每次抽取到黑球的概率均为， 所以2次取球可以看成2次的对立重复试验，则， 可得， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 （2）若每次抽取后都不放回，取到黑球的个数的可能取值为， 可得， 所以随机变量的分别列为： 0 1 2 31.现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列． [解]　设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11． P(X＝3)＝＝，P(X＝7)＝＝， P(X＝11)＝＝． 故X的分布列为 X 3 7 11 P 32.在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求： （1）取出的3个球中红球的个数X的分布列； （2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率． 【解题思路】（1）由题意知随机变量X的所有可能取值，且X服从超几何分布，计算对应的概率值，写出X的分布列； （2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A，利用互斥事件的概率和计算所求的概率值． 【解答过程】解：（1）由题意知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， 且X服从参数为N＝10，M＝3，n＝3的超几何分布， 因此 ；………………………………………………（1分） 所以 ， ， ， P（X＝3）；……………………………………………………（4分） 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P ……………………………………………………（6分） （2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A，“恰好取出1个红球和2个黑球” 为事件A1，“恰好取出2个红球”为事件A2，“恰好取出3个红球”为事件A3，……………（7分） 由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1+A2+A3， 而， ， ，…………（10分） 所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为： ．……………………………………………（11分） 答：取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为．……………………………………（12分） 题型08：超几何分布的实际应用 33．（2024·上海长宁·二模）盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球； (1)从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率； (2)从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为，求的分布、期望与方差； 【答案】(1) (2)分布见解析，期望 【分析】（1）由独立乘法公式、互斥加法公式即可运算求解古典概型概率； （2）的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而可得的分布，结合期望、方差计算公式即可求解. 【详解】（1）第一次取出红球的概率为，取出白球的概率为， 第一次取出红球，第二次取出红球的概率为， 第一次取出白球，第二次取出红球的概率为， 所有第二次取出的球是红球的概率为； （2）的所有可能取值为0，1，2， ， 所以的分布为， 它的期望为， 它的方差为. 34．（23-24高三下·上海浦东新·期中）某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图. (1)若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元； (2)若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少； (3)为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案.方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响.中奖1次当天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折.若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由. 【答案】(1)405； (2)； (3)选取方案2，理由见解析． 【分析】（1）由频率分布直方图得出消费额不少于800元的频率，由此可计算出结论； （2）由频率分布直方图提供的概率及分层抽样的定义得出抽取的6人在两个区间中人数，再结合对立事件概率公式计算概率； （3）根据两个方案求出其付款的期望值，比较后可得．其中方案1每300元减小50元，计算出付款额，方案2由超几何分布概率公式分别求得抽取3次得奖次数分别是0，1，2，3的概率，再根据折扣计算出付款期望值． 【详解】（1）由频率分布直方图估计消费额不少于800元的客户人数约为，即约有405人； （2）由频率分布直方图抽取的6人中，有4人消费金额在区间上，有2人不少于1000元，因此再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率为； （3）按方案1，小王实付款； 按方案2，小王抽奖3次，中1次奖的概率为，中2次奖的概率为，中3次奖的概率为，一次都不中的概率为， 因此本次购物小王付款的期望值为， 又，因此选取方案2较合适． 题型09：正态分布 35.当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时，正态曲线N（0，σ2）的图象如图所示， 则下列选项中正确的是（　　） A．σ1＜σ2＜σ3 B．σ1＜σ3＜σ2 C．σ2＜σ1＜σ3 D．σ3＜σ2＜σ1 【解题思路】直接由σ的值域曲线形状的关系得答案． 【解答过程】解：由正态分布曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定， σ越小，曲线越“瘦高”， ∴σ1＜σ2＜σ3， 故选：A． 36.已知正态密度曲线的函数关系式是f（x）e，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）e（x∈R），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（　　） A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 【解题思路】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解． 【解答过程】解：∵f（x）e， ∴平均数μ＝10，标准差σ＝2． 故选：B． 37.已知正态分布密度函数φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞），以下关于正态曲线的说法错误的是（　　） A．曲线与x轴之间的面积为1 B．曲线在x＝μ处达到峰值 C．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移 D．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖” 【解题思路】根据函数的性质判断． 【解答过程】解：由概率之和为1可知A正确； ∵0，∴φ（x），当且仅当x＝μ时取等号，故B正确； 当σ一定时，曲线的形状是固定的，曲线关于直线x＝μ对称，故C正确； 当μ一定时，曲线的对称轴固定，∴σ越小，曲线的最大值越大，故曲线越高瘦，故D错误． 故选：D． 38．（2025·上海闵行·二模）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为 ．（精确到） 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性即可得结论 【详解】设每包糖果的实际质量为，则， 又， 所以， 故质量超过505克的可能性约为. 故答案为：. 39．（2025·上海青浦·模拟预测）已知随机变量，若，则 . 【答案】0.4 【分析】由正态分布曲线的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，正态曲线关于对称. ，则， 根据正态曲线的对称性. 故答案为：0.4. 40．（2024·上海青浦·二模）设随机变量服从正态分布，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算即得. 【详解】由正态分布的对称性，得，所以. 故答案为： 41．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据正态分布的对称性求解. 【详解】由正态分布的对称性可得. 故答案为：. 42．（2024·上海杨浦·二模）某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．350 B．400 C．450 D．500 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出成绩不低于120分的概率，再进行估计得解. 【详解】依题意，，而服从正态分布， 因此， 所以此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为. 故选：B 43．（2024·上海松江·二模）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合正态分布的对称性，即可求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 可得. 故答案为：. 44．（2024·上海普陀·二模）已知，若，则 . 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性计算可得. 【详解】若，且， 则， 则. 故答案为： 45．（2024·上海静安·二模）某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为 ． 【答案】 【分析】根据正态分布的性质，求出，即可求得结果. 【详解】根据已知条件有数学成绩低于分的概率为， 又，所以数学分数属于闭区间的概率为， 所以数学分数属于闭区间的学生人数约为人. 故答案为： 46．（2024·上海黄浦·二模）随机变量服从正态分布，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以， 则. 故答案为： 47．（2025·上海嘉定·二模）已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了 %的学生（精确到0.1%）．（参考数据：） 【答案】 【分析】根据正态分布的范围求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 题型10：正态分布的实际应用 48．（2025·上海徐汇·二模）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布. (1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）； (2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）. 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据正态分布的性质即可求解； （2）先求任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率，服从二项分布，二项分布即可求解. 【详解】（1）由题意，，的概率等于. 令，则. 因此， . 故净含量误差超过5g的概率约为. （2）可能的取值为0、1、2、3. 由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为. 故服从二项分布，记， ， 从而的分布为 0 1 2 3 0.595 0.337 0.064 0.004 因此. 49．（2024·上海虹口·二模）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件） 5 21 46 25 3 (1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. （i）求抽取的零件为废品的概率； （ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则. 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先求出，再利用正态曲线的对称性求解； （2）（i）利用全概率公式求解；（ii）利用条件概率公式求解． 【详解】（1）由题意可知， 则， 所以 ； （2）（i）设事件表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”， 事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”， 事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”， 则，，，， 所以； （ii）因为， 所以， 所以． 50．（2024·上海金山·二模）有标号依次为1，2，…，(，)的个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止． (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)设号盒子中红球个数为随机变量，求的分布及，并猜想的值（无需证明此猜想）． 【答案】(1) (2)分布列见解析，．猜想 【分析】（1）结合排列组合与概率公式计算即可得； （2）得出的所有取值及其概率，求得其概率分布，即可得其期望，列出号盒子与号盒子中的红球个数的关系，即可得， 【详解】（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为； （2）由题可知可取， ， ， ， 所以3号盒子里的红球的个数的分布列为： ； 猜想，理由如下： 当时，设号盒子里有3个红球的概率为，有2个红球的概率为， 则号盒子里有1个红球的概率为， 则， ， ， 则 ， 由每个盒子中原本的红球与白球个数相等， 故号盒子中红球个数为与白球个数为的概率相等， 即，即有， 故， 当时， 有，，， ， 故可得. 2．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； (2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 【答案】(1)，事件相互独立； (2)分布列见解析，271元. 【详解】（1）由给定的数表知，，，， 而，因此事件相互独立， 所以，事件相互独立. （2）设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色， 依题意，；； ，则， 因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖； 外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的可能值为：， 奖金额的分布列： 600 300 150 奖金额的期望（元）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $