第十五章 轴对称 期末基础知识复习、易错点避坑指南、备考策略及习题汇编 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

八年级期末基础知识复习 易错点避坑指南及习题汇编 第15章 轴对称 本章是初中几何 “对称变换” 的核心章节，承接《全等三角形》的证明逻辑，聚焦轴对称的定义、性质、轴对称图形及特殊三角形（等腰、等边）的性质与判定，重点考查 “轴对称性质的应用”“线段垂直平分线与角平分线的灵活运用”“等腰三角形三线合一的证明”“最短路径问题的建模” 四大能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破对称变换与几何证明的难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：轴对称的核心定义与性质 准确理解轴对称与轴对称图形的概念、掌握轴对称的基本性质，是分析对称关系、解决几何问题的前提，需重点区分 “图形间对称” 与 “图形自身对称” 的本质差异。 1. 轴对称与轴对称图形的定义 概念类型 定义 图形特征 轴对称（两图形关系） 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点。 ① 两个图形完全重合；② 对应点连线被对称轴垂直平分；③ 对称轴是对应点连线的垂直平分线。 轴对称图形（单图形性质） 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 ① 一个图形自身对称；② 至少有一条对称轴；③ 对称轴两旁的部分完全重合。 2. 轴对称与轴对称图形的区别与联系 类别 轴对称（两图形） 轴对称图形 （单图形） 研究对象 两个图形之间的对称关系 一个图形自身的对称性质 对称轴数量 只有一条（两图形对称时） 至少一条（如圆有无数条） 核心特征 折叠后 “两图形重合” 折叠后 “图形自身重合” 联系 ① 都沿某条直线折叠后重合；② 轴对称的两个图形组成的整体是轴对称图形；③ 轴对称图形的两部分关于对称轴成轴对称。 3. 轴对称的性质（核心考点） 轴对称的性质是推导线段相等、角相等、直线垂直的重要依据，具体性质如下： ① 对应点性质：成轴对称的两个图形中，对应点所连线段被对称轴垂直平分（即对称轴⊥对应点连线，且对称轴平分对应点连线）； ② 对应元素性质：成轴对称的两个图形中，对应线段相等、对应角相等； ③ 图形整体性：成轴对称的两个图形是全等图形，它们的周长、面积相等。 易错警示：“轴对称的两个图形全等” 是正确的，但 “全等的两个图形一定轴对称” 是错误的（如两个全等的三角形随意摆放，不一定关于某直线对称）。 二、核心突破：轴对称的重要线段与特殊三角形 线段垂直平分线、角平分线是轴对称的 “标志性线段”，等腰三角形、等边三角形是轴对称的 “标志性图形”，需熟练掌握它们的性质、判定及应用。 1. 线段垂直平分线（高频考点） 类别 定义 性质 判定 应用场景 线段垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 ① 线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等；② 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（性质的逆用）。 ① 定义法：证明直线过线段中点且与线段垂直；② 逆定理法：证明直线上有两点到线段两端点距离相等。 ① 证明线段相等（如 “证 PA=PB，可证 P 在线段 AB 的中垂线上”）；② 找到线段两端点距离相等的点。 2. 角平分线（高频考点） 类别 定义 性质 判定 应用场景 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 ① 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；② 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上（性质的逆用）。 ① 定义法：证明射线平分角（即两角相等）；② 逆定理法：证明射线上有一点到角两边距离相等。 ① 证明线段相等（如 “证 PD=PE，可证 P 在∠AOB 的平分线上”）；② 找角的平分线。 易错点：角平分线性质中的 “距离” 角平分线性质中的 “距离” 指 “点到角两边的垂线段长度”，而非 “点到角顶点的线段长度”。例如：P 在∠AOB 的平分线上，PA⊥OA、PB⊥OB，则 PA=PB（垂线段相等），但 PO（到顶点的线段）不一定相等。 3. 等腰三角形（核心考点） 等腰三角形是轴对称图形（对称轴是底边的垂直平分线），其性质与判定是期末考查的重点： （1） 等腰三角形的性质 性质类别 具体内容 应用场景 边的性质 等腰三角形的两腰相等（AB=AC，∠B=∠C，简称 “等边对等角”）。 证明角相等（已知边相等推角相等）。 角的性质 等腰三角形的两底角相等（∠B=∠C，AB=AC，简称 “等角对等边”）。 证明边相等（已知角相等推边相等）。 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称 “三线合一”）。 ① 证明线段垂直（如 “证 AD⊥BC，可证 AD 是等腰△ABC 的中线”）；② 证明线段平分（如 “证 BD=DC，可证 AD 是等腰△ABC 的高”）。 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线（或顶角平分线、底边上的中线、高）。 利用对称性质找对应边、对应角。 （2）等腰三角形的判定 ① 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形； ② 角角边法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 4. 等边三角形（特殊等腰三角形） 等边三角形是特殊的等腰三角形（三边相等、三角相等），兼具等腰三角形的所有性质，且有自身特殊性质： （1）等边三角形的性质 ① 三边相等（AB=BC=AC）； ② 三角相等，且每个角都等于 60°（∠A=∠B=∠C=60°）； ③ 有三条对称轴（每条边的垂直平分线都是对称轴）； ④ 任意边上的中线、高、对角的平分线都重合（三线合一，且长度相等）。 （2）等边三角形的判定 ① 定义法：三边都相等的三角形是等边三角形； ② 三角法：三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 特殊等腰法：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 （3）含 30° 角的直角三角形的性质（高频易错点） 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 易错警示：该性质仅适用于 “直角三角形”，且 “30° 角对的直角边” 是斜边的一半，不可颠倒（如斜边不是 30° 角对边的一半）。 三、核心技能：轴对称作图与最短路径问题 轴对称作图是直观理解对称关系的关键，最短路径问题是轴对称的经典应用，需熟练掌握作图步骤与建模思路。 1. 轴对称作图（核心技能） 轴对称作图的核心是 “找关键点的对应点”，步骤如下： 定对称轴：明确对称轴 l（直线）； 找关键点：在原图形上找关键顶点（如三角形的三个顶点、四边形的四个顶点）； 作对应点： 过关键点 P 作对称轴 l 的垂线，垂足为 O； 延长 PO 至 P'，使 OP'=OP，P' 即为 P 关于 l 的对应点； 连对应点：顺次连接所有关键点的对应点，得到原图形关于 l 的对称图形。 易错点：作图不规范 未标注垂足（或垂足位置错误）； 延长 PO 时，OP'≠OP（对应点到对称轴的距离不相等）； 未顺次连接对应点，导致图形变形。 2. 最短路径问题（期末高频压轴） 最短路径问题的核心是 “利用轴对称转化线段，结合两点之间线段最短求解”，最经典的是 “将军饮马问题”。 （1）将军饮马问题（两定点 + 一条直线） 问题：如图，将军从 A 地出发，到河边 饮马，再到 B 地，求最短路径（即找上一点 P，使 PA+PB 最小）。 解法（轴对称转化）： 作点 A 关于直线的对称点 A'； 连接 A'B，与直线 交于点 P； 点 P 即为所求，此时 PA+PB=A'B（两点之间线段最短）。 （2）拓展：两直线 + 一定点（造桥选址问题） 问题：如图，A、B 在河两侧，要造一座桥 MN 垂直于河岸（、为河岸），求从 A 到 B 经过桥 MN 的最短路径。 解法（平移 + 轴对称）： 沿河岸方向平移点 A 至 A'，使 AA' 等于桥长； 连接 A'B，与 交于点 N； 作 MN⊥，M 在 上，连接 AM、MN、NB，即得最短路径。 其中PQ为河宽，PQ=AA’。 最短路径为AM+MN+NB=A’B+MN。 （3）解题关键：“转化” 思想 通过轴对称 ，将 “折线” 转化为 “直线”，利用 “两点之间线段最短” 或 “垂线段最短” 求解。 四、综合应用：轴对称的实际与几何综合 期末考查重点分为两类：一是轴对称的实际建模（如图案设计、最短路径），二是与全等三角形、四边形的综合证明，需掌握建模与综合推理方法。 1. 实际应用：轴对称的建模 常见场景：① 图案设计：利用轴对称设计对称美观的图案（如剪纸、徽章），关键是确定 “基本图形” 和 “对称轴”；② 最短路径：如快递员送件路线、校园路径规划，用将军饮马模型求解；③ 测量距离：利用轴对称转化不可直接测量的距离（如测量河宽时，找对称点转化线段）。 建模步骤： 抽象图形：将实际问题转化为几何模型（如 “河边” 转化为直线，“A 地、B 地” 转化为点 A、B）； 应用性质：用轴对称性质或最短路径模型找到最优解； 还原实际：将几何解转化为实际问题的答案（如 “点 P” 对应 “饮马点”）。 2. 几何综合：与其他图形的结合 核心考点：① 与全等三角形结合：利用轴对称性质找对应边 / 角，再证三角形全等；② 与平行四边形结合：利用 “矩形、菱形、正方形是轴对称图形” 的性质，推导线段垂直或相等；③ 与角平分线、中垂线结合：综合两者性质，证明三角形等腰或线段相等。 解题思路： 找对称关系：识别图形中的轴对称元素（如等腰三角形、角平分线）； 联性质：用轴对称、等腰三角形、中垂线等性质补充条件； 推结论：先证线段 / 角相等，再逐步推导最终结论（如证明四边形是菱形）。 五、易错点避坑指南 易错类型 易错表现 避坑技巧 概念混淆类 1. 混淆 “轴对称” 与 “轴对称图形”（如说 “等腰三角形是轴对称”，应为 “等腰三角形是轴对称图形”）；2. 误将 “线段垂直平分线” 与 “角平分线” 的性质颠倒（如用角平分线性质证明 “PA=PB”）。 1. 牢记：“轴对称” 描述两图形关系，“轴对称图形” 描述单图形性质，用 “是 XX 图形” 判断后者；2. 对比记忆：- 中垂线性质：点到 “线段两端点” 距离相等；- 角平分线性质：点到 “角两边” 距离相等。 性质应用类 1. 等腰三角形 “三线合一” 漏条件（如 “AD 是△ABC 的中线，故 AD⊥BC”，忽略 “AB=AC” 的前提）；2. 含 30° 角的直角三角形性质误用（如 “在△ABC 中，∠A=30°，故 BC=AB”，忽略 “∠C=90°”）；3. 轴对称性质漏 “垂直平分”（如 “对应点连线被对称轴平分”，漏 “垂直”）。 1. 应用 “三线合一” 前，先确认三角形是等腰三角形（AB=AC 或∠B=∠C）；2. 用 30° 角性质时，先标注直角符号，确认是直角三角形；3. 背诵轴对称性质：“对应点连线被对称轴垂直平分”，缺一不可。 作图类错误 1. 作轴对称图形时，关键点的对应点到对称轴的距离不相等；2. 作中垂线时，未证明 “垂直” 或 “平分”（如只作线段中点，未作垂线）；3. 最短路径问题作图漏对称点。 1. 作图时用刻度尺测量，确保对应点到对称轴的距离相等；2. 作中垂线步骤：① 找中点；② 作垂线（用三角板直角边）；3. 最短路径作图必作 “对称点”，标注 “垂直”“相等” 符号。 计算类错误 1. 等腰三角形角度计算漏情况（如 “等腰△ABC 中，∠A=50°，求∠B”，漏∠B=50° 或∠B=80° 的情况）；2. 等边三角形边长计算错误；3. 含 30° 角的直角三角形边长颠倒 1. 等腰三角形角度计算分 “∠A 为顶角” 和 “∠A 为底角” 两种情况；2. 标注 30° 角的对边（用虚线或箭头），明确 “对边 =斜边”。 综合题类错误 1. 最短路径问题未说明 “为什么最短”（如只找 P 点，未证明 “PA+PB=A'B” 是最短）；2. 与全等结合时，漏用轴对称性质（如未用 “对应边相等” 补充全等条件）。 1. 最短路径证明必写：“∵A、A' 关于对称，∴PA=PA'，∴PA+PB=A'B，两点之间线段最短，故此时最短”；2. 综合题中，先列 “轴对称性质”（如对应边相等），再列 “全等条件”，逻辑链条完整。 六、备考策略 夯实基础：概念与性质结合记忆 用 “对比表格” 记忆易混淆概念（轴对称 vs 轴对称图形、中垂线 vs 角平分线），标注区别与联系； 画图记忆性质：画等腰三角形标注三线合一，画含 30° 角的直角三角形标注边长关系，直观理解。 突破难点：针对性训练核心题型 针对 “最短路径”：多练将军饮马、造桥选址等变式题，总结 “作对称点→连线段→找交点” 的固定流程； 针对 “等腰三角形多解”：重点练 “角度计算”“边长计算” 的多情况问题，培养分类讨论意识； 针对 “综合证明”：练 “轴对称 + 全等”“等腰 + 中垂线” 的综合题，学习 “找对称→补条件→证全等” 的思路。 规范步骤：避免逻辑与书写漏洞 作图题：写出 “步骤 + 依据”，如 “1. 作 A 关于 l 的对称点 A'（依据：轴对称定义）；2. 连接 A'B 交 l 于 P（依据：两点之间线段最短）”； 证明题：按 “已知→联性质→证结论” 书写，如 “∵AB=AC（已知），∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角）”； 计算题：分情况讨论时标注 “情况 1：XX 为顶角”“情况 2：XX 为底角”，避免漏解。 错题复盘：聚焦高频错误整理 “等腰三角形多解漏情况”“最短路径作图错误”“三线合一漏前提” 三类典型错题，标注错误原因（如 “未分类讨论”“对应点距离不等”），重做时重点检查易错点，形成 “避坑笔记”。 复习口诀 轴对称，看定义，两图重合是对称，一图重合是图形。对应点，连线垂，对称轴来垂直分，对应边角都相等。中垂线，性质强，上点到端距离等；角平分线，也一样，上点到边距离同。等腰三角轴对称，三线合一要记清，等边对等角，等角也对等边。等边三角更特殊，三边三角都相等，三十度角直角边，斜边一半记心间。作图先找关键点，对称点要垂且等，最短路径作对称，转化线段用公理。期末备考多练习，概念性质要记牢，规范步骤不马虎，几何高分跑不了。 一、选择题汇编 1.下面这四个标志中是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 2.将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“”，再把它铺平，你看到的图形可能是（    ） A. B. C. D. 3.某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（    ） A. B. C. D. 4.如图，在一个规格为的球台上，有两个小球和．若击打小球经过球台的边反弹后，恰好击中小球，则小球击出时，应瞄准边上的（    ） A.点 B.点 C.点 D.点 5.如图，在的正方形网格中，点、在格点(网格线的交点)上，要找一个格点，连接，，使成为轴对称图形，则符合条件的格点的个数是（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 6.到三角形的三个顶点距离相等的点是       A.三角形三条中线的交点 B.三角形三条高的交点 C.三角形三条角平分线的交点 D.三角形三边垂直平分线的交点 7.如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（   ） A. B. C. D. 8.如图，，两地在一条河的两岸，现要在河上架一座桥，若河岸平行，与河岸垂直，要想使路径最短，下面有四种设计方案，你认为最合适的是（    ） A. B. C. D. 9.下列说法正确的是（   ） A.等腰三角形的中线就是角平分线 B.两边及一角对应相等的两个三角形全等 C.若，则经过的直线垂直平分线段 D.对顶角相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 10.已知在中，点为线段边上一点，则按照顺序，线段分别是的（    ） A.①中线，②角平分线，③高线 B.①高线，②中线，③角平分线 C.①角平分线，②高线，③中线 D.①高线，②角平分线，③中线 11.如图，点是内的一点，于点，于点，连接，．若，则下列结论不一定成立的是（    ） A. B. C.垂直平分 D. 12.如图，正的边长为 ，过点 的直线，且 与关于直线 对称， 为线段，上一动点，则 的最小值是（    ） A. B. C. D. 13.下列条件能判断为等腰三角形的是（    ） A.， B.， C.， D.， 14.如图，在中，．尺规作图操作如下：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点，；以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点为圆心的弧相交于三角形内部的点；过点画射线交边于点．下列结论错误的为（    ） A. B. C. D. 15.如图，在中，，，的平分线交于点，若．则（    ） A. B. C. D. 16.如图，为等腰直角三角形，为的中点，点在边上，将沿折叠至，与，分别交于，两点．若已知的长，则可求出下列哪个图形的周长（   ） A.四边形 B.四边形 C. D. 17.是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（    ） A. B. C. D. 18.如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①是等边三角形；    ②； ③的周长等于线段的长；    ④；正确的个数为（   ） A. B. C. D. 19.如图，在中，，点是上的一点，过点作交于点，交的延长线于点，连接，，给出下列结论：①；②；③若，则是等边三角形；④若，则．其中正确的有（        ） A.仅①② B.①②③④ C.仅②③④ D.仅①③④ 20.如图，在和中，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的是（    ） A.①②④ B.①②③ C.①②③④ D.②③④ 二、填空题汇编 21.点关于轴的对称点，则_______． 22.如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有___________条． 23.“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为_____________________． 24.如图，，分别是和中垂线，分别交于点，．若，则的面积为___________． 25.如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，则的长为________． 26.如图，在中，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处，       ；若，则       ．  27.如图，在等腰中，，，，，，交于点，点为中点．连接交于点，若，则________． 28.如图，在中，的垂直平分线相交于点，连接，，． 若，，则的度数为_________． 若，则的度数为_________． 29.如图，在中，，边的垂直平分线交于点，垂足为，若，则_________． 30.如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，即垂直平分，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为___度． 31.如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点．若，则的长为______． 32.如图：点为内一点，分别作出点关于、的对称点，连接交于，交于，那么的周长为_________． 33.如图，是等边三角形，为边的中点，则______________度；当，为中线上的动点，则的最小值是_______________． 34.如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是__________． 35.如图，在等边中，于，是线段上一点，是边上一点，且满足，是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的结论是_______．（填序号） 三、解答题汇编 36.如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于轴对称的图形． （2）已知为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 37.如图，已知在平面直角坐标系中有三个点 （1）在平面直角坐标系内描出点，，，画出； （2）在平面直角坐标系内画出，使它与关于轴对称； （3）求出的面积 38.在中，，比大，求的度数； 如图，已知，点为上一点．尺规作图：作直线，（保留作图痕迹，关于直线对称，直线交直线于，交直线于．（保留作图痕迹．不写作法） 39.在中，，是右侧的线段，且，如图，的平分线与交于点，与交于点． （1）证明：； （2）若，则线段，，之间存在怎样的数量关系，并写出你的理由． 40.如下图，在中，，平分交于点，连接． （1）若，求的度数． （2）求证：直线是线段的垂直平分线． 41.如图，中，平分，且平分，于，于． （1）求证：； （2）探究和的数量关系，并说明理由． 42.已知：垂直平分． （1）求证：为等边三角形； （2）点在射线上，当为等腰三角形时，的度数为________． 43.如图，在 中， 过点作射线，使 作点关于直线的对称点， 连接交射线于点 ， 连接． （1）求证：； （2）求证： 44.如图，在中，，点在上，点为延长线上一点，连接，． （1）初步探究：当时，求证：； （2）解决问题：如图，在的条件下，当为等边三角形时，求证：； （3）类比探究：如图，在的条件下，过点作，交延长线于点，延长至点，使，连接、．请你猜想的形状并证明你的猜想． 45.【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据________证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 如图，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得__________． 【拓展延伸】 如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上，猜想和有何数量关系，并说明理由． 如图，中，，，点在线段上，，，垂足为与相交于点．若，则的面积为_______．（直接写出） 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期末基础知识复习 易错点避坑指南及习题汇编 第15章 轴对称 本章是初中几何 “对称变换” 的核心章节，承接《全等三角形》的证明逻辑，聚焦轴对称的定义、性质、轴对称图形及特殊三角形（等腰、等边）的性质与判定，重点考查 “轴对称性质的应用”“线段垂直平分线与角平分线的灵活运用”“等腰三角形三线合一的证明”“最短路径问题的建模” 四大能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破对称变换与几何证明的难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：轴对称的核心定义与性质 准确理解轴对称与轴对称图形的概念、掌握轴对称的基本性质，是分析对称关系、解决几何问题的前提，需重点区分 “图形间对称” 与 “图形自身对称” 的本质差异。 1. 轴对称与轴对称图形的定义 概念类型 定义 图形特征 轴对称（两图形关系） 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点。 ① 两个图形完全重合；② 对应点连线被对称轴垂直平分；③ 对称轴是对应点连线的垂直平分线。 轴对称图形（单图形性质） 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 ① 一个图形自身对称；② 至少有一条对称轴；③ 对称轴两旁的部分完全重合。 2. 轴对称与轴对称图形的区别与联系 类别 轴对称（两图形） 轴对称图形 （单图形） 研究对象 两个图形之间的对称关系 一个图形自身的对称性质 对称轴数量 只有一条（两图形对称时） 至少一条（如圆有无数条） 核心特征 折叠后 “两图形重合” 折叠后 “图形自身重合” 联系 ① 都沿某条直线折叠后重合；② 轴对称的两个图形组成的整体是轴对称图形；③ 轴对称图形的两部分关于对称轴成轴对称。 3. 轴对称的性质（核心考点） 轴对称的性质是推导线段相等、角相等、直线垂直的重要依据，具体性质如下： ① 对应点性质：成轴对称的两个图形中，对应点所连线段被对称轴垂直平分（即对称轴⊥对应点连线，且对称轴平分对应点连线）； ② 对应元素性质：成轴对称的两个图形中，对应线段相等、对应角相等； ③ 图形整体性：成轴对称的两个图形是全等图形，它们的周长、面积相等。 易错警示：“轴对称的两个图形全等” 是正确的，但 “全等的两个图形一定轴对称” 是错误的（如两个全等的三角形随意摆放，不一定关于某直线对称）。 二、核心突破：轴对称的重要线段与特殊三角形 线段垂直平分线、角平分线是轴对称的 “标志性线段”，等腰三角形、等边三角形是轴对称的 “标志性图形”，需熟练掌握它们的性质、判定及应用。 1. 线段垂直平分线（高频考点） 类别 定义 性质 判定 应用场景 线段垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 ① 线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等；② 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（性质的逆用）。 ① 定义法：证明直线过线段中点且与线段垂直；② 逆定理法：证明直线上有两点到线段两端点距离相等。 ① 证明线段相等（如 “证 PA=PB，可证 P 在线段 AB 的中垂线上”）；② 找到线段两端点距离相等的点。 2. 角平分线（高频考点） 类别 定义 性质 判定 应用场景 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 ① 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；② 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上（性质的逆用）。 ① 定义法：证明射线平分角（即两角相等）；② 逆定理法：证明射线上有一点到角两边距离相等。 ① 证明线段相等（如 “证 PD=PE，可证 P 在∠AOB 的平分线上”）；② 找角的平分线。 易错点：角平分线性质中的 “距离” 角平分线性质中的 “距离” 指 “点到角两边的垂线段长度”，而非 “点到角顶点的线段长度”。例如：P 在∠AOB 的平分线上，PA⊥OA、PB⊥OB，则 PA=PB（垂线段相等），但 PO（到顶点的线段）不一定相等。 3. 等腰三角形（核心考点） 等腰三角形是轴对称图形（对称轴是底边的垂直平分线），其性质与判定是期末考查的重点： （1） 等腰三角形的性质 性质类别 具体内容 应用场景 边的性质 等腰三角形的两腰相等（AB=AC，∠B=∠C，简称 “等边对等角”）。 证明角相等（已知边相等推角相等）。 角的性质 等腰三角形的两底角相等（∠B=∠C，AB=AC，简称 “等角对等边”）。 证明边相等（已知角相等推边相等）。 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称 “三线合一”）。 ① 证明线段垂直（如 “证 AD⊥BC，可证 AD 是等腰△ABC 的中线”）；② 证明线段平分（如 “证 BD=DC，可证 AD 是等腰△ABC 的高”）。 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线（或顶角平分线、底边上的中线、高）。 利用对称性质找对应边、对应角。 （2）等腰三角形的判定 ① 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形； ② 角角边法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 4. 等边三角形（特殊等腰三角形） 等边三角形是特殊的等腰三角形（三边相等、三角相等），兼具等腰三角形的所有性质，且有自身特殊性质： （1）等边三角形的性质 ① 三边相等（AB=BC=AC）； ② 三角相等，且每个角都等于 60°（∠A=∠B=∠C=60°）； ③ 有三条对称轴（每条边的垂直平分线都是对称轴）； ④ 任意边上的中线、高、对角的平分线都重合（三线合一，且长度相等）。 （2）等边三角形的判定 ① 定义法：三边都相等的三角形是等边三角形； ② 三角法：三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 特殊等腰法：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 （3）含 30° 角的直角三角形的性质（高频易错点） 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 易错警示：该性质仅适用于 “直角三角形”，且 “30° 角对的直角边” 是斜边的一半，不可颠倒（如斜边不是 30° 角对边的一半）。 三、核心技能：轴对称作图与最短路径问题 轴对称作图是直观理解对称关系的关键，最短路径问题是轴对称的经典应用，需熟练掌握作图步骤与建模思路。 1. 轴对称作图（核心技能） 轴对称作图的核心是 “找关键点的对应点”，步骤如下： 定对称轴：明确对称轴 l（直线）； 找关键点：在原图形上找关键顶点（如三角形的三个顶点、四边形的四个顶点）； 作对应点： 过关键点 P 作对称轴 l 的垂线，垂足为 O； 延长 PO 至 P'，使 OP'=OP，P' 即为 P 关于 l 的对应点； 连对应点：顺次连接所有关键点的对应点，得到原图形关于 l 的对称图形。 易错点：作图不规范 未标注垂足（或垂足位置错误）； 延长 PO 时，OP'≠OP（对应点到对称轴的距离不相等）； 未顺次连接对应点，导致图形变形。 2. 最短路径问题（期末高频压轴） 最短路径问题的核心是 “利用轴对称转化线段，结合两点之间线段最短求解”，最经典的是 “将军饮马问题”。 （1）将军饮马问题（两定点 + 一条直线） 问题：如图，将军从 A 地出发，到河边 饮马，再到 B 地，求最短路径（即找上一点 P，使 PA+PB 最小）。 解法（轴对称转化）： 作点 A 关于直线的对称点 A'； 连接 A'B，与直线 交于点 P； 点 P 即为所求，此时 PA+PB=A'B（两点之间线段最短）。 （2）拓展：两直线 + 一定点（造桥选址问题） 问题：如图，A、B 在河两侧，要造一座桥 MN 垂直于河岸（、为河岸），求从 A 到 B 经过桥 MN 的最短路径。 解法（平移 + 轴对称）： 沿河岸方向平移点 A 至 A'，使 AA' 等于桥长； 连接 A'B，与 交于点 N； 作 MN⊥，M 在 上，连接 AM、MN、NB，即得最短路径。 其中PQ为河宽，PQ=AA’。 最短路径为AM+MN+NB=A’B+MN。 （3）解题关键：“转化” 思想 通过轴对称 ，将 “折线” 转化为 “直线”，利用 “两点之间线段最短” 或 “垂线段最短” 求解。 四、综合应用：轴对称的实际与几何综合 期末考查重点分为两类：一是轴对称的实际建模（如图案设计、最短路径），二是与全等三角形、四边形的综合证明，需掌握建模与综合推理方法。 1. 实际应用：轴对称的建模 常见场景：① 图案设计：利用轴对称设计对称美观的图案（如剪纸、徽章），关键是确定 “基本图形” 和 “对称轴”；② 最短路径：如快递员送件路线、校园路径规划，用将军饮马模型求解；③ 测量距离：利用轴对称转化不可直接测量的距离（如测量河宽时，找对称点转化线段）。 建模步骤： 抽象图形：将实际问题转化为几何模型（如 “河边” 转化为直线，“A 地、B 地” 转化为点 A、B）； 应用性质：用轴对称性质或最短路径模型找到最优解； 还原实际：将几何解转化为实际问题的答案（如 “点 P” 对应 “饮马点”）。 2. 几何综合：与其他图形的结合 核心考点：① 与全等三角形结合：利用轴对称性质找对应边 / 角，再证三角形全等；② 与平行四边形结合：利用 “矩形、菱形、正方形是轴对称图形” 的性质，推导线段垂直或相等；③ 与角平分线、中垂线结合：综合两者性质，证明三角形等腰或线段相等。 解题思路： 找对称关系：识别图形中的轴对称元素（如等腰三角形、角平分线）； 联性质：用轴对称、等腰三角形、中垂线等性质补充条件； 推结论：先证线段 / 角相等，再逐步推导最终结论（如证明四边形是菱形）。 五、易错点避坑指南 易错类型 易错表现 避坑技巧 概念混淆类 1. 混淆 “轴对称” 与 “轴对称图形”（如说 “等腰三角形是轴对称”，应为 “等腰三角形是轴对称图形”）；2. 误将 “线段垂直平分线” 与 “角平分线” 的性质颠倒（如用角平分线性质证明 “PA=PB”）。 1. 牢记：“轴对称” 描述两图形关系，“轴对称图形” 描述单图形性质，用 “是 XX 图形” 判断后者；2. 对比记忆：- 中垂线性质：点到 “线段两端点” 距离相等；- 角平分线性质：点到 “角两边” 距离相等。 性质应用类 1. 等腰三角形 “三线合一” 漏条件（如 “AD 是△ABC 的中线，故 AD⊥BC”，忽略 “AB=AC” 的前提）；2. 含 30° 角的直角三角形性质误用（如 “在△ABC 中，∠A=30°，故 BC=AB”，忽略 “∠C=90°”）；3. 轴对称性质漏 “垂直平分”（如 “对应点连线被对称轴平分”，漏 “垂直”）。 1. 应用 “三线合一” 前，先确认三角形是等腰三角形（AB=AC 或∠B=∠C）；2. 用 30° 角性质时，先标注直角符号，确认是直角三角形；3. 背诵轴对称性质：“对应点连线被对称轴垂直平分”，缺一不可。 作图类错误 1. 作轴对称图形时，关键点的对应点到对称轴的距离不相等；2. 作中垂线时，未证明 “垂直” 或 “平分”（如只作线段中点，未作垂线）；3. 最短路径问题作图漏对称点。 1. 作图时用刻度尺测量，确保对应点到对称轴的距离相等；2. 作中垂线步骤：① 找中点；② 作垂线（用三角板直角边）；3. 最短路径作图必作 “对称点”，标注 “垂直”“相等” 符号。 计算类错误 1. 等腰三角形角度计算漏情况（如 “等腰△ABC 中，∠A=50°，求∠B”，漏∠B=50° 或∠B=80° 的情况）；2. 等边三角形边长计算错误；3. 含 30° 角的直角三角形边长颠倒 1. 等腰三角形角度计算分 “∠A 为顶角” 和 “∠A 为底角” 两种情况；2. 标注 30° 角的对边（用虚线或箭头），明确 “对边 =斜边”。 综合题类错误 1. 最短路径问题未说明 “为什么最短”（如只找 P 点，未证明 “PA+PB=A'B” 是最短）；2. 与全等结合时，漏用轴对称性质（如未用 “对应边相等” 补充全等条件）。 1. 最短路径证明必写：“∵A、A' 关于对称，∴PA=PA'，∴PA+PB=A'B，两点之间线段最短，故此时最短”；2. 综合题中，先列 “轴对称性质”（如对应边相等），再列 “全等条件”，逻辑链条完整。 六、备考策略 夯实基础：概念与性质结合记忆 用 “对比表格” 记忆易混淆概念（轴对称 vs 轴对称图形、中垂线 vs 角平分线），标注区别与联系； 画图记忆性质：画等腰三角形标注三线合一，画含 30° 角的直角三角形标注边长关系，直观理解。 突破难点：针对性训练核心题型 针对 “最短路径”：多练将军饮马、造桥选址等变式题，总结 “作对称点→连线段→找交点” 的固定流程； 针对 “等腰三角形多解”：重点练 “角度计算”“边长计算” 的多情况问题，培养分类讨论意识； 针对 “综合证明”：练 “轴对称 + 全等”“等腰 + 中垂线” 的综合题，学习 “找对称→补条件→证全等” 的思路。 规范步骤：避免逻辑与书写漏洞 作图题：写出 “步骤 + 依据”，如 “1. 作 A 关于 l 的对称点 A'（依据：轴对称定义）；2. 连接 A'B 交 l 于 P（依据：两点之间线段最短）”； 证明题：按 “已知→联性质→证结论” 书写，如 “∵AB=AC（已知），∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角）”； 计算题：分情况讨论时标注 “情况 1：XX 为顶角”“情况 2：XX 为底角”，避免漏解。 错题复盘：聚焦高频错误整理 “等腰三角形多解漏情况”“最短路径作图错误”“三线合一漏前提” 三类典型错题，标注错误原因（如 “未分类讨论”“对应点距离不等”），重做时重点检查易错点，形成 “避坑笔记”。 复习口诀 轴对称，看定义，两图重合是对称，一图重合是图形。对应点，连线垂，对称轴来垂直分，对应边角都相等。中垂线，性质强，上点到端距离等；角平分线，也一样，上点到边距离同。等腰三角轴对称，三线合一要记清，等边对等角，等角也对等边。等边三角更特殊，三边三角都相等，三十度角直角边，斜边一半记心间。作图先找关键点，对称点要垂且等，最短路径作对称，转化线段用公理。期末备考多练习，概念性质要记牢，规范步骤不马虎，几何高分跑不了。 一、选择题汇编 1.下面这四个标志中是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：、、选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 2.将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“”，再把它铺平，你看到的图形可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查轴对称图形，正确利用轴对称图形的特点做题是解决此题的关键．根据题意可知，得到的是轴对称图形，然后认真观察图形，找出符合题意的选项即可 解答 【解答】解：、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； 、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； 、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后能得到此图形，符合题意； 、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； 故选： ． 3.某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 利用镜面对称的性质求解即可． 【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“”成轴对称， 则该汽车的号码是， 故选：． 4.如图，在一个规格为的球台上，有两个小球和．若击打小球经过球台的边反弹后，恰好击中小球，则小球击出时，应瞄准边上的（    ） A.点 B.点 C.点 D.点 【答案】B 【解析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【解答】解：根据轴对称的性质可知小球走过的路径为： 根据入射角等于反射角可知应瞄准边上的点． 故选：．  5.如图，在的正方形网格中，点、在格点(网格线的交点)上，要找一个格点，连接，，使成为轴对称图形，则符合条件的格点的个数是（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】B 【解析】画出为轴对称图形时点位置，解答即可． 【解答】解：点落在网格中的个格点使为轴对称图形， 故选：． 6.到三角形的三个顶点距离相等的点是       A.三角形三条中线的交点 B.三角形三条高的交点 C.三角形三条角平分线的交点 D.三角形三边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】根据线段垂直平分线的性质判断即可． 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【解答】解：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点， 故选：． 7.如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式即可求解． 【解答】解：是的垂直平分线， ， ，， 的周长为， 故选 8.如图，，两地在一条河的两岸，现要在河上架一座桥，若河岸平行，与河岸垂直，要想使路径最短，下面有四种设计方案，你认为最合适的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，两点之间线段最短的应用，解题的关键是掌握两点之间线段最短． 根据平行线的性质得出内错角相等，证明，得出，然后根据两点之间线段最短进行求解即可． 【解答】解：选项符合题意，利用如下： 如图，连接， ， ， 又， ， ， 根据两点之间线段最短，且为定值，此时，值最小， 即此时路径最短， 故选：． 9.下列说法正确的是（   ） A.等腰三角形的中线就是角平分线 B.两边及一角对应相等的两个三角形全等 C.若，则经过的直线垂直平分线段 D.对顶角相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【答案】D 【解析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定，垂直平分线的性质和逆命题，解题的关键是掌握以上知识点． 选项不严谨，等腰三角形的中线不一定都是角平分线；选项错误，两边及一角对应相等不一定全等（需夹角）；选项错误，仅说明在的垂直平分线上，但经过的直线不一定垂直平分；选项正确，准确描述了对顶角相等的逆命题． 【解答】．等腰三角形中，只有底边上的中线才是顶角的角平分线，腰上的中线不一定是角平分线，故错误； ．两边及一角对应相等，若角不是夹角，则三角形不一定全等（如情况），故错误； ．仅表明在线段的垂直平分线上，但经过的直线不一定垂直，也不一定平分，故错误； ．对顶角相等的原命题为“若两个角是对顶角，则它们相等”，其逆命题为“若两个角相等，则它们是对顶角”，准确描述了该逆命题，故 正确． 故选：． 10.已知在中，点为线段边上一点，则按照顺序，线段分别是的（    ） A.①中线，②角平分线，③高线 B.①高线，②中线，③角平分线 C.①角平分线，②高线，③中线 D.①高线，②角平分线，③中线 【答案】D 【解析】由角平分线，垂线，线段垂直平分线的作图方法进行判断即可． 【解答】解：①由作图方法可知，是边上的垂线，即为的高； ②由作图方法可知是的角平分线； ③由作图方法可知在的垂直平分线上，即是的中线； 故选． 11.如图，点是内的一点，于点，于点，连接，．若，则下列结论不一定成立的是（    ） A. B. C.垂直平分 D. 【答案】D 【解析】根据角平线的判定定理可判断，证明，可判断，根据，可得，进而可判断，根据等边三角形的定义，可判断． 【解答】解：点是内的一点，于点，于点，， 是的平分线，即，故成立，不符合题意； ，， ， ，故成立，不符合题意； ， ， 又， 垂直平分，故成立，不符合题意； 不一定是等边三角形， 不一定成立，故符合题意． 故选． 12.如图，正的边长为 ，过点 的直线，且 与关于直线 对称， 为线段，上一动点，则 的最小值是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当、、三点共线时，最小，此时． 【解答】解：如图，连接， 正的边长为 ，与关于直线对称， ，， ， ， ， ， ， 当、三点共线时，最小，此时， 故选 13.下列条件能判断为等腰三角形的是（    ） A.， B.， C.， D.， 【答案】C 【解析】先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据等角对等边进行求解即可 【解答】 解：、，没有相等的角，则不是等腰三角形，选项不符合题意； 、，没有相等的角，则不是等腰三角形，选项不符合题意； 、，则，是等腰三角形，选项符合题意； 、，没有相等的角，则不是等腰三角形，，选项不符合题意； 故选． 14.如图，在中，．尺规作图操作如下：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点，；以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点为圆心的弧相交于三角形内部的点；过点画射线交边于点．下列结论错误的为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【解答】解：由作图方法可得，故结论正确，不符合题意； ，，故、结论都正确，不符合题意； ， ， ， ，故结论错误，符合题意； 故选：． 15.如图，在中，，，的平分线交于点，若．则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，由直角三角形锐角互余可得，又平分，则，通过直角三角形性质可得，最后通过等角对等边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：，， ， 平分， ， ，， ， 故选：． 16.如图，为等腰直角三角形，为的中点，点在边上，将沿折叠至，与，分别交于，两点．若已知的长，则可求出下列哪个图形的周长（   ） A.四边形 B.四边形 C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了等腰直角三角形的性质和折叠，解题关键是掌握等腰直角三角形的两个底角是，折叠前后的对应边相等，对应角相等．先作出辅助线，利用等腰直角三角形的性质转化角的数量关系得出即可求解． 【解答】解：如图，连接，， 三角形是等腰直角三角形，且为斜边的中点，    ，， 由折叠可得， ， ， ， ， ， 故选：． 17.是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，将转化为，从而将的周长转化为的长度和． 【解答】解：延长至点，使，连接． 是等边三角形，是等腰三角形，， ，， ，， ， ． 又 ，， ， ，． ，， ， ，即， ． 又 ，， ， ． 的周长． ， 的周长为． 故选：． 18.如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①是等边三角形；    ②； ③的周长等于线段的长；    ④；正确的个数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键．由题意得，从而得出，可判断②，由且的大小没有确定，可得出的大小没有确定，可判断①，由对称性可得为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线，从而得出，从而得出的周长，可判断③，由题意得，可得，从而得出，即得出，所以，再求解即可判断④． 【解答】解： 关于，的对称点分别是点，点， ， ， 故②正确， ，的大小没有确定， 的大小没有确定， 不一定是等边三角形， 故①错误， 关于，的对称点分别是点，点， 为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线， ， 的周长， 故③正确， 如图，设与交于点，与交于点， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ； 故④正确， 故选：． 19.如图，在中，，点是上的一点，过点作交于点，交的延长线于点，连接，，给出下列结论：①；②；③若，则是等边三角形；④若，则．其中正确的有（        ） A.仅①② B.①②③④ C.仅②③④ D.仅①③④ 【答案】B 【解析】此题暂无解析 【解答】∵ ∴ ∵ ，∴  故①正确． ∴   故②正确． ∵ ，∴   ∵ ∴ 是等边三角形．故③正确． ∵  ， ∵ ，∴ ∴ ∴ 是的平分线． ∵ ，即 ，故④正确． 20.如图，在和中，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的是（    ） A.①②④ B.①②③ C.①②③④ D.②③④ 【答案】A 【解析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理外角和定理等知识的综合．掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理是解题的关键． 根据题意，可证，可判定结论②，由此可得，再根据三角形的外角可得，可证结论①，过点作于点，于点，可证，根据角平分线的性质可证结论③错误，结论④正确，由此即可求解． 【解答】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，故②正确； 由三角形的外角性质得：， ，故①正确； 如图，过点作于点，于点， 则， 在和中， ， ， ， 平分，故④正确； ， 当时，才平分， 假设， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 与矛盾，故③不正确； 综上所述，正确的是①②④， 故选：． 二、填空题汇编 21.点关于轴的对称点，则____-5_______． 【答案】 【解析】本题考查了轴对称的点的坐标特征，关于轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同． 根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相同，列出方程求解和，再计算它们的和即可． 【解答】解：点关于轴的对称点， ，， ． 故答案为：． 22.如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有____4________条． 【答案】 【解析】结合题意，根据轴对称的性质分析，即可得到答案． 【解答】如图，此图形的对称轴有条 故答案为：4 23.“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为______同旁内角互补，两直线平行_______________． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【解析】根据题意写出逆命题即可，每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题． 【解答】解：两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为：同旁内角互补，两直线平行 故答案为：同旁内角互补，两直线平行 24.如图，，分别是和中垂线，分别交于点，．若，则的面积为________24_____． 【答案】 【解析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理逆定理． 连接，，由线段垂直平分线的性质推出，由勾股定理的逆定理得到，求出，即可求出面积． 【解答】解：连接，， ，分别是和中垂线， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 25.如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，则的长为______12_____． 【答案】 【解析】根据线段垂直平分线性质知，．的周长 ，解方程得解． 【解答】解：垂直平分， ． 又的周长 ， 即， ． 故答案为：12 26.如图，在中，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处，       ；若，则       ． 【答案】度,度 【解析】根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，求出，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：，， 由折叠的性质得，， ， ， ， ，  27.如图，在等腰中，，，，，，交于点，点为中点．连接交于点，若，则____6_______． 【答案】 【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理求出，，，根据三角形内角和定理求出，根据等角对等边得出，根据三线合一的性质得出，则是的垂直平分线，连接，则，根据等边对等角求出，进而求出，根据等角对等边得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【解答】解：，，， ，，， ， ， ， 又点为中点， ， 是的垂直平分线， 连接， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， 又，， ， ， 故答案为：6 28.如图，在中，的垂直平分线相交于点，连接，，． 若，，则的度数为___27°_________． 若，则的度数为___56°_________． 【答案】, 【解析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形和四边形的内角和定理、补角性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线和等腰三角形的性质是解答的关键． 先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，，，然后利用三角形的内角和定理得到，进而可求解； 同可求得，进而可求得，然后利用四边形的内角和定理，结合同角的补角相等可求得． 【解答】解：的垂直平分线相交于点， ， ，，， ， ， 即， ，， ， 故答案为：； 由得，，， ， ， 即， ， ， 的垂直平分线相交于点， ，， ， 又， ， 故答案为：． 29.如图，在中，，边的垂直平分线交于点，垂足为，若，则_____________． 【答案】 【解析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，含度角的直角三角形的性质，直角三角形的性质，先求出，由线段垂直平分线的性质和等边对等角得到，，则可求出，据此求出的长即可得到答案． 【解答】解：在中，， ， 边的垂直平分线交于点，垂足为， ， ， ， ， ， 故答案为：． 30.如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，即垂直平分，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为___108___度． 【答案】 【解析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质等知识点， 连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，根据全等三角形的性质可得，根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 为的平分线，， ， ， ， 将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合， ， ， 在中，． 故答案为：． 31.如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点．若，则的长为____2____． 【答案】 【解析】连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解． 【解答】解：连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为2 32.如图：点为内一点，分别作出点关于、的对称点，连接交于，交于，那么的周长为____25_______． 【答案】 【解析】本题考查轴对称的性质． 利用轴对称的性质得到，，证明的周长，可得结论. 【解答】解： 点关于的对称点， ，， 周长， 故答案为：． 33.如图，是等边三角形，为边的中点，则______30°___________度；当，为中线上的动点，则的最小值是_______12__________． 【答案】, 【解析】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 过点作于，过点作于．求出，再证明，根据垂线段最短，解决问题即可． 【解答】①解：如图，过点作于，过点作于． 是等边三角形，， ，平分， ， 故答案为：； ②， ， ，， 根据面积可得， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 34.如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是____①②③⑤________． 【答案】①②③⑤ 【解析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识，熟练证明三角形全等是解答本题的关键． 证明，证明，再利用全等三角形的性质即可判断①②；由可得，再由，证得即可判断③；分别过作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，但无法得到平分，可判断④；由平分结合即可判断⑤． 【解答】解：， ，即， 和都是等腰直角三角形， ，， 在和中，， ， ，，故①②符合题意； 设与交于点， ， ， ，， ， ，即，故③符合题意； 分别过作，，垂足分别为、， ， ， 平分， ， 若平分， ， ，而， ， ， 但未必相等， 故④不符合题意； 平分，， ，故⑤符合题意． 综上，正确的是①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 35.如图，在等边中，于，是线段上一点，是边上一点，且满足，是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的结论是____①②③④⑤___．（填序号） 【答案】①②③④⑤ 【解析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，有一角为的直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．连接，如图，根据等边三角形的性质可得①符合题意；证明，可得，结合，进一步可得②符合题意；证明，可得， 可得③符合题意；证明，进一步可得④符合题意；求解，进一步可得⑤符合题意． 【解答】解：连接，如图    是等边三角形， ， ， ， ，，故①符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ， 故③符合题意； ，是的中点， ， 故④符合题意； ， ， 又 ， ， ，故⑤符合题意． 故答案为：①②③④⑤． 三、解答题汇编 36.如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于轴对称的图形． （2）已知为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】见解答， 点的坐标为或 【解析】（1）根据关于轴轴对称的特点，找到各个点的对应点，再依次连接即可； （2）根据三角形的面积公式求出，即可求解． 【解答】（1）解：如图，即为所求； （2） ， 点的坐标为或． 37.如图，已知在平面直角坐标系中有三个点 （1）在平面直角坐标系内描出点，，，画出； （2）在平面直角坐标系内画出，使它与关于轴对称； （3）求出的面积 【答案】图见解答 图见解答 【解析】（1）找点，描点，连线，画出即可； （2）根据轴对称的性质画出即可； （3）借助网格求出三角形的面积即可． 【解答】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）由图可知：． 38.在中，，比大，求的度数； 如图，已知，点为上一点．尺规作图：作直线，（保留作图痕迹，关于直线对称，直线交直线于，交直线于．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】；见解析 【解析】本题考查了三角形内角和，作线段的垂直平分线． 根据三角形内角和作答即可； 要使得点与点关于直线对称，则应连接，使直线为的垂直平分线即可，所以作的垂直平分线即可． 【解答】解： 比大 ． 解：如图所示，直线即为所作： 39.在中，，是右侧的线段，且，如图，的平分线与交于点，与交于点． （1）证明：； （2）若，则线段，，之间存在怎样的数量关系，并写出你的理由． 【答案】见解答 ，理由见解答 【解析】（1）证明，得出，证明，得出，证明，根据，结合三角形内角和定理，即可证明结论； （2）在上截取，证明为等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，即可得出结果． 【解答】（1）解：证明：平分， ， 又，， ， ， 又，， ， ， ， 又， ； （2） 解：．理由如下： 在上截取，如图所示： （3） ，， 为等边三角形， ， 又， 为等边三角形， ，， 又， ， ， ， ， ． 40.如下图，在中，，平分交于点，连接． （1）若，求的度数． （2）求证：直线是线段的垂直平分线． 【答案】 见解答 【解析】（1）在中，求出即可解决问题； （2）只要证明，利用等腰三角形的性质即可证明. 【解答】（1）解：平分， ． （2）证明：， ． 又， ， ， 直线是线段的垂直平分线． 41.如图，中，平分，且平分，于，于． （1）求证：； （2）探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】见解答； ，理由见解答 【解析】（1）连接、，先证出，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，进一步利用线段的和差进行证明即可． 【解答】（1）解：证明：如图，连接、， 且平分， ， 平分，于，于， ，， 在与中， ， ， ． （2）解：平分，于，于， ，， 在与中， ， ， ， 由已证：， ，   42.已知：垂直平分． （1）求证：为等边三角形； （2）点在射线上，当为等腰三角形时，的度数为__或或_________． 【答案】见解答 或或 【解析】（1）根据平角的性质得，根据线段垂直平分线性质得，即得是等边三角形 （2）分当时，当时，当时，三种情况讨论，解答． 【解答】（1）解：证明：， ． 垂直平分， ． 为等边三角形． （2）解：由知，为等边三角形， ， 垂直平分， ， 为等腰三角形， 当时， ； 当时， ， ； 当时， ． 的度数为或或． 故答案为：或或． 43.如图，在 中， 过点作射线，使 作点关于直线的对称点， 连接交射线于点 ， 连接． （1）求证：； （2）求证： 【答案】见解答 见解答 【解析】（1）根据对称垂直定义即可求证； （2）根据是等腰直角三角形，得，，在证 ，然后 ，可得在中，，即可求解. 【解答】（1）解：证明：点关于直线的对称点是 垂直平分 （2）证明：如图；连接， 是等腰直角三角形 由勾股定理得： ， 点关于的对称点是 ， 是等边三角形             在中， 44.如图，在中，，点在上，点为延长线上一点，连接，． （1）初步探究：当时，求证：； （2）解决问题：如图，在的条件下，当为等边三角形时，求证：； （3）类比探究：如图，在的条件下，过点作，交延长线于点，延长至点，使，连接、．请你猜想的形状并证明你的猜想． 【答案】见解答 见解答 是等边三角形，见解答 【解析】（1）根据等腰三角形的性质可得，结合三角形的外角性质推出，根据可得，即可得证； （2）过点作交于点，得到，，根据等边三角形的性质推出，证明，得到，即可得证； （3）证明得到，，推出，得到，，即可判定． 【解答】（1）解：证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作交于点， ，， 为等边三角形， ， ，， ， ，， ， ， ； （3）是等边三角形，证明如下： 证明： ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形． 45.【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 如图，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上，猜想和有何数量关系，并说明理由． 如图，中，，，点在线段上，，，垂足为与相交于点．若，则的面积为_____9______．（直接写出） 【答案】；；，证明见解答； 【解析】[问题情境]：根据角平分线的性质得，垂直的性质得，结合，可利用证明； [类比解答]：延长交于点，由问题情境可知，由等腰三角形的性质得，结合三角形的外角性质即可得出结论； [拓展延伸]：延长、交于点，利用证，有，结合问题情境可知，即可得出结论； 过点作，交的延长线于点，与相交于，可得和，进一步得，结合有和，利用可证得，有，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【解答】 [问题情境]： 解：平分， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：； [类比解答]： 解：延长交于点，如图， 由问题情境可知，， ， ， ， 故答案为：； [拓展延伸]： ，证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ， ， ， ， 又， ， ， 由问题情境可知，， ； 过点作，交的延长线于点，与相交于，如图， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 则， 在和中 ， ， ． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $