第十五章 轴对称（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

第十五章 轴对称 教学目标 1. 熟练掌握全等三角形全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 3. 通过学习本章知识点及解决相关题型锻炼逻辑思维，空间想象能力等。 教学重难点 1. 重点 （1）轴对称及其轴对称图形； （2）线段的垂直平分线； （3）轴对称的作图及用坐标表示轴对称； （4）等腰三角形与等边三角形及含30°的直角三角形。 2. 难点 （1）线段垂直平分线的性质及其应用； （2）等腰三角形与等边三角形的判定与性质的综合应用。 考点01 轴对称及其性质 1. 轴对称与轴对称图形的概念： （1）轴对称图形的概念： 若一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是一个轴对称图形。这条直线叫做轴对称图形的对称轴。一个轴对称图形可以有多条对称轴。 （2） 轴对称的概念： 一个图形沿着某一条直线对折与另一个图形能够完全重合，则这两个图形的位置关系成轴对称。这条直线是轴对称的对称轴。轴对称只有一条对称轴。 重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。重合的点叫做对应点。 注意：轴对称图形是一个图形的形状特点，轴对称是两个图形的形状特点加上位置特点构成。 2. 轴对称与轴对称图形的性质： ①轴对称图形对称轴两旁的部分全等，成轴对称的两个图形全等。 ②对应边相等，对应角相等。对应边若不与对称轴平行，则延长线的交点一定交于对称轴上。 ③对称轴经过任何一组对应点连线的中点且与线段垂直。我们把对称轴叫做对应点连线的垂直平分线。 ④对应点的连线之间相互平行。 考点02 线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的定义： 过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。如图，若点C是AB的中点且MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线。 2. 线段垂直平分线的性质： ①线段垂直平分线垂直且平分线段。∠PCA＝∠PCB＝90°，AC＝BC。 ②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等。 PA＝PB；△PAB是等腰三角形；∠A＝∠B；∠APC＝∠BPC。 3. 线段垂直平分线的判定 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 注意：证明线段的垂直的平分线必须证明两个点到线段的端点距离相等。若只证明一个点，则只能说明在个点在垂直平分线上，不能得到垂直平分线。 4. 作已知线段的垂直平分线： 具体步骤： ①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图① ②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图② 考点03 互逆命题与互逆定理 1. 互逆命题的定义： 如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题。 2. 互逆定理的定义： 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。 注意：命题有真有假，定理一定时真命题；每一个命题都有逆命题，但是不一定所有的定理都有逆定理；原命题的真假与逆命题的真假没有关系；互逆的两个定理一定都是真命题。 考点04 画轴对称及其轴对称图形 1. 对称轴的画法： 对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线，所以作对称轴即是作对应点连线的垂直平分线。 具体步骤： （1） 找轴对称与轴对称图形的一组对应点； （2） 连接这组对应点； （3） 作这组对应点的垂直平分线，这条垂直平分线即为对称轴。 2. 轴对称与轴对称图形的作图： 具体步骤： （1） 找图形的关键点。 （2） 过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的对应点。 （3）按照原图形连接各对应点。 考点05 用坐标表示轴对称 1. 关于坐标轴对称的点的坐标特点： 点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）。 点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）。 总结：关于谁对称谁不变，另一坐标互为相反数。 2. 关于x＝m或y＝m对称的点的坐标： P（a，b）关于直线x=m对称的点的坐标为（2m-a，b）。 P（a，b）关于直线y=m对称的点的坐标为（a，2m－b）。 考点06 等腰三角形 1. 等腰三角形的概念： 有两条边相等的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的腰，所对的角叫做等腰三角形的底角，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的顶角。 2. 等腰三角形的性质：如图 ①等腰三角形的两腰相等。即AB＝AC。 由面积可得等腰三角形两腰上的底相等。 ②等腰三角形的两个底角相等。即∠B＝∠C。【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。【简称底边上三线合一】即∠ABD＝∠CAD，BD＝CD，AD⊥BC。 3. 等腰三角形的判定： (1) 定义判定：由两边相等的三角形是等腰三角形。 (2) 利用等角对等边判定： 一个三角形中如有两个角相等，则这两个角所对的两条边也相等。（等角对等边）则这个三角形是等边三角形。数学语言：如图： ∵∠B＝∠C ∴AB＝AC ∴△ABC是等腰三角形 (3) 利用三线合一性质判定： 若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线重合，则这个三角形是等腰三角形。 数学语言：如图： ∵AD⊥BC且BD＝BC（三线表达其二即可） ∴△ABC是等腰三角形 考点07 等边三角形 1. 等边三角形的概念： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。也叫正三角形。 2. 等边三角形的性质： ①等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个角都等于60°。 ②等边三角形三条边都存在三线合一。 ③等边三角形是一个轴对称图形，它有3条对称轴，对称轴的交点叫做中心。 3. 等边三角形的判定： ①定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形。 ②判定定理1：三个角相等的三角形是等边三角形。或有两个角是60°的三角形是等边三角形。 ③判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 考点08 含30°角的直角三角形 1. 含30°角的直角三角形的性质： 30°角所对的直角边等于斜边的一半。 证明如下： 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝ ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°。 ∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝30° BD＝CD＝BC ∴BD＝AB 题型01 轴对称与轴对称图形的判断 1．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 2. 观察下图中各组图形，其中成轴对称的为　 　 （只写序号1，2等）． 3．体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面．在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字．作为中国人，我们感到无比自豪和光荣．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 题型02 轴对称与轴对称图形的性质 1．如图，是一个简易的飞机模型示意图，机翼△ABC和△DEF关于机身l对称，CF交l于点H，已知CF＝8．下列说法中，不正确的是（　　） A．AB＝DE B．AC＝10 C．CH＝4 D．∠ACB＝∠DFE 2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中，错误的是（　　） A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′ C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上 3．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，连接AC，点B1在CD边上，连接AB1，△ABC 与△AB1C关于直线AC对称，若∠ABC＝115°，则∠DAB1的度数为（　　） A．25° B．35° C．30° D．45° 4．如图，点D是△ABC内部一点，点E，F，G分别是点D关于AB，BC，CA的对称点，则∠E+∠F+∠G＝（　　） A．270° B．360° C．420° D．540° 5．如图，点P是∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点是M、N，直线MN交OA、OB于点C、D，若MN＝8cm，且∠AOB＝30°，则△MON的周长是（　　） A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm 6．如图所示，∠MON＝45°，点P为∠MON内一点，点P关于OM、ON的对称点分别为点P1、P2，连接OP、OP1、PP1、PP2、P1P2，P1P2分别与OM、ON交于点A、B，连接AP、BP，则∠P1PP2的度数为（　　） A．45° B．90° C．135° D．150° 7．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平使A与A'重合，若∠A＝35°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．70° B．75° C．105° D．35° 题型03 线段的垂直平分线 1．元旦联欢会上，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 2．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC的度数是（　　） A．15° B．20° C．10° D．25° 3．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于点E和点D，连接AD，若AE＝3cm，△ABC的周长为15cm，则△ABD的周长是（　　） A．6cm B．7.5cm C．9cm D．12cm 4．如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC＝（　　） A．105° B．100° C．110° D．140° 5．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 6．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 7．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点P，连接PB，PC． （1）判断点P是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数． 题型04 对称轴与轴对称的作图 1．如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′关于直线l成轴对称． （1）在图①中用直尺和圆规作出对称轴l；（保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想：延长线段AB与A′B′，交点P　 　 对称轴l上；（填“在”或“不在”） （3）如果只有一把无刻度的直尺，请你在图②中画出对称轴l． 2．在3×3的正方形网格中，△ABC和△DEF是关于某条直线成轴对称的两个格点三角形（顶点在网格线交点上的三角形）．现给出了△ABC，在如图所示的图中画出4个不同的符合条件的△DEF，并画出对称轴． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （3）写出点B′的坐标． 4．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是（﹣4，3），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（﹣2，5）． （1）作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1． （2）将△A1B1C1向右平移4个单位长度，得到△A2B2C2，其中点A2，B2，C2分别为点A1，B1，C1的对应点，直接写出点A2的坐标． 5．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．建立平面直角坐标系后，点A，B，C的坐标分别为（1，1），（4，2），（2，3）． （1）画出将△ABC向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出A1点的坐标； （2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，并写出A2点的坐标； （3）计算以A，A1，A2为顶点的三角形的面积． 题型05 用坐标表示轴对称 1．点A（﹣1，3）关于y轴对称点的坐标是（　　） A．（1，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣3，1） 2．若点A（x，3）与点B（2，y）关于x轴对称，则：x﹣2y的立方根　2　 ． 3．若点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，则m+n＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣7 4．若点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则P点的坐标为（　　） A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3） 5．如图，将点P（﹣1，2）关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点P′，则点P′的坐标为（　　） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 6．在平面直角坐标系中， （1）已知点A（﹣1，a+3），且点A在第二象限的角平分线上时，求a的值； （2）已知点A（2b﹣1，﹣a+b），B（2a﹣b，5+a）．当点A和点B关于y轴对称时，求（2a+b）2024的值． 7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣3，﹣3），B（﹣1，﹣2），C（﹣2，﹣1）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1． （2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2． （3）若△ABC内部一点P（m，n）在△A1B1C1中的对称点为P1，在△A2B2C2中的对称点为P2，请直接写出点P1，P2的坐标． 题型06 互逆命题与互逆定理 1．下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．如果ab＞0，那么a，b都是正数 C．等腰三角形的两底角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 2．下列命题中，其逆命题为真命题的是（　　） A．若a＞0，b＞0，则ab＞0 B．对顶角相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．若a＝b，则a2＝b2 3．已知命题“如果a＝b，那么﹣a＝﹣b”，则该命题的逆命题是（　　） A．如果a＝b，那么﹣a＝﹣b B．如果﹣a＝﹣b，那么a＝b C．如果a＝b，那么﹣a≠﹣b D．如果﹣a≠﹣b，那么a＝b 4．下列命题的逆命题成立的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．若三角形的三边满足a2+b2＝c2，则该三角形是直角三角形 C．对顶角相等 D．同位角互补，两直线平行 题型07 等腰（边）三角形的性质 1．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（　　） A．60° B．69° C．76° D．88° 2．将一台带有保护套的平板电脑按图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示．经测量AB＝12cm，BC＝14cm．若移动支点C的位置，使△ABC是一个等腰三角形，则△ABC的周长为（　　） A．38cm B．40cm C．38cm或40cm D．36cm 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC沿BC向右平移2个单位得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．12 4．如图，点E是45°直角三角形斜边上的一点，F是直角边上一点，且AE＝AF，若∠BAE＝30°，则∠FED的度数是（　　） A．15° B．20° C．22.5° D．10° 5．如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为（　　） A．4 B． C．15 D．8 6．如图，等边△ABC中，AB＝4，点D是高AH上一点，过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，连接CD，当CD⊥EF时，FH＝（　　） A． B． C．1 D． 7．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 8．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为（　　） A．32 B．64 C．128 D．256 题型08 等腰（边）三角形的判定 1．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A＝40°，∠B＝70° B．AB＝AC＝3，BC＝7 C．∠A＝20°，∠B＝70° D．AB＝1，BC＝4，周长为6 2．已知a，b，c是△ABC的三边长，且|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，则△ABC的形状是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC交∠ACB的平分线于点D，连接BD．求证：△ABD为等腰三角形． 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E．求证：△AEF是等腰三角形． 6．已知：如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB＝HC，∠A＝60°，求证：△ABC为等边三角形． 7．如图，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点D在线段AB的垂直平分线上，∠ABC＝87°，∠ACB＝33°，∠CAE＝27°．求证：△ABD是等边三角形． 题型09 等腰（边）三角形的判定与性质综合 1．如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数． 2．如图，在△ABC中，CA＝CB，点D在BC的延长线上，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，与AC相交于点G． （1）求证：△CEG为等腰三角形； （2）求证：． 3．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 4．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 5．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 6．【问题探究】 （1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数； 【问题解决】 （2）如图2，四边形ABEC为某小区的平面示意图，AE，BC为两条人行通道（宽度不计），且△ABC区域为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，物业工作人员计划在人行通道AE上的点D、M两处分别修建一个凉亭，并沿CM铺设一条鹅卵石路，根据设计要求，△CDE区域应为等腰直角三角形，且∠DCE＝90°，CM⊥DE于点M．为了精准预算，物业工作人员需要知道∠AEB的度数和CM，AE，BE这三条线段之间的数量关系，请你帮助物业工作人员计算出∠AEB的度数和CM，AE，BE这三条线段之间的数量关系． 题型10 含30°角的直角三角形 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是高，若BC＝8，则AD的长为（　　） A．16 B．12 C．10 D．8 2．如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A＝30°，AE＝8cm，那么CE＝（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，D为BC上一点，连接AD． （1）若CD＝AB，求∠ADC的度数； （2）若点D是BC的中点，AB＝4，求AD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 教学目标 1. 熟练掌握全等三角形全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 3. 通过学习本章知识点及解决相关题型锻炼逻辑思维，空间想象能力等。 教学重难点 1. 重点 （1）轴对称及其轴对称图形； （2）线段的垂直平分线； （3）轴对称的作图及用坐标表示轴对称； （4）等腰三角形与等边三角形及含30°的直角三角形。 2. 难点 （1）线段垂直平分线的性质及其应用； （2）等腰三角形与等边三角形的判定与性质的综合应用。 考点01 轴对称及其性质 1. 轴对称与轴对称图形的概念： （1）轴对称图形的概念： 若一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是一个轴对称图形。这条直线叫做轴对称图形的对称轴。一个轴对称图形可以有多条对称轴。 （2） 轴对称的概念： 一个图形沿着某一条直线对折与另一个图形能够完全重合，则这两个图形的位置关系成轴对称。这条直线是轴对称的对称轴。轴对称只有一条对称轴。 重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。重合的点叫做对应点。 注意：轴对称图形是一个图形的形状特点，轴对称是两个图形的形状特点加上位置特点构成。 2. 轴对称与轴对称图形的性质： ①轴对称图形对称轴两旁的部分全等，成轴对称的两个图形全等。 ②对应边相等，对应角相等。对应边若不与对称轴平行，则延长线的交点一定交于对称轴上。 ③对称轴经过任何一组对应点连线的中点且与线段垂直。我们把对称轴叫做对应点连线的垂直平分线。 ④对应点的连线之间相互平行。 考点02 线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的定义： 过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。如图，若点C是AB的中点且MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线。 2. 线段垂直平分线的性质： ①线段垂直平分线垂直且平分线段。∠PCA＝∠PCB＝90°，AC＝BC。 ②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等。 PA＝PB；△PAB是等腰三角形；∠A＝∠B；∠APC＝∠BPC。 3. 线段垂直平分线的判定 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 注意：证明线段的垂直的平分线必须证明两个点到线段的端点距离相等。若只证明一个点，则只能说明在个点在垂直平分线上，不能得到垂直平分线。 4. 作已知线段的垂直平分线： 具体步骤： ①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图① ②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图② 考点03 互逆命题与互逆定理 1. 互逆命题的定义： 如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题。 2. 互逆定理的定义： 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。 注意：命题有真有假，定理一定时真命题；每一个命题都有逆命题，但是不一定所有的定理都有逆定理；原命题的真假与逆命题的真假没有关系；互逆的两个定理一定都是真命题。 考点04 画轴对称及其轴对称图形 1. 对称轴的画法： 对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线，所以作对称轴即是作对应点连线的垂直平分线。 具体步骤： （1） 找轴对称与轴对称图形的一组对应点； （2） 连接这组对应点； （3） 作这组对应点的垂直平分线，这条垂直平分线即为对称轴。 2. 轴对称与轴对称图形的作图： 具体步骤： （1） 找图形的关键点。 （2） 过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的对应点。 （3）按照原图形连接各对应点。 考点05 用坐标表示轴对称 1. 关于坐标轴对称的点的坐标特点： 点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）。 点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）。 总结：关于谁对称谁不变，另一坐标互为相反数。 2. 关于x＝m或y＝m对称的点的坐标： P（a，b）关于直线x=m对称的点的坐标为（2m-a，b）。 P（a，b）关于直线y=m对称的点的坐标为（a，2m－b）。 考点06 等腰三角形 1. 等腰三角形的概念： 有两条边相等的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的腰，所对的角叫做等腰三角形的底角，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的顶角。 2. 等腰三角形的性质：如图 ①等腰三角形的两腰相等。即AB＝AC。 由面积可得等腰三角形两腰上的底相等。 ②等腰三角形的两个底角相等。即∠B＝∠C。【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。【简称底边上三线合一】即∠ABD＝∠CAD，BD＝CD，AD⊥BC。 3. 等腰三角形的判定： (1) 定义判定：由两边相等的三角形是等腰三角形。 (2) 利用等角对等边判定： 一个三角形中如有两个角相等，则这两个角所对的两条边也相等。（等角对等边）则这个三角形是等边三角形。数学语言：如图： ∵∠B＝∠C ∴AB＝AC ∴△ABC是等腰三角形 (3) 利用三线合一性质判定： 若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线重合，则这个三角形是等腰三角形。 数学语言：如图： ∵AD⊥BC且BD＝BC（三线表达其二即可） ∴△ABC是等腰三角形 考点07 等边三角形 1. 等边三角形的概念： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。也叫正三角形。 2. 等边三角形的性质： ①等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个角都等于60°。 ②等边三角形三条边都存在三线合一。 ③等边三角形是一个轴对称图形，它有3条对称轴，对称轴的交点叫做中心。 3. 等边三角形的判定： ①定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形。 ②判定定理1：三个角相等的三角形是等边三角形。或有两个角是60°的三角形是等边三角形。 ③判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 考点08 含30°角的直角三角形 1. 含30°角的直角三角形的性质： 30°角所对的直角边等于斜边的一半。 证明如下： 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝ ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°。 ∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝30° BD＝CD＝BC ∴BD＝AB 题型01 轴对称与轴对称图形的判断 1．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A，B，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合． 故选：C． 2. 观察下图中各组图形，其中成轴对称的为　①②④　 （只写序号1，2等）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：3中的伞把不对称，故填①②④ 故填①②④ 3．体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面．在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：在四个选项中，只有选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以D是轴对称图形． 故选：D． 4．汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字．作为中国人，我们感到无比自豪和光荣．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A，B，D选项中的汉字都能不找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 题型02 轴对称与轴对称图形的性质 1．如图，是一个简易的飞机模型示意图，机翼△ABC和△DEF关于机身l对称，CF交l于点H，已知CF＝8．下列说法中，不正确的是（　　） A．AB＝DE B．AC＝10 C．CH＝4 D．∠ACB＝∠DFE 【答案】B 【解答】解：∵机翼△ABC和△DEF关于机身l对称， ∴AB＝DE，∠ACB＝∠DFE，CH＝FH，△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，故A项正确，不符合题意． ∵CF＝8， ∴． 题目中未给出关于AC长度的任何条件，无法得出AC＝10，故B项错误，符合题意， CH＝4，故C项正确，不符合题意， ∠ACB＝∠DFE，故D项正确，不符合题意． 故选：B． 2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中，错误的是（　　） A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′ C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上 【答案】D 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点， ∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确， 直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D错误， 故选：D． 3．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，连接AC，点B1在CD边上，连接AB1，△ABC 与△AB1C关于直线AC对称，若∠ABC＝115°，则∠DAB1的度数为（　　） A．25° B．35° C．30° D．45° 【答案】A 【解答】∵△ABC 与△AB1C关于直线AC对称， ∴∠AB1C＝∠ABC＝115°， ∵∠AB1C是△AB1D的外角， ∴∠DAB1＝∠AB1C﹣∠D＝25°． 故选：A． 4．如图，点D是△ABC内部一点，点E，F，G分别是点D关于AB，BC，CA的对称点，则∠E+∠F+∠G＝（　　） A．270° B．360° C．420° D．540° 【答案】B 【解答】解：连接DA，DB，DC， ∵点E，F，G分别是点D关于AB，BC，CA的对称点， ∴AD＝AE＝AG，BD＝BE＝BF，DC＝CG＝CF， 在△AEB与△ADB中，， ∴△AEB≌△ADB（三边分别相等的两个三角形全等）， ∴∠E＝∠ADB（全等三角形的对应角相等）； 同理得：△AGC≌△ADC（SSS），△BFC≌△BDC（SSS）， ∴∠G＝∠ADC，∠F＝∠BDC； ∴∠E+∠F+∠G＝∠ADB+∠ADC+∠BDC＝360°（等量代换）， 故选：B． 5．如图，点P是∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点是M、N，直线MN交OA、OB于点C、D，若MN＝8cm，且∠AOB＝30°，则△MON的周长是（　　） A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm 【答案】D 【解答】解：如图所示，连接OP， ∵点P关于OA、OB的对称点是M、N， ∴OP＝OM，OP＝ON，∠AOP＝∠AOM，∠BOP＝∠NOB， ∴OM＝ON， ∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝30°， ∴∠AOM+∠BON＝30°， ∴∠MON＝60°， ∴△MON是等边三角形， ∴OM＝ON＝MN＝8cm， ∴8×3＝24（cm），即△MON的周长是24cm， 故选：D． 6．如图所示，∠MON＝45°，点P为∠MON内一点，点P关于OM、ON的对称点分别为点P1、P2，连接OP、OP1、PP1、PP2、P1P2，P1P2分别与OM、ON交于点A、B，连接AP、BP，则∠P1PP2的度数为（　　） A．45° B．90° C．135° D．150° 【答案】C 【解答】解：∵点P关于OM、ON的对称点分别为点P1、P2， ∴△OAP≌△OAP1，△OBP≌△OBP2， ∴∠AOP＝∠AOP1，∠OPA＝∠OP1A，∠BOP＝∠BOP2，∠OPB＝∠OP2B，PA＝P1A，PB＝P2B， ∴∠AOP+∠BOP＝∠AOP1+∠BOP2，∠OPA+∠OPB＝∠OP1A+∠OP2B， ∵∠MON＝45°， ∴∠AOP+∠BOP＝∠MON＝45°， ∴∠AOP1+∠BOP2＝45°， ∴∠P1OP2＝∠AOP1+∠BOP2+∠MON＝90°， ∴△P1OP2是直角三角形， ∴∠OP1A+∠OP2B＝90°， ∴∠OPA+∠OPB＝∠OP1A+∠OP2B＝90°， 即∠APB＝90°， ∴△APB是直角三角形， ∴∠PAB+∠PBA＝90°， ∵PA＝P1A，PB＝P2B， ∴∠APP1＝∠AP1P，∠BPP2＝∠BP2P， ∵∠PAB是△APP1的外角，∠PBA是△BPP2的外角， ∴∠PAB＝∠APP1+∠AP1P＝2∠APP1，∠PBA＝∠BPP2+∠BP2P＝2∠BPP2， ∴∠PAB+∠PBA＝2∠APP1+2∠BPP2＝90°， ∴∠APP1+∠BPP2＝45°， ∴∠P1PP2＝∠APP1+∠BPP2+∠APB＝45°+90°＝135°． 故选：C． 7．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平使A与A'重合，若∠A＝35°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．70° B．75° C．105° D．35° 【答案】A 【解答】解：由折叠可知， ∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE． ∵∠1+∠A′DA＝180°，∠2+∠A′EA＝180°， ∴∠ADE，∠AED． 又∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°， ∴∠A＝180°， 则∠1+∠2＝2∠A＝70°． 故选：A． 题型03 线段的垂直平分线 1．元旦联欢会上，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【解答】解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等， ∴凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 2．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC的度数是（　　） A．15° B．20° C．10° D．25° 【答案】C 【解答】解：如图所示，连接OA， ∵∠BAC＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣80°＝100°， ∵AB、AC的垂直平分线交于点O， ∴OB＝OA，OC＝OA， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB， ∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC， ∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣（∠OBA+∠OCA）＝100°﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°， ∴∠OCB＝∠OBC＝10°， 所以∠OBC的度数为10°， 故选：C． 3．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于点E和点D，连接AD，若AE＝3cm，△ABC的周长为15cm，则△ABD的周长是（　　） A．6cm B．7.5cm C．9cm D．12cm 【答案】C 【解答】解：由题意得：DE垂直平分AC， ∴AD＝CD，AE＝CE＝3cm， ∴AC＝AE+CE＝6cm， ∵△ABC的周长为15cm， ∴AB+BC+AC＝15cm， ∴AB+BC＝9cm， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝9cm， 故选：C． 4．如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC＝（　　） A．105° B．100° C．110° D．140° 【答案】C 【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴AD＝DB，AE＝EC， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC， ∵∠B+∠BAC+∠C＝180°， ∴∠B+∠BAD+∠DAE+∠EAC+∠C＝180°， ∵∠DAE＝40°， ∴2∠BAD+2∠EAC＝180°﹣∠DAE， ∴∠BAD+∠EAC＝70°， ∴∠BAC＝110°， 故选：C． 5．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】D 【解答】解：由作图可知AD＝AC， ∵分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E． ∴MN垂直平分BD， ∴BE＝DE， ∴△ADE的周长为AD+AE+DE＝AC+AE+BE＝AC+AB， ∵AB＝9，AC＝7， ∴△ADE的周长为9+7＝16， 故选：D． 6．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE∠DAC＝40°． 7．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点P，连接PB，PC． （1）判断点P是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）20°． 【解答】解：（1）点P在BC的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接AP， ∵l1是AB边的垂直平分线， ∴PA＝PB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴PA＝PC， ∴PB＝PC， ∴点P在BC的垂直平分线上； （2）∵∠BAC＝100°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣100°＝80°， ∵l1是AB边的垂直平分线，l2是AC边的垂直平分线， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB， ∴∠BAD+∠EAC＝80°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）＝100°﹣80°＝20°， ∴∠DAE的度数为20°． 题型04 对称轴与轴对称的作图 1．如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′关于直线l成轴对称． （1）在图①中用直尺和圆规作出对称轴l；（保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想：延长线段AB与A′B′，交点P　在　 对称轴l上；（填“在”或“不在”） （3）如果只有一把无刻度的直尺，请你在图②中画出对称轴l． 【答案】（1）见解答． （2）在． （3）见解答． 【解答】解：（1）如图①，作线段BB'的垂直平分线l， 则直线l即为所求． （2）由题意知，延长线段AB与A′B′，交点P在对称轴l上； 故答案为：在． （3）如图②，连接BC'，B'C相交于点O，延长BC，B'C'相交于点P，作直线OP， 则直线OP即为所求的对称轴l． 2．在3×3的正方形网格中，△ABC和△DEF是关于某条直线成轴对称的两个格点三角形（顶点在网格线交点上的三角形）．现给出了△ABC，在如图所示的图中画出4个不同的符合条件的△DEF，并画出对称轴． 【答案】见解析． 【解答】解：△ABC和△DEF是关于直线l成轴对称的两个格点三角形，如图即为所求（答案不唯一）． ． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （3）写出点B′的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示； （2）如图所示； （3）由图可知，B′（2，1）． 4．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是（﹣4，3），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（﹣2，5）． （1）作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1． （2）将△A1B1C1向右平移4个单位长度，得到△A2B2C2，其中点A2，B2，C2分别为点A1，B1，C1的对应点，直接写出点A2的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）A2（8，3）． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）由（1）图形可知，A1（4，3）， ∵将△A1B1C1向右平移4个单位长度，得到△A2B2C2， ∴A1的对应点A2（4+4，3）， 即A2（8，3）． 5．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．建立平面直角坐标系后，点A，B，C的坐标分别为（1，1），（4，2），（2，3）． （1）画出将△ABC向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出A1点的坐标； （2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，并写出A2点的坐标； （3）计算以A，A1，A2为顶点的三角形的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；A1点的坐标为：（﹣3，2）． （2）如图，△A2B2C2即为所求；A2点的坐标为：（1，﹣1）． （3）由图可知：S4． 题型05 用坐标表示轴对称 1．点A（﹣1，3）关于y轴对称点的坐标是（　　） A．（1，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣3，1） 【答案】C 【解答】解：点P（﹣1，3）关于y轴对称的点的坐标是（1，3）， 故选：C． 2．若点A（x，3）与点B（2，y）关于x轴对称，则：x﹣2y的立方根　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：根据题意可知，x＝2，y＝﹣3， ∴x﹣2y＝2﹣2×（﹣3）＝8， ∴x﹣2y的立方根为． 故答案为：2． 3．若点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，则m+n＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣7 【答案】A 【解答】解：∵点A与点B关于y轴对称，且A（m，3），B（4，n）， ∴m＝﹣4，n＝3， ∴m+n＝﹣4+3＝﹣1． 故选：A． 4．若点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则P点的坐标为（　　） A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3） 【答案】D 【解答】解：根据题意得： 解得： ∴P点的坐标为（﹣9，﹣3）． 故选：D． 5．如图，将点P（﹣1，2）关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点P′，则点P′的坐标为（　　） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 【答案】B 【解答】解：过P（﹣1，2）作PM⊥y轴于M，过P′作P′N⊥x轴于N，PP′交第一、三象限的角平分线l于A，则PM＝1，OM＝2，∠OMP＝∠ONP′＝90°， 由题意可得：OP＝OP′，∠AOP＝∠AOP'，∠AOM＝∠AON＝45°， ∴∠AOP﹣∠AOM＝∠AOP′﹣∠AON， ∴∠MOP＝∠NOP′， ∴△MOP≌△NOP′（AAS）， ∴PM＝P′N＝1，OM＝ON＝2， ∴P′（2，﹣1）． 故选：B． 6．在平面直角坐标系中， （1）已知点A（﹣1，a+3），且点A在第二象限的角平分线上时，求a的值； （2）已知点A（2b﹣1，﹣a+b），B（2a﹣b，5+a）．当点A和点B关于y轴对称时，求（2a+b）2024的值． 【答案】（1）﹣2； （2）1． 【解答】解：（1）∵点A在第二象限的角平分线上（第二象限的角平分线上的点，横纵坐标互为相反数）， ∴﹣1+a+3＝0， 解得：a＝﹣2； （2）∵点A，B关于y轴对称， ∴， 解得， ∴（2a+b）2024＝[2×（﹣1）+3]2024＝1． 7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣3，﹣3），B（﹣1，﹣2），C（﹣2，﹣1）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1． （2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2． （3）若△ABC内部一点P（m，n）在△A1B1C1中的对称点为P1，在△A2B2C2中的对称点为P2，请直接写出点P1，P2的坐标． 【答案】（1）图见详解； （2）图见详解； （3）P1（m，﹣n），P2（﹣m，n）． 【解答】解：（1）如图△A1B1C1为所求作； （2）如图△A2B2C2为所求作； （3）由（1）（2）可知：P1（m，﹣n），P2（﹣m，n）． 题型06 互逆命题与互逆定理 1．下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．如果ab＞0，那么a，b都是正数 C．等腰三角形的两底角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】A 【解答】解：A．逆命题为：若两个三角形的对应角相等，则这个三角形全等， ∴逆命题是假命题，符合题意； B．逆命题为：若a，b都是正数，则ab＞0， ∴逆命题是真命题，不符合题意； C．逆命题为：如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， ∴逆命题是真命题，不符合题意； D．逆命题为：一个三角形中，若两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形， ∴逆命题是真命题，不符合题意； 故选：A． 2．下列命题中，其逆命题为真命题的是（　　） A．若a＞0，b＞0，则ab＞0 B．对顶角相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．若a＝b，则a2＝b2 【答案】C 【解答】解：以及命题的真假．写出每个命题的逆命题，再判断逆命题的真假进行判断即可： A．若a＞0，b＞0，则ab＞0的逆命题是若ab＞0，则a＞0，b＞0，是假命题； B．对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； C．两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题； D．若a＝b，则a2＝b2的逆命题是若a2＝b2，则a＝b，是假命题． 故选：C． 3．已知命题“如果a＝b，那么﹣a＝﹣b”，则该命题的逆命题是（　　） A．如果a＝b，那么﹣a＝﹣b B．如果﹣a＝﹣b，那么a＝b C．如果a＝b，那么﹣a≠﹣b D．如果﹣a≠﹣b，那么a＝b 【答案】B 【解答】解：根据求一个命题的逆命题可知： 命题“如果a＝b，那么﹣a＝﹣b”的逆命题是如果﹣a＝﹣b，那么a＝b， 故选：B． 4．下列命题的逆命题成立的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．若三角形的三边满足a2+b2＝c2，则该三角形是直角三角形 C．对顶角相等 D．同位角互补，两直线平行 【答案】B 【解答】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意； B、若三角形的三边满足a2+b2＝c2，则该三角形是直角三角形的逆命题是直角三角形的三边满足a2+b2＝c2，成立，符合题意； C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立，不符合题意； D、同位角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角互补，不成立，不符合题意； 故选：B． 题型07 等腰（边）三角形的性质 1．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（　　） A．60° B．69° C．76° D．88° 【答案】D 【解答】解：∵OC＝CD＝DE， ∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC， ∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC， ∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝69°， ∴∠ODC＝23°， ∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝111°， ∴∠CDE＝111°﹣∠ODC＝88°， 故选：D． 2．将一台带有保护套的平板电脑按图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示．经测量AB＝12cm，BC＝14cm．若移动支点C的位置，使△ABC是一个等腰三角形，则△ABC的周长为（　　） A．38cm B．40cm C．38cm或40cm D．36cm 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是一个等腰三角形，BC＝14cm，AB＝12cm， ∴当AC＝BC＝14cm时，周长为12+14+14＝40（cm）， 当AC＝AB＝12cm时，周长为12+12+14＝38（cm）， 综上所述，△ABC的周长为38cm或40cm． 故选：C． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC沿BC向右平移2个单位得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解答】解：∵将△ABC沿BC向右平移2个单位得到△DEF， ∴AD＝BE＝2，AB＝DE＝4， ∵BC＝3， ∴CE＝1， ∴AD+CE+AC+DE＝2+1+4+4＝11， 即阴影部分的周长为11， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 4．如图，点E是45°直角三角形斜边上的一点，F是直角边上一点，且AE＝AF，若∠BAE＝30°，则∠FED的度数是（　　） A．15° B．20° C．22.5° D．10° 【答案】A 【解答】解：∵△ABD是含45°直角三角形， ∴∠B＝∠D＝45°，∠BAD＝90°， ∵∠BAE＝30°， ∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣30°＝60°， ∵AE＝AF， ∴△EAF是等边三角形， ∴∠AFE＝∠AEF＝∠EAF＝60°， ∵∠AFE是△DEF的外角， ∴∠FED＝∠AFE﹣∠D＝60°﹣45°＝15°， 即∠FED的度数为15°； 故选：A． 5．如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为（　　） A．4 B． C．15 D．8 【答案】B 【解答】解：连接AO，如图， ∵AB＝AC＝5， ∴S△ABC＝S△ABO+S△AOCAB•OEAC•OF＝12， ∵AB＝AC， ∴AB（OE+OF）＝12， ∴OE+OF． 故选：B． 6．如图，等边△ABC中，AB＝4，点D是高AH上一点，过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，连接CD，当CD⊥EF时，FH＝（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解答】解：∵等边△ABC中，AB＝4， ∴∠B＝∠ACB＝60°，AC＝BC＝4， ∵AH⊥BC， ∴， ∵EF∥AB， ∴∠EFC＝∠B＝60°， ∴△EFC是等边三角形， ∵CD⊥EF， ∴∠CDF＝90°，∠DCF＝30°， ∴， 设FH＝x，则CF＝2+x， ∴， ∵∠EFC＝60°，∠AHB＝90°， ∴∠FDH＝90°﹣∠EFC＝30°， ∴， ∴， ∴，即． 故选：B． 7．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC， ∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm， ∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB， ∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E， ∴CD＝CE＝2cm， 故选：B． 8．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为（　　） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】C 【解答】解：由条件可知∠B1A1A2＝60°， ∵∠MON＝30°， ∴∠OB1A1＝30°， ∴A1B1＝OA1＝2， ∴A2B1＝2， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠B2A2A3＝∠B3A3A4＝∠B2A3A2＝60°＝∠B1A1A2＝∠B1A2A1， ∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝8， A4B4＝8B1A2＝16， A5B5＝16B1A2＝32， 以此类推：△A7B7A8的边长为27＝128， 故选：C． 题型08 等腰（边）三角形的判定 1．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A＝40°，∠B＝70° B．AB＝AC＝3，BC＝7 C．∠A＝20°，∠B＝70° D．AB＝1，BC＝4，周长为6 【答案】A 【解答】解：A、由条件可知∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣70°＝70°， ∴∠C＝∠B， ∴△ABC为等腰三角形； B、根据三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形； C、∵∠A＝20°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣20°﹣70°＝90°， ∴△ABC为直角三角形； D、∵AB＝1，BC＝4，周长为6， ∴AC＝6﹣AB﹣BC＝6﹣1﹣4＝1， ∵AB+AC＝1+1＝2＜BC ∴不能构成三角形； 故选：A． 2．已知a，b，c是△ABC的三边长，且|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，则△ABC的形状是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解答】解：∵|a﹣b|+（b﹣c）2＝0， 又∵|a﹣b|≥0，（b﹣c）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形， 故选：A． 3．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C 【答案】D 【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意． B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意． C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意． D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC交∠ACB的平分线于点D，连接BD．求证：△ABD为等腰三角形． 【答案】见解答． 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCB， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCB， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴AD＝AC， ∵AB＝AC， ∴AD＝AB， ∴△ABD是等腰三角形． 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E．求证：△AEF是等腰三角形． 【答案】证明见解答． 【解答】证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°， ∴∠BAD＝∠C， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBE， ∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AF＝AE， 即△AEF为等腰三角形． 6．已知：如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB＝HC，∠A＝60°，求证：△ABC为等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵HB＝HC， ∴∠HBC＝∠HCB， ∵CF⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BFC＝∠BEC＝90°， ∴∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 7．如图，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点D在线段AB的垂直平分线上，∠ABC＝87°，∠ACB＝33°，∠CAE＝27°．求证：△ABD是等边三角形． 【答案】证明见解答过程． 【解答】解：∵∠ACB＝33°，∠CAE＝27°，∠AEB是△AEC的外角， ∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝60°， 在△ABE中，∠ABC＝87°， ∴∠BAE＝180°﹣（∠ABC+∠AEB）＝180°﹣（87°+60°）＝33°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝33°+27°＝60°， ∵点D在线段AB的垂直平分线上， ∴DA＝DB， ∴△ABD是等边三角形． 题型09 等腰（边）三角形的判定与性质综合 1．如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AF平分∠DAC， ∴∠DAF＝∠CAF， ∵AF∥BC， ∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB， ∴∠B＝∠ACB， ∴△ABC是等腰三角形； （2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°， ∴∠ACB＝∠B＝40°， ∴∠BAC＝100°， ∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°， ∵CG平分∠ACE， ∴ACE＝70°， ∵AF∥BC， ∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°． 2．如图，在△ABC中，CA＝CB，点D在BC的延长线上，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，与AC相交于点G． （1）求证：△CEG为等腰三角形； （2）求证：． 【答案】见解答 【解答】（1）证明：在△ABC中，CA＝CB， ∴∠B＝∠CAB， ∵EF⊥AB， ∴△BEF和△AGF都是直角三角形， 在Et△BEF中，∠B+∠BEF＝90°， 在Rt△AGF中，∠CAB+∠AGF＝90°， ∴∠BEF＝∠AGF， ∵∠CGE＝∠AGF， ∴∠BEF＝∠CGE， 即∠CEG＝∠CGE， ∴△CEG为等腰三角形； （2）证明：在Rt△AEF中，∠AEF＝90°﹣∠EAF， ∴∠AEF＝90°﹣（∠CAB+∠EAC）， 在△ABD中，∠D＝180°﹣（∠B+∠DAB）， ∵AE平分∠CAD交CD于点E， ∴∠CAD＝2∠EAC， 又∵∠B＝∠CAB， ∴∠B+∠DAB＝∠CAB+∠CAB+∠CAD＝2（∠CAB+∠EAC）， ∴∠D＝180°﹣2（∠CAB+∠EAC）， ∴． 3．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【答案】（1）说明过程见解答； （2）①说明过程见解答； ②如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 4．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 5．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， x×1+12＝2x， 解得：x＝12； （2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN，如图①， AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t， ∵三角形AMN是等边三角形， ∴t＝12﹣2t， 解得t＝4， ∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形AMN． （3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形， 由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图②，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN＝AM， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMC＝∠ANB， ∵AB＝BC＝AC， ∴△ACB是等边三角形， ∴∠C＝∠B， 在△ACM和△ABN中， ∵， ∴△ACM≌△ABN（AAS）， ∴CM＝BN， 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB， y﹣12＝36﹣2y， 解得：y＝16．故假设成立． ∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒． 6．【问题探究】 （1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数； 【问题解决】 （2）如图2，四边形ABEC为某小区的平面示意图，AE，BC为两条人行通道（宽度不计），且△ABC区域为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，物业工作人员计划在人行通道AE上的点D、M两处分别修建一个凉亭，并沿CM铺设一条鹅卵石路，根据设计要求，△CDE区域应为等腰直角三角形，且∠DCE＝90°，CM⊥DE于点M．为了精准预算，物业工作人员需要知道∠AEB的度数和CM，AE，BE这三条线段之间的数量关系，请你帮助物业工作人员计算出∠AEB的度数和CM，AE，BE这三条线段之间的数量关系． 【答案】（1）60°；（2）90°，AE＝BE+2CM． 【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝60°﹣∠DCB＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵△DCE为等边三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝60°， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC＝120°， ∴∠BEC＝120°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°， （2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中，CA＝CB，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC， ∵△DCE为等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC＝135°， ∴∠BEC＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°， ∵CD＝CE，CM⊥DE， ∴DM＝ME， ∵∠DCE＝90°，∠CDE＝45°， ∴∠DCM＝∠CDE＝45°， ∴DM＝CM， ∴AE＝AD+DE＝BE+2CM． 综上，∠AEB的度数为90°，CM、AE、BE这三条线段之间的数量关系是AE＝BE+2CM． 题型10 含30°角的直角三角形 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是高，若BC＝8，则AD的长为（　　） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8， ∴AB＝2BC＝16，∠B＝60°， 又∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴AD＝AB﹣BD＝12， 故选：B． 2．如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【解答】解：设BD＝x，则CD＝10﹣x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BDE＝30°，∠CDF＝30°， ∴BEBD 同理可得，CF， ∴BE+CF5， 故选：A． 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A＝30°，AE＝8cm，那么CE＝（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 【答案】A 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴EC⊥BC， ∵BE平分∠ABC，ED⊥AB， ∴DE＝CE， ∵∠A＝30°， ∴DEAE＝4cm， ∴CE＝4cm． 故选：A． 4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，D为BC上一点，连接AD． （1）若CD＝AB，求∠ADC的度数； （2）若点D是BC的中点，AB＝4，求AD的长． 【答案】（1）75°； （2）2． 【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝30°， ∴AC＝AB， ∵CD＝AB， ∴CD＝AC， ∴∠ADC＝∠DAC75°； （2）∵点D是BC的中点，AC＝AB， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B＝30°， ∴， 即AD的长为2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $