精品解析：湖南省岳阳市平江县颐华学校2025-2026学年高二上学期第二次阶段检测数学试题

颐华学校2024级高二上学期第二次大练习考试试卷 数学 满分：150分 时量：120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列中，公比，若，则（ ） A. 有最小值 B. 有最小值12 C. 有最大值 D. 有最大值12 5. 已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，为线段上的点，且，过的平面交于点，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 11. 如图，直三棱柱为等腰直角三角形，，且分别是的中点，分别是上的两个动点，则（ ） A. 与一定是异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与所成角为 D. 若为中点，则四棱锥的外接球体积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若，，为空间中两两夹角为的单位向量，，，则________. 13. 已知为坐标原点，点，圆，点为圆上的一动点，则的最小值为__________. 14. 已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程 （2）若曲线在点处的切线方程与曲线也相切，求的值. 16. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 17. 已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形，且分别在棱上，平面. （1）若是的中点，求与平面所成角的余弦值； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 设，向量分别为平面直角坐标内x，y轴正方向上的单位向量，若向量，且． （1）求点的轨迹C的方程； （2）设椭圆，曲线C的切线交椭圆E于A、B两点，试证：的面积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 颐华学校2024级高二上学期第二次大练习考试试卷 数学 满分：150分 时量：120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合垂直关系可得直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】由直线，则其斜率， 设直线的倾斜角为，则有，故， 由，故. 故选：D. 2. 如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的加法、减法法则化简可得结果. 【详解】. 故选：D. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得. 【详解】解：对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D错误； 故选：B． 4. 已知等比数列中，公比，若，则（ ） A. 有最小值 B. 有最小值12 C. 有最大值 D. 有最大值12 【答案】B 【解析】 【分析】由结合基本不等式可以求出最小值，又可以趋向正无穷大，则无最大值，即可求解. 【详解】因为公比，，则， 当且仅当即时取等，故可知的最小值为12， 又可以趋向正无穷大，则可以趋向正无穷大，即无最大值. 故选：B. 5. 已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得面积最小值. 【详解】根据，则直线的方程为，即， 又由，则圆心为， 则， 所以点到直线的最小值， . 故选：C 6. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】因为双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为， 可得，即，所以双曲线的离心率为. 故选：B. 7. 已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的公差为，根据题意列出方程组，求得，得到和，进而求得答案. 【详解】设的公差为，因为，， 可得 ，解得，所以， 可得， 所以当时，取得最小值. 故选：D. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，为线段上的点，且，过的平面交于点，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，把线面距转化为点面距，利用点面距的公式可得答案. 【详解】以点D为坐标原点，直线分别为x轴､y轴､z轴建 立空间直角坐标系，如图所示. 则， ， ，则. 又平面平面平面EFGH. 到平面EFGH的距离，即为点到平面EFGH的距离. 设平面的法向量为，则即 令，则， 又点到平面EFGH的距离， ∴直线到平面EFGH的距离为. 故选：A 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可得到数列是以为周期3的周期数列，根据周期性计算可得. 【详解】由，，可得 ，故A正确；B错误； 对于C，由上可知，数列是以3为周期的周期数列， 则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 10. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以. 故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示： 过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，直三棱柱为等腰直角三角形，，且分别是的中点，分别是上的两个动点，则（ ） A. 与一定是异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与所成角为 D. 若为中点，则四棱锥的外接球体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】当特殊情况与重合有与相交且共面，可判断A不正确；根据线面垂直､面面垂直判定可证面面，可知､到面的距离，可求，可判定B正确；根据线面垂直的判定及性质即可确定与所成角，可判断C正确；由面面垂直､勾股､矩形性质等确定外接球半径，进而求体积，可判定D正确. 【详解】对于A中，当与重合时，与相交且共面，所以A错误； 对于B中，由，且，则面， 又由面，面面，所以面面， 因为，且到面的距离为， 所以，所以B正确； 对于C中，由，，，所以面， 又由，可得面，因为面，所以， 所以C正确； 对于D中，由面面，可得面面， 则到面的距离为， 又由为中点，若交点为，为中点，连接，则，故，由矩形的性质知， 令四棱锥的外接球半径为，则，所以四棱锥的外接球体积为，所以D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若，，为空间中两两夹角为的单位向量，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的定义以及数量积的运算性质直接计算即可. 【详解】由题意得，，， 则. 故答案为： 13. 已知为坐标原点，点，圆，点为圆上的一动点，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出当位于第一象限且与圆相切时的大小进而即可得的最小值. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为（如图）.    由图可知，当与圆相切，且位于第一象限时最小， 此时，即，所以， 故的最小值为. 故答案为：. 14. 已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，采用“点差法”，得，再根据直线过点，和AB的中点坐标，得，结合椭圆中a，b，c的关系，可求得，，即可得E的方程. 【详解】已知，设，，则①，②， 已知AB的中点坐标为，， ①－②得， ∴， ∵，∴，即， 又， ∴，，即E的方程为. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了弦的中点有关问题；在中点弦或弦的中点问题中，常采用“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式求解. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程 （2）若曲线在点处的切线方程与曲线也相切，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解切线方程； （2）先求出曲线在点处的切线，然后设该切线与曲线的切点，利用导数的几何意义和题干已知条件列出方程即可求解. 【小问1详解】 ，则， 则函数在点处的切线为，即. 【小问2详解】 ， 在点处的切线与曲线也相切， 设切线与曲线的切点为，则， 故切线为，即， 即，解得. 16. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意联立直线和的直线方程，求得交点，进而求得半径，即可得解； （2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解. 【小问1详解】 首先由可得， 所以直线和相交于点， 所以圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得， 此时，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 根据题意圆心到直线的距离为， 所以，解得，此时直线方程为， 所以直线l的方程为或. 17. 已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推式采用两式相减的方法可得，再结合等比数列定义即可得的通项公式，由点在函数的图象上，可得，结合等差数列定义可得的通项公式； （2）由题意可得，结合等比数列与等差数列求和公式分组计算即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以， 当时，由题设条件得，解得，故， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上，所以，即， 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； 【小问2详解】 ，所以 . 18. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形，且分别在棱上，平面. （1）若是的中点，求与平面所成角的余弦值； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量坐标公式计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量坐标公式计算即可. 【小问1详解】 由题意：底面是正方形；连接交于点，连接； 因为平面，平面平面平面， 所以；又是中点，故是中点； 以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系； 不妨设，则. 因是的中点，则； 故； 设平面的法向量为， 则，故可取； 记与平面所成角为， 则， 因，故. 故与平面所成角的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）可知，故， ，又平面， 故平面，即平面的法向量可取为， 而平面的法向量， 记平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 设，向量分别为平面直角坐标内x，y轴正方向上的单位向量，若向量，且． （1）求点的轨迹C的方程； （2）设椭圆，曲线C的切线交椭圆E于A、B两点，试证：的面积为定值． 【答案】（1） （2） 如上图，由题意，直线是曲线：的切线， ∴由可得：， 则，化简得：. 由题意，直线交椭圆：于、两点， ∴由可得：， 设、，则，， ∴， 又∵，∴. 且由知， ∴. 又∵中边上的高即为点到直线的距离， ∴由点到直线距离公式得，又∵， ∴， 即的面积为定值. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的模的几何意义、椭圆的定义、椭圆的标准方程运算即可得解. （2）利用直线与椭圆的位置关系、点到的直线距离公式、三角形面积公式运算即可得解. 【小问1详解】 如上图，由题意，∵，， ∴即为点与点的距离， 即为点与点的距离， ∴由可得， ∴由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 且长轴长为，，则， ∴由椭圆的标准方程知点的轨迹的方程为，即. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：直线与椭圆的相交弦长的求解方法： 1.当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解. 2.当直线的斜率存在时，斜率为的直线与椭圆相交于、两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下两种： （1）； （2）（）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $