专题03 轴对称（期末复习知识清单，8知识11题型2易错3方法）八年级数学上学期新教材人教版

该初中数学轴对称专题知识清单系统梳理了8大知识模块、11类典型题型、易错点及3类解题方法，以“概念理解-性质应用-综合解题”为脉络搭建学习支架，涵盖轴对称图形、垂直平分线、等腰三角形等核心内容。 清单通过“定义-性质-作图-应用”结构化呈现知识，如“平面直角坐标系中轴对称”简记“横不变纵相反”，培养几何直观。题型分层设计，从识别到存在性问题适配不同水平，易错点标注“等腰三角形分类讨论”等易混点，方法清单提炼“将军饮马”作图步骤，助力学生自主复习，教师精准教学。

专题03 轴对称（8知识&11题型&2易错&3方法清单） 【清单01】轴对称与轴对称图形 轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，___________的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条___________就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称. 轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形___________，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后___________是对应点，叫做对称点. 【清单02】轴对称的性质 1）关于某条直线对称的两个图形是___________. 2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的___________. 3）如果图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在___________上. 【解读】轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的___________相等，___________相等，对应点到对称轴的距离___________. 【清单03】作某图形关于某直线对称的图形的一般步骤 1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤： ①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足； ②在垂线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段（截点和已知点在已知直线的两侧），那么截点就是已知点关于该直线的对称点. 2）作某图形关于某直线对称的图形的一般步骤： ①找：在原图形上找特殊点，如顶点A，B，C； ②作：作各个特殊点关于已知直线的对称点A'， B'， C'； ③连：按原图对应连接各对称点. 注意：若原图关键点在对称轴上，则它的对称点也一定在对称轴上，且重合. 【清单04】平面直角坐标系中的轴对称 1）关于x轴对称：点（a，b）关于x轴对称的点的坐标为___________，简记：横___________纵___________. 2）关于y轴对称：点（a，b）关于y轴对称的点的坐标为___________，简记：纵___________横___________. 【清单05】线段的垂直平分线 定义：经过线段的___________并且___________于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）. 【注意】线段的垂直平分线满足的条件：①经过线段的___________；②___________于这条线段. 性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的___________. 判定：与一条线段两个端点距离___________的点，在这条线段的垂直平分线上. 三角形垂直平分线的性质：1）三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离___________. 2）三角形三边的垂直平分线的交点又称三角形的___________. 【清单06】等腰三角形 定义：有两条边___________的三角形是等腰三角形，___________的两条边叫做腰，___________叫做底边，两腰的___________叫做顶角，___________与腰的夹角叫做底角. 等腰三角形性质定理： 1）等腰三角形的两个底角___________（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高___________.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定定理： 1）定义法：有两边___________的三角形是等腰三角形； 2）判定定理：如果一个三角形有___________相等，那么这两个三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 【清单07】等边三角形 定义：三条边都___________的三角形叫等边三角形. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边___________，三个内角都___________，并且每个内角都是___________. 等边三角形的判定（文字版）： 1）定义法：三条边都___________的三角形是等边三角形； 2）等角法：___________都相等的三角形是等边三角形. 3）等腰三角形法：有一个角是60°的___________三角形是等边三角形. 【清单08】含30°角的直角三角形 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的___________. 【题型一】轴对称图形的识别 1．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）年国庆中秋假期，国内出游总人次约亿人次，具有地方特色的冰箱贴是大家最喜欢的纪念品之一、下面是用我们常见的一些典型建筑制作的冰箱贴，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　） A．B．C． D． 3．（25-26八年级上·广东江门·期中）下列图形中，是轴对称图形的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（   ） A．B．C． D． 【题型二】利用轴对称的性质求解 1．（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，与关于直线l对称，连接交对称轴l于点M，若，，则下列说法不正确的是（   ） A．三角形与三角形的周长相等 B．且 C．连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 D． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在△中，，，△与△关于直线对称，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为 ． 4．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，与关于直线对称，且，． (1)在图中的直线上画出点P，使的和最小．（保留作图痕迹） (2)若点B到直线的距离为5，则、两点间的距离为______． (3)求的度数． 【题型三】画轴对称图形 1．（25-26八年级上·四川广元·期中）作图题：（不写作法，但要保留痕迹） (1)作出下面图形关于直线l的轴对称图形（图1）． (2)在图2中找出点A，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等． (3)在图3中找到一点M，使它到A、B两点的距离和最小． 2．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)在图中作出关于轴的对称图形，并写出点关于轴的对称点的坐标； (2)点为轴上一动点，且使得的周长最小，请在图中标出点位置（不写作法，保留作图痕迹）； (3)如图，若点和关于直线对称，请利用直尺和圆规作出对称轴（不写作法，保留作图痕迹）． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使最小． 【题型四】镜面对称问题 1．（25-26八年级上·重庆江津·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是 ． 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是 ． 【题型五】利用垂直平分线的性质求解 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线与相交于点E，与相交于点D，若，的周长为12，则的周长是（ ） A．8 B．14 C．16 D．20 3．（25-26八年级上·四川广元·期中）在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则的度数为 ． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，边、的垂直平分线分别交于D、E． (1)若，求△的周长； (2)若，求的度数． 【题型六】垂直平分线的判定 1．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，在中，，为上的一点，，为上一点，于点，于点，且．连接，交于点． (1)求证：垂直平分； (2)求的长． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，与相交于点O，，． (1)求证：； (2)若平分，求证：垂直平分． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【题型七】等腰三角形判定与性质综合 1．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，，垂足分别是E，F，． (1)求证：平分； (2)若，判断的形状，并说明理由． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，点、、、在同一直线上，点、在异侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，，垂足为点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，则的周长为 ． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【题型八】等边三角形判定与性质综合 1．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，是等边三角形外部一点，连接，，且，过点作交于点，交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)连接，若，，求的长． 2．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，点为线段上一点，，，，，平分． (1)证明：． (2)若，求的度数． 3．（25-26八年级上·天津·期中）（1）如图，，都是等边三角形，连接，相交于点，求证：； （2）如图，，都是等边三角形，点在边上，过作垂直于，求证：； （3）如图，是等边三角形，在中，，，连接，平分交延长线于点，交于点，则的度数为______．（直接写出答案） 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 【题型九】角度有关的折叠问题 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，将点与点分别沿和折叠，使点与点重合，则的周长为（　　） A．12 B．13 C．16 D．17 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，将三角形的纸片沿折叠，点A落在外的点处，且 ． （1）若，，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 3．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）如图，在三角形纸片的边上有一点，沿过点的直线折叠三角形纸片，使点落在点处，得到折痕；使落在射线上，点落在点处，得到折痕．已知，． (1)的度数为______°． (2)求的度数． 4．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． (1)若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； (2)若如图2所示，点D在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 【题型十】利用含30°角的直角三角形性质求解 1．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，，则的距离为（   ） A．8海里 B．海里 C．7海里 D．海里 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，， ， ，则长（   ） A．2 B．6 C．7 D．8 3．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图①所示的是校门口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图②所示，双翼边缘的端点与之间的距离为厘米，双翼的边缘厘米，且与闸机箱侧立面的夹角，则当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 厘米． 4．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，，点是上的一点，过点作，交于点，延长和交于点 (1)求证： (2)若，，是的中点，求的长． 【题型十一】等腰三角形存在性问题 1．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出△ABC关于x轴对称的 （其中分别是A，B，C的对应点，不写画法）并写出的坐标； (2)点P在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的P点有____个． 2．（25-26八年级上·河南南阳·月考）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点N在线段上滑动（点N不与A，B重合），三角尺的直角边始终经过点C，并与的夹角，斜边交于点E． (1)当时，______； (2)当时，求证：； (3)在点N的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请直接出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 3．（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，点在轴上，点在轴上，点在第三象限，． (1)如图1，点A，B的坐标为A______，B______； (2)如图2，D为x轴上一点，过点作且，连接，写出线段之间的数量关系，并加以证明； (3)如图3，将线段平移，线段端点、与轴分别交于点, 点为轴于点，在直线上是否存在点，使得为等腰直角三角形（为直角边），请直接写出所有符合条件的点的坐标． 4．（25-26八年级上·山东济南·期中）平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，满足． (1)求两点的坐标； (2)在射线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图，点关于轴对称，为轴上点右侧一点，过点作交直线于点，是否存在点．使，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型一】求关于坐标轴对称点的坐标 1．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）已知点与点关于y轴对称，则 ． 2．（25-26八年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中，如果点和关于x轴对称，则 ． 【题型二】与等腰三角形有关的分类讨论问题 1．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为 ． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成，两部分，则等腰三角形的腰长为 ． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在等腰三角形的周长为9，，则的长为 ． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知等腰三角形中，一个角为，则该等腰三角形的底角度数为 ． 5．（25-26八年级上·山东德州·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【题型一】手拉手模型 1．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形： ； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则有_________；线段BD和CE的数量关系是_________． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，且，请判断线段和的数量关系与位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，求的长．   3．（25-26八年级上·福建厦门·期中）【问题提出】（1）如图1，都是等边三角形，求证：； 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，若点在边上，以为一边作等边三角形，连接．求证，； （3）如图3，在中，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如果有，求出它的最小值：如果没有，请说明理由． 【题型二】等腰三角形内的点到腰的距离的和差关系 解题方法：双腰上的高求定值的证明利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形中动点只能在底边所在直线上运动，此时连接该点和底边所对顶点，能将原图形分割成两个底相等的三角形. 1．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）（1）如图1，在中，，，，．求证：． （2）如图2，是等边 的高，P为内的一点，由点P向三边作垂线，分别为，，．求证：． 2．（24-25八年级上·广东中山·月考）如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线上一动点，设点P到两边的距离分别为，，的高为h． (1)当点P运动到中点时，与的数量关系为：． (2)如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点P运动到BC的延长线上时，求证：． 3．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图（1），点P是等边三角形内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与周长的关系．记， 的周长． (1)从特殊情形入手： ①若点P在的中心，如图（2），此时l与c的关系为________； ②若点P在的一条高上，如图（3），此时①中的结论还成立吗？请说明理由． (2)若点P不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决，请直接在图（4）中画出解决问题所需的所有辅助线． 【题型三】将军饮马问题 1．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境：“哨塔观测与物资调度”问题——如何为巡逻哨兵设计最短巡查路径？如何让补给车队以最低成本抵达前线？这类问题在军事物流、城市规划、网络路由等领域有着广泛的应用． 问题原型：如图1，一位将军每日需从军营出发，到河边（直线）饮马后，再前往哨所．如何选择饮马点，使得总路程最短？ 数学模型：作点关于直线的对称点；连接，与直线交于点；点即为所求饮马点，路径最短． (1)利用对称变换将折线问题转化为直线问题，体现了数学中的___________，思想．（填选项字母） A．转化与化归    B．数形结合    C．方程    D．分类讨论 (2)如图2，在等边中，是上的动点，是的平分线，是上的动点．若，求的最小值． (3)如图3，某能源公司在山区有一座风力发电站，需定期对一片扇形检修区（由射线和构成，）进行无人机巡检．无人机从电站A出发，需先到地面基站边缘进行数据采集，再到河边取水冷却设备，最后返回站．已知，请在备用图中画出一条最短巡检路线（保留作图痕迹），并根据所画图示计算全程最短路程． 2（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 3．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______， ∴______． ∵在中，， ∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 4．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 几何模型：条件：如图1，A、B是直线同旁的两个定点． 问题：在直线上确定一点，使的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； (2)应用： ①如图2，已知，其内部有一点，在的两边分别有C、D两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边上，且，点P，Q分别在上，则的最小值是________． (3)拓展：如图，在四边形中，，在上分别找一个点M，N，使的周长最小，则________． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称（8知识&11题型&2易错&3方法清单） 【清单01】轴对称与轴对称图形 轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称. 轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 【清单02】轴对称的性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 3）如果图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上. 【解读】轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对应线段相等，对应角相等，对应点到对称轴的距离相等. 【清单03】作某图形关于某直线对称的图形的一般步骤 1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤： ①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足； ②在垂线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段（截点和已知点在已知直线的两侧），那么截点就是已知点关于该直线的对称点. 2）作某图形关于某直线对称的图形的一般步骤： ①找：在原图形上找特殊点，如顶点A，B，C； ②作：作各个特殊点关于已知直线的对称点A'， B'， C'； ③连：按原图对应连接各对称点. 注意：若原图关键点在对称轴上，则它的对称点也一定在对称轴上，且重合. 【清单04】平面直角坐标系中的轴对称 1）关于x轴对称：点（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b），简记：横同纵反. 2）关于y轴对称：点（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（-a，b），简记：纵同横反. 【清单05】线段的垂直平分线 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）. 【注意】线段的垂直平分线满足的条件：①经过线段的中点；②垂直于这条线段. 性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 三角形垂直平分线的性质：1）三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等. 2）三角形三边的垂直平分线的交点又称三角形的外心. 【清单06】等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 等腰三角形性质定理： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定定理： 1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 【清单07】等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定（文字版）： 1）定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形； 2）等角法：三个角都相等的三角形是等边三角形. 3）等腰三角形法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【清单08】含30°角的直角三角形 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【题型一】轴对称图形的识别 1．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）年国庆中秋假期，国内出游总人次约亿人次，具有地方特色的冰箱贴是大家最喜欢的纪念品之一、下面是用我们常见的一些典型建筑制作的冰箱贴，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·广东江门·期中）下列图形中，是轴对称图形的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，，都是轴对称图形， ∴是轴对称图形的有3个， 故选：D． 4．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称，根据轴对称图形的概念一一判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，故B选项符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 【题型二】利用轴对称的性质求解 1．（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，与关于直线l对称，连接交对称轴l于点M，若，，则下列说法不正确的是（   ） A．三角形与三角形的周长相等 B．且 C．连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质及三角形内角和定理．根据轴对称的性质判断三角形的周长、对应点连线与对称轴的关系，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后逐一分析选项即可． 【详解】解：A项：∵与关于直线l对称， ∴, 由全等三角形的对应边相等可知，的三边与的三边分别相等， ∴它们的周长也相等，故A正确，不符合题意； B项：∵与关于直线l对称，A与是一对对应点， ∴对称轴l是线段的垂直平分线， 即且，故B正确，不符合题意； C项：连接，，∵与关于直线l对称， ∴，，三条线段都垂直于对称轴l， 在同一平面内，垂直于同一条直线的多条直线互相平行， ∴， 又∵对称轴l是对应点所连线段的垂直平分线， ∴，，三条线段被对称轴l垂直平分，但，，三条线段不相等，故C错误，符合题意； D项：∵与关于直线l对称， ∴， 在中，，，根据三角形内角和定理，，故D正确，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在△中，，，△与△关于直线对称，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：由题知， ，且， ， ． 又△与△关于直线对称， ，， ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及两点之间线段最短．连接，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到的最小值为的长，进而可得周长的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵直线m垂直平分， ∴， 又∵， ∴的最小值为的长，即的最小值为的长， ∴周长的最小值是． 故答案为：11． 4．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，与关于直线对称，且，． (1)在图中的直线上画出点P，使的和最小．（保留作图痕迹） (2)若点B到直线的距离为5，则、两点间的距离为______． (3)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3) 【分析】本题考查轴对称图形的性质、三角形内角和. （1）连接交直线于点P即可； （2）B到直线l的距离等于E到直线l的距离； （3），再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求； （2）解：∵与关于直线l对称， ∴B到直线l的距离等于E到直线l的距离， ∴B、E两点间的距离为， 故答案为：10； （3）解：∵与关于直线l对称， ∴， ∴在中，． 【题型三】画轴对称图形 1．（25-26八年级上·四川广元·期中）作图题：（不写作法，但要保留痕迹） (1)作出下面图形关于直线l的轴对称图形（图1）． (2)在图2中找出点A，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等． (3)在图3中找到一点M，使它到A、B两点的距离和最小． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，以及利用轴对称确定最短路径问题，熟记各性质是解题的关键． （1）找出四边形的四个顶点关于直线l的对称点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等分别作出的平分线和的垂直平分线，交点即为A； （3）根据轴对称确定最短路径问题，作出点B关于直线的对称点，连接与直线的交点即为点M． 【详解】（1）解：轴对称图形如下图所示： ； （2）点A如下图所示： ； （3）点M如下图所示： 2．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)在图中作出关于轴的对称图形，并写出点关于轴的对称点的坐标； (2)点为轴上一动点，且使得的周长最小，请在图中标出点位置（不写作法，保留作图痕迹）； (3)如图，若点和关于直线对称，请利用直尺和圆规作出对称轴（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析，点关于轴的对称点的坐标为； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查作轴对称图形，画对称轴，两点之间线段最短． （1）根据题意可得，，，用线段顺次连接，，，即为所求； （2）点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求； （3）分别以点，为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过两个交点作直线，直线即为所求． 【详解】（1）解：∵，，，与关于轴， ∴，，， 用线段顺次连接，，，即为所求， 点关于轴对称的点的坐标为． （2）解：点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求． （3）解：分别以点，为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过两个交点作直线，直线即为所求． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上性质． （1）连接对应点，利用网格作出对应点连线的垂直平分线即可得； （2）连接，与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； 连接，利用网格图形作的垂直平分线，即正方形的对角线所在的直线， ∴直线即为对称轴； （2）解：如图所示，点即为所求； 连接，交直线于点， 根据轴对称的性质，， 根据两点之间线段最短得， 此时，此时的值最小． 【题型四】镜面对称问题 1．（25-26八年级上·重庆江津·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．把镜中的表针的时刻再还原到实际即可选择． 【详解】解：如图， 接近的有A、C，A是，C是，最接近的是C． 故选：C． 2．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是 ． 【答案】70625 【分析】本题考查了轴对称的性质．直接根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换， 故他的学号为70625． 故选：A． 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是 ． 【答案】15∶01 【分析】本题镜面对称的知识；得到相应的对称轴是解决本题的关键；难点是作出相应的对称图形；注意2，5的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5，2． 实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，画出相关图形可得实际时间． 【详解】解：实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， 电子钟的实际时间应该是， 故答案为：． 【题型五】利用垂直平分线的性质求解 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，理解线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 设的度数为，根据垂直平分线性质得，则，根据三角形外角性质得，再根据得，然后根据得，最后由三角形内角和定理得，由此解出即可得出答案． 【详解】解：设的度数为， 是的垂直平分线， ， ． ． ， ． 又， ． 在中，由三角形内角和定理得：， ，解得， 的度数为 故选：C 2．（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线与相交于点E，与相交于点D，若，的周长为12，则的周长是（ ） A．8 B．14 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．根据作图方法可知，是的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为12， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 3．（25-26八年级上·四川广元·期中）在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质，解题关键是分类讨论，分当的垂直平分线与边相交和当的垂直平分线与的延长线相交两种情况求解即可． 【详解】解：当的垂直平分线与边相交时，如图①，边的垂直平分线与边交于点D，，则， ∵， ∴； 当的垂直平分线与的延长线相交时，如图②，边的垂直平分线与的延长线交于点D，，则， ∴． ∵， ∴； 综上所述：为或． 故答案为：或． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，边、的垂直平分线分别交于D、E． (1)若，求△的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． （1）根据线段垂直平分线性质得出，求出的周长，即可得出答案； （2）由，即可得，又由，即可求得的度数． 【详解】（1）解：在中，边的垂直平分线分别交于D、E， ∴， ∵， ∴的周长为 ； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型六】垂直平分线的判定 1．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，在中，，为上的一点，，为上一点，于点，于点，且．连接，交于点． (1)求证：垂直平分； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，，则点在角平分线上，，，则，然后通过垂直平分线的判定即可求证； （）由（）得，又，则有是等边三角形，然后通过等边三角形性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴点在角平分线上，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：由（）得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，与相交于点O，，． (1)求证：； (2)若平分，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，证明出，得到，再由垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． （2）首先求出，再证明，，然后根据面积法进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． （2）解：∵的周长为18，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型七】等腰三角形判定与性质综合 1．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，，垂足分别是E，F，． (1)求证：平分； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据角平分线的性质判断即可； （2）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，再由等腰三角形的判定证明即可． 【详解】（1）证明：，，， 平分， （2）等腰三角形，理由如下： 解：是的中点， ， ， 与为直角三角形 在和中， ， ， ， 为等腰三角形． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，点、、、在同一直线上，点、在异侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为，则，已知，．易证得，即可得； （2）因为，又已知，则，所以，因为，利用三角形内角和定理则可求． 【详解】（1）证明：， ， 在和中，， ， ； （2）解：∵， ， ， ， ， ∵， ． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，，垂足为点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，则的周长为 ． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）先由等腰三角形三线合一可得，且平分，则，根据等边三角形，可知，由等腰三角形性质及外角性质求得即可得证； （2）在中，由含直角三角形性质求出，再由等边三角形性质求周长即可得到答案． 【详解】（1）解： 是等边三角形，是中线， ，且平分，， ∴， ， ， ， ， 则， ， 即是等腰三角形； （2）解： ， ， 在中，，则， ， ， 是中线， ， 则的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形性质、直角三角形两锐角互余、含直角三角形性质等知识，熟记等边三角形的性质、直角三角形性质是解决问题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【题型八】等边三角形判定与性质综合 1．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，是等边三角形外部一点，连接，，且，过点作交于点，交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了等边三角形、全等三角形的性质和判定，关键是灵活运用知识点进行论证求解； （1）根据三个角都是的三角形是等边三角形进行论证即可； （2）利用全等可得平分，进而可得，从而得到． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，点为线段上一点，，，，，平分． (1)证明：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再由证明； （2）先证明是等边三角形，得，再证明，得，设，则，再求出，进而由角平分线的定义得，然后由直角三角形的性质得，进而列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 答：的度数为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（25-26八年级上·天津·期中）（1）如图，，都是等边三角形，连接，相交于点，求证：； （2）如图，，都是等边三角形，点在边上，过作垂直于，求证：； （3）如图，是等边三角形，在中，，，连接，平分交延长线于点，交于点，则的度数为______．（直接写出答案） 【答案】（）见解析；（）见解析；（）． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，角平分线定义，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理等知识，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键． （）由，都是等边三角形，，，，则有，然后通过“”即可证明； （）连接，在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，得出，结合三线合一即可证明； （）设，则，根据角平分线定义得出 ，，根据等腰三角形的性质得出，最后利用求出结果即可． 【详解】（）证明：∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （）证明：如图，连接，在上截取，连接， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴； （）解：∵是等边三角形， ∴，， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等边三角形的证明性质，全等三角形的证明及性质，能够正确作出辅助线是解题关键； （1）先证，再证，进而为等边三角形； （2）先证，再证，进而； （3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，进而. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【题型九】角度有关的折叠问题 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，将点与点分别沿和折叠，使点与点重合，则的周长为（　　） A．12 B．13 C．16 D．17 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，根据折叠可得，进而可得的周长等于的长，即可求解． 【详解】解：∵点与点分别沿和折叠，使点与点重合， ∴， ∴的周长为． 故选：A． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，将三角形的纸片沿折叠，点A落在外的点处，且 ． （1）若，，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 /48度 /80度 【分析】本题考查旋转的性质、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理，求出，根据平行线的性质证得，根据翻转的性质证得； （2）设交于F，由证得，设为，则由翻折可知，，列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：， 将三角形的纸片沿折叠，点A落在外的点处， 故答案为：； （2）解：设交于F，如图： 将三角形的纸片沿折叠，点A落在外的点处， 设为，则 由翻折可知， 解得 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）如图，在三角形纸片的边上有一点，沿过点的直线折叠三角形纸片，使点落在点处，得到折痕；使落在射线上，点落在点处，得到折痕．已知，． (1)的度数为______°． (2)求的度数． 【答案】(1)90 (2) 【分析】该题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握折叠的性质． （1）根据折叠可得，结合平角的定义即可求解． （2）根据折叠和，可得，，根据三角形外角的性质可得，得出，结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据折叠可得， 又， ∴， 故答案为：90． （2）解：∵，， 根据折叠可得，， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． (1)若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； (2)若如图2所示，点D在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质及三角形外角的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到对应边相等、对应角相等的关系，再结合三角形内角和、外角性质或平角定义推导角的数量关系． （1）由折叠的性质可得，则，再由三角形外角的性质可得； （2）先由三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，进而得到； （3）由折叠的性质可得，则由平角的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由平角的定义求出，即可推出． 【详解】（1）解： 由折叠的性质可得， ， ， ，即； 故答案为： ； （2）解：， ， 由折叠的性质可得， ， ， ； （3）解： 由折叠的性质可得 ， ， ， ， ， ． 【题型十】利用含30°角的直角三角形性质求解 1．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，，则的距离为（   ） A．8海里 B．海里 C．7海里 D．海里 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外角的性质，等角对等边，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，首先得出，得到，然后求出，，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接， 根据题意得，， ∴ ∴ ∴（海里） ∵ ∴ ∴海里 ∴（海里）． 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，， ， ，则长（   ） A．2 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形“三线合一”和角对的直角边是斜边的一半推导线段长度． 过作，由得；结合的“三线合一”性质得，进而计算出的长度． 【详解】解：如图，过点作于， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 3．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图①所示的是校门口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图②所示，双翼边缘的端点与之间的距离为厘米，双翼的边缘厘米，且与闸机箱侧立面的夹角，则当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 厘米． 【答案】60 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．过A作于E，过B作.于F，则可得和的长，依据端点A与B之间的距离为10厘米，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：过A作于E，过B作于F， ∵， ∴， ∵在中，厘米， ∴厘米， ∵在中，厘米， ∴厘米， ∴厘米， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为60厘米． 故答案为：60． 4．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，，点是上的一点，过点作，交于点，延长和交于点 (1)求证： (2)若，，是的中点，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，根据对顶角相等可得，则，最后根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先求出，则，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，． 【题型十一】等腰三角形存在性问题 1．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出△ABC关于x轴对称的 （其中分别是A，B，C的对应点，不写画法）并写出的坐标； (2)点P在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的P点有____个． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，等腰三角形的定义，熟知相关知识是解题的关键。 （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）先以点B为圆心，的长为半径画圆得到与坐标轴的交点，再以点C为圆心、的长为半径画圆得到与坐标轴的交点，然后将两圆的交点连接可得的垂直平分线，从而可得到与坐标轴的交点，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：如图所示，一共有10个点满足题意； 2．（25-26八年级上·河南南阳·月考）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点N在线段上滑动（点N不与A，B重合），三角尺的直角边始终经过点C，并与的夹角，斜边交于点E． (1)当时，______； (2)当时，求证：； (3)在点N的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请直接出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在是等腰三角形，或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）首先得到，然后证明出，，利用即可得证； （3）首先表示出，，然后分三种情况讨论，分别求出的大小即可． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理和外角的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：由（2）得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴①当时， ∴ ∴ ∴； ②当时， ∴ ∴ ∴，不符合题意，应舍去； ③当时， ∴ ∴ ∴， 综合所述，存在是等腰三角形，或． 3．（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，点在轴上，点在轴上，点在第三象限，． (1)如图1，点A，B的坐标为A______，B______； (2)如图2，D为x轴上一点，过点作且，连接，写出线段之间的数量关系，并加以证明； (3)如图3，将线段平移，线段端点、与轴分别交于点, 点为轴于点，在直线上是否存在点，使得为等腰直角三角形（为直角边），请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析； (3)点P的坐标为或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、平移的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形来解决问题． （1）过点C作于点D，证明，从而得到，，进而得到点A和B的坐标； （2）根据同角的余角相等可证，再证明，根据对应边相等可得答案； （3）分情况讨论等腰直角三角形的情况，利用全等三角形的性质求出点P的坐标． 【详解】（1）解：过点C作于点D， ∴， ， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， ∴， ∴，； （2）解： 当点D在点B的右侧时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，当时，设过点且与轴垂直的直线与轴交于点， ∵平移， ， ， ， ， 又∵ ， ， 点， 当时，过点作轴于， 同理可证： ， ， ∴点， 综上所述：点的坐标为或． 4．（25-26八年级上·山东济南·期中）平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，满足． (1)求两点的坐标； (2)在射线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图，点关于轴对称，为轴上点右侧一点，过点作交直线于点，是否存在点．使，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、 (2)或或 (3)存在， 【分析】（1）利用二次根式的被开方数非负性求出的值，进而确定两点的坐标； （2）设出点的坐标，根据等腰三角形的三种分类（、、），结合两点间距离公式求解； （3）先求出直线的解析式，设出点的坐标，通过证明三角形全等得到线段关系，再结合三角形面积公式列出方程求解． 【详解】（1）解：满足， ∴， ， ∴， ，． （2）解：存在点，使为等腰三角形． 由勾股定理可得， 在射线上存在点，使为等腰三角形， ①若， ， ； ②若，则点与点重合， ； ③若，则， ； 综上所述，或或． （3）解：存在，理由如下： 如图，过点作轴，交轴于点， 点关于轴对称， ，， ， ， 轴， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 由对称性质可知：，，， ，， ， ， 又， ， ， ， ∴， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，熟练运用坐标运算、分类讨论思想和相似三角形的性质是解答本题的关键． 【题型一】求关于坐标轴对称点的坐标 1．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）已知点与点关于y轴对称，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查平面直角坐标系中，轴对称的坐标变换问题，代数式求值． 根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， 因此， 故答案为：6． 2．（25-26八年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中，如果点和关于x轴对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程求解a和b，然后代入计算的值． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴横坐标相等：，纵坐标互为相反数：， 解得，， ∴． 故答案为：． 【题型二】与等腰三角形有关的分类讨论问题 1．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】 16或17 【分析】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的三边关系，解题的关键是根据非负数性质求出边长，再结合三角形三边关系确定等腰三角形的边长组合． 由非负数的性质得、；分腰为6和腰为5两种情况，结合三角形三边关系验证，计算周长． 【详解】解：， ，， ，． 情况1：腰长为6，底边长为5， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 情况2：腰长为5，底边长为6， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 故答案为：或． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成，两部分，则等腰三角形的腰长为 ． 【答案】或 【分析】设腰长为x，底边长为y，根据中线分周长的两种可能情况列方程组求解，并验证三角形三边关系． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y． 一腰上的中线将周长分为两部分：一部分为腰长加半腰长， 即； 另一部分为底边长加半腰长， 即． 由题意，这两部分分别为和，因此分两种情况： 情况一：且， 解得：，， 情况二：且， 解得：，， 经检验，两种情况均满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形三边关系的应用，几何问题(二元一次方程组的应用)，等腰三角形的定义，根据三角形中线求长度等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在等腰三角形的周长为9，，则的长为 ． 【答案】1或2.5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系等知识，分两种情况讨论：当为腰时，或当为底边时，分别计算的长，并验证是否满足三角形三边关系定理． 【详解】解：∵三角形中，，周长为9， ∴， 情况一：当为腰时，则， ∴． 此时三边长为4、4、1，满足三角形三边关系定理（任意两边之和大于第三边）． 情况二：当为底边时，则， 设， 则， 解得， 故． 此时三边长为4、2.5、2.5，满足三角形三边关系定理． 故的长为1或2.5． 故答案为：1或2.5． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知等腰三角形中，一个角为，则该等腰三角形的底角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，由于已知角可能是顶角或底角，需分情况讨论底角的度数，即可作答． 【详解】解：设等腰三角形的底角为 情况一：当角是顶角，则， 解得； 情况二：当角是底角，则底角为， ∴底角度数为或， 故答案为：或． 5．（25-26八年级上·山东德州·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质．需要分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余及平角定义求解． 【详解】设等腰三角形中，，为腰上的高，，垂足为，． ①当为锐角三角形时，点在上．    在中，，， ． ②当为钝角三角形时，点在的延长线上．    在中，，， ， ． 故顶角的度数为或． 故答案为：或． 【题型一】手拉手模型 1．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形： ； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：；深入研究：；拓展延伸：，；理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 初步把握：先证明，再利用“”证明即可； 深入研究：由等边三角形的性质可得，，，再证明，进而证明，得出，即可得解； 拓展延伸：证明，得出，，即可得解． 【详解】初步把握： 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究： 解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴．即， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 拓展延伸： 解：，；理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则有_________；线段BD和CE的数量关系是_________． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，且，请判断线段和的数量关系与位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，求的长． 【答案】（1），；（2），，理由见解析；（3）5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键． （1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到，即可证得结论； （3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证，从而得解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2），，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）如图，作，，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期中）【问题提出】（1）如图1，都是等边三角形，求证：； 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，若点在边上，以为一边作等边三角形，连接．求证，； （3）如图3，在中，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如果有，求出它的最小值：如果没有，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）有最小值，最小值为2； 【分析】（1）证明，即可证明； （2）过点E作，交于点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点E作，交于点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：有最小值，最小值为2； 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【题型二】等腰三角形内的点到腰的距离的和差关系 解题方法：双腰上的高求定值的证明利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形中动点只能在底边所在直线上运动，此时连接该点和底边所对顶点，能将原图形分割成两个底相等的三角形. 1．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）（1）如图1，在中，，，，．求证：． （2）如图2，是等边 的高，P为内的一点，由点P向三边作垂线，分别为，，．求证：． 【答案】（1）见详解；（2）见详解． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形的高，找到三角形的高并利用三角形的面积换算是解题的关键． (1) 连结，再利用三角形面积相等列出，即可证明； (2) 连接，，，再找到三角形面积相等列出，即可证明． 【详解】（1）证明：如图，连结， ， ， 又， ． （2）证明：连接，，， 是等边三角形， ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·广东中山·月考）如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线上一动点，设点P到两边的距离分别为，，的高为h． (1)当点P运动到中点时，与的数量关系为：． (2)如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点P运动到BC的延长线上时，求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当点与点重合时，过点作于点于点，由等边三角形的性质得出，则，根据三角形面积公式可得出结论； （2）连接，根据可得出结论； （3）连接，根据可得出，进行变形后可得出结论． 本题考查了等边三角形的性质、三角形的面积，运用等面积法建立等式是解题关键． 【详解】（1）解：当点与点重合时，， 理由： 过点作于点于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：． 证明：如图（2），连接，则， ∴， 即， 又∵是等边三角形 ； （3）证明：连接， 则， 即 ∵是等边三角形， 两边同时除以2024得， ． 3．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图（1），点P是等边三角形内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与周长的关系．记， 的周长． (1)从特殊情形入手： ①若点P在的中心，如图（2），此时l与c的关系为________； ②若点P在的一条高上，如图（3），此时①中的结论还成立吗？请说明理由． (2)若点P不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决，请直接在图（4）中画出解决问题所需的所有辅助线． 【答案】(1)①；②此时①中的结论仍成立，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由等边三角形中心的可得，，，由此计算即可得解；②由等边三角形的性质可得，，，证明得出，即可推出，从而即可得解； （2）过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点，由（1）可得， 由图可得四边形和四边形是矩形，由矩形的性质可得，，，证明，得出，从而可得，进一步得出，即可得解． 【详解】（1）解：①∵点在等边的中心， ∴点为三角形三条中线的交点， ∴，，， ∴； ②成立，理由如下： ∵为等边三角形，是的高， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：如图，过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点， 由（1）可得， ∵， ∴ ∴四边形是矩形，同理四边形是矩形， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型三】将军饮马问题 1．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境：“哨塔观测与物资调度”问题——如何为巡逻哨兵设计最短巡查路径？如何让补给车队以最低成本抵达前线？这类问题在军事物流、城市规划、网络路由等领域有着广泛的应用． 问题原型：如图1，一位将军每日需从军营出发，到河边（直线）饮马后，再前往哨所．如何选择饮马点，使得总路程最短？ 数学模型：作点关于直线的对称点；连接，与直线交于点；点即为所求饮马点，路径最短． (1)利用对称变换将折线问题转化为直线问题，体现了数学中的___________，思想．（填选项字母） A．转化与化归    B．数形结合    C．方程    D．分类讨论 (2)如图2，在等边中，是上的动点，是的平分线，是上的动点．若，求的最小值． (3)如图3，某能源公司在山区有一座风力发电站，需定期对一片扇形检修区（由射线和构成，）进行无人机巡检．无人机从电站A出发，需先到地面基站边缘进行数据采集，再到河边取水冷却设备，最后返回站．已知，请在备用图中画出一条最短巡检路线（保留作图痕迹），并根据所画图示计算全程最短路程． 【答案】(1)A (2)6 (3)整个巡检过程的最短路程为 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的性质与判定； （1）利用对称变换将折线问题转化为直线问题，体现了数学中的转化与化归的思想； （2）如图，连接，，过点作于点，由题意可知，当时取得最小值，结合等边三角形性质可求得； （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】（1）利用对称变换将折线问题转化为直线问题，体现了数学中的转化与化归的思想； 故选：A． （2）如图1，连接，，过点作于点． 在等边中，是的平分线， 点关于直线对称， ， ， 的最小值为的长． 和都是等边三角形的高， ， 的最小值为6． （3）如图2，如图，分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径．   由题意，得． ， ， 为等边三角形， ． ， ， 整个巡检过程的最短路程为． 2（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 3．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______， ∴______． ∵在中，， ∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 【答案】任务一: ,,,; 任务二:见详解； 任务三：见详解． 【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：任务一 ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴ ， ， ∴ ． ∵在中，， ∴ ，即最小； 任务二 如图，即为最短路径． 任务三 如图，即为最短路径． 4．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 几何模型：条件：如图1，A、B是直线同旁的两个定点． 问题：在直线上确定一点，使的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； (2)应用： ①如图2，已知，其内部有一点，在的两边分别有C、D两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边上，且，点P，Q分别在上，则的最小值是________． (3)拓展：如图，在四边形中，，在上分别找一个点M，N，使的周长最小，则________． 【答案】(1)图见解析 (2)①图见解析，15；②3 (3) 【分析】本题考查轴对称，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握将军饮马模型，是解题的关键： （1）根据题干中给出的作法作图即可； （2）①作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，与的交点即为点，点，根据对称性推出为等边三角形，的周长等于的长，即可得出结果；②作关于的对称点，作关于的对称点，连接，与的交点即为点，此时的值最小为的长，证明为等边三角形，即可得出结果； （3）作点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于点，交于点，此时的周长最小为的长，根据轴对称的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）①由题意，作图如下： 由作图可知：，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴周长的最小值； ②如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，与的交点即为点，此时的值最小为的长， 由对称可知：，， ∴，，即， ∴为等边三角形， ∴， 即：的最小值为3； （3）作点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于点，交于点，此时的周长最小为的长， 由对称性可知：， ∵， ∴三点共线，三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $