专题43：条件概率与全概率公式 概率综合 （3大考点+9大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用）

该高中数学高考复习资料聚焦条件概率与全概率公式、概率综合等高考核心考点，按定义-性质-计算-应用的逻辑架构梳理知识，通过考点精析构建内在联系。教案设计涵盖知识点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破条件概率计算、全概率公式应用等难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料特色在于分层题型设计与核心素养融合，如通过“摸球情境分析”“真题变式训练”等教学活动，培养学生用数学思维构建概率模型、用数学语言规范解题过程的能力。设置基础计算、性质辨析、综合应用等分层练习，配合2025年上海各区二模题实例，保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题43 条件概率与全概率公式 概率综合 知识点一 条件概率 （一）定义 一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．读作发生的条件下发生的概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． （二）性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （3）如果与互斥，则． 注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． （三）计算方法 （1）利用定义计算：先分别计算概率和，然后代入公式即可． （2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，则． 知识点二 全概率公式 （一）全概率公式（由因求果） （1）； （2）定理 若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，. 则对中的任意事件，都有，且 . 证明：如下图所示， 因为事件中有且只有一个与事件B同时发生，其中互斥，即，显然也互不相容. 所以由概率的加法公式和概率的乘法公式得： 即得到全概率公式： 注：（1）内涵：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题.我们认真分析定理中的已知条件后，将所研究事件的试验结果视为，而导致事件发生的若干不同的假设情况也可以理解为各种原因视为，而且只有发生了才有事件的发生，那么全概率公式做出了由因求果的推断. （2）关键点：什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式. 合理选择，易求. 考点一 条件概率 题型一：条件概率的计算 1.（2023上海浦东新·期中）已知， ，则 ． 【答案】/0.75 【分析】由条件概率公式求解即可. 【详解】由题意得， 而，得， 而，解得， 故答案为：. 2.（2025上海高三阶段练习），则______ 【详解】由条件概率公式得， 3．已知随机事件发生的概率分别为，，若，则_____ 【详解】由，可得． 4.（24-25高二下·上海期中）对于随机事件、，若，，，则____ 【解析】因为，. 5.（2025上海高三阶段练习）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____ 【解析】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得，所以. 6.（2025上海高三阶段练习）已知事件，若，，则______ 【解析】由题可知，， 题型二：条件概率的性质 7.下列说法正确的是（    ） A． B．是可能的 C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由，当，则，A错误； 当A或B为不可能事件时，，C错误； B：要使，即，当恰好为A的子事件成立，正确； D：由，故错误. 故选：B 8.（2025上海高三阶段练习）设A，B为两个随机事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用事件的关系逐项判断后可得正确的选项. 【详解】根据题意，事件A发生，则事件B一定发生． 对于选项A，为事件A，B不同时发生的概率，为． 对于选项B，为事件A，B均不发生的概率，为． 对于选项C，为在事件A发生时事件B发生的概率，为1． 对于选项D，为在事件A不发生时事件B发生的概率，为． 故选：B 8.（2025上海高三阶段练习）已知，，则下列式子成立的是（ ） ①； ②； ③； ④. A．①②③④ B．② C．②③ D．②④ 【标准答案】B 【思路指引】 利用条件概率公式及概率性质辨析 【详解详析】 ①若则，故，故①错误； ②因为所以所以②正确； ③若或则故③错误； ④若或则故④错误. 故选：B 9.若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（    ）    A．事件A发生的概率 B．事件B发生的概率 C．事件C不发生条件下事件A发生的概率 D．事件A，B同时发生的概率 【答案】A 【解析】依题意，图示中涂色部分的面积为 . 故选：A. 题型三：条件概率的综合应用 10．（2025·上海普陀·二模）在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则 . 【答案】/ 【分析】首先求出事件、事件的基本事件数，再由条件概率公式计算可得. 【详解】事件（数字之和大于5）的基本事件数（数字组合）， 共有种； 而事件（最小数字是2且和大于5，即）的基本事件数有种， 由条件概率公式. 故答案为： 11.（2025上海高三阶段练习）甲罐中有3个红球、2个黑球乙罐中有4个红球、2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐．以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出两个球，以表示事件“由乙罐取出的两个球均是红球”，则________ 【解析】易知，； 所以. 12.盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中取出1个球，取出的球不再放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到白球的概率为_______ 【解析】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到白球为事件B， 则， 所以在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到白球的概率为. 13．（2024·上海嘉定·二模）小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，由古典概型公式求出、，进而计算可得答案. 【详解】根据题意，“两家分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩”，有种情况， 事件A：两家至少有一家选择古猗园，有种情况，故， 若两家选择景点不同且至少有一家选择古猗园，有种情况，即. 所以. 故答案为： 14.（2025上海高三阶段练习）一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，则三次中恰好有两次正面的概率为_______ 【详解】设事件“三次中至少有一次正面”，事件“三次中恰好有两次正面”， 依题意，正反反，反正反，反反正，正正反，正反正，反正正，正正正， 正正反，正反正，反正正，则正正反，正反正，反正正， 则三次中恰好有两次正面的概率为. 15.甲、乙两人独立地在三分线外对同一篮筐各投篮一次，命中率分别为0.8和0.6，现已知有球投进篮筐情况下，甲投进的概率为______ 【详解】根据题意，设甲投进为事件A，乙投进为事件B，有球投进篮筐为事件C， 则， ， 则有球投进篮筐情况下，甲投进的概率为， 16.（2025上海高三阶段练习）甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则第4次由甲射击的概率 ． 【答案】 【分析】根据题意，分4种情况讨论，即可求得第4次由甲射击的概率． 【详解】根据题意，第4次由甲射击分为4种情况： 甲连续射击3次且都击中； 第1次甲射击击中，但第2次没有击中，第3次由乙射击没有击中； 第1次甲射击没有击中，且乙射击第二次击中，但第3次没有击中； 第1次甲没有击中，且乙射击第2次没有击中，第3次甲射击击中， 所以这件事的概率为. 故答案为： 17.（2025上海高三阶段练习）甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，0.8，若只有1人击中，则飞机被击落的概率为0.4，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.7，若3人击中则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率为 ． 【答案】 【分析】设甲、乙、丙三人击中飞机为事件 依题意，相互独立，故所求事件概率为 ，代入相关数据，即可得到答案. 【详解】设甲、乙、丙三人击中飞机为事件 依题意，相互独立，故所求事件概率为 故答案为：. 18.（2025高二下·上海黄浦·期中）甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为 ． 【答案】 【分析】设乙命中目标的事件为，目标至少被命中1次的事件为，根据条件概率 公式计算得到答案. 【详解】设乙命中目标的事件为，目标至少被命中1次的事件为， 则，. . 故答案为： 19.从名男医生和名女医生中选出个人，参加一个抗击新冠肺炎疫情报告会，已知在选出名女医生的条件下，另名医生也是女医生的概率是 ． 【答案】 【分析】分别计算出选出的人中至少有一个女医生和选出的人均为女医生的概率，由条件概率公式可求得结果. 【详解】记事件为“选出的人中至少有一个女医生”，事件为“选出的人均为女医生”，则事件表示“选出的人均为女医生”， ，，. 故答案为：. 20.（2025上海高三阶段练习）一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是 【答案】 【解析】将事件分为A为一位医生是男医生，B为另一位医生也是男医生，利用条件概率公式求即可. 【详解】若A为一位医生是男医生，B为另一位医生也是男医生， ∴，而， ∴， 故答案为： 21.某病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的 4 名男医生（含一名主任医师）、 5 名女医生（含一名主任医师） 中分别选派 3 名男医生和 2 名女医生，则有一名主任医师被选派时，两名主任医师都被选派的概率为 ． 【答案】 【分析】求出有一名主任医生被选派以及两名主任医师都被选派的概率，根据条件概率的计算公式即可求得答案. 【详解】记“选派3名男医生和2名女医生，有一名主任医生被选派”为事件A， 则， 记“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”为事件B， 则． 故答案为：. 考点二 全概率公式及应用 题型四：全概率公式的计算 22．（2025·上海徐汇·二模）已知两个随机事件，若，，，则 . 【答案】 【分析】根据全概率公式有，由乘法公式有求出，最后利用条件概率公式即可求解. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故答案为：. 23.（22·23高三下·上海闵行·阶段练习）设表示事件发生的概率，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意分别求出、进而利用即可求出结果. 【详解】因为， ， 则 24.（2025上海高三阶段练习）已知随机事件，满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为随机事件 和 满足 ， 因为 ，所以 ， 又因为 ， 所以 ， 所以 . 故选：C. 题型五：全概率公式综合应用 25．（2025·上海奉贤·二模）盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 【答案】 【分析】由题意，根据古典概型求得概率，结合全概率公式，可得答案. 【详解】由题意可设{第一次取得红球}，{第一次取得白球}， {第二次取得红球}，{第二次取得白球}， 易知，，，， 所以. 故答案为：. 26．（24-25高二下·上海浦东新·期中）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是 . 【答案】 【解析】设从甲盒取出2个红球；从甲盒取出2个白球； 从甲盒取出1个白球和1个红球；从乙盒取出2个红球. 所以 . 故答案为：. 26.（2025上海高三阶段练习）两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是废品的概率为（   ） A．0.21 B．0.05 C．0.94 D．0.95 【答案】B 【详解】记表示第台加工的零件，表示任取一件为废品， 则, 所以任取一零件，它是废品的概率. 故选：B 27．（24-25高二下·上海·阶段练习）2025年底，莘庄中学开展迎新狂欢活动，高二某班级决定组织盲盒抽奖活动，到班级参与活动并达到一定要求的同学都可以参与抽奖．组织方准备了20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品，抽奖者甲先拿起一个盲盒在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另一个盲盒打开，记甲中奖的概率为，则 ． 【答案】 【详解】设表示“甲第一次拿的盲盒有奖”，表示“甲第一次拿的盲盒无奖”，表示“甲最终中奖”， 因为共有20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品， 所以，， 若发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩个盲盒，其中个有奖， 甲再选另一个盲盒打开，则， 若发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩个盲盒，其中个有奖， 甲再选另一个盲盒打开，则， 根据全概率公式得，， 所以甲中奖的概率. 故答案为：. 28.随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件“表示迟到”， 由题意可知：，，，， 则，， 若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是． 故选：B 29.（2025上海高三阶段练习）现有甲、乙、丙、丁4位乒乓球业余爱好者组队参与某次比赛，比赛顺序是第一场双打，第二场与第三场单打，每人只参加其中一个项目，在每场比赛中赢对方的概率分别是，，，且每场比赛相互独立，则在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为______ 【详解】设双打与第二、第三场单打赢对方分别为事件，，， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件，则，，， ， ， 所以. 30.甲､乙两个袋中各装有大小相同的3个红球和2个白球，第一次从甲袋随机取出一个球放入乙袋.第二次再从乙袋中取出一个球.记“第一次从甲袋中取出红球”，“第一次从甲袋中取出白球”，“第二次从乙袋中取出红球”，“第二次从乙袋中取出白球”. (1)求第二次从乙袋取出的一个球是红球的概率； (2)求在第二次从乙袋取出一个球是红球的条件下，第一次从甲袋取出的是白球的概率. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意知，且， 则， 所以第二次从乙袋取出的一个球是红球的概率为. （2）依题意得， 所以在第二次从乙袋取出一个球是红球的条件下，第一次从甲袋取出的是白球的. 31.（2025上海高三阶段练习）某老师在课余时间为缓解同学们的学习疲劳，组织了两组摸球游戏，事先准备好两个袋子，红、白、黑三种颜色但质地均匀且大小相同的球若干个. (1)一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求第2次摸到红球的概率； (2)另一个袋子中装有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出后把球放回，并再装入与摸出球同色的球3个，共摸2次．求摸出的两个球都是红球的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记事件“第i次摸到红球”为， 则第2次摸到红球的事件为，于是由全概率公式， 得． （2）记事件“第i次摸到红球”为， 则，， 因此 32.（2025上海高三阶段练习）现有12个球，其中6个球由甲工厂生产，4个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的次品率依次是6%，7%，8%、现从这12个球中任取1个球，设事件B为“取得的球是次品”，事件，，分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”. (1)求（，2，3）； (2)若取出的球是次品，求该球是丙工厂生产的概率.（用分数作答） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，. （2）根据题意可得， ， 所以， 即若取出的球是次品，该球是甲工厂生产的概率为. 33.某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立． (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元，求8局后比赛终止且棋手获奖万元的概率． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第8局以分比赛终止，说明前7局中有负胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第8局以分比赛终止，说明前7局中有负胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“8局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率为 考点四 概率综合问题 题型六：两个经典的概率问题 34．（2025上海高二期中）在某项比赛中，两个水平相当的选手在决赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金，前3局打成2:1时比赛因故终止．若发放奖金总额为12000元，为公平合理起见，应该发放给已胜两场者奖金 元． 【答案】9000 【分析】根据前3局打成时，利用独立事件乘法公式求出胜2局者和胜1局者获胜的概率，即可得答案. 【解析】甲乙两队水平相当，故任意一局比赛，甲胜概率为，乙胜概率， 不妨设前三局中甲胜2场，乙胜1场，剩下甲获胜的情况是： 第四局甲胜或者第四局甲输同时第五局甲胜， 此情况下,甲获胜的概率为， 所以乙胜的概率为， 所以前3局打成时，2局胜利者与1局胜利者奖金分配应为， 若发放奖金总额为12000元，为公平合理起见， 应该发放给已胜两场者奖金为（元）， 故答案为：9000. 35.两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．(各局胜负相互独立，各选手水平互不相同) 提示：甲、乙两人对决，若甲更强，则其获胜的概率p>.采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不影响，于是得甲最终获胜的概率为P3＝p2＋2p2(1－p)． 采用五局三胜制，若甲最终获胜，则至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由此得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P4＝p3＋3p3(1－p)＋6p3(1－p)2.而P4－P3＝p2(6p3－15p2＋12p－3)＝3p2(p－1)2(2p－1)． 因为p>，所以P4>P3，即五局三胜制下甲最终获胜的可能性更大． 所以五局三胜制更能选拔出最强的选手． 【例】两人下棋，每局胜的可能性一样，某一天两人要进行一次三局两胜的比赛，最终胜者赢得100元奖金。第一场比赛胜，后因为有其他要事而中止比赛，问怎样分100元奖金才公平？ 36.若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用三局两胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？ 提示：甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用三局两胜制时，甲获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不影响，于是由独立事件的概率公式，得甲最终获胜的概率为P1＝0.62＋2×0.62×(1－0.6)＝0.648. 37. （2026上海普陀区高三一模）甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为，若甲赢得比赛的概率为，则取得最大值时______ 【答案】 【解析】 【分析】利用表示出，从而将表示为关于的函数，利用导数求解出当时函数的单调性，从而可确定最大值点. 【详解】甲赢得比赛的概率： ， 令， 则，令，解得：， 因为，当和时，；当时， 即在和上单调递减；在上单调递增 当时，取最大值，即取最大值 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是根据条件将表示为关于变量的函数，同时需要注意函数的定义域. 38.（2025-26上海高三阶段练习）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率． 解：(1)甲连胜四场的概率为. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛， 至多需要进行五场比赛． 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为； 乙连胜四场的概率为； 丙上场后连胜三场的概率为. 所以需要进行第五场比赛的概率为 1－－－＝. (3)丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为； 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，. 因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝. 题型七：概率的相关证明 39.春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：； (3)若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小． 【解析】（1）设“选取的人患流感”，用，分别表示选取的人来自甲，乙，丙地区， 则， 所以 由全概率公式得 （2）根据乘法公式 条件概率得 所以； （3）由（2）知： ， ， ， 所以， 答：此人来自甲地区的可能性最小 40.（1）甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和丙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）（i）对于事件，，，当时，求证：； （ii）若某同学做如下摸球试验：一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中黑球7个，白球3个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回.若该同学摸球三次，求三次都摸到白球的概率. 【解析】（1）丙投篮水平较高，理由如下： 设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、. 依题意，得， 解得， 因为，所以，丙投篮水平较高. （2）（ⅰ）因为，， 所以，得证. （ⅱ）记事件“第次摸到白球”为. 由题意可知，，. 由结论， 可得. 故三次都摸到白球的概率为. 题型八：条件概率全概率与数列综合 41.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，⋯次状态无关.现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知，，， 因为，所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，. 故选：A. 42.某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则 ． 【答案】 【解析】由题意第次按下按钮后出现红球的概率为，则出现绿球的概率为； 因此可得，化简可得， 即，又， 因此可得是以为首项，为公比的等比数列， 可得，可得； 所以. 故答案为： 43.为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复． (1)求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①求； ②当时，恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）设为“第4天中午选择米饭套餐”， 根据每天与前一天选择不一样的套餐，且第一天选择米饭套餐，接下来的三天中每天都只有两种选择， 因此样本空间包含个样本点， 若第一天选择米饭套餐，第4天选择米饭套餐，则第二天有两种选择，第三天的和前后两天都不能相同，仅有一种选择， 即事件中包含个样本点， 所以， 所以第4天中午选择米饭套餐的概率 （2）①设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择面食套餐”，为“第天选择西餐套餐” 根据题意，，，， 由全概率公式得： ， ∴， 因为 ∴ 因此，因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以 ②由①可得， 当为大于1的奇数时， 当为正偶数时， 因此，当时，，所以． 题型九：概率综合 44.甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和． (1)求甲在一轮比赛中获得1分的概率； (2)求甲在每轮比赛中获胜的概率； (3)求甲前三轮累计得分恰为6分的概率． 【解析】（1）由题意，设甲在一轮比赛中共抢到（）道题为事件， 甲在一轮比赛中得（）分为事件， 则， ， ∴甲在一轮比赛中获得1分的概率为. （2）由题意及（1）得 设甲在一轮比赛中获胜为事件， ∵， ， ， ， ∴ ， ∴甲在每轮比赛中获胜的概率为. （3）由题意，（1）及（2）得， ，， ，， 设甲前三轮累计得分恰为6分为事件， ∴ ∴甲前三轮累计得分恰为6分的概率为. 45.某旅行社举办“寻找旅游热爱者”活动，活动工作人员准备了南方景点库、北方景点库两个景点库，用此筛选符合要求的参与者，并为符合要求的参与者准备了精美的纪念品．参与者需要先从这两个景点库中随机选择一个景点库，再从所选景点库中等可能地抽取一个景点，这是第一次抽取．将第一次抽取的景点放回原来的景点库，再进行第二次抽取．若两次抽取的景点都是参与者曾经去过的景点，则参与者符合活动要求并获得精美的纪念品．已知南方景点库共有12个景点，参与者小方去过其中9个景点，北方景点库共有8个景点，小方去过其中4个景点．第一次选择南方景点库和选择北方景点库的概率均为． (1)求小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的概率． (2)在小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的条件下，求小方第一次抽取的景点是南方景点库的景点的概率． (3)将小方第一次抽取到的曾经去过的景点放回原来的景点库，再进行第二次抽取时，有如下两种方案：方案一，从第一次抽取的景点库中抽取；方案二，从另外一个景点库中抽取．试比较两个方案，哪个方案使得小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率更大． 【解析】（1）记小方第一次选择南方景点库为事件，选择北方景点库为事件， 第一次抽取的景点是曾经去过的景点为事件， 所以． （2）在小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的条件下， 小方第一次抽取的景点是南方景点库的景点的概率 ． （3）记小方第二次抽取的景点是曾经去过的景点为事件， 由（2）得，则在小方第一次抽取的景点是曾经去过的景点的条件下， 第一次抽取的景点是北方景点库的景点的概率， 在事件发生的条件下： ①若选择方案一，则，， 则在事件发生的条件下，小方第二次抽取的景点是小方曾经去过的景点的概率， 所以在方案一下，小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率； ②若选择方案二，则，， 则在事件发生的条件下，小方第二次抽取的景点是小方曾经去过的景点的概率， 所以在方案二下，小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率． 而，所以方案一使得小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率更大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题43 条件概率与全概率公式 概率综合 知识点一 条件概率 1、定义 一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．读作发生的条件下发生的概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． 2、性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （3）如果与互斥，则． 注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 3、计算方法 （1）利用定义计算：先分别计算概率和，然后代入公式即可． （2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，则． 知识点二 全概率公式 1、全概率公式（由因求果） （1）； （2）定理 若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，. 则对中的任意事件，都有，且 . 证明：如下图所示， 因为事件中有且只有一个与事件B同时发生，其中互斥，即，显然也互不相容. 所以由概率的加法公式和概率的乘法公式得： 即得到全概率公式： 注：（1）内涵：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题.我们认真分析定理中的已知条件后，将所研究事件的试验结果视为，而导致事件发生的若干不同的假设情况也可以理解为各种原因视为，而且只有发生了才有事件的发生，那么全概率公式做出了由因求果的推断. （2）关键点：什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式. 合理选择，易求. 考点一 条件概率 题型一：条件概率的计算 1.（2023上海浦东新·期中）已知， ，则 ． 2.（2025上海高三阶段练习），则______ 3.（24-25高二下·上海期中）对于随机事件、，若，，，则____ 4.（2025上海高三阶段练习）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____ 5（2025上海高三阶段练习）已知事件，若，，则______ 题型二：条件概率的性质 6.下列说法正确的是（    ） A． B．是可能的 C． D． 7.（2025上海高三阶段练习）设A，B为两个随机事件，且，则（    ） A． B． C． D． 8.（2025上海高三阶段练习）已知，，则下列式子成立的是（ ） ①； ②； ③； ④. A．①②③④ B．② C．②③ D．②④ 9.若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（    ）    A．事件A发生的概率 B．事件B发生的概率 C．事件C不发生条件下事件A发生的概率 D．事件A，B同时发生的概率 题型三：条件概率的综合应用 10．（2025·上海普陀·二模）在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则 . 11.（2025上海高三阶段练习）甲罐中有3个红球、2个黑球乙罐中有4个红球、2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐．以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出两个球，以表示事件“由乙罐取出的两个球均是红球”，则________ 12.盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中取出1个球，取出的球不再放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到白球的概率为_______ 13．（2024·上海嘉定·二模）小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率 ． 14.（2025上海高三阶段练习）一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，则三次中恰好有两次正面的概率为_______ 15.甲、乙两人独立地在三分线外对同一篮筐各投篮一次，命中率分别为0.8和0.6，现已知有球投进篮筐情况下，甲投进的概率为______ 16.（2025上海高三阶段练习）甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则第4次由甲射击的概率 ． 17.（2025上海高三阶段练习）甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，0.8，若只有1人击中，则飞机被击落的概率为0.4，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.7，若3人击中则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率为 ． 18.（2025高二下·上海黄浦·期中）甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为 ． 19.从名男医生和名女医生中选出个人，参加一个抗击新冠肺炎疫情报告会，已知在选出名女医生的条件下，另名医生也是女医生的概率是 ． 20.（2025上海高三阶段练习）一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是 21.某病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的 4 名男医生（含一名主任医师）、 5 名女医生（含一名主任医师） 中分别选派 3 名男医生和 2 名女医生，则有一名主任医师被选派时，两名主任医师都被选派的概率为 ． 考点二 全概率公式及应用 题型四：全概率公式的计算 22．（2025·上海徐汇·二模）已知两个随机事件，若，，，则 . 23.（22·23高三下·上海闵行·阶段练习）设表示事件发生的概率，若，则 . 24.（2025上海高三阶段练习）已知随机事件，满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五：全概率公式综合应用 25．（2025·上海奉贤·二模）盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 26．（24-25高二下·上海浦东新·期中）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是 . 26.（2025上海高三阶段练习）两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是废品的概率为________ 27．（24-25高二下·上海·阶段练习）2025年底，莘庄中学开展迎新狂欢活动，高二某班级决定组织盲盒抽奖活动，到班级参与活动并达到一定要求的同学都可以参与抽奖．组织方准备了20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品，抽奖者甲先拿起一个盲盒在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另一个盲盒打开，记甲中奖的概率为，则 ． 28.随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 29.（2025上海高三阶段练习）现有甲、乙、丙、丁4位乒乓球业余爱好者组队参与某次比赛，比赛顺序是第一场双打，第二场与第三场单打，每人只参加其中一个项目，在每场比赛中赢对方的概率分别是，，，且每场比赛相互独立，则在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为______ 30.甲､乙两个袋中各装有大小相同的3个红球和2个白球，第一次从甲袋随机取出一个球放入乙袋.第二次再从乙袋中取出一个球.记“第一次从甲袋中取出红球”，“第一次从甲袋中取出白球”，“第二次从乙袋中取出红球”，“第二次从乙袋中取出白球”. (1)求第二次从乙袋取出的一个球是红球的概率； (2)求在第二次从乙袋取出一个球是红球的条件下，第一次从甲袋取出的是白球的概率. 31.（2025上海高三阶段练习）某老师在课余时间为缓解同学们的学习疲劳，组织了两组摸球游戏，事先准备好两个袋子，红、白、黑三种颜色但质地均匀且大小相同的球若干个. (1)一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求第2次摸到红球的概率； (2)另一个袋子中装有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出后把球放回，并再装入与摸出球同色的球3个，共摸2次．求摸出的两个球都是红球的概率． 32.（2025上海高三阶段练习）现有12个球，其中6个球由甲工厂生产，4个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的次品率依次是6%，7%，8%、现从这12个球中任取1个球，设事件B为“取得的球是次品”，事件，，分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”. (1)求（，2，3）； (2)若取出的球是次品，求该球是丙工厂生产的概率.（用分数作答） 33.某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立． (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元，求8局后比赛终止且棋手获奖万元的概率． 考点三 概率综合问题 题型六：两个经典的概率问题 34．（2025上海高二期中）在某项比赛中，两个水平相当的选手在决赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金，前3局打成2:1时比赛因故终止．若发放奖金总额为12000元，为公平合理起见，应该发放给已胜两场者奖金 元． 35.两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．(各局胜负相互独立，各选手水平互不相同) 36.若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用三局两胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？ 37. （2026上海普陀区高三一模）甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为，若甲赢得比赛的概率为，则取得最大值时______ 38.（2025-26上海高三阶段练习）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率． 题型七：概率公式的相关证明 39.春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：； (3)若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小． 40.（1）甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和丙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）（i）对于事件，，，当时，求证：； （ii）若某同学做如下摸球试验：一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中黑球7个，白球3个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回.若该同学摸球三次，求三次都摸到白球的概率. 题型八：条件概率全概率与数列综合 41.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，⋯次状态无关.现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（    ） A． B． C． D． 42.某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则 ． 43.为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复． (1)求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①求； ②当时，恒成立，求的取值范围． 题型九：概率综合 44.甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和． (1)求甲在一轮比赛中获得1分的概率； (2)求甲在每轮比赛中获胜的概率； (3)求甲前三轮累计得分恰为6分的概率． 45.某旅行社举办“寻找旅游热爱者”活动，活动工作人员准备了南方景点库、北方景点库两个景点库，用此筛选符合要求的参与者，并为符合要求的参与者准备了精美的纪念品．参与者需要先从这两个景点库中随机选择一个景点库，再从所选景点库中等可能地抽取一个景点，这是第一次抽取．将第一次抽取的景点放回原来的景点库，再进行第二次抽取．若两次抽取的景点都是参与者曾经去过的景点，则参与者符合活动要求并获得精美的纪念品．已知南方景点库共有12个景点，参与者小方去过其中9个景点，北方景点库共有8个景点，小方去过其中4个景点．第一次选择南方景点库和选择北方景点库的概率均为． (1)求小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的概率． (2)在小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的条件下，求小方第一次抽取的景点是南方景点库的景点的概率． (3)将小方第一次抽取到的曾经去过的景点放回原来的景点库，再进行第二次抽取时，有如下两种方案：方案一，从第一次抽取的景点库中抽取；方案二，从另外一个景点库中抽取．试比较两个方案，哪个方案使得小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率更大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $