专题04：基本不等式（4大考点+15大题型）讲义-2026届高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题04 基本不等式 知识点一、基本不等式 1、 均值不等式：____________________ (1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数. 2、三角不等式 对于任意的实数a、b,有，且等号当且仅当______________________时成立 如果是实数，则， 注：当为复数或向量时结论也成立. 知识点二、几个重要不等式 重要不等式 使用前提 等号成立条件 a2＋b2≥2ab a，b∈R a＝b ＋≥2 ___________________ a＝b ＋≤－2 _____________________ a＝－b ab≤ a，b∈R a＝b ≤ a，b∈R a＝b (4)≤≤≤(a>0，b>0). 知识点三、.利用基本不等式求最值的基本方法 (1)直接法 (2)配凑法 (3)常数代换法 (4)消元法 (5)换元法 知识点四、基本不等式与对勾函数 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数； 对勾函数，当时， 对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数； ①当同号时， 对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示： ②当异号时， 对勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示： 知识点五、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 考点一 基本不等式 题型01：均值不等式的理解及常见变形 【名师点拨】1.灵活应用两个基本不等式的变形公式 (1)≥2(a，b同号，当且仅当a＝b时，等号成立)； (2)≤≤≤(a>0，b>0，当且仅当a＝b时，等号成立). 2.谨防两个易误点 (1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误. (2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值. 【例1】（2025金山中学高三模拟）已知a，b∈R，则下列不等式不成立的是(　　) A.4ab≤(a＋b)2 B.≤ C.≤ D.ab≤ 【例2】（2025复旦附中高三模拟）已知、都是正数，则下面结论正确的是（   ） A． 的最小值为 B．≥4 B． C．的最大值为 D． 【跟踪训练】 1．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 2．（上海·高考真题（理））若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A． B． C． D． 3．（2024·上海松江·一模）已知，以下四个数中最大的是（    ） A．b B． C． D． 4．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 题型02：三角不等式的应用 【名师点拨】对于任意的实数a、b,有，且等号当且仅当时成立 【例3】（2025复兴高级中学高三模拟）ab<0,则有① ② ③ ④四个式中正确的是（ ） A.①② B. ②③ C. ①④ D.②④ 【例4】（2025上师大高三模拟）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是________. 【跟踪训练】 1.（2024七宝中学高三模拟）不等式成立的充要条件是（ ） A.ab≠0 B. a2+b2≠0 C.ab>0 D.ab<0 2．（2025·上海金山·二模）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3.（2025奉贤中学高三模拟）已知函数f(x)＝|x－3|－|x－a|； （1）当a＝2时，解不等式f(x)≤－；（2）若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，求实数a的取值范围． 考点二 利用基本不等式求最值 题型03：利用基本不等式求最值 （一）直接法 【例5】（2023·全国·高三专题练习）若，则的最大值为__________ 【例6】（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为 . 【变式】（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【变式】（2021·上海嘉定·一模）已知实数x、y满足，则的最小值为____________. 【变式】（2023上·上海松江·高三统考期末）已知，则的最小值为 （二）配凑法 【例7】（2025宝山中学高三模拟）若，则的最小值为__________． 【变式】（2021·上海青浦·三模）若正实数满足，则的最小值为__________. 【变式】（2023·天津红桥·统考一模）已知，则的最小值为___________． 【变式】（2022·上海·位育中学模拟预测）已知 ， 且， 则 的最小值为_____. （三）常数代换法 【例8】（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 【变式】（2025·天津河东区·一模）已知，则的最小值为 . 【变式】（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知，且，则的最小值是_____． 【变式】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且满足，则的最大值为（    ） A．9 B．6 C．4 D．1 【变式】（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式】（2021·上海金山·二模）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为____________. （四）消元法 【例9】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为__________. 【变式】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知实数a，b满足，则的最大值为_____________． 【例10】（2025·天津市·一测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C． D． 【变式】（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知实数，满足，，且，则的最大值为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【变式】（2021秋·天津静海·高三校考阶段练习）若，且，则的最小值为_________ 考点三 基本不等式的应用 题型04：利用基本不等式证明不等关系 【例11】已知a为正数，比较大小： 4. 【例12】设，，均为正数，且，证明： (1)； (2)． 【跟踪训练】 1.已知，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中一定成立的结论是 （写出所有成立结论的编号）. 2.已知函数，若的解集为． (1)求实数，的值； (2)已知均为正数，且满足，求证：． 题型05：基本不等式的恒成立问题 【例13】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围__________. 【跟踪训练】 1．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（2022·上海·二模）已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是_________. 考点四 基本不等式与其他知识交汇 题型06：基本不等式与其他知识交汇的最值问题 （一）与函数的结合 【例14】已知函数恒过定点，则的最小值为（    ）． A． B． C．3 D． 【例15】（2024·上海奉贤·二模）某商品的成本与产量之间满足关系式，定义平均成本，其中，假设，当产量等于 时，平均成本最少. 【变式】（2023·吉林·东北师大附中校考二模）已知函数，若实数、满足，则的最大值为______． 【变式】（2023·四川遂宁·统考二模）中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则面积的最大值为___________. 【变式】（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为______________． （二）与平面向量的结合 【例16】（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ． 【变式】（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______． 【变式】（2023·安徽安庆·统考二模）已知非零向量，的夹角为，，且，则夹角的最小值为（    ） A． B． C． D． （三）与数列的结合 【例17】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式】（2023·高三课时练习）在等差数列中，，且，则的最大值为______. （四）与立体几何的结合 【例18】（2023秋·河北唐山·高三统考期末）已知正三棱锥的侧棱长为2，则该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式19】（2023·江苏·高三统考学业考试）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式】（2024·上海长宁·二模）用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为立方米，则至少需要 平方米铁皮 （五）与解析几何的结合 【例20】（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点是圆上的动点，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最大值为 【变式】数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线：为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（    ）    （1）方程，表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过； （3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于； （4）曲线上有个整点横、纵坐标均为整数的点. A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4） 1．（2025·上海·秋季高考真题）设，则的最小值为 ． 2．（2024上海·春季高考真题）已知，的最小值为 ． 5．（2024上海·春季高考真题），下列不等式恒成立的是（        ） A． B． C． D． 3．（2023上海·春季高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为 ． 4．（2022·上海·秋季高考真题），，则的最小值是 . 6．（2022·上海·秋季高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2021•上海）已知函数的最小值为5，则　　． 2．（2020•上海）下列不等式恒成立的是（　　） A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2 D．a2+b2≤﹣2ab 1．（2019•上海）若，，且，则的最大值为　　． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题04 基本不等式 知识点一、基本不等式 1、均值不等式：≤ (1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数. 2、三角不等式 对于任意的实数a、b,有，且等号当且仅当时成立 如果是实数，则， 注：当为复数或向量时结论也成立. 知识点二、几个重要不等式 重要不等式 使用前提 等号成立条件 a2＋b2≥2ab a，b∈R a＝b ＋≥2 ab>0 a＝b ＋≤－2 ab<0 a＝－b ab≤ a，b∈R a＝b ≤ a，b∈R a＝b (4)≤≤≤(a>0，b>0). 知识点三、.利用基本不等式求最值的基本方法 (1)直接法 (2)配凑法 (3)常数代换法 (4)消元法 (5)换元法 知识点四、基本不等式与对勾函数 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数； 对勾函数，当时， 对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数； ①当同号时， 对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示： ②当异号时， 对勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示： 知识点五、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 考点一 基本不等式 题型01：均值不等式的理解及常见变形 【名师点拨】1.灵活应用两个基本不等式的变形公式 (1)≥2(a，b同号，当且仅当a＝b时，等号成立)； (2)≤≤≤(a>0，b>0，当且仅当a＝b时，等号成立). 2.谨防两个易误点 (1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误. (2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值. 【例1】（2025金山中学高三模拟）已知a，b∈R，则下列不等式不成立的是(　　) A.4ab≤(a＋b)2 B.≤ C.≤ D.ab≤ 【答案】C 【解析】A选项，4ab－(a＋b)2＝－(a－b)2≤0，即4ab≤(a＋b)2，故A选项正确； B选项，当a＋b>0时，>0，则≤0恒成立，即≤恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确； C选项，当a＋b>0时，2ab－≤0，即2ab≤，≤恒成立，当a＋b<0时，2ab－≤0，即2ab≤，≥，故C选项错误； D选项，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D选项正确. 【例2】（2025复旦附中高三模拟）已知、都是正数，则下面结论正确的是（   ） A． 的最小值为 B．≥4 B． C．的最大值为 D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求积的最大值、二次与二次（或一次）的商式的最值、对数函数单调性的应用、对勾函数求最值 【分析】利用对勾函数的单调性可判断A选项；利用基本不等式可判断BC选项；取可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则，令，则， 因为对勾函数在上单调递增，则， 所以，无最小值，A错； 对于B选项，当时，，则B错误. 对于C选项，因为、都是正数，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即的最大值为，C对； 对于D选项，当时，，此时，，D错. 故选：C. 【跟踪训练】 1．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证即证可判断③. 【详解】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 2．（上海·高考真题（理））若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确． 考点：不等式的性质 3．（2024·上海松江·一模）已知，以下四个数中最大的是（    ） A．b B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得，而、都是正数，故只需让它们的平方作差与0比较大小即可. 【详解】由题意，所以， 由基本不等式可得，同时注意到，所以， ， 而、都是正数，所以. 故选：D. 4．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法即可判断A；根据基本不等式即可判断BD；根据绝对值的三角不等式即可判断C. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号， 所以，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，， 当且仅当，即时，取等号， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以，故D正确. 故选：B. 题型02：三角不等式的应用 【名师点拨】对于任意的实数a、b,有，且等号当且仅当时成立 【例3】（2025复兴高级中学高三模拟）ab<0,则有① ② ③ ④四个式中正确的是（ ） A.①② B. ②③ C. ①④ D.②④ 【答案】C. 【解析】对于①，因为ab<0,即a、b同号且都不为0，则，故①成立； 对于②，因为ab<0,即a、b同号且都不为0，则，故②不成立； 对于③，因为绝对值不等式,故③不成立； 对于④，因为绝对值不等式,故④成立.故选C. 【例4】（2025上师大高三模拟）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为， 又关于的不等式有解，所以 故答案为 【跟踪训练】 1.（2024七宝中学高三模拟）不等式成立的充要条件是（ ） A.ab≠0 B. a2+b2≠0 C.ab>0 D.ab<0 【答案】B. 【解析】因为，要保证分母不等于0，所以a、b不能同时为0，即a2+b2≠0 ，所以 ，两边平方得2ab≤2|a||b|，不等式恒成立，故选择B. 2．（2025·上海金山·二模）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式性质判断AD；举例说明判断B；利用绝对值的三角形不等式判断C. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，取，，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 3.（2025奉贤中学高三模拟）已知函数f(x)＝|x－3|－|x－a|； （1）当a＝2时，解不等式f(x)≤－；（2）若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，求实数a的取值范围． 解：(1)因为a＝2，所以f(x)＝|x－3|－|x－2| ＝所以f(x)≤－等价于 或或解得≤x<3或x≥3，所以不等式的解集为. (2)由不等式的性质可知f(x)＝|x－3|－|x－a|≤|(x－3)－(x－a)|＝|a－3|， 所以若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，则|a－3|≥a，解得a≤， 所以实数a的取值范围是. 考点二 利用基本不等式求最值 题型03：利用基本不等式求最值 （一）直接法 【例5】（2023·全国·高三专题练习）若，则的最大值为__________ 【答案】2 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】，由于，所以，故，当且仅当时等号成立，故最大值为2 故答案为：2 【例6】（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由已知，，，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式】（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式计算可求最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式】（2021·上海嘉定·一模）已知实数x、y满足，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】利用基本不等式可得，即求. 【解析】依题意， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式】（2023上·上海松江·高三统考期末）已知，则的最小值为 【答案】 【分析】根据对数运算求得的关系，利用基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以且， 所以， 当时等号成立. 故答案为： （二）配凑法 【例7】（2025宝山中学高三模拟）若，则的最小值为__________． 【答案】3 【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值. 【详解】因为，由基本不等式得：， 当且仅当，且，即时等号成立． 故答案为：3 【变式】（2021·上海青浦·三模）若正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】由可得，将它们替换目标式中的、，应用基本不等式求最小值即可. 【解析】由题设知：，即，又且， ∴， 当且仅当时等号成立. 故答案为：. 【变式】（2023·天津红桥·统考一模）已知，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】将不等式变为，再由基本不等式即可得出答案. 【详解】, 当且仅当，即时取等. 故答案为：. 【变式】（2022·上海·位育中学模拟预测）已知 ， 且， 则 的最小值为_____. 【答案】 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【解析】， 而，当且仅当时等号成立， 由可得或， 故，当且仅当或等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. （三）常数代换法 【例8】（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据基本不等式求解． 【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是． 故答案为：． 【变式】（2025·天津河东区·一模）已知，则的最小值为 . 【答案】/1.6 【解析】因为，所以. 所以 , 当且仅当时等号成立. 故的最小值为. 故答案为:. 【变式】（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知，且，则的最小值是_____． 【答案】25 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：25 【变式】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且满足，则的最大值为（    ） A．9 B．6 C．4 D．1 【答案】D 【分析】由题可得，利用基本不等式可得 ，进而即得. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值为1. 故选：D. 【变式】（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，将所求式子进行整理变形，再利用基本不等式即可求解. 【详解】，等式恒成立，， 由于，所以，， ， 当且仅当时，即时取等号. ，，故的最小值为1. 故选：. 【变式】（2021·上海金山·二模）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】求出定点，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解析】对于函数，令，可得，则， 故函数的图象恒过定点， 因为点在直线上，则，可得， 因为、，所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. （四）消元法 【例9】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】由已知条件可得，求出，可得出，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由可得，则，由可得， 所以，，当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知实数a，b满足，则的最大值为_____________． 【答案】2 【分析】先消元，再用基本不等式即可求出最大值. 【详解】由得，则 ， 当且仅当时，此时，，或者，时等号成立， 所以的最大值为2． 故答案为：2. （五）换元法 【例10】（2025·天津市·一测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【解析】因为 所以 所以 ， 当且仅当，即取等号 所以的最小值为8 故选：B 【变式】（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知实数，满足，，且，则的最大值为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】由，变形为，设，利用基本不等式得到，进而化为求解. 【详解】解：由，变形为，设， ∵，当且仅当时，取等号，即， ∴，∴， 即，， ∴，∴， 此时，，即，时，的最大值为8. 故选：B. 【变式】（2021秋·天津静海·高三校考阶段练习）若，且，则的最小值为_________ 【答案】 【分析】令，可得，化简可得，再结合基本不等式可求解. 【详解】令，则， 则，即， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查基本不等式的应用，解题的关键是令，化简得出利用基本不等式求解. 考点三 基本不等式的应用 题型04：利用基本不等式证明不等关系 【例11】已知a为正数，比较大小： 4. 【答案】 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 【例12】设，，均为正数，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，则，根据，，，即可得证； （2）由已知得若证，即证，再根据，，，即可得证. 【详解】（1）由，得， 又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，， 当且仅当时，上述不等式等号均成立， 所以， 即， 所以，当且仅当时等号成立； （2）因为，，均为正数， 所以若证， 即证， 又，，，当且仅当时，不等式等号均成立， 则， 即，当且仅当时等号成立. 【跟踪训练】 1.已知，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中一定成立的结论是 （写出所有成立结论的编号）. 【答案】④ 【知识点】由基本不等式证明不等关系、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据基本不等式，结合特殊值法逐一判断即可. 【详解】①：因为，， 所以有，则，故，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故①错误； ②：当时，显然成立，但是不成立，故②错误； ③：当时，显然成立，但是不成立，故③错误； ④：因为，所以，即， 则， 由①可知：，则，所以， 则，故， 当且仅当时，等号成立，所以，故④正确. 故答案为：④ 2.已知函数，若的解集为． (1)求实数，的值； (2)已知均为正数，且满足，求证：． 【解析】（1）因为的解集为，所以，即，所以， 又，所以，即. 所以， 当时，,得，则， 当时，，得， 当时，，得，不成立， 综上所述：的解集为， 因为的解集为．所以. （2）由（1）知，，所以， 所以，当且仅当，时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当，时，等号成立. 题型05：基本不等式的恒成立问题 【例13】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围__________. 【答案】 【分析】由不等式恒成立可得，利用基本不等式求的最小值，由此可求的取值范围. 【详解】因为不等式恒成立，所以， 由，， 可得， 当且仅当时等号成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得的最小值为4，再根据含参不等式恒成立解一元二次不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】正实数满足， 则， 当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4， 要使不等式恒成立，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 2．（2022·上海·二模）已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是_________. 【答案】不存在 【分析】利用参变量分离法结合基本不等式求出的取值范围，即可得解. 【解析】由已知可得，，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，，故实数的最大值不存在. 故答案为：不存在. 考点四 基本不等式与其他知识交汇 题型06：基本不等式与其他知识交汇的最值问题 （一）与函数的结合 【例14】已知函数恒过定点，则的最小值为（    ）． A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果. 【详解】由题意可知， 则， 当且仅当，时， 的最小值为， 故选:A． 【例15】（2024·上海奉贤·二模）某商品的成本与产量之间满足关系式，定义平均成本，其中，假设，当产量等于 时，平均成本最少. 【答案】 【分析】根据条件得到，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】由题知， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 【变式】（2023·吉林·东北师大附中校考二模）已知函数，若实数、满足，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】分析出函数为上的增函数，且为奇函数，由可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】函数的定义域为，且， 所以，函数为奇函数， 因为函数、、均为上的增函数，故函数在上为增函数， 由可得， 所以，，即，当取最大值时，则， 所以，， 当且仅当时，即当，等号成立， 因此，的最大值为. 故答案为：. 【变式】（2023·四川遂宁·统考二模）中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则面积的最大值为___________. 【答案】/ 【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即可得出面积的最大值. 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以，， 因为、，则，所以，，故， 由余弦定理可得， 所以，，则. 当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为. 故答案为：. 【变式】（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为______________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，求出，再利用余弦定理及均值不等式求解作答. 【详解】在中，由及正弦定理得：，而， 于是，有， 而，，因此，由余弦定理得， 即有，当且仅当时取等号， 从而，而，则， 所以周长的取值范围为. 故答案为： （三）与平面向量的结合 【例16】（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据条件推理得到在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于，，故可以作出图形，设出，将所求转化成关于的函数形式，利用基本不等式即可求得. 【详解】因，由可得， 即在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于， 又由可得，不妨设， 则，，于是， 因，则，因，当且仅当时，等号成立， 即当时，取得最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于运用向量数量积的定义和投影向量的数量理解的相互关系,设出夹角，将所求化成关于的函数形式. 【变式】（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】根据向量运算可得，再由均值不等式求解即可. 【详解】，，， ，即， 由，，则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 【变式】（2023·安徽安庆·统考二模）已知非零向量，的夹角为，，且，则夹角的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用向量数量积运算律及题设可得，注意等号成立条件，结合已知不等条件求范围，即可得最小值. 【详解】由有，即， 前一个等号成立条件为，整理得. 由于，所以，于是夹角为的最小值为. 故选：C （四）与数列的结合 【例17】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得，再结合基本不等式即可求解． 【详解】各项均为正数的等比数列中， 由，则， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为8． 故选：B． 【变式】（2023·高三课时练习）在等差数列中，，且，则的最大值为______. 【答案】4 【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，再利用基本不等式即可求得结果. 【详解】由等差数列前项和公式可知， ，即； 又因为，利用基本不等式可得， 所以，当且仅当时，等号成立； 即的最大值为4. 故答案为：4 （六）与立体几何的结合 【例18】（2023秋·河北唐山·高三统考期末）已知正三棱锥的侧棱长为2，则该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正三棱锥的特点及体积公式，结合三元基本不等式及正方体的体对角线为正三棱锥的外接球的直径，然后利用球的表面积公式即可求解. 【详解】设为底面的中心，延长交于，连接,如图所示 因为三棱锥是正三棱锥， 所以平面，且是边上的中线， 设，则 ， 在中，， 所以三棱锥的体积为， 因为， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 当时，正三棱锥体积取得最大， 所以正三棱锥的侧棱长为2，底面边长为， 由此可知，该正三棱锥的侧面为等腰直角三角形，即侧棱两两垂直，则该正三棱锥的外接球为棱长为2的正方体的外接球， 所以该正三棱锥的外接球的直径为正方体的体对角线， 即，解得, 所以外接球的表面积为. 故选：C. 【变式19】（2023·江苏·高三统考学业考试）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设底面圆半径为，则圆柱的高为，圆柱侧面积为，利用均值等式计算得到答案. 【详解】设底面圆半径为，则圆柱的高为， 圆柱侧面积为， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 【变式】（2024·上海长宁·二模）用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为立方米，则至少需要 平方米铁皮 【答案】 【分析】由柱体的体积公式可得，再求出圆柱形容器的表面积，由基本不等式求解即可. 【详解】设圆柱形容器的底面半径为，高为， 所以圆柱形容器的体积为，所以， 所以圆柱形容器的表面积为：, 当且仅当，又，即时等号成立， 故至少需要平方米铁皮. 故答案为：. （五）与解析几何的结合 【例20】（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点是圆上的动点，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】D 【分析】对于A，转化问题为求直线的最大截距，由几何法即可得解； 对于B，利用基本不等式即可得解； 对于C，转化问题为求到圆上的点的距离的平方的最小值，由几何法即可得解； 对于D，转化问题为求点到圆上的点的连线的斜率的最大值，由几何法即可得解. 【详解】由圆得，则， 因为点是圆上的动点，所以， 对于A，令，则，故问题转化为直线与圆相交时，求直线截距的最大值， 显然，当直线与圆相切于点时，截距最大，连结，则，如图1， 因为直线斜率为，故倾斜角为，故， 故在中，，故， 即截距的最大值为，故的最大值为，故A错误； . 对于B，因为，所以，即， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故B错误； 对于C，将看作是到圆上的点的距离的平方，如图1，又因为， 所以，故，故C错误； 对于D，将看作是点到圆上的点的连线的斜率，则直线的方程为，即，如图2， 由题意可知，圆心到直线的距离，即，解得， 故的最大值为，即的最大值为，故D正确. . 故选：D. 【变式】数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线：为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（    ）    （1）方程，表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过； （3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于； （4）曲线上有个整点横、纵坐标均为整数的点. A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4） 【答案】A 【知识点】由方程研究曲线的性质、基本（均值）不等式的应用 【分析】因为，所以与异号，从而可判断（1）；利用基本不等可判断（2）；将以为圆心，2为半径的圆的面积与曲线围成区域的面积进行比较即可判断（3）；先确定曲线经过点，再将第一象限内经过的整点，，逐一代入曲线的方程进行检验，根据对称性即可判断（4）. 【详解】对于（1）：因为，所以x与y异号，故图象在第二和第四象限，正确； 对于（2）：因为，所以， 所以，所以，正确； 对于（3）：以O为圆点，2为半径的圆O的面积为， 结合（2）知然曲线C围成的区域的面积小于圆O的面积，错误； 对于（4）：将和联立，解得， 所以可得圆与曲线C相切于点，，，， 点的位置是图中的点M，    由曲线的对称性可知，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可， 把，和代入曲线C的方程验证可知，等号不成立， 所以曲线C在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点，错误. 故选：A 1．（2025·上海·秋季高考真题）设，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 2．（2024上海·春季高考真题）已知，的最小值为 ． 【答案】12 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 5．（2024上海·春季高考真题），下列不等式恒成立的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，因为，故，故B成立， 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误； 故选：B. 3．（2023上海·春季高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由，代入即可得出答案. 【详解】， 当且仅当“”，即时取等， 所以的最大值为. 故答案为： 4．（2022·上海·秋季高考真题），，则的最小值是 . 【答案】/ 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】分析可得，利用不等式的基本性质可求得的最小值. 【详解】设，则，解得， 所以，， 因此，的最小值是. 故答案为：. 6．（2022·上海·秋季高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】因为，则，故，A对B错； ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错. 故选：A. 5．（2021•上海）已知函数的最小值为5，则　　． 【解析】， 所以，经检验，时等号成立． 故答案为：9． 2．（2020•上海）下列不等式恒成立的是（　　） A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2 D．a2+b2≤﹣2ab 【分析】利用（a+b）2≥0恒成立，可直接得到a2+b2≥﹣2ab成立，通过举反例可排除ACD． 【解答】解：A．显然当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A错误； B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正确； C．显然当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2不成立，故C错误； D．显然当a＞0，b＞0时，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题． 1．（2019•上海）若，，且，则的最大值为　　． 【解析】，； 故答案为： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$