专题10 二次函数中线段﹑周长与面积的最值问题及定值问题（期末复习专项训练，8大题型）九年级数学上学期人教版

专题10 二次函数中线段﹑周长与面积的最值问题及定值问题 题型1 利用二次函数解决单线段的最值问题 题型2 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题 题型3 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题 题型4 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题 题型5 利用二次函数解决三角形周长的最值问题 题型6 利用二次函数解决四边形周长的最值问题 题型7 利用二次函数解决图形面积的最值问题 类型一 利用割补、拼接法解决面积最值问题 类型二 利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题 类型三 构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题 题型8 利用二次函数解决定值问题 题型一 利用二次函数解决单线段的最值问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是直线上一动点，是抛物线上一点，过点作线段（点在直线下方），已知，请直接写出点的坐标． 2．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接．点P是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线，交于点M，交x轴于点N，设点P的横坐标为t． (1)求出该抛物线的解析式； (2)根据图像直接写出时，x的取值范围； (3)求线段长度的最大值． 题型二 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题（共3小题） 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且． (1)求抛物线的表达式． (2)若，求的值． (3)直线与直线交于点，求的最小值． 2．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，已知抛物线过点、，点C的坐标为． (1)求此抛物线对应的函数解析式； (2)直接写出抛物线的对称轴； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标； (4)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及对称轴； (2)点是对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标及的最小值． 题型三 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·重庆渝北·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，抛物线经过两点与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)若点为直线上方抛物线上任意一点，过作于点，当最大时，为轴上一动点，求的最大值． (3)若点在抛物线上，连接，当时，请直接写出点的坐标． 2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在平面直角坐标系中；已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，如图，直线与抛物线交于A、B两点，直线l为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使取得最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知为平面内一定点，为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标． 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，该对称轴与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，请你求出点M的坐标； 题型四 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题（共4小题） 1．（25-26九年级上·重庆合川·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点和，与轴正半轴交于点，且抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点，当的面积最大时．在轴上找一点，在轴上找一点，使得的值最小，并求此时的点和的坐标． (3)若是抛物线上一点，，请写出点的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 2．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3.（25-26九年级上·天津和平·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达与x轴交于点和点，与y轴交于点A． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为点Q，点E，F分别是x轴和直线上一点，当取得最大值时，求此时点P的坐标及的最小值． 题型五 利用二次函数解决三角形周长的最值问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·天津河西·阶段练习）已知抛物线的图象与y轴交于点，顶点为B．    (1)试确定a的值，并写出B点的坐标； (2)试在x轴上求一点P，使得的周长取最小值． 2．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式． (2)求、两点坐标及的面积． (3)求点P的坐标，使的周长最小． 3．（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2022·青海西宁·一模）已知，如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得的周长最小，如果存在，求出点E； (3)若点D是x轴下方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少． 题型六 利用二次函数解决四边形周长的最值问题（共4小题） 1．（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 2．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 3．（2025·湖南岳阳·二模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求此抛物线的表达式． (2)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将抛物线在轴以下的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到新图象，如图3，若直线与此新图象有且仅有三个交点．求当时，代数式的最大值． 4．（24-25九年级上·山东威海·期末）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为第一象限内抛物线上一点，过点P作轴交直线于点Q．过点P作轴于点H，过点Q作轴于点G．当点P位于何处时，四边形的周长最大？最大周长为多少？ 题型七 利用二次函数解决图形面积的最值问题（共2小题） 1．（23-24九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，点、分别是正方形的边、上两点，且，． (1)设，的面积为，求关于的函数关系式； (2)当取何值时，的面积最大？求出此时的面积． 3．（2025·四川绵阳·三模）如图，过、作x轴的垂线，分别交直线于C、D两点．抛物线经过O、C、D三点． (1)求抛物线的表达式； (2)点M，N是平面直角坐标系中的两点，若四边形是正方形，求直线与抛物线的交点P的坐标； (3)若沿方向平移（点C在线段上，且不与点D重合），在平移的过程中与重叠部分的面积记为S，试求S的最大值． 类型一 利用割补、拼接法解决面积最值问题（共5小题） 1．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，已知点B坐标为，点C坐标为，点P为抛物线上的一个点，其横坐标为m． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上的一个点，连接，，当四边形的面积最大时，求出P点的坐标； (3)过点P作轴，交直线于M，记的长为d，点P到y轴的距离为g，且． ①求l与m的函数解析式； ②当时，直接写出m的值． 3．（2022·黑龙江绥化·二模）图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，其对称轴为． (1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴上． ①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标； ②求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标． 4．（2024九年级下·山西·专题练习）综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与直线交于点，点在轴上．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段方向匀速运动，运动到点时停止． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)如图1，过点作交抛物线于点，连接，当四边形为平行四边形时，求的值． (3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以每秒1个单位长度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时，点也停止运动．连接，求四边形面积的最大值． 5．（2024·湖南·一模）定义：若抛物线的图象恒过定点，则称为抛物线的“不动点”．已知：若抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的不动点坐标； (2)若抛物线的对称轴是直线，对称轴与轴交于点． ①求抛物线的解析式； ②如图所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值． 类型二 利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题（共小4题） 1．（25-26九年级上·山东临沂·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若P点是抛物线对称轴上的一点，求点P的坐标，使值最小； (3)若M是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点M的坐标． 2.（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积最大时点E的坐标． 3．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）平面直角坐标系中，直线与抛物线交于过轴上的点和点． (1)求n和b的值； (2)为直线下方抛物线上一点，连接，，求的面积的最大值． 4．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（A在的左侧），与轴交于点，过A点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三 构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题（共1小题） 1．（23-24九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧），且，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作，交抛物线于点，点为直线上方抛物线上一动点，连接、、、，求四边形面积的最大值时相应点的坐标； 题型八 利用二次函数解决定值问题（共4小题） 1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，是直线上方抛物线上一点，作轴交抛物线于点，过点作轴交于，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，已知点直线过点且与抛物线交于点，，直线、与轴分别交于，两点，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由． 3．（2025·四川南充·二模）如图，抛物线的最大值为4，顶点为，轴于，经过中点的任意直线与抛物线交于分别与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)当四边形是平行四边形时，求四边形的面积． (3)判断是否为定值，并说明由． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二次函数中线段﹑周长与面积的最值问题及定值问题 题型1 利用二次函数解决单线段的最值问题 题型2 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题 题型3 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题 题型4 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题 题型5 利用二次函数解决三角形周长的最值问题 题型6 利用二次函数解决四边形周长的最值问题 题型7 利用二次函数解决图形面积的最值问题 类型一 利用割补、拼接法解决面积最值问题 类型二 利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题 类型三 构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题 题型8 利用二次函数解决定值问题 题型一 利用二次函数解决单线段的最值问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是直线上一动点，是抛物线上一点，过点作线段（点在直线下方），已知，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，最大值是， (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用勾股定理求得，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得， ∴； （2）解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）解：由（2）得直线的解析式为， ∵点是直线上一动点， ∴设， ∵过点作线段（点在直线下方）， 则：， ∵点在抛物线上 ∴， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵， 则或， ∴点的坐标为或． 2．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)、、 、或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴；；， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为或； 当时，，解得或， ∴点Q的坐标为或， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为、、 、或 ． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接．点P是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线，交于点M，交x轴于点N，设点P的横坐标为t． (1)求出该抛物线的解析式； (2)根据图像直接写出时，x的取值范围； (3)求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)或者 (3)2 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数与不等式的关系、二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图像，找到位于抛物线x轴上方部分的点的横坐标取值范围即可求解； （3）先求得点C坐标，再求得直线的解析式为，设，则，可得，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、， ，解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：由图像可得，当时，x的取值范围为或； （3）解：在中，令，得， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， ，， 当时，取得最大值2． 题型二 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题（共3小题） 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且． (1)求抛物线的表达式． (2)若，求的值． (3)直线与直线交于点，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系． （1）先分别根据一次函数的性质，二次函数的性质求出，，，求出抛物线的对称轴为直线，则，根据求出，则； （2）根据等腰三角形三线合一得到，求出直线的表达式为，直线的表达式为，当在右侧时，证明，则，当在左侧时，设与交于点，设，过的直线交于点，根据等角对等边得到，则在中垂线上，根据中点坐标公式可知的坐标为，根据勾股定理求出将点代入，得； （3）设，，设直线的表达式为，直线的表达式为，将，坐标代入，求出，则直线的表达式为，同理得直线的表达式为，则，直线与抛物线，得到，即，，代入得到，即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点，则，即当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为． 【详解】（1）解：当时，，即． 当时，，，即，， 抛物线的对称轴为直线． 将代入抛物线表达式得，即， ， ，得， 故抛物线的表达式为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，， 即， 设直线的表达式为， 将，代入， 则，解得， 则直线的表达式为， 同理可得直线的表达式为． ①如图1，当在右侧时，， 则， ． ②如图2，当在左侧时，设与交于点，过的直线交于点，由，得， 在中垂线上． 的坐标为． 设， 则， 解得， 即， 将点代入，得． 综上所述，的取值为或； （3）解：设，， 设直线的表达式为，直线的表达式为． 将，坐标代入，有 则，， ∴ 即． 直线的表达式为， 同理直线的表达式为， 则，， 即，， 即， 整理得， 联立直线与抛物线得到 整理得， ，． ． 即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点， ． 当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为． 2．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，已知抛物线过点、，点C的坐标为． (1)求此抛物线对应的函数解析式； (2)直接写出抛物线的对称轴； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标； (4)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法解可得该抛物线的函数解析式； （2）将抛物线解析式转化为顶点式，即可确定该抛物线的对称轴； （3）可知该抛物线的对称轴为，并确定该抛物线与轴的另一个交点的坐标；结合点是直线上一点，并根据抛物线轴对称的性质可得，易得，故当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小，即可确定答案； （4）根据题意，设，，分是平行四边形的一边和是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴此抛物线的函数解析式为， （2）解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线； （3）解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为， 设该抛物线与轴的另一个交点为， 令，可得， 解得，， ∴， 如下图， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， ∵点C的坐标为 ∴点在直线上， 当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小， 如下图， 此时， ∴， ∴点的坐标为； （4）解：∵点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上， ∴可设，， ①如下图， 当是平行四边形的一边时， 则有， ∴，解得， ∴； ②如下图， 当是平行四边形的对角线时， 则有， ∴，解得， ∴． 综上所述，存在以点为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 3．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及对称轴； (2)点是对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标及的最小值． 【答案】(1)，直线； (2)，． 【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理，三角形三边关系． （）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而转化为顶点式，即可作答； （2）根据三角形三边关系及勾股定理作答即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴对称轴为直线； （2）解：连接，可知， 当M在D上时，，达到最小值， ∵， ∴点的坐标为， 即点M的坐标为； 当时，， ∴， ∴ 题型三 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·重庆渝北·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，抛物线经过两点与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)若点为直线上方抛物线上任意一点，过作于点，当最大时，为轴上一动点，求的最大值． (3)若点在抛物线上，连接，当时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最大值为； (3)或； 【分析】（1）利用一次函数表达式求出A、B点坐标，在利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）过点M作轴，交直线于N，假设出M、N的坐标表示出的长，求最大值即可，延长交轴于点，此时的值最大，据此求解即可； （3）利用等量代换可找出有两个P点，①在x轴上取点，延长交抛物线于点P，推出，利用等量代换可得，求出直线与抛物线交点即可知P点坐标；②作轴，使，连接交抛物线与点，推出，进一步得，求出直线与抛物线交点即可知点坐标． 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴， 令，则， ∴， ∵抛物线经过A，B两点， ∴，解得， ∴； （2）解：过点M作轴，交直线于N， 令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵轴，， ∴是等腰直角三角形， 当取得最大值时，的值最大， 设点，， ， ∵， ∴当时，有最大值，即有最大值， 此时点的坐标为． 延长交轴于点，此时的值最大，为， ∵，， ∴， ∴|MQ−CQ|的最大值为4√5； （3）解：或，理由如下： ①在x轴上取点，延长交抛物线于点P， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点B、D代入可得， 解得， ∴，将其与抛物线方程联立可得：， 解之得：，，当时，， ∴， ②作轴，使，连接交抛物线与点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵且,， ∴， ∵ ， 同理，直线的解析式为， 将其与抛物线方程联立可得：， 解之得：，，当时，， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查一次函数，二次函数，动点问题，全等三角形的判定及性质，要求掌握待定系数法求解析式，利用，进行等量转换是解（3）的关键． 2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在平面直角坐标系中；已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，如图，直线与抛物线交于A、B两点，直线l为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使取得最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知为平面内一定点，为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标． 【答案】(1) (2)存在最大值，此时点P的坐标为 (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点A和点B的坐标，作点A关于对称轴的对称点，连接，根据和轴对称的性质得到当三点共线时，有最大值，即此时有最大值，据此求解即可； （3）由两点距离计算公式得到，则可推出，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：联立，解得或， ∴； ∵抛物线顶点坐标为， ∴对称轴为直线； 如图所示，作点A关于对称轴的对称点，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， 又∵， ∴当三点共线时，有最大值，即此时有最大值； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴存在最大值，此时点P的坐标为； （3）解：∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点F为定点， ∴为定值， ∴ 解得， ∴点F的坐标为． 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，该对称轴与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，请你求出点M的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键． （1）利用待定系数法直接得出结论； （2）先判断出最小时，，建立方程求解即可得出结论； 【详解】（1）解：对于， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵点C在抛物线上， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵最小， ∴， ∴， ∴， 设点， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴点． 题型四 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题（共4小题） 1．（25-26九年级上·重庆合川·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点和，与轴正半轴交于点，且抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点，当的面积最大时．在轴上找一点，在轴上找一点，使得的值最小，并求此时的点和的坐标． (3)若是抛物线上一点，，请写出点的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)当时，点Q的坐标为或 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意易得直线的解析式为，然后先得出当面积最大时点P的坐标，作点D关于y轴的对称点J，再作点J关于x轴的对称点K，连接，交x轴于点N，连接，交y轴于点M，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当点J、M、N且点K、N、P三点共线时，取得最小值，，进而分别得出直线的解析式为，直线的解析式为，最后问题可求解； （3）由题意可分当点Q在x轴的上方时，当点Q在x轴的下方时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：令时，则有， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为，由（1）可得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作轴，交于点E，如图所示： 设，则有， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为， ∵， ∴， 作点D关于y轴的对称点J，再作点J关于x轴的对称点K，连接，交x轴于点N，连接，交y轴于点M，如图所示， 根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当点J、M、N且点K、N、P三点共线时，取得最小值，即为， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 令时，则有，解得：， ∴； 同理可得：直线的解析式为， 令时，则有， ∴； （3）解：当点Q在x轴的上方时，有，如图所示： ∴， ∴点Q的纵坐标为4， ∴将代入二次函数解析式得：， 解得：， ∴点Q的坐标为； 当点Q在x轴的下方时，有，设直线与x轴的交点为F，如图所示： ∴，即 设，则根据两点距离公式可得：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述：当时，点Q的坐标为或 【点睛】本题主要考查二次函数的综合及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合及轴对称的性质是解题的关键． 2．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先确定，将，两点代入并求解即可； （2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，易得点E 坐标为，可知，结合三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得当时，有最大值，此时，将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则有，即可获得答案； （3）根据待定系数法求出直线解析式，则可求点M的坐标，设，分三种情况讨论：；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数，令，可得， ∴， 将，两点代入， 可得，解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，    ∴点E 坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， 将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则， ，， 是平行四边形， ， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值， ， ， 即最小值为； （3）解：设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 对于，当时，， 设， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、轴对称的性质，等腰三角形的定义，两点间距离公式，公式法解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 3.（25-26九年级上·天津和平·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达与x轴交于点和点，与y轴交于点A． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为点Q，点E，F分别是x轴和直线上一点，当取得最大值时，求此时点P的坐标及的最小值． 【答案】(1) (2)，最小值为 【分析】本题考查了二次函数综合、待定系数法、轴对称，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据二次函数的交点式进行解题； （2）作点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点，连接交于点，交轴于点，此时最小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为：， 代入，， 有：， 解得：， ∴直线的表达式为：， ，为等腰直角三角形， ∴， 过点作轴交于点， 则，， 故当取得最大值时，取得最大值， 设点，则， 则， ∴当时，取得最大值， 此时点，， 则轴， 又∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴也为的中线， ∴为的中点， ∴，即； 作点关于直线的对称点， 作点关于轴的对称点，连接交于点，交轴于点， 根据点的对称性，，， 则， 此时、、、四点共线，最小， 最小值为； 综上所述，当取得最大值时，，的最小值为． 题型五 利用二次函数解决三角形周长的最值问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·天津河西·阶段练习）已知抛物线的图象与y轴交于点，顶点为B．    (1)试确定a的值，并写出B点的坐标； (2)试在x轴上求一点P，使得的周长取最小值． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为；的周长最小值为． 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数的解析式，二次函数与面积综合，求出点P的坐标是解本题的关键． （1）将点A坐标代入抛物线解析式中，求出a，根据，直接得出B点的坐标，即可得出结论； （2）利用对称性得出，再求出直线的解析式为，在根据勾股定理算出，，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与y轴交于点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴顶点B的坐标为； （2）解：由（1）得顶点B的坐标为， 如图，      ∵是定值，的周长要最小， ∴最小， 作点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于P， 即：点P为所求作的点； ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得 则， ∴点P的坐标为； ∵，，， 则， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式． (2)求、两点坐标及的面积． (3)求点P的坐标，使的周长最小． 【答案】(1) (2)；面积为 (3) 【分析】1）用待定系数法求出抛物线解析式； （2）令，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论； （3）先将求的周长最小就转化为求的最小值，确定出最小时的点P的位置，再确定出直线的解析式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式， 把点代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为； 令，则， ∴或， ∴，； ∴， ∴； （3）解： 中， 令，则， ∴或， ∴，； ∵是定值，， 由抛物线的对称性，知点C与点D关于抛物线的对称轴直线对称， ∴，当点B，P，D三点共线时，取得最小值， 连接交直线于点P，此时的值最小，的周长最小． 设直线的解析式为， ， ， ． 当 时，． ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，面积问题(二次函数综合)，线段周长问题(二次函数综合)，解题关键是用待定系数法求二次函数的解析式． 3．（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)对称轴是直线，顶点坐标为 (3)存在， 【分析】本题考查了二次函数的图形及性质、待定系数法求解析式以及利用对称轴性质解决最短路径： （1）用待定系数法求解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，根据顶点式求出对称轴及顶点坐标； （3）利用轴对称的性质，将求周长最小值问题转化为求两点之间线段最短的问题，点在对称轴上，而点和点关于对称轴对称，因此，的周长，当三点共线时，最小，其值为线段的长度，因此，点是直线与对称轴的交点． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． （2） ， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． （3）存在． 解：连接交对称轴于点，连接， 两点关于抛物线的对称轴对称， 直线与的交点即为点，此时的周长最小， ，抛物线交轴于点， 当时，，即， 设直线的解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 的解析式为：， 在对称轴上， 当时，，即． 4．（2022·青海西宁·一模）已知，如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得的周长最小，如果存在，求出点E； (3)若点D是x轴下方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少． 【答案】(1) (2)在抛物线的对称轴上存在一点E，使得的周长最小，点E的坐标是 (3)当时，S有最大值， 【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． （1）由点B的坐标及，求出C点的坐标，把点B、C的坐标分别代入，即可得到抛物线的解析式； （2）根据两点之间线段最短可得E点是与对称轴的交点．利用待定系数法求出直线的解析式，将抛物线的对称轴方程代入求出y的值，即可得到点E的坐标． （3）点D在抛物线上，其横坐标为m，则纵坐标为．由求出关于S的函数关系式，由m的取值范围可求出当时，S有最大值为8． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴C点的坐标为． 将点B、C的坐标分别代入，得 ， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点E，此时的周长最小．    ∵，点B的坐标为， ∴． 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． ∵的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点E的坐标是； （3）解：∵点D在抛物线上，其横坐标为m，则纵坐标为． ∵，， ∴， 即．m的取值范围是． 将化成顶点式为． ∴当时，S有最大值，． 题型六 利用二次函数解决四边形周长的最值问题（共4小题） 1．（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）求出点E坐标，再求出，进而可得出答案； （3）由E，F为定点，可得当的和最小时，四边形的周长最小，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则，而三点共线，故此时的值最小，可得，，，，从而求出，，即知四边形周长的最小值为2． 【详解】（1）解：把代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）∵直线经过点， ∴直线的表达式为． 由， 解得或， ∴． ∵直线交轴于点，在中，令，则， ∴． ∴． （3）∵为定点， ∴线段的长为定值， ∴当的和最小时，四边形的周长最小． 如解图，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则， ∵三点共线， ∴， 此时的值最小． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴直线的表达式为． ∵点为直线与的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴四边形周长的最小值为． 2．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：①当时，②当时，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 3．（2025·湖南岳阳·二模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求此抛物线的表达式． (2)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将抛物线在轴以下的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到新图象，如图3，若直线与此新图象有且仅有三个交点．求当时，代数式的最大值． 【答案】(1)； (2)四边形周长的最小值为，； (3)当时，代数式的最大值为． 【分析】（1）利用待定系数法求得即可； （2）连接，利用对称性求得，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可； （3）先求得翻折后的解析式为，推出直线与只有唯一的一个交点，利用根的判别式求得（舍去不符合题意的），求得代数式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵的图象过点和， ∴， 解得， ∴此抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点， ∴点， 连接， 由函数的对称性质知， ∴四边形的周长， 当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ， ∴四边形周长的最小值为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）解：由题意得，抛物线在轴以下的部分沿轴翻折，翻折后的解析式为，如图， 当直线与图中的新图象只有三个交点时， 则直线与只有唯一的一个交点， 联立得， 整理得， 则， 解得或， 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 当时，代数式 ， ∵当时，的值随的增大而减少， 故当时，代数式的值最大； 当时，的值随的增大而增大， 故当时，代数式的值最大； 又∵当时，； 当时，； 而， ∴当时，代数式的最大值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、周长的计算、点的对称性、翻折变换等知识点，运算能力是本题解题的关键． 4．（24-25九年级上·山东威海·期末）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为第一象限内抛物线上一点，过点P作轴交直线于点Q．过点P作轴于点H，过点Q作轴于点G．当点P位于何处时，四边形的周长最大？最大周长为多少？ 【答案】(1) (2)时，四边形的周长最大，最大周长为 【分析】本题考查了二次函数与几何，正确求出二次函数的解析式，熟练利用二次函数的性质找最值是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）设的横坐标为，则可用表示P的纵坐标，即可得到点的坐标，再表示出四边形的周长，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：把点，代入， 可得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：当时，， , 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 直线的解析式为 设， 轴， 的纵坐标为， 代入直线可得， 解得， ， 轴，轴， , 四边形为矩形， 四边形的周长为， ， 当，即时，四边形的周长最大，最大周长为． 题型七 利用二次函数解决图形面积的最值问题（共2小题） 1．（23-24九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，点、分别是正方形的边、上两点，且，． (1)设，的面积为，求关于的函数关系式； (2)当取何值时，的面积最大？求出此时的面积． 【答案】(1) (2)当时，最大，即的面积最大，此时的面积是 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，正方形的性质，三角形的面积，正确求得函数的解析式是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，，，从而得到，即可求解； （2）把函数关系式化为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， 即． （2）， 当时，最大，即的面积最大，此时的面积是． 3．（2025·四川绵阳·三模）如图，过、作x轴的垂线，分别交直线于C、D两点．抛物线经过O、C、D三点． (1)求抛物线的表达式； (2)点M，N是平面直角坐标系中的两点，若四边形是正方形，求直线与抛物线的交点P的坐标； (3)若沿方向平移（点C在线段上，且不与点D重合），在平移的过程中与重叠部分的面积记为S，试求S的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分两种情况讨论：①当M、N在左侧时；②当M、N在右侧时，然后构造全等三角形求出N的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，最后联立方程组求解即可； （3）设水平方向的平移距离为，利用平移性质求出S的表达式：，然后关键二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴，． ∵抛物线过原点， ∴设抛物线的解析式为． ∴，解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：∵， ∴，， ①当M、N在左侧时，如图，过N作于G，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴； ②当M、N在右侧时，如图，过N作于G，则， 同理可求出，直线解析式为， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设直线解析式为，则， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 如答图所示， 设平移中的三角形为，点在线段上， 设与x轴交于点E，与直线交于点P，与x轴交于点F，与直线交于点Q， 设水平方向的平移距离为， 则图中，，，， 设直线的解析式为， 将代入得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 联立方程组，解得t， ∴． 过点P作轴于点G，则． ∴ ， 当时，S有最大值为， ∴S的最大值为． 【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，第（2）问中，解题的关键是根据正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求出N的坐标；第（3）问中，解题的关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法． 类型一 利用割补、拼接法解决面积最值问题（共5小题） 1．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， (4)的坐标为：或或或 【分析】（1）把点，点的坐标带入，再根据对称轴，解出，，，即可； （2）设直线与对称轴的交点为点，设直线的解析式为：，把点，点的坐标代入，求出解析式，再根据点在上，求出点的坐标；根据直线垂直平分，则，；根据等量代换，三角形三边的关系，则，当点在直线上，则有最小值，根据，是定值，即可； （3）根据题意，则点，过点作轴交于点，则点，求出的值，根据四边形面积为：，且，当时，有最大值；再根据，即当时，四边形面积有最大值，最后根据点在，即可； （4）根据等腰三角形的性质，分类讨论：当点与点关于轴对称，则，求出点的坐标；延长交直线于点，此时，三点共线，不存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形；当，求出点的坐标；当时，求出点的坐标，即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点，两点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）设直线与对称轴的交点为点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：； ∴点， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，， 当点与点重合时，，此时有最小值， ∴，此时的值最小， ∵，是定值 ∴当点时，有最小值， 故答案为：． （3）过点作轴交于点， 设点的横坐标为， ∴，， ∴， ∵四边形的面积，， ∴， ∴， 当时，有最大值，， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值为：， ∴点． （4）存在，理由如下： ∵点，对称轴， ∴点， ∴， 设点， 设直线与轴交于点， ∴点与点关于轴对称， ∴， ∴是等腰三角形， ∴点； 延长交直线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，三点共线， ∴不存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形； 当， ∴， 解得：， ∴点或； 当时， ∴， 解得：； 综上所述，当点的坐标为：或或或时，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，两点间线段最短，等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，学会运用数形结合，分类讨论的方法． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，已知点B坐标为，点C坐标为，点P为抛物线上的一个点，其横坐标为m． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上的一个点，连接，，当四边形的面积最大时，求出P点的坐标； (3)过点P作轴，交直线于M，记的长为d，点P到y轴的距离为g，且． ①求l与m的函数解析式； ②当时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数与面积综合． （1）把点B坐标为，点C坐标为代入列方程计算即可； （2）过作轴交于，设，则，根据 表示出面积，最后求最大值即可； （3）①设，则， ，点P到y轴的距离为，，再分情况讨论去绝对自即可； ②根据结合①中三种情况列方程求解，再取对应范围之内的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，已知点B坐标为，点C坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：点B坐标为，点C坐标为，则， 设直线解析式为，把代入， 解得， ∴直线解析式为， 过作轴交于， 设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为，此时； （3）解：①设， ∵过点P作轴，交直线于M， ∴， ∴，点P到y轴的距离为， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，； ②∵， ∴当时，，解得（舍去）或； 当时，，整理得，方程无解； 当时，，整理，解得或（舍去）； 综上所述当时，或． 3．（2022·黑龙江绥化·二模）图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，其对称轴为． (1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴上． ①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标； ②求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②， 【分析】（1）把B、C的坐标代入二次函数表达式，再根据对称轴利用待定系数法求解即可；（2）①由PA⊥NA，且PA=NA，可证，则PD=AE，PD=AE=AO-EO=3-1=2，即，即可求解；②利用，求解即可． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，其对称轴为， ∴，解得 ∴二次函数的解析式为，顶点坐标为． （2）令， 解得或． ∴点． 如图，作PD⊥x轴于点D． 设对称轴与x轴交于点E，∴AE＝2． 设点． ∵PA⊥NA，且PA＝NA， ∴∠PAD+∠APD=∠PAD+∠EAN=90°, ∴∠APD=∠EAN， 又∵∠PDA=∠AEN=90°， ∴(AAS)， ∴PD＝EA． 即， 解得（舍去）或． ∴点． ②如图，连接PO． ． ∴四边形PABC面积的最大值为，此时点P的坐标为． 【点睛】本次考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到三角形全等、解直角三角形等知识，其中是本题的难点． 4．（2024九年级下·山西·专题练习）综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与直线交于点，点在轴上．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段方向匀速运动，运动到点时停止． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)如图1，过点作交抛物线于点，连接，当四边形为平行四边形时，求的值． (3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以每秒1个单位长度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时，点也停止运动．连接，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)，点的坐标为； (2)或． (3)． 【分析】（1）把点坐标代入抛物线解析式求出，得到抛物线表达式，再令求点坐标． （2）先求出直线解析式，设运动时间，表示出点坐标，进而得到点坐标，求出长度，利用平行四边形对边相等列方程求解． （3）过点作辅助线，分别表示出相关线段长度，将四边形面积拆分为两个三角形面积之和，得到关于的二次函数，求其最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 令，则， ， 解得或， ∵点在点右侧， ∴点的坐标为． （2）解：∵点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． ∵点从点出发，速度为每秒个单位长度，运动时间为秒， ∴．， ∵直线的解析式为， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即． ∵， ∴点的横坐标为， 把代入，得， ∴， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ， ， 解得或． （3）解：过点作轴于点，轴于点． 由（2）知，则，，． ， ， ∴ ． ∵， ∴当时，四边形有最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括求二次函数解析式、平行四边形的性质、二次函数的最值等，熟练掌握二次函数的性质以及平行四边形的判定与性质是解题的关键． 5．（2024·湖南·一模）定义：若抛物线的图象恒过定点，则称为抛物线的“不动点”．已知：若抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的不动点坐标； (2)若抛物线的对称轴是直线，对称轴与轴交于点． ①求抛物线的解析式； ②如图所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值． 【答案】(1)和 (2)①；② 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，二次函数图象上的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质是关键． （1）根据抛物线的“不动点”定义即可解决问题． （2）①根据抛物线的对称轴是直线，建立方程求解即可求得a的值；②过点P作轴，交直线于E，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，再运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 当时，， ∴抛物线恒过定点和， ∴抛物线的不动点坐标为和； （2）解：①∵抛物线， ∴抛物线L的对称轴是直线， 解得， ∴． ②如图，过点P作轴，交直线于E， ∵抛物线的对称轴直线与轴交于点， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 令， 解得：， ∴， ∴P是第一象限抛物线上的一个动点， ∴， ∵， ∴ ， ∴当时，最大，最大值为． 类型二 利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题（共小4题） 1．（25-26九年级上·山东临沂·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若P点是抛物线对称轴上的一点，求点P的坐标，使值最小； (3)若M是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）写出两点式，待定系数法进行求解即可； （2）连接，求出的解析式，根据对称性得到当点在线段上时的值最小，进行求解即可； （3）作轴，交于点，设出点的坐标，利用的面积等于，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得：， 解得， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∵点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点在线段上时的值最小， ∵， ∴当时，， ∴当时，的值最小； （3）作轴，交于点，设，则：， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大为，此时． 2.（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积最大时点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，面积最值问题，运用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴公式求出的值，由可得，代入到抛物线的解析式求出的值，即可得出答案； （2）过点E作轴交于点，根据二次函数的性质求出B，C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设，利用三角形的面积公式表示出的面积，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴， 代入到抛物线得，， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点E作轴交于点， 令，则， 解得：，， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 代入和得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ， 当时，有最大值， 此时， ∴点E的坐标为． 3．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）平面直角坐标系中，直线与抛物线交于过轴上的点和点． (1)求n和b的值； (2)为直线下方抛物线上一点，连接，，求的面积的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，构建二次函数求最值是解题的关键． （1）把点的坐标代入一次函数和二次函数的解析式，求解即可； （2）作轴交于点，设点的横坐标为，用含的代数式表示点和的坐标，进而构建的二次函数，求出的最大值，最后利用求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与抛物线交于轴上的点和点， ∴， 解得：； （2）解：作轴交于点，如图所示， 抛物线的解析式为：， 设，， ， ∵， ∴当时，有最大值，其最大值为， 此时最大，其最大值为：． 4．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（A在的左侧），与轴交于点，过A点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，平行四边形的性质、二次函数与四边形综合题等知识，数形结合是关键． （1）利用待定系数进行解答即可； （2）过点作轴，交直线于点，求出，根据二次函数的性质即可求出答案； （3）分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：如图，过点作轴，交直线于点， 由题意设点，则点， ， ， ，∴当时，取最大值27， 此时； （3）解：在抛物线：中，令，则；在直线中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， ∵以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 类型三 构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题（共1小题） 1．（23-24九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧），且，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作，交抛物线于点，点为直线上方抛物线上一动点，连接、、、，求四边形面积的最大值时相应点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线的解析式求出点、的坐标，代入抛物线求得、的值，即可得抛物线的表达式； （2）根据四边形面积最大值时，点到直线的距离最远，即此时直线与抛物线只有一个交点，联立直线和抛物线解析式，使该方程判别式为即可求得的坐标． 【详解】（1）解：直线的解析式为， 令，则，令，则， 点坐标为，点的坐标； ， 代入抛物线得：， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：， 设直线的表达式为， 将代入直线即可求得， 直线， 设过点与直线平行的直线：， 四边形面积最大值时，点到直线的距离最远， 即此时直线与抛物线只有一个交点， 令， 化简得①， 由得：， 方程①的解为， 四边形面积最大值时相应点的坐标为． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型八 利用二次函数解决定值问题（共4小题） 1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，是直线上方抛物线上一点，作轴交抛物线于点，过点作轴交于，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，已知点直线过点且与抛物线交于点，，直线、与轴分别交于，两点，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)是定值，值为． 【分析】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，根和系数的关系等． （1）已知抛物线与轴交点坐标，可利用交点式设抛物线解析式，再代入已知点求解． （2）先求出直线解析式，设出点坐标，进而表示出与，通过二次函数性质求最值． （3）设出直线解析式，联立抛物线方程，利用根与系数的关系，再求出直线、与轴交点坐标，进而计算． 【详解】（1）解：当时， ，则， 设抛物线解析式为，因为抛物线过点， 将代入得：，即， 解得． 所以抛物线解析式为． （2）设直线解析式为，，， 代入可得， 解得，所以直线解析式为． 设，因为轴，点纵坐标与点相同， 令， 即，， 解得，， 所以， 则． 又． ， 当时， 有最大值，此时． （3）是定值． 解：设直线的解析式为：，且直线经过点 直线的解析式为： 联立： 得 设直线的解析式为：， 解得： 同理： ， ∴为定值，定值为． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为，， (3)存在，定点的值为4 【分析】（1）把，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得答案； （2）根据抛物线解析式求出对称轴为直线，点坐标为，点Q坐标为，根据平行四边形对角线中点的坐标相同，分、、为对角线三种情况，列方程组求出、的值即可得答案； （3）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设的解析式为，，，则，联立抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系用、、、分别表示和，代入，根据为定值得出值及定值即可． 【详解】（1）解：∵，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． （2）解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，，， 设点坐标为，点Q坐标为， ①当为对角线时，， 解得：， ∴； ②当为对角线时，， 解得：， ∴； ③当为对角线时，， 解得：， 解得：， 综上所述，存在点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． （3）当抛物线向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线，即， 设的解析式为，点坐标为，点坐标为，则， 联立新抛物线与直线的解析式得：， ∴， ∴，， ， 同理，， ， ∵为定值， ∴， 解得：， 当时，， ∴定点的值为4． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的平移、求一次函数解析式、平行四边形的性质、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，综合性强，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键 3．（2025·四川南充·二模）如图，抛物线的最大值为4，顶点为，轴于，经过中点的任意直线与抛物线交于分别与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)当四边形是平行四边形时，求四边形的面积． (3)判断是否为定值，并说明由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，为8 【分析】（1）把解析式化为顶点式得到顶点坐标，再根据最大值为4求出a的值即可得到答案； （2）作于，延长交抛物线于，作于．可证明．得到．由对称性可得．则．可知点与点重合．则轴．可求出．由，解得．则，． （3）可求出直线为．直线为．设．由，得．则直线为．由，得．据此可求出，．由根系关系，得．则． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∵抛物线的最大值为4， ∴． ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，作于，延长交抛物线于，作于． ∴． 当四边形是平行四边形时，． 又∵， ∴． ∴． 由题意，为对称轴，则． ∴． ∴点与点重合． ∴轴． 由（1），得顶点坐标为， ∴． 由，得． ∴． ∴． ∴． （3）解：设直线为，则． ∴． ∴直线为． 同理，可设直线为． 设． 则．否则，无两个交点． 由，得． ∴直线为． 由，得． ∴． 同理，． 由，得． 以为元，由根系关系，得． ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于证明轴，解（3）的关键在于设出坐标，进而用A、B横坐标表示出线段的长． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合，涉及二次函数的图象的性质，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）利用二次函数的对称性及对称轴求出、的坐标，再求出的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）利用角平分线及构造全等三角形，求出点坐标，即可求出直线解析式，联立二次函数即可求解； （3）设，求出直线和直线的解析式，当时，求出和，表示出，利用恒为定值即可求解． 【详解】（1）解：如图，设抛物线对称轴与轴交于点，    ∵的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， 将，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交延长线于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与， 得， 解得：，， 当时，， 则； （3）解：设， 由，， 设直线解析式为：， 则， 解得：， ∴直线解析式为：， 设直线解析式为：， 则， 解得：， 直线解析式为：， 当时，，， ∴， ∵恒为定值， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 2 / 86 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $