第22章《二次函数》期末单元复习卷 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版九年级数学 第二十二章 二次函数 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分） 1.下列函数中，是二次函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据二次函数的定义逐项分析即可． 【解答】．是一次函数，故不符合题意； ．是二次函数，故符合题意； ．是一次函数，故不符合题意； ．是反比例函数，故不符合题意； 故选． 2.如图所示，函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题可先由一次函数象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【解答】解：、由一次函数的图象可知 ，，二次函数对称轴，错误； 、由一次函数的图象可知 ，，二次函数对称轴，正确； 、由一次函数的图象可知 ，，由二次函数的图象可知，错误； 、由一次函数的图象可知 ，，由二次函数的图象可知，错误. 故选． 3.抛物线，，共有的性质是    A.开口向上 B.都有最高点 C.对称轴都是轴 D.顶点都是原点 【答案】C 【解析】本题考查了二次函数的性质． 通过分析每条抛物线的开口方向、对称轴、顶点和最高点/最低点，比较它们的共有性质即可． 【解答】解：：开口向上，对称轴为轴，顶点为，有最低点； ：开口向下，对称轴为轴，顶点为，有最高点； ：开口向上，对称轴为轴，顶点为，有最低点． 则三条抛物线对称轴都是轴，但开口方向、顶点和最高点/最低点不全相同． 故选：． 4.已知点是二次函数图像上的两个点，若当时，随的增大而减小，则的取值范围是（        ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】此题暂无解析 【解答】解析：由题意，得该二次函数图像开口向上， 对称轴为直线 ． 又当  时，随  的增大而减小， 所以，解得． 则的取值范围是 5.对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（        ） A.开口向下 B.对称轴是直线 C.顶点坐标为 D.当 时，随×的增大而减小 【答案】B 【解析】此题暂无解析 【解答】B 6.将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后得到的抛物线的解析式为     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】原抛物线的顶点坐标为，根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为，根据抛物线的顶点式求解析式. 【解答】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为， 平移后抛物线解析式为 故选： 7.已知点在抛物线上，若点也在该抛物线上，则．的大小关系是（        ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由已知条件可以确定抛物线的开口方向下，对称轴为，然后根据“抛物线开口下时，距离对称轴越近，函数值越大”即可得出结论. 【解答】解：∵ 点，在抛物线上， ∴ 该抛物线的对称轴为. ∵ ，且， ∴ 抛物线的开口向下. ，，. ∵ ， ∴ . 故选.  8.下表给出了二次函数中的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（    ） … … … … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了求一元二次方程的近似根，熟练掌握求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 【解答】解：解：由表格知，当时，； 当时，； 一元二次方程的一个近似解的范围为． 故选：． 9.如图，抛物线与直线相交于点，连接，则的面积是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了抛物线和三角形面积，令得一元二次方程，求解可得点，的坐标，进一步由三角形面积公式可得结论． 【解答】解：对于 令，得 解得，，， ，，     ． 故选：． 10.如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移个单位长度后与直线有个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④ （为实数）．其中正确的是（   ） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】A 【解析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识，较难的是③，正确找出两个临界位置是解题关键．求出函数的对称轴为直线，由此即可判断①正确；先利用待定系数法求出函数的解析式，再求出函数在段的图象的最高点的坐标为，由此即可判断②正确；找出两个临界位置：当直线经过点时，直线与函数图象有个交点；当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有个交点，求出的值，由此即可判断③正确；根据当时，函数取得最小值，最小值为，则对于任意实数，都有，由此即可判断④错误． 【解答】解：由图象可知：函数的对称轴为直线， ，即，结论①正确； 由题意可知，函数的图象经过点， 将点代入：，解得， 函数的解析式为，其顶点坐标为， 函数在段的图象的最高点的坐标为， 将函数图象向上平移个单位长度后，在轴两个交点的中间部分段的图象的最高点的坐标为， 将函数图象向上平移个单位长度后与直线有个交点，结论②正确； 由上可知，函数的解析式为， 当或时，， 当时，， 有两个临界位置：如图，当直线经过点时，直线与函数图象有个交点， 则，解得； 如图，当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有个交点， 联立得：，这个方程有两个相等的实数根， 方程根的判别式， 解得， 当时，该图象与直线有四个交点，结论③正确； 由上可知，函数图象的开口向上，对称轴为直线， 当时，函数取得最小值，最小值为， 对于任意实数，都有，即，结论④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：． 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.若是关于的二次函数，则 的值为______2______． 【答案】 【解析】本题考查二次函数的定义：一般地，形如，，为常数，且的函数是二次函数．根据二次函数的定义求解即可． 【解答】解：是关于的二次函数， ，， ． 故答案为：2 12.将二次函数化成的形式为________. 【答案】 【解析】此题暂无解析 【解答】 13.二次函数的图象开口向下，则 -2   ． 【答案】 【解析】直接利用二次函数的定义以及其性质得出的值． 【解答】解：二次函数的图象的开口向下， ，且， 解得：． 故答案为：． 14.如图，是慈溪近日才通行的跨潮塘江大桥．该桥是明月湖基础设施工程的标志性建筑，采用七跨连续拱梁组合．最大桥拱跨径为米，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为米，则拱桥半径为_______30_____米． 【答案】 【解析】本题考查垂径定理及勾股定理的应用，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；能够构造出由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算是解题关键．设，根据即可求解； 【解答】解：， ， 设米，则在中， 则 解得：， 故答案为： 15.若函数图象上存在点，满足，则称点为函数图象上的奇异点．如：直线上存在唯一的奇异点．若关于的二次函数的图象上存在唯一的奇异点，且当时，的最小值为，则的值为    4或      ． 【答案】4或 【解析】设函数奇异点的坐标为，代入函数的关系式中得到关于的一元二次方程，因为有一个奇异点，则，得到，把它看成一个二次函数，对称轴，分三种情况讨论：①，列方程，方程无解，没有符合条件的值；②，列方程，解出并取舍；③当，同理得． 【解答】解：设关于的二次函数的图象上的奇异点为，代入函数得： 存在唯一的一个“奇异点”， ， 这是一个关于的二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为，对称轴左侧，随的增大而减小；对称轴右侧，随的增大而增大； ①，当时，在对称轴右侧递增， 当时，有最小值为， 即， ， ，方程无解， ②，当时，在对称轴左侧递减， 当时，有最小值为， 即， ， 解得，或（舍去）， ③当，当时，有最小值为， 综上所以述：的值为或， 故答案为：或． 16.已知抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，，设点的横坐标为．连接，则的最大面积为            ． 【答案】 【解析】先利用待定系数法求出抛物线和直线解析式，设，，则，故，进而求解即可． 【解答】解：，，， 将，代入得， ， 解得， ， 当时，，即； 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为， 设，， ， ， ，开口向下， 当时，的最大值为， 故答案为： 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）； （2）． 【答案】，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 ，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【解析】（1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. 【解答】（1）解：， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为 18.(6分) 已知函数是关于的二次函数． （1）求的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】 二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【解析】（1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【解答】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ． （2）解：由得：二次函数解析式为， 故二次项系数是，一次项系数是，常数项为． 19.（6分）数学课上，老师出了这样一道数学题：取何值时，抛物线的开口向下？嘉琪解答过程如下： 解： 抛物线开口向下， ， ， 即当时，抛物线的开口向下． 嘉琪的解答过程正确吗？如果不正确，请指出嘉琪解答错误的原因，并改正过来． 【答案】错误，原因是忽略了的指数为，正确解法见解析 【解析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，解一元二次方程．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的定义可知还需要满足，再结合条件可求出的值． 【解答】解：错误，原因是忽略了的指数为． 正确解法：抛物线开口向下， ， ， 又函数为二次函数， ， 解得或（舍去）， 故当时，抛物线开口向下． 20.(6分) 设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： （1）若，求二次函数的表达式； （2）在问的条件下，写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小． 【答案】 【解析】（1）把，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将解析式化为顶点式，求得抛物线的对称轴直线，根据二次函数的性质，即可求解． 【解答】（1）解：把，代入，得 ，解得：， （2） 抛物线的对称轴为直线， ， 时，随的增大而减小. 21.(8分) 已知二次函数的解析式为． （1）用配方法把该二次函数的解析式化为的形式； （2）选取该条抛物线与轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． … … … … 【答案】，过程见解答 答案见解答 【解析】（1）直接利用配方法把该二次函数的解析式化为顶点式即可； （2）列表、描点、连线，画出该二次函数的图象即可． 【解答】（1）解： ， 答：该二次函数的顶点式为：． （2）解：该二次函数解析式为，则顶点坐标为， 令得：， 解得：或， 即该条抛物线与轴的交点坐标为和， 当时，， 当时，， 列表如下： 根据列表中的数据，在坐标系中描点并用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象，如图：   22.(8分) 如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点在轴的正半轴上，且点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值． 【答案】 ． 【解析】（1）根据题意得出点坐标，进而得出点坐标； （2）设平移后抛物线解析式为，把点代入求出答案． 【解答】（1）解：四边形是正方形，顶点在轴的正半轴上， ， ，点在抛物线上， ， 又正方形中，， ； （2）解：设平移后抛物线的解析式为：，把代入得 ， 解得． 23.(10分) 已知关于的二次函数． （1）当时，该二次函数对应的抛物线的顶点坐标为______，对称轴为直线______； （2）当时，直线与该抛物线相交，求抛物线在这条直线上所截线段的长度； （3）若抛物线与直线交于点，则点到轴距离的最小为___7___． 【答案】； 【解析】（1）把代入得到，据此解答； （2）把代入得到，再由，可得到两图象的交点，即可解答； （3）联立，得到，据此得到当点到轴的最小值时，即的值最小，再结合平方的非负性解答即可． 【解答】（1）解：把代入得： ， 此时抛物线的顶点为：，对称轴：； 故答案为：； （2）解：当时，， 当时，， ， 抛物线在这条直线上所截线段的长度为； （3）解：联立， ， 当点到轴的最小值时，即的值最小， ， ， 当时，点到轴的最小值为 故答案为 24.(10分) 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点（与相距，离地高度）为飞行距离计分的参照点，落地点超过点 越远，飞行距离分越高.某运动员从起跳点滑出，当该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，该运动员最后着陆在着陆坡上.着陆点在点 处或在点 右侧视为成绩达标． （1）求抛物线的解析式； （2）判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由． 【答案】 该运动员的成绩达标，理由见解答 【解析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，联立，求解即可． 【解答】（1）解：设该抛物线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：该运动员的成绩达标，理由如下： 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， 着陆点的坐标为， ， 该运动员的成绩达标． 25.(12分) 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． （1）求的面积； （2）点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标； （3）在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 存在，点坐标为或 【解析】（1）先把点坐标代入直线解析式中，求出点的坐标，再把点和点坐标代入二次函数解析式求出二次函数解析式，进而求出点的坐标，再根据进行求解即可； （2）如下图，过点作交于点，设点，则点，则，再根据 ，推出，由此即可得到答案； （3）如解析图，分当点在上方时， 当点在下方时，两种情况讨论求解即可． 【解答】（1）解：直线与轴交于点， ， 解得， 点， ； 抛物线经过点，， 将点，代入，可得， 解得， 抛物线的解析式为， 在中，令，则， 解得或， 点坐标为， ， ； （2）解：如下图，过点作交于点， 设点，则点， ， ， ， 当时，四边形面积有最大值，此时点； （3）解：如下图，当点在上方时，设交轴于点， ， ， ， ， 解得， ， 点， 设直线解析式为， 将点，点代入，可得， 解得， 直线解析式为， 联立方程组可得， 解得：或， 点， 当点在下方时， ， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 综上所述，点坐标为或． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版九年级数学 第二十二章 二次函数 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分） 1.下列函数中，是二次函数的是（    ） A. B. C. D. 2.如图所示，函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3.抛物线，，共有的性质是    A.开口向上 B.都有最高点 C.对称轴都是轴 D.顶点都是原点 4.已知点是二次函数图像上的两个点，若当时，随的增大而减小，则的取值范围是（        ） A. B. C. D. 5.对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（        ） A.开口向下 B.对称轴是直线 C.顶点坐标为 D.当 时，随×的增大而减小 6.将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后得到的抛物线的解析式为     A. B. C. D. 7.已知点在抛物线上，若点也在该抛物线上，则．的大小关系是（        ） A. B. C. D.  8.下表给出了二次函数中的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（    ） … … … … A. B. C. D. 9.如图，抛物线与直线相交于点，连接，则的面积是（   ） A. B. C. D. 10.如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移个单位长度后与直线有个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④ （为实数）．其中正确的是（   ） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.若是关于的二次函数，则 的值为________． 12.将二次函数化成的形式为_______. 13.二次函数的图象开口向下，则   ． 14.如图，是慈溪近日才通行的跨潮塘江大桥．该桥是明月湖基础设施工程的标志性建筑，采用七跨连续拱梁组合．最大桥拱跨径为米，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为米，则拱桥半径为_________米． 15.若函数图象上存在点，满足，则称点为函数图象上的奇异点．如：直线上存在唯一的奇异点．若关于的二次函数的图象上存在唯一的奇异点，且当时，的最小值为，则的值为         ． 16.已知抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，，设点的横坐标为．连接，则的最大面积为            ． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）； （2）．  18.(6分) 已知函数是关于的二次函数． （1）求的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 19.（6分）数学课上，老师出了这样一道数学题：取何值时，抛物线的开口向下？嘉琪解答过程如下： 解： 抛物线开口向下， ， ， 即当时，抛物线的开口向下． 嘉琪的解答过程正确吗？如果不正确，请指出嘉琪解答错误的原因，并改正过来． 20.(6分) 设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： （1）若，求二次函数的表达式； （2）在问的条件下，写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小． 21.(8分) 已知二次函数的解析式为． （1）用配方法把该二次函数的解析式化为的形式； （2）选取该条抛物线与轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． … … … … 22.(8分) 如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点在轴的正半轴上，且点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值． 23.(10分) 已知关于的二次函数． （1）当时，该二次函数对应的抛物线的顶点坐标为____，对称轴为直线______； （2）当时，直线与该抛物线相交，求抛物线在这条直线上所截线段的长度； （3）若抛物线与直线交于点，则点到轴距离的最小为_____． 24.(10分) 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点（与相距，离地高度）为飞行距离计分的参照点，落地点超过点 越远，飞行距离分越高.某运动员从起跳点滑出，当该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，该运动员最后着陆在着陆坡上.着陆点在点 处或在点 右侧视为成绩达标． （1）求抛物线的解析式； （2）判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由． 【答案】 该运动员的成绩达标，理由见解答 25.(12分) 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． （1）求的面积； （2）点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标； （3）在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $