专题03 旋转（期末复习专项训练，8大题型）九年级数学上学期人教版

专题03 旋转 题型1 生活中的旋转现象 题型5旋转综合应用（重点） 题型2 找旋转中心，旋转角和对应点 题型6 中心对称图形的识别（常考点） 题型3 根据旋转的性质求解（常考点） 题型7 关于原点对称的点坐标 题型4 旋转中规律问题（重点） 题型8 按图像的变换要求画出另一个图形（常考点） 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 生活中的旋转现象（共3小题） 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（   ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 2．（24-25九年级上·广东珠海·期中）下列运动形式属于旋转的是（   ） A．荡秋千 B．飞驰的火车 C．传送带移动 D．电梯的运行 3．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知甲、乙两个图案形状、大小完全相同，通过怎样的运动变换可以使它们重合？（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．轴对称、平移 题型二 找旋转中心，旋转角和对应点（共4小题） 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在的正方形网格中，是由绕某点旋转一定的角度得到的，G，H，P，Q都在网格线的交点上，则其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，将绕着旋转中心P旋转得到，则旋转中心P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广西玉林·期中）如图，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得点在同一条直线上，，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图所示，在正方形网格中，将三角形绕点A旋转后得到三角形，则旋转角为（   ） A． B． C． D． 题型三 根据旋转的性质求解（共6小题） 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，将绕点旋转至，点在上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在△ABC中，，将△ABC绕点A旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，边长为2的等边的边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转得到等边，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，其中，，若C，D，E三点共线，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 5．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，点E是正方形内一点，把绕点C旋转至的位置，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，将矩形绕点旋转一定角度得到矩形，使得点恰好落在边上，若，则的长为（ ） A．3 B．1 C． D． 题型四 旋转中规律问题（共5小题） 1.（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，菱形的顶点O与原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为．将菱形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，第次将点绕原点沿顺时针方向旋转得到点，第次将点绕原点沿顺时针方向旋转得到点，第次将点绕原点沿顺时针方向旋转得到点，，按照这样的规律，第次旋转后得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·广东·阶段练习）如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形，，直角边在x轴正半轴上，且，将绕原点O顺时针旋转，同时扩大边长的1倍，得到等腰直角三角形（即），同理，将顺时针旋转，同时扩大边长1倍，得到等腰直角三角形，依此规律得到等腰直角三角形，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 5．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的斜边，且在x轴的正半轴上，点落在第一象限内．将绕原点O逆时针旋转，得到，再将绕原点O逆时针旋转，又得到；依此规律继续旋转，得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型五 旋转综合应用（共14小题） 1．（九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，把绕着点B顺时针旋转得到，点C的对应点D落在上，连接． (1)若，求的长； (2)若D为的中点，求证：是等边三角形． 3．（23-24九年级上·江西宜春·期末）如图，矩形中，，，为上一点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，旋转角等于，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)求的长． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图1，在中，，D、E是边上的两点，且满足，以点B为旋转中心，将按逆时针方向旋转得到，连接． (1)求证：； (2)如图2，若，其他条件不变，探究之间的关系，并证明． 5．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 6．（九年级上·河南周口·期中）如图， 和都是等边三角形， 直线， 交于点． (1)如图1，当，，三点在同一直线上时，的度数为，线段与 的数量关系为___． (2)如图2， 当绕点顺时针旋转（）时， （） 中的结论是否还成立？若不成立， 请说明理由： 若成立， 请就图给予证明． (3)若， ， 当绕点顺时针旋转一周时， 求出长的取值范围． 7．（24-25九年级上·全国·期末）解答下列问题． (1)【问题解决】 一节数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，求出的度数； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，求出的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． (2)【类比探究】 如图，若点是正方形外一点，，，，求的度数． 8．（23-24九年级上·北京丰台·期末）在中，，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接． (1)如图1，当时，则 ；（用含有α的式子表示） (2)如图2，当时，作的角平分线交的延长线于点F．交于点E，连接． ①依题意在图2中补全图形，并求的度数； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 9．（九年级上·河南安阳·期中）（1）如图1，在正方形中，点F，G分别在边，上，若，则，，之间的数量关系为：_______；（提示：以点D为旋转中心，将顺时针旋转） 解决问题： （2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，E，F是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系； 拓展应用： （3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形，，菱形的边长为8，G，F分别为边，上任意两点，且满足，请直接写出四边形的面积． 10．（23-24九年级上·广西南宁·月考）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点A、B、C距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴ 点可看成是线段绕A点逆时针旋转而得的定点，为定长． ∴当B、P、、C′四点在同一直线上时，最小． (1)观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． (2)【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点P，，，连接，若．求的最小值； (3)【拓展应用】已知正方形内一动点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 11．（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：； (2)当的最小值为时，求正方形的边长． 12．（23-24九年级上·江西上饶·月考）【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 13．（23-24八年级下·山东济南·期末）阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，求证：，我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上，他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题，他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： (1)在图中，的度数是___________； (2)如图，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度； (3)如图，中，，，以为边作正方形，连接．当___________时，线段有最大值，并求出的最大值． 14．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决]    (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 题型六 中心对称图形的识别（共3小题） 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）下列纹样图是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．正方形 3．（2025·甘肃甘南·中考真题）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．B．C．D． 题型七 关于原点对称的点坐标（共5小题） 1．（24-25九年级上·陕西商洛·期末）已知点与点是关于原点的对称点，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东河源·期中）如图，已知点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则点C的坐标是（   ）    A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·重庆·期中）已知点，点关于原点对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 5．（24-25九年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，点和关于原点对称，则 ． 题型八 按图像的变换要求画出另一个图形（共4小题） 1．（25-26九年级上·新疆·期末）如图． (1)请画出向下平移6个单位长度后得到的；并写出点B的对应点的坐标为____________； (2)请画出关于点成中心对称的；并写出点B的对应点的坐标为____________． 2．（24-25九年级上·山西忻州·期中）已知，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)将绕点按逆时针旋转所得的，画出并写出点的坐标； (2)画出关于原点成中心对称的，并直接写出线段的长． 3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点顺时针方向旋转后得到的，并写出点的坐标． 4．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)将绕点A顺时针旋转，得到（点，分别是B，C的对应点），在图中画出； (2)在图中画出关于点O中心对称的（点，分别是B，C的对应点），点的坐标是 ； (3)在（1）、（2）的基础上，我们发现点，关于某点中心对称，则对称中心的坐标是 ． $专题03 旋转 题型1 生活中的旋转现象 题型5旋转综合应用（重点） 题型2 找旋转中心，旋转角和对应点 题型6 中心对称图形的识别（常考点） 题型3 根据旋转的性质求解（常考点） 题型7 关于原点对称的点坐标 题型4 旋转中规律问题（重点） 题型8 按图像的变换要求画出另一个图形（常考点） 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 生活中的旋转现象（共3小题） 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（   ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 【答案】D 【分析】本题考查了旋转，根据所给图形进行分析即可． 【详解】解：因为想把这张图片放正， 所以应点击（顺时针旋转）． 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东珠海·期中）下列运动形式属于旋转的是（   ） A．荡秋千 B．飞驰的火车 C．传送带移动 D．电梯的运行 【答案】A 【分析】本题考查了旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”，熟记旋转的定义是解题关键．根据旋转的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、荡秋千，是属于旋转，则此项符合题意； B、飞驰的火车，是属于平移，则此项不符合题意； C、传送带移动，是属于平移，则此项不符合题意； D、电梯的运行，是属于平移，则此项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知甲、乙两个图案形状、大小完全相同，通过怎样的运动变换可以使它们重合？（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．轴对称、平移 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和轴对称，平移不能改变图形的方向，轴对称图形的对应点连线要平行或在同一直线上，据此可得甲、乙两个图案不可以通过轴对称和平移得到，而甲、乙两个图案可以绕点某一点旋转得到，据此可得答案． 【详解】解：∵甲、乙两个图案的方向不一样， ∴甲、乙两个图案不能经过平移得到， ∵甲、乙两个图案的对应点连线有交点， ∴甲、乙两个图案不能经过轴对称得到， 而甲、乙两个图案可以绕点某一点旋转得到， 故选：C． 题型二 找旋转中心，旋转角和对应点（共4小题） 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在的正方形网格中，是由绕某点旋转一定的角度得到的，G，H，P，Q都在网格线的交点上，则其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了旋转图形的性质．根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：绕点H逆时针旋转得到． 故选：D． 2．（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，将绕着旋转中心P旋转得到，则旋转中心P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，图形的旋转变换及其性质，熟练掌握点的坐标，图形的旋转变换及其性质是解决问题的关键．由旋转性质得旋转中心到对应点的距离相等，则，设点，通过列方程即可得出点P的坐标． 【详解】解：根据旋转性质得：旋转中心到对应点的距离相等， ， 设点P的坐标为 点，点，点，点， ， ①，②， 由①解得：， 将代入②解得：， 点P的坐标为, 故选：． 3．（25-26九年级上·广西玉林·期中）如图，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得点在同一条直线上，，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角性质，旋转角，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：， ， 旋转角等于， 故选：A． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图所示，在正方形网格中，将三角形绕点A旋转后得到三角形，则旋转角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：∵将绕点A旋转得到， ∴旋转角是或． 故选：C． 题型三 根据旋转的性质求解（共6小题） 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，将绕点旋转至，点在上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，然后由旋转的性质得到． 【详解】解：根据旋转的性质，可得，， ， 由旋转的性质得，． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在△ABC中，，将△ABC绕点A旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 根据旋转的性质，平行线的性质计算即可． 【详解】∵， ． 由旋转，得，， ． ． ． 故选C． 3．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，边长为2的等边的边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转得到等边，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．设与x轴相交于C，根据等边三角形的性质求出、，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：如图，设与x轴相交于C，    ∵是等边三角形，旋转角为， ∴， ∴轴， ∵等边的边长为2， ∴， ∵， ∴，， 又∵在第四象限， ∴点的坐标为 故选：A． 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，其中，，若C，D，E三点共线，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．先根据旋转的性质得到，，，，则可判断和都为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，，所以，从而得到，然后利用勾股定理计算出的长． 【详解】解：连接， ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴，，，， ∴和都为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 5．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，点E是正方形内一点，把绕点C旋转至的位置，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据正方形的性质得出直角，确定旋转角度，根据旋转的性质得出为等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， 根据旋转的性质得，旋转角为，即， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故选：C． 6．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，将矩形绕点旋转一定角度得到矩形，使得点恰好落在边上，若，则的长为（ ） A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质及勾股定理；由旋转的性质得，由矩形性质得，由勾股定理求得，由即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：D． 题型四 旋转中规律问题（共5小题） 1.（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，菱形的顶点O与原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为．将菱形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的性质、坐标与图形的性质、勾股定理、图形的旋转等知识点，正确添加常用辅助线（一般作x轴或y轴的垂线，这种方法叫铅锤法）是解题的关键． 如图：过点A作轴于H．利用勾股定理求出，可得点B的坐标，再由旋转的角度，可知旋转4次是一个循环，则第2024次旋转结束时与菱形顺时针旋转的位置一样，求出菱形顺时针旋转时B点坐标即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于H． ∵四边形是菱形，在x轴上， ∴，， ∵点A的坐标为， ， 在中，， ， ∴点B的坐标为， ∵将菱形绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次图形回到原位置， ， ∴第2024次旋转结束时，与原有菱形的位置一样， ∴点B的坐标为． 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律，理解题意，得到每次旋转后点D的坐标是关键． 根据题意得到，，结合图形得到每次旋转后点D的坐标，再根据旋转规律即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转， 如图所示， 当第一次旋转时，，第二次旋转时，，第三旋转时，，第四次旋转时， ∴经过4次后点回到起始位置， ∴， ∴第2025次旋转结束时，点的坐标为位置的坐标，即， 故选：D ． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，第次将点绕原点沿顺时针方向旋转得到点，第次将点绕原点沿顺时针方向旋转得到点，第次将点绕原点沿顺时针方向旋转得到点，，按照这样的规律，第次旋转后得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转，点的坐标规律变化，由题意可得，点经过四次旋转回到起点的位置，由可得点与点的位置重合，据此即可求解，由旋转找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，点经过四次旋转回到起点的位置， ∵， ∴点与点的位置重合， ∴点的坐标为， 故选：． 4．（23-24九年级下·广东·阶段练习）如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形，，直角边在x轴正半轴上，且，将绕原点O顺时针旋转，同时扩大边长的1倍，得到等腰直角三角形（即），同理，将顺时针旋转，同时扩大边长1倍，得到等腰直角三角形，依此规律得到等腰直角三角形，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，找规律，由题可得，旋转后可得到，，，，且每四次循环一周，即可得到结果，找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 依此规律，每4次循环一周， 即，，，， ∵， ∴点与同在一个象限内， ∵， ∴， 故选：A． 5．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的斜边，且在x轴的正半轴上，点落在第一象限内．将绕原点O逆时针旋转，得到，再将绕原点O逆时针旋转，又得到；依此规律继续旋转，得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给旋转方式发现点位置变化的规律是解题的关键．根据所给旋转方式，可得出每旋转八次，点为正整数）的位置便循环一次，再结合便可解决问题． 【详解】解：由所给旋转方式可知， ， 每旋转八次，点为正整数）的位置便循环一次． 又， 点的坐标与点的坐标相同． 又点在轴的正半轴上，且， 点的坐标为， 即点的坐标为． 故选：C． 题型五 旋转综合应用（共14小题） 1．（九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和，旋转的性质等知识，证明两个三角形全等是关键． （1）根据旋转的性质，得，，，再证明即可； （2）设，则可求得，从而得，，由三角形内角和即可求得结果． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得： ，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，把绕着点B顺时针旋转得到，点C的对应点D落在上，连接． (1)若，求的长； (2)若D为的中点，求证：是等边三角形． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定． （1）由勾股定理求得，由旋转的性质得，，求得，再根据勾股定理即可求解； （2）由旋转的性质推出是线段的垂直平分线，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴； （2）证明：由旋转的性质得，， ∵D为的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 3．（23-24九年级上·江西宜春·期末）如图，矩形中，，，为上一点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，旋转角等于，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）根据矩形的性质可得，再由，可得，然后根据旋转的性质可得，从而得到，可证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，，再由矩形的性质以及勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， 由旋转性质知：， ，即， 在和中，， ， ； （2）解：由（1）得：， ∴，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图1，在中，，D、E是边上的两点，且满足，以点B为旋转中心，将按逆时针方向旋转得到，连接． (1)求证：； (2)如图2，若，其他条件不变，探究之间的关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知旋转前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键． （1）先证明，再由旋转的性质得到，，则可证明，进而证明，从而证明； （2）由垂直的定义得到，根据等边对等角得到，由旋转，得，，则，由勾股定理得到，由（1）得，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由旋转得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转，得，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 5．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用旋转和正方形的性质推导相等的边与角，证明全等三角形，再通过角度转化得到直角三角形，进而用勾股定理计算线段长度． （1）由线段绕点A顺时针旋转得，故且；因四边形是正方形，故且，从而，两边同时减去得；结合、，根据“”可证； （2）由(1)中全等三角形的性质得，且；因正方形对角线平分内角，故，从而，进而，即是直角三角形；已知、，代入勾股定理得，计算得． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由(1)得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 6．（九年级上·河南周口·期中）如图， 和都是等边三角形， 直线， 交于点． (1)如图1，当，，三点在同一直线上时，的度数为，线段与 的数量关系为___． (2)如图2， 当绕点顺时针旋转（）时， （） 中的结论是否还成立？若不成立， 请说明理由： 若成立， 请就图给予证明． (3)若， ， 当绕点顺时针旋转一周时， 求出长的取值范围． 【答案】(1)，； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定及性质，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ， 综上，的度数为，线段与 的数量关系为； 故答案为：，； （2）解：（1）中结论仍成立，证明如下： 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）解：是等边三角形， ， 当旋转时，B、C、D三点共线且最大，，此时； 当旋转时，B、C、D三点共线且最小，，此时； ∴长的取值范围为． 7．（24-25九年级上·全国·期末）解答下列问题． (1)【问题解决】 一节数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，求出的度数； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，求出的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． (2)【类比探究】 如图，若点是正方形外一点，，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据所给的思路画出图形，利用旋转的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）将绕点逆时针旋转 ，得到 ，连接，由旋转的性质可得出，，，进而得出由勾股定理得出，再利用勾股逆定理得出 是直角三角形，且 ，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：思路一：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 思路二：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，，，， ，， ，， ， ， ， ； （2）解：将绕点逆时针旋转 ，得到 ，连接． ， ，，， 在 中，， ，根据勾股定理得，， ， ， ， ， 是直角三角形，且 ， ． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键． 8．（23-24九年级上·北京丰台·期末）在中，，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接． (1)如图1，当时，则 ；（用含有α的式子表示） (2)如图2，当时，作的角平分线交的延长线于点F．交于点E，连接． ①依题意在图2中补全图形，并求的度数； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)①见解析，；②，见解析． 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； （2）①根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； ②由等腰三角形的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵将线段绕点A逆时针旋转α得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图所示： ∵， ∴， ， ∴； ②，理由如下： 如图2，过点C作于H， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（九年级上·河南安阳·期中）（1）如图1，在正方形中，点F，G分别在边，上，若，则，，之间的数量关系为：_______；（提示：以点D为旋转中心，将顺时针旋转） 解决问题： （2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，E，F是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系； 拓展应用： （3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形，，菱形的边长为8，G，F分别为边，上任意两点，且满足，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）以点为旋转中心，将顺时针旋转得，可得，，，然后证明，可得，进而可以得结论； （2）以点为旋转中心，将顺时针旋转得，可得，，，，然后证明，可得，然后证明，进而可以得结论； （3）连接，根据菱形的性质可得，是等边三角形，然后证明，可得四边形的面积的面积的面积的面积，然后根据等边三角形的面积即可解决问题． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，以点为旋转中心，将顺时针旋转得， ， ，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ； 故答案为：； （2），理由如下： 是等腰直角三角形，， ， 如图，以点为旋转中心，将顺时针旋转得， ， ，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）如图，连接， 四边形是菱形，， ，是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形的面积的面积的面积 的面积的面积 的面积 ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 10．（23-24九年级上·广西南宁·月考）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点A、B、C距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴ 点可看成是线段绕A点逆时针旋转而得的定点，为定长． ∴当B、P、、C′四点在同一直线上时，最小． (1)观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． (2)【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点P，，，连接，若．求的最小值； (3)【拓展应用】已知正方形内一动点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由旋转得，即可求解； （2）同理将绕B点逆时针旋转得到，当C、P、、四点在同一直线上时，最小，此时，由等边三角形的性质及直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，即可求解； （3）绕B点逆时针旋转得到，过作交的延长线于E，同理可得，设正方形的边长为，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：； 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵B、P、、四点在同一直线上， ∴ ， ， 由旋转得：， ∴， ∴； （2）解：如图，由【问题解决】同理将绕B点逆时针旋转得到， 由旋转的性质得是等边三角形，则，， ∴, ∴当C、P、、四点在同一直线上时，最小， 此时， 由旋转得：， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ∴， 在中 ， 故最小值为； （3）解：如图，将绕B点逆时针旋转得到，过作交的延长线于E， ∴当C、P、、四点在同一直线上时，最小， 此时 ， 由旋转得：， ∴， 设正方形的边长为，则有， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）， ∴， 故正方形的边长为2． 11．（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：； (2)当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)正方形的边长为 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，由旋转的性质可得，，据此利用即可证明； （2）证明是等边三角形，得到，则根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．过点作交的延长线于，求出，设正方形的边长为，则，．再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明，是等边三角形， ，． 由旋转的性质可得， ．即， ． （2）解：连接， 由（1）知，， ， ，， 是等边三角形． ． ． 根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为． 过点作交的延长线于， ． 设正方形的边长为，则，． 在中， ， ． 解得，（舍去负值）． 正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，证明是解题的关键． 12．（23-24九年级上·江西上饶·月考）【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【答案】（1）见详解（2），理由见详解，（3） 【分析】（1）按要求作图即可 （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值； 【详解】（1）图即为所作， （2）数量关系：， 理由如下：逆时针旋转 由题意得：如图， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键． 13．（23-24八年级下·山东济南·期末）阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，求证：，我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上，他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题，他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： (1)在图中，的度数是___________； (2)如图，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度； (3)如图，中，，，以为边作正方形，连接．当___________时，线段有最大值，并求出的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)，最大值为． 【分析】（）根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，然后求出，再根据计算即可得解； （）过点作交的延长线于点可得四边形是正方形，然后设，根据上面的结论表示出，再求出，然后在中, 利用勾股定理列式进行计算即可得解； （）过点作，取，连接，，推导出，由可证，可得，当三点共线时，取最大值． 【详解】（1）根据旋转知: ， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 故答案为：； （2）过点作交的延长线于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 根据上面结论可知， 设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）如图，过点作，取，连接，，如图 ∵，，∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴线段有最大值时，只需最大即可， 在中，， 当三点共线时，取最大值，此时， 在等腰直角三角形中，，， ∴， ∵，最大，即最大值为， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 14．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决]    (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)四边形是正方形，理由见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）由勾股定理求出，再求出，由旋转的性质得：，则可得出答案； （2）先证四边形是矩形，再证明是正方形； （3）点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，当点、、依次共线时，最大，计算即可． 【详解】（1）解：（1），，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； （2）解：四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，， ，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （3）解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图：    当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即长度的最大值为． 题型六 中心对称图形的识别（共3小题） 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）下列纹样图是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：． 3．（2025·甘肃甘南·中考真题）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、C中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项D中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 题型七 关于原点对称的点坐标（共5小题） 1．（24-25九年级上·陕西商洛·期末）已知点与点是关于原点的对称点，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．可以求出的值，继而得到点的坐标． 【详解】解∶ 点与点是关于原点的对称点， ． 点A的坐标为． 故选∶C 2．（2024九年级上·全国·专题练习）将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是根据原点旋转得到关于原点对称． 根据抛物线绕原点O旋转得到旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称，即可得到答案； 【详解】解：∵抛物线绕原点O旋转， ∴旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称， ∴旋转后的抛物线：， 即． 故选：D． 3．（24-25九年级上·广东河源·期中）如图，已知点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则点C的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质及关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用菱形的性质及关于原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键． 根据菱形的性质可知：点A与点C关于原点对称，据此即可解答． 【详解】解：四边形是菱形， ，即点A与点C关于原点对称， 又点A的坐标是， 点C的坐标是， 故选：B． 4．（23-24九年级下·重庆·期中）已知点，点关于原点对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值，熟知关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，求出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点，点关于原点对称， ∴，， ∴． 故选：A． 5．（24-25九年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，点和关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，根据两个点关于原点对称，可知两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数求出a，b，再求出代数式的值． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 题型八 按图像的变换要求画出另一个图形（共4小题） 1．（25-26九年级上·新疆·期末）如图． (1)请画出向下平移6个单位长度后得到的；并写出点B的对应点的坐标为____________； (2)请画出关于点成中心对称的；并写出点B的对应点的坐标为____________． 【答案】(1)图见解析，； (2)图见解析， 【分析】本题考查作图：原点对称变换，平移变换等知识． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 点的坐标为：； （2）解：如图，即为所求， 点的坐标为：． 2．（24-25九年级上·山西忻州·期中）已知，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)将绕点按逆时针旋转所得的，画出并写出点的坐标； (2)画出关于原点成中心对称的，并直接写出线段的长． 【答案】(1)画图见解析，点的坐标为 (2)画图见解析， 【分析】（）根据旋转的性质可画出图形，再根据图形可写出点的坐标； （）根据中心对称图形的性质可画出图形，再利用勾股定理可求出线段的长； 本题考查了旋转作图，作中心对称图形，勾股定理，掌握旋转的性质和中心对称图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求，由勾股定理得，； ． 3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点顺时针方向旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析，点的坐标为 (2)作图见解析，点的坐标为 【分析】（）根据轴对称的性质作出图形，再根据图形写出坐标即可； （）根据旋转的性质作出图形，再根据图形写出坐标即可； 本题考查了作轴对称图形，旋转作图，坐标与图形，掌握轴对称和旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，由图可得点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求，由图可得点的坐标为． 4．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)将绕点A顺时针旋转，得到（点，分别是B，C的对应点），在图中画出； (2)在图中画出关于点O中心对称的（点，分别是B，C的对应点），点的坐标是 ； (3)在（1）、（2）的基础上，我们发现点，关于某点中心对称，则对称中心的坐标是 ． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，点的坐标是 (3)． 【分析】本题考查旋转作图，中心对称，点的坐标，熟练掌握利用旋转的性质作图是解题的关键． （1）根据旋转的性质，分别是作出点A、B、C旋转后的对应点，再连接即可； （2）根据中心对称的性质，分别是作出点绕点逆时针旋转后的对应点，再连接即可，根据点位置，写出点坐标即可； （3）连接，交轴于，根据中心对称的性质，求出的中点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； 由的位置可得：点的坐标是； （3）解：如图，连接，交轴于， 由图可得：为对称中心，坐标为． $