第21章《一元二次方程》期末单元复习卷 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版九年级数学 第二十一章 一元二次方程 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分） 1.下列方程中是关于的一元二次方程的是（   ） A. B.（其中、、是常数） C. D. 2.已知是一元二次方程的一个解，则的值是（         ） A. B. C. D.或 3.根据下表确定方程的解的取值范围是（    ） … … A.或 B.或 C.或 D.或 4.将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（     ） A.， B.， C.， D.， 5.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A. B. C.且 D.且 6.古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多尺，比门高多尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为尺，则可列方程为 A. B. C. D. 7.关于的方程的两个根满足，且，则的值为（    ） A. B. C. D. 8.设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A. B. C. D. 9.若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（    ） A. B.或 C.或 D.或 10.已知关于的一元二次方程：，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程不可能有两个异号的实根； ③当时，方程的两个实根不可能都小于； ④当时，方程的两个实根一个大于，另一个小于 以上个结论中，正确的为（      ） 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.是一个一元二次方程，则_______． 12.已知实数、，满足，则代数式的最小值等于_________． 13.小明在探索一元二次方程的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是______. 14.化学课代表在老师的教导下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作,回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学,第二节课会做该实验的每名同学又手把手教会了同样多的同学,这样全班人恰好都会做这个实验了,那么人每节课手把手教会了 名同学．  15.已知，且，那么的值为____________． 16.等腰的三边长分别为、、，已知、是方程的两根，则的值为_______________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 解方程： （1）用适当的方法解方程： （2）用配方法解方程： （3）用公式法解方程： 18.(5分) 乐乐同学在解方程时出现了错误，他的解答过程如下： 解：①原方程可变形为， ②方程两边同时除以，得． ③所以，原方程的根是． （1）上述解答过程是从第____步开始出错的，其错误原因是________； （2）请写出正确的解答过程． 19.（5分）先化简，再求值：，其中是方程的一个根． 20.(6分) 已知方程． （1）当满足什么条件时，该方程是关于的一元二次方程？ （2）当该方程有两个相等的实数根时，求出的值及此时方程的根． 21.(8分) 某商店经销一种成本为每件元的时尚商品，据市场分析，若按每件元销售，一个月能售出件．若销售价每涨元，则月销售量减少件．针对这种商品的销售情况请解答以下问题： （1）当销售单价为每件元时，计算月销售量和月销售利润； （2）物价部门规定商品利润率不得超过，商店想使月销售利润达到元，销售单价应定为多少元？ 22.(8分) 已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边长为． （1）试说明：方程必有两个不相等的实数根； （2）当为何值时，是等腰三角形，求的周长． 23.(10分) 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”，理由：因为．所以是“完美数”．解决问题： （1）已知是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________； （2）已知，则_________； （3）已知实数、满足，求的最值． 24.(12分) 如图，在数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上由点向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为（单位：秒）． （1）求当时点表示的有理数； （2）当点与点重合时，求的值； （3）在点沿数轴由点到点再回到点的运动过程中，求点表示的有理数（用含的代数式表示）； （4）当点表示的有理数与原点的距离是个单位长度时，直接写出所有满足条件的值． 25.(12分) 定义：关于的一元二次方程（其中是实数，且）是关于的一元二次方程（其中是实数，且）的“友好方程”．例如：是的“友好方程”．求： （1）方程的“友好方程”是________． （2）若关于的一元二次方程（其中是实数．且）的一个解为，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由． （3）若关于的一元二次方程（其中是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求的值以及原方程的根． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版九年级数学 第二十一章 一元二次方程 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分） 1.下列方程中是关于的一元二次方程的是（   ） A. B.（其中、、是常数） C. D. 【答案】A 【解析】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题关键．先将各选项一元二次方程不是一般形式的化为一般形式，然后根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【解答】解：．，是一元二次方程，故符合题意； ．当时，（其中、、是常数）不是一元二次方程，故不符合题意； ．不是整式方程，所以不是一元二次方程，故不符合题意； ．，整理，得，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：． 2.已知是一元二次方程的一个解，则的值是（         ） A. B. C. D.或 【答案】B 【解析】把代入方程，解方程即可. 【解答】把代入方程得：， 解方程得： 故选 3.根据下表确定方程的解的取值范围是（    ） … … A.或 B.或 C.或 D.或 【答案】A 【解析】根据表格数据的变化规律，利用“夹逼法”得到一元二次方程的解的取值范围． 【解答】解：根据表格，当和时，， 当和时，， 该方程的解的取值范围为或， 故选：． 4.将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（     ） A.， B.， C.， D.， 【答案】A 【解析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将方程左边化为完全平方式，比较系数确定和的值． 【解答】解：， ， ， ， 可得，， 故选：． 5.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A. B. C.且 D.且 【答案】D 【解析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式等知识，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；有两个不相等的实数根需判别式大于零，联立求解． 【解答】解： 方程为一元二次方程， ， 有两个不相等的实数根， 判别式 ， ，即 ， 综上，且． 故选：． 6.古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多尺，比门高多尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为尺，则可列方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），勾股定理等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键．若设竹竿的长为尺，则由题意得，门宽为尺，门高为尺，然后根据勾股定理即可得出答案． 【解答】解：因为设竹竿长为尺，由题意可知门宽为尺，门高为尺． 可列方程为：． 故选：． 7.关于的方程的两个根满足，且，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得的方程，解的方程即可． 【解答】解：， ， 或， ， ， ， ， 解得． 故选：． 8.设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的根、根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由方程根的定义和根与系数的关系，整体代入求值． 【解答】解：是方程 的根， ， 即 ， 又 、是方程的两个实数根， ， ． 故选：． 9.若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（    ） A. B.或 C.或 D.或 【答案】C 【解析】此题考查解一元二次方程，勾股定理，先解方程得到两根为和，再分两种情况讨论斜边的可能长度：当和均为直角边时，斜边为；当为斜边时，斜边为，由于斜边必为最长边，不可能是斜边，因此斜边为或 【解答】 方程可因式分解为， 两根为，， 即的两边长分别为和； 情况：当和均为直角边时，斜边长为； 情况：当为斜边时，斜边长为 斜边长为或， 故选 10.已知关于的一元二次方程：，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程不可能有两个异号的实根； ③当时，方程的两个实根不可能都小于； ④当时，方程的两个实根一个大于，另一个小于 以上个结论中，正确的为（      ） A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 【答案】C 【解析】根据根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可． 【解答】解：，， 当时，方程有两个不相等的实根，故①正确； 当时，两根之积，故方程的两根异号，故②说法错误； 由一元二次方程的求根公式得， ，方程的两个实根不可能都小于，故③正确； 由③知，当时，方程的两个实根一个大于，另一个小于，故④正确， 正确的结论有：①③④ 故选： 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.是一个一元二次方程，则_________． 【答案】 【解析】本题主要考查一元二次方程的概念，解题的关键是熟记一元二次方程的概念，含有个未知数，未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程． 根据题意列出关于的方程，得到结果即可． 【解答】解：由题可得：， 解得：， ， 故答案为：． 12.已知实数、，满足，则代数式的最小值等于______5______． 【答案】5 【解析】由题意得，代入代数式可得，故此题的最小值是 【解答】， ， ， 代数式的最小值等于， 故答案为：． 13.小明在探索一元二次方程的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是_____1___. 【答案】1 【解析】根据表格中的数据，可以发现：时，；时，，故一元二次方程的其中一个解的范围是，进而求解． 【解答】解：根据表格中的数据，知方程的一个解的范围是：， 所以方程的其中一个解的整数部分是． 故答案为：.  14.化学课代表在老师的教导下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作,回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学,第二节课会做该实验的每名同学又手把手教会了同样多的同学,这样全班人恰好都会做这个实验了,那么人每节课手把手教会了 6 名同学． 【答案】6 【解析】此题暂无解析 【解答】设人每节课手把手教会了名同学,由题意,得,解得(不合题意,舍去),人每节课手把手教会了名同学．  15.已知，且，那么的值为_____205____________． 【答案】205 【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、换元法解一元二次方程，把方程两边同时除以，可得：，可知和是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可以求出的值． 【解答】解：， 由方程可知， 把方程两边同时除以， 可得：， 可知和是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故答案为：． 16.等腰的三边长分别为、、，已知、是方程的两根，则的值为_______4或_________． 【答案】4或 【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式，根据等腰三角形的两腰相等，可分两种情况求解，当等腰三角形的腰是时，则方程有一根是，把代入方程，可得关于的方程，解方程即可求出的值；当是等腰三角形的底边长时，则有，所以方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式可得：，解方程即可求出的值． 【解答】解：等腰的三边长分别为、、， 当等腰的腰长是时， 则方程有一个根是， 可得：， 解得：； 当等腰的底边长是时， 则有， 则方程有两个相等的根， ， 解得：； 当时，三边长为、、，满足，可以构成三角形； 当时，三边长为、、，满足，可以构成三角形． 综上所述，的值是或． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 解方程： （1）用适当的方法解方程： （2）用配方法解方程： （3）用公式法解方程： 【答案】，； ，； ，． 【解析】（1）先整理，然后运用因式分解法求解即可； （2）运用配方法求解即可； （3）直接运用公式法求解即可． 【解答】（1）解：， 整理得， 因式分解得， ，， 解得，； （2）解：整理得， 配方得，即， 开方得， 所以，； （3）解：， ，，， ， ， ，． 18.(5分) 乐乐同学在解方程时出现了错误，他的解答过程如下： 解：①原方程可变形为， ②方程两边同时除以，得． ③所以，原方程的根是． （1）上述解答过程是从第____②____步开始出错的，其错误原因是__方程两边同时除以时，未考虑是否为零______； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】②；方程两边同时除以时，未考虑是否为零 解答过程见解析 【解析】（1）分析乐乐同学的解答过程，发现错误地将方程两边同时除以，违反了等式的性质，进行解题即可； （2）先将原方程可变形为①，再移项、合并同类项，提取公因式进行因式分解，解得方程的根即可． 【解答】（1）解：解答过程是从第②步开始出错的， 将方程两边同时除以，未考虑是否为零，当时，，除以零无意义， 故答案为：上述解答过程是从第②步开始出错的，其错误原因是方程两边同时除以，未考虑是否为零； （2）解：原方程可变形为：， 移项得：， 提取公因式得：， 那么或， 解得，． 19.（5分）先化简，再求值：，其中是方程的一个根． 【答案】 【解析】本题考查了二次根式、分式的化简求值，一元二次方程的根，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 先对的分子进行因式分解，再进行化简，然后解一元二次方程，再根据分母不为进行舍解，最后再代入求值． 【解答】解： 或 解得或， ， ， 是方程的一个根， ， 原式． 20.(6分) 已知方程． （1）当满足什么条件时，该方程是关于的一元二次方程？ （2）当该方程有两个相等的实数根时，求出的值及此时方程的根． 【答案】 的值为，方程的根为 【解析】（1）先化为一般式，再根据一元二次方程的定义求解即可； （2）根据方程有两个相等的实数根时，求解，再解方程求出方程的根即可． 【解答】（1）解： 当，即时，该方程是关于的一元二次方程； （2）解：， 当该方程有两个相等的实数根时， 解得， 此时方程为， 解得， 的值为，方程的根为． 21.(8分) 某商店经销一种成本为每件元的时尚商品，据市场分析，若按每件元销售，一个月能售出件．若销售价每涨元，则月销售量减少件．针对这种商品的销售情况请解答以下问题： （1）当销售单价为每件元时，计算月销售量和月销售利润； （2）物价部门规定商品利润率不得超过，商店想使月销售利润达到元，销售单价应定为多少元？ 【答案】月销售量为件，月销售利润为元 销售单价应定为元 【解析】（1）由题意知，月销售量为，（件）；根据月销售利润为，计算求解即可； （2）设销售单价应定为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 依题意得：，计算求解，然后计算利润率，当利润率小于等于即为满足要求的解． 【解答】（1）解：由题意知，月销售量为，（件）； 月销售利润（元）． 当销售单价为每千克元时，月销售量为件，月销售利润为元． （2）解：设销售单价应定为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，利润率为，不合题意，舍去； 当时，利润率为，符合题意． 销售单价应定为元． 22.(8分) 已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边长为． （1）试说明：方程必有两个不相等的实数根； （2）当为何值时，是等腰三角形，求的周长． 【答案】见解答 的周长为或 【解析】（1）证明一元二次方程根的判别式即可； （2）解一元二次方程得两根即得、的长，由是等腰三角形且第三边长为，分类讨论或求得值，进而可解决问题． 【解答】（1）解： ， 故方程必有两个不相等的实数根； （2）解：， 即 ， 由题意的两边，，第三边长为， 是等腰三角形， 若，则，此时， 若，则，此时， 综上所述，的周长为或．  23.(10分) 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”，理由：因为．所以是“完美数”．解决问题： （1）已知是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________； （2）已知，则__________； （3）已知实数、满足，求的最值． 【答案】 最大值为，无最小值 【解析】（1）把分成和即可； （2）由，则且，然后分别求解即可； （3）先求出，则，然后由，从而即可求解． 【解答】（1）解：， 故答案为：； （2）， 且， 解得且， ． （3）， ， ， ， 的最大值为，无最小值． 24.(12分) 如图，在数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上由点向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为（单位：秒）． （1）求当时点表示的有理数； （2）当点与点重合时，求的值； （3）在点沿数轴由点到点再回到点的运动过程中，求点表示的有理数（用含的代数式表示）； （4）当点表示的有理数与原点的距离是个单位长度时，直接写出所有满足条件的值． 【答案】 当点到达点前点表示的有理数；当点到达点再回到点的运动过程中点表示的有理数 的值为或或或 【解析】（1）表示的有理数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上向右运动，点所表示的数是； （2）两点间的距离为，根据路程除以速度，可得时间； （3）分两种情况进行讨论，当点到达点前或当点到达点再回到点的运动过程中，根据速度乘以时间表示出点与或的距离，再根据点或点所表示的有理数进行加减运算表达出点表示的有理数； （4）由可得点表示的有理数，当点表示的有理数与原点的距离是个单位长度时，即点表示的有理数的绝对值为，据此解答即可． 【解答】（1）解：当时， 点 所表示的有理数是； （2）解：当点与点重合时，点所运动的路程为 ； （3）解：点沿数轴由点到点再回到点的运动过程中，分为种情况： 当点到达点前：点与点的距离是个单位长度， 则表示的有理数：； 当点到达点再回到点的运动过程，点与点的距离是：个单位长度， 则表示的有理数：； （4）解：当点表示的有理数与原点（设原点为）的距离是个单位长度， 当点到达点前点表示的有理数是， 或 或； 当点到达点再回到点的运动过程，则表示的有理数是， 或 或； 综上所述，当点表示的有理数与原点的距离是个单位长度时，的值为或或或 25.(12分) 定义：关于的一元二次方程（其中是实数，且）是关于的一元二次方程（其中是实数，且）的“友好方程”．例如：是的“友好方程”．求： （1）方程的“友好方程”是________． （2）若关于的一元二次方程（其中是实数．且）的一个解为，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由． （3）若关于的一元二次方程（其中是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求的值以及原方程的根． 【答案】 是该方程的“友好方程”的一个解，理由见解析 ；原方程的根为和 【解析】（1）仿照题中给出的新定义以及例子，求出“友好方程”即可； （2）根据方程的一个解为，得到，写出其“友好方程”，当时，得到关于 得方程，据此进行计算求解即可； （3）根据题意，得到其“友好方程”，由于两个方程有完全相同的解，则根据两根之和相等列出方程组，结合，得到的值，将的值代入到原方程中，通过因式分解得到方程的解即可． 【解答】 （1）解：由题意得：中、、，根据“友好方程”的定义，方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）解：方程的一个解为， ， 其“友好方程”为：， 当时， 把代入上式得： 因此，是该方程的“友好方程”的一个解； （3）解：设方程的解为、， 则 其“友好方程”的解也为、， 则 由题意列方程为：， 解得，或 且 那么原方程为 令或 解得，． 答：的值为以及原方程的根为和． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $