第23章《旋转》期末单元复习卷 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版九年级数学 第二十三章 旋转 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分）） 1.下列标志的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意； 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不合题意； 、即是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：． 2.如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转后得到，则下列四个图形中正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据绕点按顺时针方向旋转逐项分析即可． 【解答】、是由关于过点与垂直的直线对称得到，故选项不符合题意； 、是由绕点按顺时针方向旋转后得到，故选项符合题意； 、与对应点发生了变化，故选项不符合题意； 、是由绕点按逆时针方向旋转后得到，故选项不符合题意． 故选：． 3.如图，在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标均为整数，可由绕点旋转得到，则点的坐标是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查图形的旋转变换．利用网格特点，作和的垂直平分线，它们相交于点，然后写出点坐标即可． 【解答】解：如图，可由绕点顺时针旋转得到，所以旋转中心的坐标为． 故选：． 4.如图，三角形是由三角形绕点顺时针旋转后得到的图形，，则的度数是（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据旋转角与的位置，度数关系即可求解． 【解答】解：旋转，，， 故此题答案为． 5.如图,在中,,将绕点顺时针旋转后得到,则点的运动轨迹的长为 （ ） A. B. C. 【答案】C 【解析】此题暂无解析 【解答】由题意得,,由弧长公式可得,． 故选． 6.若点与点关于原点对称，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了关于原点对称的点的性质，负整数指数幂；正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而代入代数式求值，即可求解． 【解答】解：点与点关于原点对称， 故选：． 7.如图，在中，，将绕着点顺时针方向旋转到，经过点 ．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设，与交点为，用的代数式表示出、、的度数，利用平角为即可列出方程． 【解答】解：设，与交点为，如图， ， ， ， ， ， ，， 又， ， 点在线段上， ， 解得，即， 故选： 8.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在边上，若，则的度数为     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．由旋转可知，，利用三角形内角和可求，从而得解． 【解答】解：将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ． 故选：． 9.如图，把以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，线段，相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握及运用其性质是做题的关键．根据旋转的性质逐一分析选项即可得到结论． 【解答】解：由旋转的性质可知，，，仅根据这些条件，无法得出，故选项不符合题意； 由旋转的性质可知，，，仅根据这些条件，无法得出，故选项不符合题意； 由旋转的性质可知，，，，，由“字模型”可得，，又， ，故选项符合题意； 由旋转的性质可知，，，仅根据这些条件，无法得出，故选项不符合题意． 故选：． 10.如图，为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与相交于两点，则以下结论：①；②与的长度和为定值；③四边形的面积保持不变；④的长度保持不变；⑤的周长保持不变．其中正确的是（    ） A.①②③ B.②③⑤ C.①③④ D.①②⑤ 【答案】A 【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理，等边三角形的判定及性质等知识，解题的关键是通过添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 如图作于，于，只要证明，，即可一一判断． 【解答】如图作于，于． ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确， ， 是等边三角形， 为定值， ， 故③正确， 为定值，故②正确， 在旋转过程中，是等边三角形，顶角是定值， 因为腰的长度是变化的， 所以底边的长度是变化的，的周长也是变化的，故④⑤错误， 故选：． 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.点关于原点对称的点的坐标是____________． 【答案】 【解析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12.把如图所示的图形绕着它的中心旋转一定角度后能与自身完全重合，则这个旋转角至少是______________． 【答案】 【解析】本题主要考查了旋转的概念，通过计算除以图案的对称部分数量来确定最小旋转度数是解题的关键． 通过图案可知对称部分的数量为，利用除以即可得解； 【解答】， 旋转的角度是的整数倍， 旋转的角度至少是； 故答案是：． 13.如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为________________ ． 【答案】 【解析】本题考查坐标与图形变化旋转，写出直角坐标系中点的坐标，解题的关键是根据旋转的性质找出旋转中心． 根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心找出旋转中心，再利用数形结合写出旋转中心的坐标即可． 【解答】解：如图，旋转中心的坐标为 故答案为：．   14.如图，是等边内一点，连接，，将绕点逆时针旋转一定角度，得到，连接，若，则的长为_____2_______． 【答案】 【解析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，根据旋转前后对应边相等证明是等边三角形，即可求解； 【解答】解：绕点逆时针旋转 ，得到， 是等边三角形， ； 故答案为： 15.在平面直角坐标系中，等腰直角和等腰直角的位置如图所示，顶点，在轴上，，．若点的坐标为，则线段的长为________________． 【答案】 【解析】如图，过点作一条垂直于轴的直线，过点作交点为，过点作交点为；有题意可知，，由点坐标可知的长度，，进而可得结果． 【解答】解：如图, 过点作一条垂直于轴的直线，过点作交点为，过点作交点为； ，， ，， 在和中， 由点坐标可知， 故答案为：． 16.如图，，，将绕点逆时针旋转，得到，设与交于点，连接，当为等腰三角形时，_____或_________． 【答案】或 【解析】本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的两底角相等求出，再表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后分①，②，③三种情况讨论求解． 【解答】解：将绕点逆时针旋转 ，得到， ， ， ， 根据三角形的外角性质，， 是等腰三角形，分三种情况讨论， ①时，，无解， ②时，， 解得：， ③时，， 解得：， 综上所述，旋转角度数为或． 故答案为：或． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.（4分）如图,已知和关于点成中心对称,请画出对称中心,并将补充完整(保留作图痕迹)． 【答案】见详解 【解析】此题暂无解析 【解答】如图所示, 和点即为所求．   18.(6分) 如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）画出绕点逆时针旋转的图形； （3）若是由绕点旋转得到的（点，的对应点分别是点，），则点的坐标为_______． 【答案】见解答 见解答 【解析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可； （3）对应点连线的交点即为旋转中心． 【解答】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求，． 故答案为：． 19.（6分）如图所示，在中，，将绕点逆时针旋转至处，使点落在延长线上的点处，求的度数． 【答案】 【解析】根据旋转的性质可得，则，最后根据即可求解． 【解答】解：绕点逆时针旋转至处，， ， ， ． 20.（6分）如图，是含角的直角三角形尺，且，．将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，连接．求证：是等边三角形． 【答案】见解答 【解析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定．根据题意得出是等边三角形，进而求得，根据即可求解． 【解答】解：将绕点按顺时针旋转一定角度得到， ，， 又， 是等边三角形， ， 是等边三角形． 21.(8分) 如图逆时针旋转一定角度后与重合． （1）若，，指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）若，且点恰好成为的中点，求的长． 【答案】旋转中心为点， 【解析】（1）根据旋转的性质可得旋转中心为点，三角形内角和定理可得，旋转角的度数为； （2）根据旋转的性质可得，最后根据线段中点的定义即可解答． 【解答】（1）解：在中，，， ， ， 当逆时针旋转一定角度后与重合， 旋转中心为点，旋转角的度数为； （2）解：由旋转得，，， 为的中点， ， ． 22.(8分) 如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合． （1）旋转中心是______点_____，旋转角度最小为___________； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】点， 等腰直角三角形，见解析 【解析】（1）因为经逆时针旋转后能与重合，根据旋转的性质，旋转中心是两个三角形的公共点，旋转角度最小为； （2）因为四边形是正方形，所以，根据旋转的性质，可得，，从而得到是等腰直角三角形． 【解答】（1）解： 经逆时针旋转后能与重合， 旋转中心是点，旋转角度最小为， 故答案为：点，； （2）是等腰直角三角形，理由如下： 四边形是正方形， ， 绕点逆时针旋转后能与重合， ，， 是等腰直角三角形．  23.(10分) 如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，． （1）求证：． （2）求的度数． 【答案】见解答 【解析】（1）根据旋转和已知条件证明，，然后根据“”直接证明，即可解决问题； （2）根据等腰三角形的性质，分别求出、的度数，即可解决问题． 【解答】（1）解：证明：根据旋转可知，，，， ， ， 在与中， ， ． （2）解：，， ， ，， ， ． 24.(12分) 如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作于点． （1）求证：． （2）用圆规和无刻度的直尺作的平分线与的延长线相交于点，连接并延长与的延长线相交于点．（保留作图痕迹） ①求证：． ②若，则的大小为_______度．（用含的代数式表示） 【答案】证明见解答 作图见解答；①证明：见解答；② 【解析】（1）根据已知条件，利用“”证明即可； （2）利用画角平分线的方法将题中所要求的角平分线及其他辅助线作出即可；①通过角平分线定义得出，再利用“”证明，得出，通过线段间的等量关系证明出最终结论；②根据题意得到，由于得到，进而得出，此时为等腰三角形，利用三角形内角和定理得到的表达式． 【解答】 （1）解：证明：，， ， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ，， ， 在和中， ， ． （2）解：如图所示为所求： ①证明：平分，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即． ②，， ， 又， ， ， ，即为等腰三角形， ． 故答案为：． 25.(12分) 定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【理解定义】 （1）如图，是等边三角形，在上任取一点（、除外），连接，把绕点逆时针旋转，则与重合，点的对应点为．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由． 【类比探究】 （2）如图，在等补四边形中，，，若四边形的面积为，求的长． 【拓展应用】 （3）如图，在四边形中，，，，求四边形面积的最大值．（用含的代数式表示） 【答案】是等补四边形，见解析 【解析】（1）根据旋转性质得到，，结合即可判断； （2）根据，得到绕点顺时针旋转得，即可得到、、三点共线，结合面积即可得到答案； （3）根据旋转得到、、三点共线，得到，结合当时，的面积最大，求解即可得到答案； 【解答】（1）解：是等补四边形， 理由：由旋转得，， ， ， 四边形是等补四边形． （2）如图，，， 将绕点顺时针旋转得， ，，， ， ， 、、三点共线， ， ， （负值舍去）． （3）， 将绕点逆时针旋转使与重合， 得，如图， ，，， ， ， 、、三点共线， ， 当时，的面积最大，为． 四边形面积的最大值为． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版九年级数学 第二十三章 旋转 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分）） 1.下列标志的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）． A. B. C. D. 2.如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转后得到，则下列四个图形中正确的是（    ） A. B. C. D. 3.如图，在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标均为整数，可由绕点旋转得到，则点的坐标是（   ） A. B. C. D. 4.如图，三角形是由三角形绕点顺时针旋转后得到的图形，，则的度数是（      ） A. B. C. D. 5.如图,在中,,将绕点顺时针旋转后得到,则点的运动轨迹的长为 （ ） A. B. C. 6.若点与点关于原点对称，则（    ） A. B. C. D. 7.如图，在中，，将绕着点顺时针方向旋转到，经过点 ．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 8.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在边上，若，则的度数为     A. B. C. D. 9.如图，把以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，线段，相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（   ） A. B. C. D. 10.如图，为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与相交于两点，则以下结论：①；②与的长度和为定值；③四边形的面积保持不变；④的长度保持不变；⑤的周长保持不变．其中正确的是（    ） A.①②③ B.②③⑤ C.①③④ D.①②⑤ 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.点关于原点对称的点的坐标是_________． 12.把如图所示的图形绕着它的中心旋转一定角度后能与自身完全重合，则这个旋转角至少是_____________． 13.如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为______________ ．   14.如图，是等边内一点，连接，，将绕点逆时针旋转一定角度，得到，连接，若，则的长为_________． 15.在平面直角坐标系中，等腰直角和等腰直角的位置如图所示，顶点，在轴上，，．若点的坐标为，则线段的长为_____________． 16.如图，，，将绕点逆时针旋转，得到，设与交于点，连接，当为等腰三角形时，____________． ． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.（4分）如图,已知和关于点成中心对称,请画出对称中心,并将补充完整(保留作图痕迹)． 18.(6分) 如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）画出绕点逆时针旋转的图形； （3）若是由绕点旋转得到的（点，的对应点分别是点，），则点的坐标为_____． 19.（6分）如图所示，在中，，将绕点逆时针旋转至处，使点落在延长线上的点处，求的度数． 20.（6分）如图，是含角的直角三角形尺，且，．将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，连接．求证：是等边三角形． 21.(8分) 如图逆时针旋转一定角度后与重合． （1）若，，指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）若，且点恰好成为的中点，求的长． 22.(8分) 如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合． （1）旋转中心是__________，旋转角度最小为_________； （2）判断的形状，并说明理由． 23.(10分) 如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，． （1）求证：． （2）求的度数． 24.(12分) 如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作于点． （1）求证：． （2）用圆规和无刻度的直尺作的平分线与的延长线相交于点，连接并延长与的延长线相交于点．（保留作图痕迹） ①求证：． ②若，则的大小为_______度．（用含的代数式表示） 25.(12分) 定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【理解定义】 （1）如图，是等边三角形，在上任取一点（、除外），连接，把绕点逆时针旋转，则与重合，点的对应点为．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由． 【类比探究】 （2）如图，在等补四边形中，，，若四边形的面积为，求的长． 【拓展应用】 （3）如图，在四边形中，，，，求四边形面积的最大值．（用含的代数式表示） 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $