专题01 一元二次方程（期中真题汇编，北京专用人教版）九年级数学上学期

专题01 一元二次方程 3大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 解一元二次方程 考点03 实际应用与一元二次方程 地 城 考点01 一元二次方程的概念 一、单选题 1．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)若关于的一元二次方程的一个根是，则a的值是（   ） A．1 B． C． D． 3．(23-24九上·北京·期中)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．(24-25九上·北京·期中)根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25九上·北京朝阳外国语学校·期中)写出一个以0和为根的一元二次方程: ． 6．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 7．(24-25九上·北京十一学校·期中)已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 三、解答题 8．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 9．(24-25九上·北京海淀区北京大学附属中学·期中)已知 m是方程的一个根，求代数式的值． 10．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)已知t是方程的一个根，求代数式的值． 11．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)已知是方程的一个根，求代数式的值． 12．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)已知实数是的根，求的值． 13．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第十六中学·月考)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 地 城 考点02 解一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京大兴区·期中)已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，则k的取值范围为 ． 三、解答题 4．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 5．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)解关于x的方程： (1)； (2)． 6．(24-25九上·北京大兴区·期中)解方程：． 7．(24-25九上·北京十一学校·期中)已知：关于的一元二次方程 (1)求证；该方程总有两个实数根； (2)请你给出一个整数的值，使得此时方程的解均为整数，并求出此时方程的解． 8．(24-25九上·北京十一学校·期中)已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求k的值． 9．(24-25九上·北京第十二中学·期中)解方程 (1)； (2)． 10．(24-25九上·北京东城区东直门中学·期中)对于平面直角坐标系中的图形，给出如下定义：点是图形上任意一点，若存在点，使得是直角，则称点是图形的“直角点”． (1)已知点，在点，，中， 是点的“直角点”； (2)已知点，，若点是线段的“直角点”，求点的横坐标的取值范围； (3)在（2）的条件下，已知点，，以线段为边在轴上方作正方形．若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，直接写出的取值范围． 11．(24-25九上·北京海淀区北京大学附属中学·期中)已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两个根差为1，求此时的值． 12．(24-25九上·北京东城区东直门中学·期中)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 13．(24-25九上·北京/海淀区北京大学附属中学·期中)解方程： (1)； (2)． 14．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)解方程： (1)； (2)． 15．(24-25九上·北京第二中学·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程只有一个实数根为负数，求m的取值范围． 地 城 考点03 实际应用与一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·北京/海淀区北京大学附属中学·期中)北京市2021年人均可支配收入为7.5万元，2023年达到8.18万元，若2021年至2023年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25九上·北京十一学校·期中)某工厂年生产吨某产品的成本是元，由于原料价格上涨，两年后，年生产吨该产品的成本是元，求该种产品成本的年平均增长率．设年平均增长率为，则所列的方程应为 ． 3．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)2024年6月27日，“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览在北京大运河博物馆开幕．据了解，开幕第一周的参观人数为4万人，第三周的参观人数增加到万人．设参观人数的周平均增长率为x，则可列方程为 ． 4．(24-25九上·北京大兴区·期中)某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设这种植物每个支干长出的小分支个数为x，则可列方程为 ． 三、解答题 5．(24-25九上·北京/海淀区北京大学附属中学·期中)学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建． (1)长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米； (2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由． 6．(24-25九上·北京·期中)“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． 该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元? 7．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)2024年2月3日，中央一号文件《中共中央国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》正式发布，提出推进乡村全面振兴“路线图”．文件指出，推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某扶贫单位为了提高某乡村贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示），设． (1)用含x的代数式表示边的长； (2)若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长． 8．(24-25九上·北京大兴区·期中)今年是中华人民共和国成立75周年，国庆期间一款主题为“强国有我”的纪念品深受欢迎．某商家将该款每件进价为20元的纪念品，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件． (1)每件纪念品涨价多少元时，每日的利润为280元？ (2)每件纪念品应涨价多少元，才能使每日利润最大，最大利润是多少元？ 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 3大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 解一元二次方程 考点03 实际应用与一元二次方程 地 城 考点01 一元二次方程的概念 一、单选题 1．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把方程整理成一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程整理成一般式为， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：． 2．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)若关于的一元二次方程的一个根是，则a的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴把代入， 得， 解得， 故选：C 3．(23-24九上·北京·期中)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根得，计算得，根据一元二次方程的定义得，即可得，掌握一元二次方程的定义，根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ， ， ∵， ∴且， 故选：D． 4．(24-25九上·北京·期中)根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的根，看0在相对应的哪两个值之间，那么近似根就在这两个对应的值对应的x的值之间，据此求解即可． 【详解】解： ∵当时，，当时，， ∴当时，一定有一个x对应的值使得， ∴一元二次方程的一个根的范围是， 故选：D． 二、填空题 5．(24-25九上·北京朝阳外国语学校·期中)写出一个以0和为根的一元二次方程: ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了一元二次方程中根与系数的关系，两根和为，两根积为，根据此关系即可写出方程．此题的答案不唯一，解题的关键是掌握一元二次方程中根与系数的关系． 【详解】解：依题意，两根和为，两根积为． 设，据题意得 ， ， 一个以0，为根的一元二次方程为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 6．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义．当，即时，原方程为一元一次方程，解得可得出x的值，进而可得出符合题意；当，即时，利用根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，进而可得出且．综上，即可得出m的取值范围． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得：， ∴符合题意； 当，即时，， 解得：， ∴且． 综上所述，m的取值范围是． 故答案为：． 7．(24-25九上·北京十一学校·期中)已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由题意易得，然后代值求解即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴，即， ∴； 故答案为3． 三、解答题 8．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，理解一元二次方程的解的定义是解题关键．把代入，得，再把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的根， ∴把代入， 得， ∴， ∵． 9．(24-25九上·北京海淀区北京大学附属中学·期中)已知 m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解的定义．先根据m是方程的一个根，得出，求出，然后再整体代入求值即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 10．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)已知t是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，解题关键是明确方程解的意义，整体代入求值; 把t代入方程，得出，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵t是方程的根， ∴． ∴． ∴． 11．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式混合运算中的化简求值，并且结合了一元二次方程根的相关知识点． 解题的关键是会灵活应用整体代入，要先化简，再观察方程与代数式的形，最后变形整体代入即可求得结果． 【详解】解： ， 是方程的一个根， ， ， 原式 ． 12．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)已知实数是的根，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的化简求值，一元二次方程的解，由实数是的根，得到，再将整式化简后即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵实数是的根， ∴，即， ∴ ． 13．(24-25九上·北京·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查解一元二次方程及根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据因式分解法求出两根，然后列出不等式即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∵， ∴方程总有两个实数根． （2）解： ， 解得：或 ∵方程有一个根为负数， ∴． ∴． 地 城 考点02 解一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 移项得， ， ∴， 故选：B 2．(24-25九上·北京大兴区·期中)已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设该方程的另一个根为t，则根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而问题可求解． 【详解】解：设该方程的另一个根为t，由题意得：， ∴另一个根为：； 故选B． 二、填空题 3．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因为关于的一元二次方程有两个不等实数根，得出，解出，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 4．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 【答案】(1)方程必有两个不等实数根； (2)m的值为1，这两个有理数根为和． 【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程． （1）由方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程必有两个不等实数根； （2）由m的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出，代入后可得出原方程为，且，再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根． 【详解】（1）证明： ． ∵， ∴， 即， ∴方程必有两个不等实数根； （2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且， ∴， ∴原方程为，且， ∴此时原方程的解为， ∴m的值为1，这两个有理数根为和． 5．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)解关于x的方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，； 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， 则， ∴， 解得，； （2）解：， 移项，得， 配方，得， 则， ∴， 解得，． 6．(24-25九上·北京大兴区·期中)解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程．把方程化为一般形式后，利用公式法解方程即可． 【详解】解： 可化为 由，， ∴ ∴ ∴， 7．(24-25九上·北京十一学校·月考)已知：关于的一元二次方程 (1)求证；该方程总有两个实数根； (2)请你给出一个整数的值，使得此时方程的解均为整数，并求出此时方程的解． 【答案】(1)证明见解析 (2)，， 【分析】（）求出的值，进而即可求证； （）当时，方程为，方程的解均为整数，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：当时，方程为， 解得，． 8．(24-25九上·北京十一学校·期中)已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求k的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）由题意可根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）由题意得，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由题意得：， ∵， ∴， 整理得：， 解得：． 9．(24-25九上·北京第十二中学·期中)解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）先求得的值，利用公式法解此方程即可． 【详解】（1）解：由原方程得：， 或， 解得，； （2）解：，，， ， ， 解得，． 10．(24-25九上·北京东城区东直门中学·期中)对于平面直角坐标系中的图形，给出如下定义：点是图形上任意一点，若存在点，使得是直角，则称点是图形的“直角点”． (1)已知点，在点，，中， 是点的“直角点”； (2)已知点，，若点是线段的“直角点”，求点的横坐标的取值范围； (3)在（2）的条件下，已知点，，以线段为边在轴上方作正方形．若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先通过勾股定理求得，，，，，，利用勾股定理逆定理，判断是否构成直角三角形即可； （2）因为，点在以为直径的圆上（，两点除外），以，为直径作和，过点作，点在点的左侧，过点作，点在点的右侧，则点，为点的左右临界点，通过，，可求得和坐标，从而求得的范围； （3）由题意可知，正方形边长为，在（2）的条件下作出正方形，分别以，为直径作圆，当时，即，若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，正方形位于正方形①的位置为最左侧临界值，此时；当正方形位于正方形②的位置时，此时，利用，求得；当时，若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，正方形位于正方形④的位置为最右侧临界值，此时，解得；当正方形位于正方形③的位置时，此时，利用，解得，从而推出的范围． 【详解】（1）解：如图 ，，， ， ， 是点的“直角点”； ，， ， ， 不是点的“直角点”； ， 是点的“直角点”． 综上，，是点的“直角点”． 故答案为：，； （2）解：点是线段的“直角点”，为线段上的点， ， 点在以为直径的圆上（，两点除外）， 如图，以，为直径作和，过点作，点在点的左侧，过点作，点在点的右侧，则点，为点的左右临界点． ，， ，， ， 点的横坐标为． ， ，， ， 点的横坐标为， 点的横坐标的取值范围为． （3）解：，， ， 正方形的边长为1． 在（2）的条件下作出正方形，分别以，为直径作圆，如图， 当时，即，若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，正方形位于正方形①的位置为最左侧临界值，此时； 当正方形位于正方形②的位置时，此时， 正方形上的所有点均为线段的“直角点”， ， ， ， 解得：（正数不合题意，舍去）， ． ； 当时，若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，正方形位于正方形④的位置为最右侧临界值，此时， ； 当正方形位于正方形③的位置时，此时， 正方形上的所有点均为线段的“直角点”， ， ， ， 解得： （负数不合题意，舍去）， ． ． 综上，若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了新定义直角点，勾股定理，勾股定理逆定理，直径所对的圆周角为，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并进行分类讨论是解题的关键． 11．(24-25九上·北京海淀区北京大学附属中学·期中)已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两个根差为1，求此时的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式，可得，即可证明结论； （2）利用因式分解法求得该方程的解为，，结合方程两个根差为1解得的值即可． 【详解】（1）证明：对于关于的一元二次方程， ∵， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵方程两个根的差为1， ∴或， ∴或． 12．(24-25九上·北京东城区东直门中学·期中)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及解方程的方法，是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式，结合题意即可求解； （2）根据m的范围确定m的取值，代入方程，因式分解即可求得方程的根． 【详解】（1）解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得； （2）解：由（1）得， 所以符合条件的最大整数为2， 即， 此时方程为， 分解因式得， 解得． 13．(24-25九上·北京海淀区北京大学附属中学·期中)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）移项，利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 解得，． 14．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查公式法，因式分解法求一元二次方程的解，掌握求根公式“”，因式分解法求一元二次方程的根的方法是解题的关键． （1）根据题意，确定，，由求根公式即可求解； （2）先移项，再提取公因式，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴， ∴； （2）解： 移项得，， 提取公因式得，， 整理得，， ∴或， 解得，． 15．(24-25九上·北京第二中学·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程只有一个实数根为负数，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求证即可； （2）利用公式法求得方程的两个根为，，根据题意可得，，据此即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可得， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴方程的两个根为，， ∵该方程只有一个实数根为负数， ∴，解得， 故答案为：． 地 城 考点03 实际应用与一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·北京/海淀区北京大学附属中学·期中)北京市2021年人均可支配收入为7.5万元，2023年达到8.18万元，若2021年至2023年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据数量关系可知2021年人均收入7.5万元增长两年达到8.18万元，且增长率都是x，直接写成形如的形式即可． 【详解】根据题意，得． 故选：B． 二、填空题 2．(24-25九上·北京十一学校·期中)某工厂年生产吨某产品的成本是元，由于原料价格上涨，两年后，年生产吨该产品的成本是元，求该种产品成本的年平均增长率．设年平均增长率为，则所列的方程应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），充分理解题意，正确列出方程是解题的关键． 设年平均增长率为，根据某工厂年生产吨某产品的成本是元，两年后，年生产吨该产品的成本是元，即可列出方程． 【详解】解：设年平均增长率为， 根据题意可得： ， 故答案为：． 3．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)2024年6月27日，“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览在北京大运河博物馆开幕．据了解，开幕第一周的参观人数为4万人，第三周的参观人数增加到万人．设参观人数的周平均增长率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程是解题的关键．根据第一周的参观人数为4万人，设参观人数的周平均增长率为x，则第二周为，第三周为，根据已知条件第三周人数，列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设参观人数的周平均增长率为，根据题意得： ， 故答案为：． 4．(24-25九上·北京大兴区·期中)某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设这种植物每个支干长出的小分支个数为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据“主干、支干和小分支的总数是43”，列出方程即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：． 三、解答题 5．(24-25九上·北京海淀区北京大学附属中学·期中)学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建． (1)长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米； (2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由． 【答案】(1)10； (2)能，1米． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，找出不等关系式和等量关系式是解题的关键． （1）设与墙垂直的一面为米，另一面则为米，然后利用这堵墙的长度为不超过米，列出不等式求解即可； （2）设小路的宽为a米，两边的长分别为米，米，列出方程求解即可求解． 【详解】（1）解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米， 根据题意得：． 解得：， 答：长方形车棚与墙垂直的一面至少米； （2）解：设小路的宽为a米， 根据题意得，． 整理得；， 解得：（舍去），． 答：小路的宽为1米． 6．(24-25九上·北京·期中)“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． 该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元? 【答案】90元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用日销售量售价），即可找出日销售量与售价，关系式；利用电商每天销售该产品获得的利润每件的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该产品的售价每件应定为元，则销量为件，根据题意，得 ， 整理得：， 解得：， 该产品的进货价为70元件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元件， ∴（不符合题意，舍去） 答：该产品的售价每件应定为90元． 7．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)2024年2月3日，中央一号文件《中共中央国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》正式发布，提出推进乡村全面振兴“路线图”．文件指出，推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某扶贫单位为了提高某乡村贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示），设． (1)用含x的代数式表示边的长； (2)若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，设，则，即可作答． （2）根据矩形养鸡场，代入数值，进行求解即可. 此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，设，且的铁栅栏， ∴长为， 即 （2）解：由题意可知： 解得：， ∵当时，，，不合题意，舍去． 当时，，符合题意， 答：鸡场的长为． 8．(24-25九上·北京大兴区·期中)今年是中华人民共和国成立75周年，国庆期间一款主题为“强国有我”的纪念品深受欢迎．某商家将该款每件进价为20元的纪念品，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件． (1)每件纪念品涨价多少元时，每日的利润为280元？ (2)每件纪念品应涨价多少元，才能使每日利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)当涨价6元或10元时，每日利润为280元 (2)当涨价8元时获得利润最大，最大利润为288元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解答关键． （1）设当每件纪念品涨元时，每日的利润为280元，根据题意列出方程求解； （2）设当涨价元时，每日利润为元，根据题意列出方程求解． 【详解】（1）解：设当每件纪念品涨元时，每日的利润为280元， 根据题意得 整理得 解得：，． 答：当涨价6元或10元时，每日利润为280元． （2）解：设当涨价元时，每日利润为元， 根据题意得 整理得 ∵，抛物线开口向下， 所以，当时，． 答：当涨价8元时获得利润最大，最大利润为288元． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $