期末总复习讲义06一元二次方程的应用 【知识点梳理+题型概括+易错题集锦】 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学单元复习讲义通过表格系统梳理一元二次方程应用的知识体系，将一元二次方程应用题分为几何图形、营销、增长率等题型，可化为一元二次方程的分式方程应用题涵盖行程、工程等类型，清晰呈现知识脉络与内在联系，体现重难点分布。 讲义亮点在于例题变式设计与易错题集锦，如几何图形类应用题通过门和隔场地的变式培养空间观念与创新意识，营销问题结合利润公式强化运算能力和模型意识。易错题覆盖定义、解法等易错点，帮助不同层次学生提升，助力教师精准教学。

第6课 一元二次方程的应用 期末总复习 【知识点梳理+题型概括+易错题集锦】【沪教版2024】 知识梳理 知识点 相关题型 一元二次方程 的应用题 列一元二次方程解几何图形类应用题 列一元二次方程解营销问题类应用题 列一元二次方程解增长率问题类应用题 列一元二次方程解其他问题（握手问题、传播问题、数字问题） 可化为一元二次方程 的分式方程应用题 可化为一元二次方程的分式方程的解法 列分式方程解决行程应用题 列分式方程解决工程应用题 列分式方程解决购物问题的应用题 知识点01 一元二次方程的应用题 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意．（2）设未知数．（3）列出方程．（4）解所列方程，求所列方程的解． （5）检验．（一定要检验所求的根是否符合题意）（6）答． 2.核心要点——找等量关系式 3.注意事项——解题思路、解题步骤皆同一元一次方程应用，区别在于要解方程之后要检验所求的解是否符合题意. 4.常见的数量关系 ①几何图形类：面积公式；；；…… 体积公式；；…… ②利率问题：存款到期后的利息=本金×利率×存期；本利和=本金+利息. ③利润问题：总利润=单件利润×销售量； 单件利润=售价-进货价；销售额=售价×销售量. ④增长率问题：设增长(降低)的基数为a,每次的平均增长率(降低率)为x,增长(降低)n次后的数量为b,则增长率公式为a(1+x=b,降低率公式为a(1-x=b. ⑤握手问题（单循环比赛问题）：n个人（球队）两两握手（比赛），总次数（场次数）为. ⑥传播问题：设原有基数为a,每次传播倍数为x,进过n轮传播后的总数量为为a(1+x. ⑦数字问题：设个位数为x,十位数为y，则这个两位数为10y+x. 例题讲解 【题型1：几何图形类应用题】 【例1】（课本原题）某建筑工程队利用一段长80m的旧墙，用铁栅栏靠墙围一个所占地面为长方形的建筑垃圾临时堆放点.如果所使用的铁栅栏总长为120 m,且只围三边，那么是否可以围出符合下列要求的长方形堆放点?如果可以，分别求出长方形的两条邻边的长. (1)长方形的面积是2000 m²;(2)长方形的面积是1800 m²; 思考：①若开一个宽2m门方程怎么列方程？ ②若将堆放点隔成两个场地，并且开两个门呢？ 开2个门，相当于栅栏总长度增加4m,2个场地就减3条宽边，其他不变. 开一个门，相当于栅栏总长度增加2m,其他不变. 【变式1】（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在长为米、宽为米的长方形绿地内，修筑三条相同宽且分别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成块，这块绿地的总面积为平方米．如果设道路宽为米，由题意所列出关于的方程是 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）有一张边长为10cm的正方形硬纸板，在硬纸板的四个角上剪去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子．如果这个长方体盒子的底面面积与一个侧面的面积恰好相等，求剪去的小正方形的边长． 【题型2：营销问题】 【例2】（课本原题）小华将2000元人民币按一年定期存入某银行，到期后取出1000元购买图书和文具，剩下的1000元及利息又全部按一年定期存入该银行.如果这两年存款的年利率不变，那么到期后本金和利息共1045.45元.求这种存款方式的年利率. 【变式1】（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）中秋节是我国的传统节日，中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比蛋黄肉松月饼的进价便宜10元，某商家用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同． (1)求蛋黄肉松月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)在销售中，该商家发现蛋黄肉松月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．若蛋黄肉松月饼每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒蛋黄肉松月饼．中秋节当天该商家销售蛋黄肉松月饼共获得1600元的利润，求当天蛋黄肉松月饼的售价． 【题型3：增长率问题】 【例3】（23-24八年级上·全国·单元测试）某企业为节约用水，自建污水净化站，月份净化污水吨，月份增加到吨，设这两个月净化污水量的平均每月增长的百分率为，根据题意可列方程为 ． 【变式1】（24-25八年级上·河南·期末）某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（    ） A． B． C． D． 【题型4：其他问题】 【例1】（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有 个球队参赛． 【例3】（25-26八年级上·上海·期中）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物：而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为 【例4】（24-25八年级下·上海崇明·期中）联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程 ． 知识点02 可化为一元二次方程的分式方程 1.可化为一元二次方程的分式方程的解法 可化为一元二次方程的分式方程的解法类似于可化为一元一次方程的分式方程的解法， 解题思路：通过去分母将分式方程化为整式方程； 注意事项：①去分母之前先要将各分母因式分解找出最简公分母，目的是便于计算; ②求得的整式方程的根不一定是分式方程的根，一定要进行验根。 2. 分式方程的常见解法： ①基本解法——去分母（去掉分母后字母的取值范围扩大了，有可能产生增根） ②特殊解法——换元法（课本虽没有单独讲解换元法，但在习题中有所出现） 3. 分式方程根的个数： 分式方程根是个数首先取决于整式方程根的个数，其次分式方程是否有增根也对根的个数有所影响. 4.分式方程的应用题的常见类型有： ①行程应用题：时间= ②工程问题：时间= ③购物问题：购物数量= 3.易错点剖析：分式方程的应用题中数量关系错综复杂，可以通过列表法将各种关系梳理清楚. 例题讲解 【题型1：可化为一元二次方程的分式方程的解法】 【例1】（25-26八年级上·上海静安·月考）（1）解方程：； （2）解方程：． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）解方程：． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）解关于的方程：． 【变式3】（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程只有一个解，求的值及这个解． 【题型2：行程问题】 【例2】（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米，如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，且这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由 【变式1】（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）上海到南京相距300千米，小王上午驾车从上海驶往南京，下午从南京赶回上海，已知回来时的平均速度比去时每小时快10千米，结果回到上海比去时少25分钟，求小王上午驾车的平均速度是多少？ 【变式2】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）某市交通部门对一条长的主干道进行综合整治，整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，车辆通过该路段的平均时间比整治前少．那么整治后车辆通过该路段的平均时间是 ． 【题型3：工程问题】 【例3】（24-25八年级下·上海宝山·期中）某机械加工厂计划在一定时间内组装240个机器人，后因市场供不应求，不但需要增产，而且要提前4天完成任务．经测算，每天需要多组装8个．问原计划每天组装多少个机器人？ 【变式1】（24-25八年级下·上海长宁·期末）某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？ 【变式2】（24-25八年级下·上海奉贤·期末）某学校为了响应“绿色校园”倡议，计划在若干个月内种植一定数量的树木，使校园绿化总面积达到平方米．实际在种植时，第一个月比原计划每个月多种植平方米，并且按照这个进度继续推进，结果可以提前个月完成目标．求实际执行中每月种植的绿化面积是多少平方米？ 【题型4：购物问题】 【例4】（24-25八年级下·上海静安·期末）小王送外卖比送快递每单多赚2元钱．某段时间内，他送快递赚了元，送外卖赚了元．已知快递比外卖多送了单，求送快递每单赚多少钱？ 【变式1】（24-25八年级下·上海松江·期末）学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 【变式2】（24-25八年级下·上海·期中）随着电影《哪吒魔童闹海》的热映，周边玩偶热销．小洋经营的线上周边专卖店销量激增，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶多元，花元购进款哪吒玩偶的数量比花元购进款哪吒玩偶的数量少个． (1)问：、两款玩偶的进货单价分别是多少元？ (2)小洋准备要投入元购进两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，于是他决定将款玩偶的销售单价定为元，将款玩偶的销售单价定为元，如果所有玩偶都按定价全部卖出，请你根据计算说明，当款数量购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？ 易错题集锦 一、单选题 1．下面关于x的方程中①；②；③；④；⑤；⑥是一元二次方程的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 3．为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依次类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．一个两位数，个位上的数比十位上的数小4，且个位数与十位数的平方和比这个两位数小4，设个位数是x，则所列方程为(　　) A．x2＋(x＋4)2＝10(x－4)＋x－4 B．x2＋(x＋4)2＝10x＋x＋4 C．x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4 D．x2＋(x－4)2＝10x＋(x－4)－4 5．下列方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 6．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得 A． B． C． D． 二、填空题 7．已知关于x的方程mx|m－2|＋(2m＋1)＝3是一元二次方程，则m等于 ． 8．解方程：的根是 ． 9．把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2．则经过 秒时球的高度为15米． 10．已知、两地相距40千米，、两地相距50千米，甲乙两车分别从、两地同时出发到地，若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达地，设乙车的速度为千米/小时，依据题意列方程正确的是 ． 11．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，则这种台灯的售价应定为 元． 12．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种4000棵树，后来由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前10天完成任务，那么原计划每天种 棵树． 13．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中，在绿灯亮时，小明共用通过，其中通过的速度是通过 速度的1.2 倍，则小明通过的速度为 ． 14．为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为 ． 15．在实数范围内因式分解： ． 16．若a，b分别是方程的两根，则 ． 17．三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是 ． 18．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数根，则a的取值范围是 ． 三、解答题 19．解方程： (1)； (2)． 20．阅读例题，解答问题： 例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0， 解：原方程化为|x|2﹣|x|﹣2＝0． 令y＝|x|， ∴y2﹣y﹣2＝0 解得：y1＝2，y2＝-1 当|x|＝2，x＝±2； 当|x|＝-1时（不合题意，舍去） ∴原方程的解是x1＝2，x1＝-2， 仿照上例解方程（x+1）2﹣5|x+1|﹣6＝0． 21．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根． (2)当为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解． 22．已知最简二次根式与是同类二次根式，求关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0的解． 23．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 24．学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 25．A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米． (1)如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值； (2)如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定?请说明理由． 26．如图，长方形中，，动点分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B移动，点Q以的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问： (1)当时，四边形的面积是多少？ (2)当t为何值时，点P和点Q的距离是？ (3)当__________s时，以点为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6课 一元二次方程的应用 期末总复习 【知识点梳理+题型概括+易错题集锦】【沪教版2024】 知识梳理 知识点 相关题型 一元二次方程 的应用题 列一元二次方程解几何图形类应用题 列一元二次方程解营销问题类应用题 列一元二次方程解增长率问题类应用题 列一元二次方程解其他问题（握手问题、传播问题、数字问题） 可化为一元二次方程 的分式方程应用题 可化为一元二次方程的分式方程的解法 列分式方程解决行程应用题 列分式方程解决工程应用题 列分式方程解决购物问题的应用题 知识点01 一元二次方程的应用题 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意．（2）设未知数．（3）列出方程．（4）解所列方程，求所列方程的解． （5）检验．（一定要检验所求的根是否符合题意）（6）答． 2.核心要点——找等量关系式 3.注意事项——解题思路、解题步骤皆同一元一次方程应用，区别在于要解方程之后要检验所求的解是否符合题意. 4.常见的数量关系 ①几何图形类：面积公式；；；…… 体积公式；；…… ②利率问题：存款到期后的利息=本金×利率×存期；本利和=本金+利息. ③利润问题：总利润=单件利润×销售量； 单件利润=售价-进货价；销售额=售价×销售量. ④增长率问题：设增长(降低)的基数为a,每次的平均增长率(降低率)为x,增长(降低)n次后的数量为b,则增长率公式为a(1+x=b,降低率公式为a(1-x=b. ⑤握手问题（单循环比赛问题）：n个人（球队）两两握手（比赛），总次数（场次数）为. ⑥传播问题：设原有基数为a,每次传播倍数为x,进过n轮传播后的总数量为为a(1+x. ⑦数字问题：设个位数为x,十位数为y，则这个两位数为10y+x. 例题讲解 【题型1：几何图形类应用题】 【例1】（课本原题）某建筑工程队利用一段长80m的旧墙，用铁栅栏靠墙围一个所占地面为长方形的建筑垃圾临时堆放点.如果所使用的铁栅栏总长为120 m,且只围三边，那么是否可以围出符合下列要求的长方形堆放点?如果可以，分别求出长方形的两条邻边的长. (1)长方形的面积是2000 m²;(2)长方形的面积是1800 m²; 【分析】只围三边的长方形，其中有两边垂直于墙，一边平行于墙.不妨设垂直于墙的一边长为x m,则平行于墙的一边长为(120-2x)m. 【详解】解 设长方形垂直于墙的一边长为x m,则平行于墙的一边长为(120-2x)m. (1)根据题意，得方程(120-2x)x=2000. 整理，得x²-60x+1000=0. 这是一个一元二次方程，因为△=-400<0,所以此方程没有实数根. 答：仅用120 m长的铁栅栏围三边，围不出面积为2000 m²的长方形堆放点. (2)根据题意，得方程(120-2x)x=1152. 整理，得x²-60x+576=0. 解得 当x=12时，120-2x=96; 当x=48时，120-2x=24; 检验，旧墙只有80m，而96>80，故不符合题意，所以x=12舍去，x=48符合实际意义. 答：仅用120 m长的铁栅栏围三边，可以围出面积为1152 m²的长方形堆放点. 【易错点点拨】本题有个隐藏的条件，堆放点平行于墙的一边的长度（120-2x）不能大于80m. 【思考】 1.如图所示，若开一个宽2m门方程怎么列方程？ 开2个门，相当于栅栏总长度增加4m,2个场地就减3条宽边，其他不变. 开一个门，相当于栅栏总长度增加2m,其他不变. 2.如图所示，若隔成两间场地，共开两个门方程怎么列方程？ 【变式1】（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在长为米、宽为米的长方形绿地内，修筑三条相同宽且分别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成块，这块绿地的总面积为平方米．如果设道路宽为米，由题意所列出关于的方程是 ． 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路宽为米，则绿地的长为米，宽为米，解题的关键是正确理解题意，列出方程． 【详解】设道路宽为米，则绿地的长为米，宽为米，由题意得： ， 故答案为：． 【易错点点拨】本题不能分别求6块空地面积，要通过图形的平移，把6块绿地拼成一个大的长方形. 【变式2】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）有一张边长为10cm的正方形硬纸板，在硬纸板的四个角上剪去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子．如果这个长方体盒子的底面面积与一个侧面的面积恰好相等，求剪去的小正方形的边长． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设剪去的小正方形的边长为，根据“长方体盒子的底面面积与一个侧面的面积恰好相等”，列方程求解即可． 【详解】解：设剪去的小正方形的边长为， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为． 【题型2：营销问题】 【例2】（课本原题）小华将2000元人民币按一年定期存入某银行，到期后取出1000元购买图书和文具，剩下的1000元及利息又全部按一年定期存入该银行.如果这两年存款的年利率不变，那么到期后本金和利息共1045.45元.求这种存款方式的年利率. 【分析】存款到期后的利息=本金×利率×存期，本利和=本金+利息. 由此可得：如果将这种存款方式的年利率用x表示，那么第一年到期后的本利和为2000×(1+x),第二年的本金为[2000(1+x)-1000] 这样，可列出方程求解. 【详解】解 设这种存款方式的年利率为x.根据题意，得方程 [2000(1+x)-1000](1+x)=1045.45 整理得，2000(1+x-1000(1+x)-1045.45=0① 记y=1+x，得2000-1000y-1045.45=0② 解之得，y=1.015或y=-0.515 于是，x=1.015或x=-1.515（负值不符合题意舍去） 答：这种存款的方式的年利率为1.5%. 【易错点点拨】本题是用换元法将①变成了②式，②的计算也是难点，可以用求根公式计算. 【变式1】（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意可求得销售数量件； （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售衬衫获得的总利润＝每件衬衫的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可求得． 【详解】（1）解：（件）， 故答案为：45； （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵降价不能超过15元， ∴舍去， 故． 答：每件衬衫应降价10元． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）中秋节是我国的传统节日，中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比蛋黄肉松月饼的进价便宜10元，某商家用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同． (1)求蛋黄肉松月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)在销售中，该商家发现蛋黄肉松月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．若蛋黄肉松月饼每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒蛋黄肉松月饼．中秋节当天该商家销售蛋黄肉松月饼共获得1600元的利润，求当天蛋黄肉松月饼的售价． 【答案】(1)每盒蛋黄肉松月饼的进价为40元，每盒豆沙月饼的进价为30元 (2)当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒60元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用及一元二次方程的应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设每盒蛋黄肉松月饼的进价为x元，则每盒豆沙月饼的进价为元，根据用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同列方程解决即可； （2）设当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒y元，根据销量乘以每盒的利润等于1600元列方程并解方程即可解决． 【详解】（1）解：设每盒蛋黄肉松月饼的进价为x元，则每盒豆沙月饼的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 元， 答：每盒蛋黄肉松月饼的进价为40元，每盒豆沙月饼的进价为30元； （2）解：设当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒y元，由题意得： ， 解得：， 当时，销量为盒盒，符合题意； 当时，销量为盒盒，不符合题意，舍去； 答：当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒60元． 【题型3：增长率问题】 【例3】（23-24八年级上·全国·单元测试）某企业为节约用水，自建污水净化站，月份净化污水吨，月份增加到吨，设这两个月净化污水量的平均每月增长的百分率为，根据题意可列方程为 ． 【分析】本题考查求了一元二次方程的应用，准确找到等量关系是解题的关键．等量关系为：9月份净化污水吨数月份净化污水吨数（平均每月增长的百分率），据此列出方程，即可求解． 【详解】解：月份净化污水3000吨，平均每月增长的百分率为， 月份净化污水， 月份净化污水， 可列方程为：， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·河南·期末）某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设平均每月增长率为x，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，由第一季度的营业额共1000万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设平均每月增长率为x，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 根据题意得：． 故选：D． 【点睛】注意本题与例题的区别，第一季度的营业额是三个月营业额的和。 【题型4：其他问题】 【例1】（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据传染模型，每轮传染中平均每人传染人，经过两轮传染后总患病人数为初始人数的倍，列方程即可． 【详解】解：有1人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第1轮传染中有x个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 第2轮：这人每人再传染x人，新增个患者， ∴两轮后总患病数为． ∵两轮后有121人患病， ∴列方程得：， 整理得：， 故答案为：． 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有 个球队参赛． 【答案】6 【分析】设x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打场球，第二个球队和其他球队打场，以此类推可以知道共打场球，然后根据共15场比赛即可列出方程求解即可． 【详解】解：设x个球队参加比赛， 由题意可得：， 整理得：， 解得：或（不合题意舍去）． 所以有6个球队参加比赛． 故答案为6． 【例3】（25-26八年级上·上海·期中）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物：而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为 【分析】本题考查了一元二次方程解实际问题，根据题意，十位数字为，周瑜逝世的年龄为，且个位数字的平方刚好是周瑜逝世的年龄，即，由此列式即可求解． 【详解】解：个位数字为，则十位数字为， ∴， 故答案为： ． 【例4】（24-25八年级下·上海崇明·期中）联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程 ． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设参加联欢会的同学有x人，则每人送出件礼物，根据共送礼物870件可列出方程． 【详解】解：设参加联欢会的同学有x人，则每人送出件礼物， 由题意得，． 故答案为：． 知识点02 可化为一元二次方程的分式方程 1.可化为一元二次方程的分式方程的解法 可化为一元二次方程的分式方程的解法类似于可化为一元一次方程的分式方程的解法， 解题思路：通过去分母将分式方程化为整式方程； 注意事项：①去分母之前先要将各分母因式分解找出最简公分母，目的是便于计算; ②求得的整式方程的根不一定是分式方程的根，一定要进行验根。 2. 分式方程的常见解法： ①基本解法——去分母（去掉分母后字母的取值范围扩大了，有可能产生增根） ②特殊解法——换元法（课本虽没有单独讲解换元法，但在习题中有所出现） 3. 分式方程根的个数： 分式方程根是个数首先取决于整式方程根的个数，其次分式方程是否有增根也对根的个数有所影响. 4.分式方程的应用题的常见类型有： ①行程应用题：时间= ②工程问题：时间= ③购物问题：购物数量= 3.易错点剖析：分式方程的应用题中数量关系错综复杂，可以通过列表法将各种关系梳理清楚. 例题讲解 【题型1：可化为一元二次方程的分式方程的解法】 【例1】（25-26八年级上·上海静安·月考）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．注意：解分式方程要检验． （1）方程两边同时乘，化简转化为一元二次方程，并求出x的值，再检验即可． （2）现将方程进行整理化简，再将方程两边同时乘，化简并转化为一元一次方程，求出y的值，再检验即可． 【详解】解：（1）， 方程两边同时乘，得， 解得， 检验：当时，分母，舍去，时， ∴原方程的解为； （2）解：， 整理得 方程两边同时乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘得：， 去括号得：， 整理得：， ， 解得，． 检验：当时，，是分式方程的增根； 当时，，是分式方程的解． ∴方程的解为． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）解关于的方程：． 【分析】本题主要考查解分式方程，灵活掌握解方程的方法是做题的关键．根据方程的构成发现规律，再分情况计算即可． 【详解】解：设，， 则原方程可化为，， 或． 当时，即， 两边乘以得，， 解得，， 经检验，为原方程的解； 当时，即， 两边乘以得，， 整理得，， 解得，或， 经检验，， 均为原方程的解， 综上，方程的解为， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程只有一个解，求的值及这个解． 【答案】时，解为；时，解为；时，解为 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程；首先将分式方程乘以公分母消去分母，得到一元二次方程，但需考虑分母不为零的条件且．方程只有一个解的情况包括：一元二次方程有两个相等实数根，且根满足分母不为零；或一元二次方程有两个根，但其中一个根使分母为零增根，另一个根有效．通过判别式和代入检验求得所有可能的值及对应解． 【详解】解：去分母得：，即， 由分式方程只有一个解， 情况一：一元二次方程有两个相等实数根，则， 解得：，此时方程为，即， 解得：，经检验是分式方程的解， 情况二：一元二次方程有两个根，但其中一个根为增根使分母为零 整式方程有一根为或， 把代入方程得：，此时方程为 解为舍去； 把代入方程得：，此时方程为 解为舍去， 综上所述，时，解为；时，解为；时，解为 【题型2：行程问题】 【例2】（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米，如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，且这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由 【分析】设列车提速前速度是每小时x千米，根据“提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时”列分式方程，具体数量关系可通过列表法来分析： 路程km 速度km/h 通行时间h 提速前 1800 x 提速后 1800 x+20 【详解】解：列车提速后速度符合规定．理由： 设列车提速前速度是每小时x千米， 则， 解得，或 (舍去）， ∴提速后的速度为， 经检验，是原方程的解， 又因速度不能为负， 故舍去， ∴提速后的速度为， 故符合规定符合规定． 【变式1】（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）上海到南京相距300千米，小王上午驾车从上海驶往南京，下午从南京赶回上海，已知回来时的平均速度比去时每小时快10千米，结果回到上海比去时少25分钟，求小王上午驾车的平均速度是多少？ 【答案】80千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，先设小王上午驾车的平均速度是千米/小时，根据回来时的平均速度比去时每小时快10千米，结果回到上海比去时少25分钟，且上海到南京相距300千米，进行列分式方程，解得，再验根，即可作答． 【详解】解：设小王上午驾车的平均速度是千米/小时 ∵回来时的平均速度比去时每小时快10千米，结果回到上海比去时少25分钟，且上海到南京相距300千米， ∴ 整理得 ∴ ∴解得（舍去） 经检验：是原分式方程的解， ∴小王上午驾车的平均速度是80千米/小时 【变式2】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）某市交通部门对一条长的主干道进行综合整治，整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，车辆通过该路段的平均时间比整治前少．那么整治后车辆通过该路段的平均时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用． 设整治后车辆通过该路段的平均时间是，则整治前车辆通过该路段的平均时间是，根据整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，列出分式方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设整治后车辆通过该路段的平均时间是，则整治前车辆通过该路段的平均时间是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，但不符合题意，舍去， 答：整治后车辆通过该路段的平均时间是． 故答案为：． 【题型3：工程问题】 【例3】（24-25八年级下·上海宝山·期中）某机械加工厂计划在一定时间内组装240个机器人，后因市场供不应求，不但需要增产，而且要提前4天完成任务．经测算，每天需要多组装8个．问原计划每天组装多少个机器人？ 【分析】本题考查了分式的实际应用，解题关键是找准等量关系．设原计划每天组装个机器人，则实际每天需组装个机器人，根据等量关系列出分式方程求解，并验根．具体数量关系可通过列表法来分析： 工作量 工作效率 工作时间（天） 原计划 240 x 实际 240（1+50%） x+8 【详解】解：设原计划每天组装个机器人，则实际每天需组装个机器人， 根据题意得： ， 解得：，， 经检验，，均为所列方程的解，符合题意，不符合题意，舍去． 答：原计划每天组装10个机器人． 【变式1】（24-25八年级下·上海长宁·期末）某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？ 【答案】10人 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划医疗队每分钟多检测x人，根据若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务建立方程可求出，设现在每分钟还要多检测y人，根据要再提早小时完成任务建立方程求解即可． 【详解】解：设原计划医疗队每分钟检测x人， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 设现在每分钟还要多检测y人， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：现在每分钟还要多检测10人才能去增援另一小区． 【变式2】（24-25八年级下·上海奉贤·期末）某学校为了响应“绿色校园”倡议，计划在若干个月内种植一定数量的树木，使校园绿化总面积达到平方米．实际在种植时，第一个月比原计划每个月多种植平方米，并且按照这个进度继续推进，结果可以提前个月完成目标．求实际执行中每月种植的绿化面积是多少平方米？ 【答案】实际执行中每月种植的绿化面积是30平方米 【分析】此题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意设出适当的未知数，找出等量关系，列方程求解，注意检验． 设实际执行中每月种植的绿化面积是平方米，则原计划每月种植的绿化面积是平方米，根据第一个月比原计划每个月多种植平方米，并且按照这个进度继续推进，结果可以提前个月完成目标，列出分式方程，解方程即可解答． 【详解】解：设实际执行中每月种植的绿化面积是平方米，则原计划每月种植的绿化面积是平方米，根据题意得： 解得：，（不符合题意，舍去） 经检验是原方程的解，且符合题意； 答：实际执行中每月种植的绿化面积是30平方米． 【题型4：购物问题】 【例4】（24-25八年级下·上海静安·期末）小王送外卖比送快递每单多赚2元钱．某段时间内，他送快递赚了元，送外卖赚了元．已知快递比外卖多送了单，求送快递每单赚多少钱？ 【答案】送快递每单赚3元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的解法，解题关键是准确列出分式方程． 先设送快递每单赚x元，再根据题意列出分式方程求解，注意要验根． 【详解】解：设送快递每单赚x元，由题意得： ， ，解得． 经检验，都是原方程的根，但不合题意，舍去． 答：送快递每单赚3元． 【变式1】（24-25八年级下·上海松江·期末）学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 【答案】(1)奖品的单价8元，则奖品的单价是17元 (2)购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键： （1）设奖品的单价x元，则奖品的单价是元，根据“用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个”列方程求解即可； （2）设购买奖品a个，则购买奖品个，根据“种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍”列不等式求出a的取值范围，设总费用为w元，则可求出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设奖品的单价x元，则奖品的单价是元， 根据题意，得， 去分母，并化简得， 解得，， 经检验，，都是原方程的解，但不符合实际意义， ∴，， 答：奖品的单价8元，则奖品的单价是17元； （2）解：设购买奖品a个，则购买奖品个， ∵种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍， ∴， 解得， 设总费用为w元， 根据题意，得， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w有最小值，最小值为，此时， 即购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 【变式2】（24-25八年级下·上海·期中）随着电影《哪吒魔童闹海》的热映，周边玩偶热销．小洋经营的线上周边专卖店销量激增，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶多元，花元购进款哪吒玩偶的数量比花元购进款哪吒玩偶的数量少个． (1)问：、两款玩偶的进货单价分别是多少元？ (2)小洋准备要投入元购进两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，于是他决定将款玩偶的销售单价定为元，将款玩偶的销售单价定为元，如果所有玩偶都按定价全部卖出，请你根据计算说明，当款数量购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？ 【答案】(1)款的进货单价为元，款的进货单价为元 (2)款数量购进个时，小洋获得的总利润最高，最高利润元 【分析】（）设款的进货单价为元，则款的进货单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设款购进个，总利润为元，可得，再根据题意由不等式求得，进而根据一次函数的性质即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设款的进货单价为元，则款的进货单价为元， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：款的进货单价为元，款的进货单价为元； （2）解：设款购进个，总利润为元， 由题意得，， ∵款的数量不小于款的一半， ∴， 解得， ∵， ∴当取最小值时，取最大值， ∵为整数， ∴的最小值为， 即款数量购进个时，小洋获得的总利润最高，最高利润元． 易错题集锦 一、单选题 1．下面关于x的方程中①；②；③；④；⑤；⑥是一元二次方程的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义对各小题进行逐一判断即可． 【详解】解：①当时，是一元一次方程，故错误； ②是一元二次方程，故正确； ③是分式方程，故错误； ④是一元三次方程，故错误； ⑤可化为是一元一次方程，故错误； ⑥是一元一次方程，故错误． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键． 2．若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，分和两种情况分析，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：当时，实数，满足，， ∴可把，看成是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 当时， ∴， 综上可知：代数式的值为或， 故选：． 3．为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依次类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播共有111人参与列出方程求解即可． 【详解】由题意，得 n+n2+1=111， 解得：n1=-11（舍去），n2=10， 故选B． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数根据两轮总人数为111人建立方程是关键． 4．一个两位数，个位上的数比十位上的数小4，且个位数与十位数的平方和比这个两位数小4，设个位数是x，则所列方程为(　　) A．x2＋(x＋4)2＝10(x－4)＋x－4 B．x2＋(x＋4)2＝10x＋x＋4 C．x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4 D．x2＋(x－4)2＝10x＋(x－4)－4 【答案】C 【分析】由题意知，这个两位数的十位数字为x＋4，则这个两位数为10(x＋4)＋x，其个位数字与十位数字的平方和为x2＋(x＋4)2；根据其个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，可得方程， 【详解】依题意得十位数字为：x＋4，则这个数为：10(x＋4)＋x，个位数字与十位数字的平方和为：x2＋(x＋4)2. ∵个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4， ∴x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4. 故选C. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键根据等量关系列出方程； 5．下列方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根与判别式的关系，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、的判别式，无实数根，不符合题意； B、的判别式，有两个相等的实数根，不符合题意； C、的判别式，无实数根，不符合题意； D、的判别式，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 6．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程． 【详解】解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时， 故选A． 二、填空题 7．已知关于x的方程mx|m－2|＋(2m＋1)＝3是一元二次方程，则m等于 ． 【答案】4 【分析】根据一元二次方程的定义可得|m-2|=2且m≠0，解之即可得. 【详解】由题意得|m-2|=2， 解得：m=4或m=0， 又二次项系数不能为0，所以m≠0， 故m=4， 故答案为4. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 8．解方程：的根是 ． 【答案】 【分析】利用直接开方法，求出方程的解即可． 【详解】解：移项得：， 开方得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 9．把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2．则经过 秒时球的高度为15米． 【答案】1或3 【分析】根据题意，解一元二次方程15=20t﹣5t2即可解答． 【详解】解：当h=15时，由15=20t﹣5t2得：t2﹣4t+3=0， 解得：t1=1，t2=3， 答：经过1或3秒时球的高度为15米． 故答案为：1或3． 【点睛】本题考查二次函数的应用、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． 10．已知、两地相距40千米，、两地相距50千米，甲乙两车分别从、两地同时出发到地，若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达地，设乙车的速度为千米/小时，依据题意列方程正确的是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为千米/小时，根据用相同的时间甲走40千米，乙走50千米，列出方程即可． 【详解】解：设乙车的速度为千米/小时，则甲车的速度为千米/小时， 由题意得，． 故答案为：． 11．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，则这种台灯的售价应定为 元． 【答案】50 【分析】设这种台灯应涨价x元，那么就少卖出10x个，根据利润=每个台灯的利润×销售量，可列方程求解． 【详解】设这种台灯应涨价x元, 依题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去） 40+10=50（元） 答：这种台灯售价定为50元． 故答案是：50元 12．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种4000棵树，后来由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前10天完成任务，那么原计划每天种 棵树． 【答案】80 【分析】设该村原计划每天种树x棵，则实际每天种数棵，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”结合实际比原计划提前10天完成任务，即可得出关于x的分式方程求解即可． 【详解】解：设该村原计划每天种树x棵，则实际每天种数棵， 依题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意． 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系、正确列出分式方程是解题的关键． 13．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中，在绿灯亮时，小明共用通过，其中通过的速度是通过 速度的1.2 倍，则小明通过的速度为 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设通过的速度是，则根据题意可列分式方程，解出x即可．根据题意找出等量关系并列出分式方程是解答本题的关键． 【详解】解：设通过的速度是， 根据题意可列方程：， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意． 故通过时的速度是． 故答案为：1． 14．为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为 ． 【答案】x（x+40）=1200． 【分析】先表示出矩形场地的长，再根据矩形的面积公式即可列出方程． 【详解】由题意可得， x（x+40）=1200， 故答案是：x（x+40）=1200． 【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程． 15．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】令，则式子可化为，令，求解即可． 【详解】解：令，则式子可化为， 令， ，， 即， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根． 16．若a，b分别是方程的两根，则 ． 【答案】/ 【分析】根据a，b分别是方程的两根，得出，，将变形得出，然后变形，最后代入求值即可． 【详解】解：∵a，b分别是方程的两根， ∴，， ∴， 即， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系，得出，，注意整体代入思想的应用． 17．三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是 ． 【答案】6或10或12 【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程的根，进行分情况计算． 【详解】由方程，得=2或4． 当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6； 当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12； 当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10． 综上所述此三角形的周长是6或12或10． 故答案为：6或10或12 18．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】a≤1 【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2-4ac≥0．据此可得△=b2-4ac=4-4a≥0，求解即可． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程有实根， 所以△=b2-4ac=4-4a≥0， 解之得a≤1． 故答案为a≤1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 三、解答题 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活掌握一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有直接开方法，因式分解法，公式法，配方法，属于中考常考题型． （1）用公式法先求出根的判别式再代入求根公式求解即可； （2）用十字相乘法将方程先变形成，再解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ，，， ， ． ，； （2）解：， ． 或． ，． 20．阅读例题，解答问题： 例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0， 解：原方程化为|x|2﹣|x|﹣2＝0． 令y＝|x|， ∴y2﹣y﹣2＝0 解得：y1＝2，y2＝-1 当|x|＝2，x＝±2； 当|x|＝-1时（不合题意，舍去） ∴原方程的解是x1＝2，x1＝-2， 仿照上例解方程（x+1）2﹣5|x+1|﹣6＝0． 【答案】， 【分析】原方程化为，令，得，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】原方程化为， 令， ∴， 解得， 当，，即x＝5或x＝-7， 当时（不合题意，舍去）， ∴原方程的解是，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程和换元法，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 21．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根． (2)当为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根与系数的关系，解一元二次方程． （1）先计算出，然后根据跟的判别式的意义得到方程有实数根； （2）利用根与系数的关系得到，即，解得，则原方程化为，然后利用直接开平方法求解． 【详解】（1）证明： ， 所以方程总有实数根； （2）解：设方程的两个根为，由题意得： ，即，解得， 当时，方程两根互为相反数， 当时，原方程为， 解得：． 22．已知最简二次根式与是同类二次根式，求关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0的解． 【答案】x=1、x=﹣3或x=． 【详解】整体分析： 由同类二次根式的定义求出a的值，再把a的值代入到方程(a﹣2)x2+2x﹣3=0中求解. 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴a2﹣a=4a﹣6， 解得：a=2或a=3， 当a=2时，关于x的方程为2x﹣3=0， 解得：x=， 当a=3时，关于x的方程为x2+2x﹣3=0， 解得：x=1，x=﹣3， ∴关于x的方程(a﹣2)x2+2x﹣3=0的解是x=1、x=﹣3或x=． 23．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元. 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． （2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， ∴x=10． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． 24．学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 【答案】(1)奖品的单价8元，则奖品的单价是17元 (2)购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键： （1）设奖品的单价x元，则奖品的单价是元，根据“用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个”列方程求解即可； （2）设购买奖品a个，则购买奖品个，根据“种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍”列不等式求出a的取值范围，设总费用为w元，则可求出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设奖品的单价x元，则奖品的单价是元， 根据题意，得， 去分母，并化简得， 解得，， 经检验，，都是原方程的解，但不符合实际意义， ∴，， 答：奖品的单价8元，则奖品的单价是17元； （2）解：设购买奖品a个，则购买奖品个， ∵种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍， ∴， 解得， 设总费用为w元， 根据题意，得， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w有最小值，最小值为，此时， 即购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 25．A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米． (1)如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值； (2)如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定?请说明理由． 【答案】(1) (2)符合规定，理由见解析 【分析】（1）根据时间=路程÷速度即可求出答案； （2）根据题意列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：提速前从A城到B城的所用时间为：（小时）， 提速后的速度为100千米/小时， ∴提速后从A城到B城的所用时间为：（小时）， ∴提速后从A城到B城的行驶时间减少（小时）； （2）解：设列车提速前速度是每小时x千米， 则 解得： (舍去），， ∴提速后的速度为，符合规定. 【点睛】本题考查了分式方程应用题，运用路程=速度乘以时间解决问题． 26．如图，长方形中，，动点分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B移动，点Q以的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问： (1)当时，四边形的面积是多少？ (2)当t为何值时，点P和点Q的距离是？ (3)当__________s时，以点为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案） 【答案】(1)5cm² (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，梯形的面积公式，一元二次方程的解法的应用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键． (1)当时， 可以得出，就有，由梯形的面积就可以得出四边形的面积； (2)如图1， 作于E，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2， 作于E，在中， 由勾股定理建立方程求出其解即可； (3)分情况讨论， 如图3， 当时， 如图4， 当时， 如图5， 当 时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论． 【详解】（1）解： ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴ ∴． 答：四边形面积是 5cm²； （2）解：如图1， 作于E， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 在中， 由勾股定理， 得 ， 解得：； 如图2，作于E，    ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∴ 在中，由勾股定理，得 ， 解得：． 综上所述： 或； （3）解：如图3， 当时， 作于E，    ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴ ， 在中， 由勾股定理， 得 ， 解得：． 如图4， 当时， 作于E，    ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． ∴， 解得：； 如图5， 当时，    ∵， ∴， ∵， 在中，由勾股定理，得 解得， (舍去)， 综上所述：或或或． 故答案为：或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $