16.1 变量与函数 第1课时 变量与函数的概念及函数的表示方法（课件） 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

第 1 课时 变量与函数的概念 及函数的表示方法 16.1 变量与函数 第 16 章 函数及其图象 八年级下册数学（华师版） 学习目标 1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义.(重点) 2.了解函数的概念和三种表示法，能用适当的函数表示法表示简单实际问题中变量之间的关系.(重点) 3.能确定简单实际问题中自变量的取值范围，并会求出函数值.(难点) 万物皆变 行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化. 气温随海拔的变化而变化. 情境导入 汽车匀速行驶，行驶路程随行驶时间的变化而变化. 世界处在不停地运动变化中，如何研究这些运动变化规律呢?数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化。 变量与函数 8 6 4 2 0 -2 -4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 T / ℃ t/h 问题1 如图是某地一天内的气温变化图： 思考 这张图告诉我们哪些信息 ? 从图中我们可以看到，随着时间 t (h) 的变化，气温 T (℃) 也随之变化. 1 探究新知 看图回答: (1) 这天的 6 时、10 时和 14 时的气温分别是多少 ? 任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温. 分别为－1℃、2℃、5℃ 8 6 4 2 0 -2 -4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 T / ℃ t/h (2) 这一天中 ，最高气温是多少 ? 最低气温是多少 ? 最高气温是5℃．最低气温是－4℃ . 8 6 4 2 0 -2 -4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 T / ℃ t/h (3) 这一天中 ，哪些时段的气温在逐渐升高 ? 哪些时段的气温在逐渐降低? 这一天中，3 时 ~ 14 时的气温在逐渐升高， 0 时 ~ 3 时和 14 时 ~ 24 时的气温在逐渐降低　 8 6 4 2 0 -2 -4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 T / ℃ t/h 问题2 小蕾在过 14 岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表: 观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的 ? 在哪一段时间内体重增加较快 ? 周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 体重/kg 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9 随着年龄的增长，小蕾的体重也随之增长，且在 1—2 岁增加较快. 问题3 收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米 (m)和千兹 (kHz) 为单位标刻的 ，下面是一些对应的数值: 波长 λ / m 300 500 600 1000 1500 频率 f / kHz 1000 600 500 300 200 观察上表回答： (1)波长 l 和频率 f 数值之间有什么关系 ? λ f ＝300 000，或者 300 000 λ f = (2)波长 λ 越大，频率 f 就_____ . 越小 问题4 圆的面积随着半径的增大而增大，如果用 r 表示圆的半径、用 S 表示圆的面积，则 S 与 r 之间满足下列关系: 半径 r / m 1 1.5 2 2.6 3.2 ··· 圆面积 S / cm2 ··· S = _______ . 利用这个关系式，试求出半径为 1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm 时圆的面积，并将结果填入下表： πr² π 2.25π 4π 6.76π 10.24π 越大 由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就______. 思考 在上述4个问题中，都是一些变化的过程， 出现了各种各样的数量，你认为可以怎样分类？ 变量 常量 数值发生变化的量 数值始终不变的量 问题 1 中的时间 t 、气温 T ； 问题 2 中的周岁、体重； 问题 3 中的波长 λ 、频率 f ； 问题 4 中的圆面积 S、半径 r . 问题 3 中的300 000； 问题 4 中的π. 像这样，在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量 (variable). 在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量 (constant) . 在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律. 知识要点 例1 指出下列事件过程中的常量与变量. (1) 某水果店橘子的单价为 5 元／千克，买 a 千克橘子的总价为 m 元，其中常量是 ，变量是 ； (2) 圆的周长 C 与半径 r 之间的关系式是 C ＝ 2πr，其中常量是 ，变量是 ； (3) 三角形的一边长 5 cm，它的面积 S (cm2) 与这边上的高 h (cm) 的关系式 中，其中常量是 ，变量是 . 5 a ，m 2，π C， r S，h 典例精析 练一练 1. 指出下列变化过程中的变量和常量： (1) 汽油的价格是7.4元/升，加油 x 升，车主加油付油费为 y 元； (2) 小明看一本200 页的小说，看完这本小说用了 t 天，平均每天所看的页数为 n； (3) 用长为40 cm 的绳子围矩形，围成的矩形一边长为 x cm，其面积为 S cm2． (4) 若直角三角形中的一个锐角的度数为 α，则另一个锐角 β (度)与 α 间的关系式是 β = 90－α. 上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关. 试说出上面四个问题中的自变量与因变量. 一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量 ，例如 x 和 y ，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们就说 x 是自变量 ， y 是因变量. 此时也称 y 是 x 的函数. 知识要点 例3 下列关于变量 x ，y 的关系式：y = 2x + 3； y = x2 + 3；y = 2|x|；④ ；⑤y2 - 3x = 10，其中表示 y 是 x 的函数关系的是 ．  判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应. 一个 x 值有两个 y 值与它相对应 典例精析 某型号的汽车在平整路面上的刹车距离 s m 与车速 v km/h 之间有下列经验公式： 2. 汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为刹车距离. 刹车距离是分析事故原因的一个重要因素. (1) 式中哪个量是常量？哪个量是变量？哪个量是自变量？哪个量是因变量？ 256 s，v v s (2) 当刹车时车速 v 分别是 40、80、120 km/h 时，相应的刹车距离 s 分别是多少？ 当 v＝40 km/h 时，s＝6.25 m； 当 v＝80 km/h 时，s＝25 m； 当 v＝120 km/h 时，s＝56.25 m. 函数的表示方法 表示函数关系的方法通常有三种： 问题 3 中的： f = 函数关系是用表达式表示的，它们又称函数关系式。 问题 4 中的： S = πr² . (1) 解析法 2 (2) 列表法， 周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 体重/kg 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9 问题 3 中波长与频率的关系表： 如问题 2 中小蕾的体重表： 波长 λ / m 300 500 600 1000 1500 频率 f / kHz 1000 600 500 300 200 (3) 图象法，问题1 所示的气温曲线图。 8 6 4 2 0 -2 -4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 T / ℃ t/h 在研究函数时，必须注意自变量的取值范围， 实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义. 解析法 列表法 图象法 定义 实例 问题3，4 问题2，3 问题1 优点 函数三种表示方法的区别 用数学式子表示函数关系的方法 通过列出自变量的值，与对应函数值的表格来表示函数关系的方法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法 准确地反映了函数随自变量变化的数量关系 具体反映了函数随自变量变化的数值对应关系 直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律 在某一变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 解析法，列表法和图象法 变量与函数的概念及其表示方法 常量与变量 函数 函数的表示方法 如果在一个变化过程中，有两个变量 ，例如 x 和 y ，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应， 称 y 是 x 的函数 当堂小结 1. 设路程为 s，时间为 t，速度为 v，当 v = 60 时，路程和时间的关系式为 ，这个关系式中，___是常量， 是变量， 是 的函数. 60 s = 60t t 和 s s t 2.油箱中有油 30 kg，油从管道中匀速流出，1 h 流完，则油箱中剩余油量 Q（kg）与流出时间 t（min）之间的函数关系式是_____________. Q = 30 - 0.5t 当堂练习 3. 写出下列各问题的函数关系式，并指出其中的 常量与变量，自变量与函数. (1) 运动员在 200 米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间 t (秒)与跑步的速度 v (米/秒) 的关系式； (2) n(n＞3) 边形的对角线条数 s 与边数 n 之间的关系式. 解：(1) ，其中 200 是常量，v、t 是变量，v 是自变量，t 是 v 的函数. (2) ，其中 ，-3 是常量，s、n 是变量，n 是自变量，s 是 n 的函数. 4.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？ 如果是，请指出自变量. (1) 改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化； (2) 某村的耕地面积是 106 m2，这个村人均占有耕地 面积 y （单位：m2）随该村人数 n 的变化而变化； (3) P 是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x， 它对应的实数为 y，y 随 x 的变化而变化． 解：（1）S 是 x 的函数，其中 x 是自变量. （2）y 是 n 的函数，其中 n 是自变量. （3）y 不是 x 的函数. 例如，到原点的距离为 1 的点对应实数 1 或 -1. $