精品解析：广东省湛江市第二十一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期12月高二月考 数学 考试时间：120分钟，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 0 3. 已知抛物线的焦点为为上一点，且的横坐标为2，则（ ） A. B. 3 C. D. 4. 已知双曲线的右焦点为为的左支上一点，为线段的中点，为坐标原点，若，则（ ） A. 10 B. 9 C. 7 D. 6 5. 已知点P为椭圆C：上的一点，焦点为，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与直线，若平分圆的面积，则的最小值为（　　） A. 1 B. 3 C. 9 D. 18 7. 若圆与双曲线（，）的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 8. 《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，，，，若AG⊥平面EFC，则=（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 的焦点坐标为 B. 的实轴长为4 C. 的离心率为 D. C的渐近线方程为 10. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 线段的中点到轴的距离为 C. D. 11. 在长方体中，已知．则（ ） A. 在四边形内存在一点N，使得平面 B. 三棱锥外接球表面积是 C. 点C到平面的距离是1 D. 与平面的交点恰为线段的三等分点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为________. 13. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是__________． 14. 已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于，两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知，边的中点在轴上，边的中线所在直线的方程 （1）求顶点的坐标； （2）求边上的高所在直线方程； （3）求外接圆的方程． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，为棱PC上一点．平面ABE与棱PD交于点． （1）求证：为PD的中点； （2）求三棱锥的体积． 17. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． （1）求抛物线的方程； （2）当点为弦的中点时，求直线的方程； （3）求的最小值． 18. 如图.四棱锥的底面是矩形，底面.，.M，N分别为AB、PC的中点. （1）求证：平面PAD； （2）求证：平面PCD； （3）求平面DMN与平面DPA所成锐二面角的度数. 19. 已知椭圆经过点． （1）求的离心率； （2）设，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍．当的值确定时，证明：直线过轴上的定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期12月高二月考 数学 考试时间：120分钟，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角； 【详解】解：直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以 故选：A 2. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线一般方程平行的关系得，进而解方程并检验即可. 【详解】直线与平行， 则，解得或， 经检验，当时，，，重合，舍去， 当，，，满足题意. 所以实数的值为 故选：B. 3. 已知抛物线的焦点为为上一点，且的横坐标为2，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦半径公式计算即可． 【详解】由抛物线方程知， 由题意， 故选：A． 4. 已知双曲线的右焦点为为的左支上一点，为线段的中点，为坐标原点，若，则（ ） A. 10 B. 9 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的定义及中位线的性质求解即可. 【详解】设的左焦点为，连接，因为为的中点， 为坐标原点，所以， 由双曲线的定义可知，， 所以. 故选：A. 5. 已知点P为椭圆C：上的一点，焦点为，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理、面积公式即可求解. 【详解】由题可得，所以， 设，由椭圆的定义得， 所以， 由余弦定理可得， 即，解得， 所以. 故选：B. 6. 已知圆与直线，若平分圆的面积，则的最小值为（　　） A. 1 B. 3 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由平分圆的面积，所以直线l过圆的圆心，得，再利用不等式即可求得结果. 【详解】因为平分圆的面积，所以直线l过圆的圆心，即， 即，所以， 当且仅当时取等号. 故选：C 7. 若圆与双曲线（，）的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由圆与渐近线相切得到，进而求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 不妨取其中一条渐近线，即， 则，即， ∴. 故选：A. 8. 《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，，，，若AG⊥平面EFC，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，    设，则，，，，， ，，，， 设平面的法向量， 则，令，解得，， ， ， 又平面， ，，解得. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 的焦点坐标为 B. 的实轴长为4 C. 的离心率为 D. C的渐近线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知条件求得，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】双曲线的焦点在轴上，且， 所以，则， 所以的焦点坐标为，A错误； 因为，所以的实轴长，B正确； 的离心率为，C正确； 的渐近线方程为，D错误. 故选：BC. 10. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 线段的中点到轴的距离为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A：将焦点坐标代入直线中求出的值即可；选项B：联立直线与抛物线方程，结合韦达定理以及抛物线定义，得出线段的中点到轴的距离为；选项C：利用抛物线定义结合平行性质即可求解；选项D结合选项B中的韦达定理的结论以及抛物线定义化简代入即可. 【详解】对于A：由题可知在直线上， 所以， 故抛物线的方程为， 故选项A正确； 对于B，设， 联立，整理得： ， 由， 所以， 根据抛物线定义得： ， 所以线段的中点到y轴的距离为线段， 故选项B错误； 对于C，如图所示， 因为， 所以， 因为轴，轴， 所以， 所以 ， 故选项C正确； 选项D：因为 故选项D错误， 故选：AC. 11. 在长方体中，已知．则（ ） A. 在四边形内存在一点N，使得平面 B. 三棱锥外接球表面积是 C. 点C到平面的距离是1 D. 与平面的交点恰为线段的三等分点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，设是四边形内一点，利用即可求坐标；对于B，三棱锥外接球就是长方体的外接球，利用对角线就是外接球直径即可求解；对于C，利用点到平面距离的向量求法即可求解；对于D，利用平面的法向量和即可表示出平面，接着求出线段的三等分点的坐标，代入平面的表达式即可 【详解】对于A，以点A为原点，以所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， 故， 假设在四边形内存在一点N，使得平面， 因为平面，故， 设是四边形内一点，则， 令即，解得， 故在四边形内存在一点，使得平面； 对于B，三棱锥外接球就是长方体的外接球，所以对角线就是外接球直径， 因为，所以外接球表面积是； 对于C，由A选项可知是平面的一个法向量， 因为，所以点C到平面的距离； 对于D，又，所以平面可表示为，得即①， 设点E为线段的一个三等分点，且满足， 由，可知，即点E的坐标为， 代入①检验可知，点E的坐标满足平面的表达式①， 所以的三等分点E在平面内，即与平面的交点是线段的三等分点， 故选：ABD 【点睛】关键点睛：这道题的D选项的关键地方就是利用平面的法向量，和平面上一点的坐标写出平面的表达式，然后求出线段的一个三等分点坐标，代入验证即可 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】将圆的方程作差即可求得公共弦方程. 【详解】两圆方程相减得到，即. 故答案为：. 13. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离公式计算得到答案. 【详解】 如图所示建立空间直角坐标系，则， 所以，所以， 所以点到直线的距离是， 故答案为：. 14. 已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于，两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】椭圆的对称性可知，A，关于原点对称，得四边形为平行四边形，利用椭圆定义求出，，再根据点到直线的距离不小于，求出，进而求得离心率的取值范围. 【详解】设椭圆的左焦点为，为短轴的上端点，连接，，如图， 由椭圆的对称性可知，A，关于原点对称，则，又， 所以四边形为平行四边形， 则，又，解得， 由点到直线的距离，解得，即， 所以，故． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知，边的中点在轴上，边的中线所在直线的方程 （1）求顶点的坐标； （2）求边上的高所在直线方程； （3）求外接圆的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用边的中点在轴上，求得，利用边的中线所在直线的方程，求得； （2）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （3）利用待定系数法求得外接圆的方程． 【小问1详解】 设，则的中点坐标为， 又因为边的中点在轴上，所以，解得， 又的中点是，即， 因为边的中线所在直线的方程，解得， 所以点C的坐标为； 【小问2详解】 因为，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即； 【小问3详解】 设外接圆的方程为， 可得，化简得， 解得，所以外接圆的方程为， 化为标准方程为. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，为棱PC上一点．平面ABE与棱PD交于点． （1）求证：为PD的中点； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）理由如下； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定及其性质即可证明四边形为平行四边形，再结合题干即可证明； （2）利用等体积转化法，求以为顶点的三棱锥的体积即可. 【小问1详解】 ，又平面、平面，平面， 又平面，平面平面，， 又，四边形为平行四边形，， ，，，为的中位线，故为PD的中点. 【小问2详解】 平面，为PD的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即， 又、平面，平面，点到平面的距离为， 又，，又， 故三棱锥的体积为. 17. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． （1）求抛物线的方程； （2）当点为弦的中点时，求直线的方程； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点求得，即得抛物线的方程； （2）设的方程为，与抛物线C联立方程组，利用根与系数的关系结合中点，求得，即可求解直线的方程． （3）由抛物线定义可知根据题意得到，结合根与系数的关系代入即可求解. 【小问1详解】 ∵抛物线的焦点为，∴，即. ∴抛物线的方程为. 【小问2详解】 设，显然直线斜率存在. 设的方程为， 联立方程，消去，整理得，， 因为点是的中点，由，解得. 所以直线AB的方程为．即． 【小问3详解】 由抛物线定义可知 所以， 由（2）知， ∴， 所以 所以当时，取得最小值为． 18. 如图.四棱锥的底面是矩形，底面.，.M，N分别为AB、PC的中点. （1）求证：平面PAD； （2）求证：平面PCD； （3）求平面DMN与平面DPA所成锐二面角的度数. 【答案】（1）证明： 由题意，取为中点，连结， 由于M，N分别为AB、PC的中点， 故，即四边形为平行四边形， 即，又平面，平面， 故平面PAD. （2）证明： 由于为中点，，故， 又底面，底面，故，又， 平面，故平面， 又平面，故又，平面， 故平面PCD，由（1），故平面PCD. （3）. 【解析】 【分析】（1）取为中点，连结，由四边形为平行四边形，可证明，再由线面平行的判定定理，即得证； （2）先证明平面PCD，由（1）中，可得证； （3）建立空间直角坐标系，由二面角的向量公式，可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由题意，底面，，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则， 由（2）平面，故平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，又， 则，令，则，故， 故平面DMN与平面DPA所成锐二面角的余弦值为，即平面DMN与平面DPA所成锐二面角为. 19. 已知椭圆经过点． （1）求的离心率； （2）设，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍．当的值确定时，证明：直线过轴上的定点． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）知的方程为，，． 由对称性可知直线的斜率不可能为0， 设，，的方程为． 由，可得， 所以，即， 且，． 所以 则 ， 解得，则的方程为， 即直线过轴上的定点． 【解析】 【分析】（1）根据题意，将点代入椭圆方程得，进而求得离心率； （2）由题可知直线的斜率不可能为0，设的方程为，与椭圆方程联立可得根与系数关系，结合，解得，进而得证. 【小问1详解】 因为椭圆经过点， 所以，故， 所以的离心率． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $