第21章 一元二次方程（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

第21章 一元二次方程 教学目标 1. 了解一元二次方程的概念； 2. 学习一元二次方程的解法； 3. 掌握一元二次方程的判别式； 4. 知道一元二次方程根与系数的关系； 5. 学习一元二次方程的应用。 教学重难点 1.重点 （1）一元二次方程的有关概念及其应用； （2）一元二次方程的解法及其应用； （3）一元二次方程的判别式，韦达定理及其应用。 2.难点 （1）多参数问题； （2）一元二次方程的综合应用。 知识点1 一元二次方程 1.一元二次方程 ①定义：一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程. ②一般形式：一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a、b、c为已知数，且a≠0). ③其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项. 要点：一元二次方程的特征 （1）都是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2。 2.一元二次方程的根 ①.满足方程ax²+bx+c=0(a≠0) 的实数x叫作这个方程的实数根(或者实数解),简称实根或者根. ②.判断一个未知数的值是不是这个方程的根： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根。 ③.一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，未知数为x的一元二次方程的两个根通常用x₁、x₂表示. 【即学即练】 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（   ） A． B． C．2 D．1 3．已知关于的方程的一个根为2，则的值是（   ） A． B． C． D．2 4．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 知识点2 一元二次方程的解法—开平方法与配方法 1.开平方法 对于形如（x+n）2=d(d≥0)的方程，可用开平方法解. 开平方法的步骤是：把方程变形成（x+n）2=d(d≥0)，然后开平方得x+n=或x+n=-，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解. 2.配平方法 一般地，像这样，在方程x2+4x=12的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 3.用配方法解一元二次方程的步骤 要点：用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a； （4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解． 【即学即练】 1．一元二次方程的解为（    ） A．， B． C．， D． 2．关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．有两个解 B．当 时，有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 3．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 4．如下是小明在解方程时的过程．他在解答过程中开始出错的步骤是（    ） ① ② ③ ④ A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 5．代数式的最小值是 ． 知识点3 一元二次方程的解法—因式分解法 1.因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于0的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题. 像这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 因式分解法适用于解某些特殊的一元二次方程. 要点：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解. 2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【即学即练】 1．一元二次方程的解是 ． 2．三角形的两边长为4和7，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 3．已知，则的值为 ． 知识点4一元二次方程的求根公式 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： ①解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，它的实数根可以写成x=（b2-4ac≥0）的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． ②在求根公式中，如果b²-4ac=0,那么x1=x2=,即方程有两个相等的实数根(重根). 【归纳结论】 在解一元二次方程时，把方程化成一般形式ax²+bx+c=0(a≠0),如果b²-4ac≥0,那么把a、b、c的值代入求根公式，就可以求得方程的实数根；如果b²-4ac<0,那么原方程没有实数根.这种解一元二次方程的方法称为公式法. 2.一元二次方程的解法小结（非书面） 特殊的一元二次方程解法：①（直接）开平方法；依据：实数平方的非负性 ②因式分解法；依据：因式分解 一般的一元二次方程解法：③配方法；依据：完全平方公式 ④公式法；依据：配方法推导而来 配方法、公式法同途同归；因此，一般的，它们都适用所有的一元二次方程. 【即学即练】 1．若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 2．方程的解是 ． 3．一元二次方程的解为 ． 知识点5 一元二次方程的判别式 1.一元二次方程的判别式 由前面的公式法我们知道，根据b²-4ac的值的符号可以判断一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况，我们把b²-4ac叫作该一元二次方程的判别式，通常用符号“△”(读作“/'deltə/”)来表示，记作△=b²-4ac. 2.利用一元二次方程的判别式判断根的情况 利用判别式，可以不解方程就能判断一个一元二次方程是否有实数根，以及有实数根时两根是否相等. 对一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0): ①当△=b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△=b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； ③当△=b²-4ac<0时，方程没有实数根. 要点：利用一元二次方程的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 3.依据根的情况判断一元二次方程的判别式的符号 ①当方程有两个不相等的实数根时，△>0; ②当方程有两个相等的实数根时，△=0; ③当方程没有实数根时，△<0. 要点： （1）逆用一元二次方程的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 【即学即练】 1．方程的根的判别式的值为 ． 2．关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是 ． 3．下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有两个实数根的是（    ） A． B． C． D． 4．如果关于x的一元二次方程有两个不等实数根，那么k的取值范围是 ． 知识点6 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的根与系数关系的定理： 韦达定理 如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x₁、x₂,那么 ，x1•x2 = 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【即学即练】 1．设方程的两根分别是，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 2．若一元二次方程的两个不相等的实数根为，，则：的值是（   ） A．－2 B．1 C．7 D．10 3．已知方程的两根分别为，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 知识点7 一元二次方程的应用 1.二次三项式的因式分解 要将二次三项式ax²+bx+c因式分解，如果b²-4ac≥0,可以用求根公式求出方程ax²+bx+c=0的两个根x₁、x₂,然后得到ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2). 但如果b²-4ac<0,那么二次三项式ax²+bx+c在实数范围内就不能因式分解. 2.可化为一元二次方程的分式方程：在求解上面的分式方程时，去分母后所得到的整式方程是一个一元二次方程，所以上面的分式方程是可化为一元二次方程的分式方程，其求解步骤与解可化为一元一次方程的分式方程类似. 3.求解可化为一元二次方程的分式方程的步骤. 4.列一元二次方程解应用题的一般步骤 审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数（直接假设和间接假设）→列一元二次方程→解方程→检验→作答。 【即学即练】 1．某工厂2023年的总产值为500万元，2025年总产值为960万元．若该厂每年的平均增长率都是x，则可列出方程为 ． 2．联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程 ． 3．在实数范围内因式分解： ． 题型01 一元二次方程的有关概念及应用 【典例1】．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．把化成一般形式为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【变式2】．若关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 题型02 一元二次方程的根 【典例1】．要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0 【变式1】．若m是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【变式2】．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 【变式3】．若是关于的方程的解，则的值为 ． 题型03 一元二次方程的解法 【典例1】．用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1】．方程(x+1)2=4(x-2)2的解是(   ) A．x=1 B．x＝5 C．x1=1，x2=5 D．x1=1，x2=-2 【变式2】．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【变式3】．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是    (    ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2 C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝2 【变式4】．一元二次方程的根是 ． 【变式5】．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(    ) A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 题型04 一元二次方程的判别式 【典例1】．下列方程中，无实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的最大整数是 ． 【变式2】．如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【变式3】．若关于x的一元二次方程x2-3x+a-2＝0有实数根． （1）求a的取值范围； （2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解． 题型05 韦达定理 【典例1】．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知和是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．6 D． 【变式2】．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2024 B．2027 C．2032 D．2035 【变式3】．设、是一元二次方程的两个根，且，则 ． 【变式4】．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 题型06 一元二次方程的代数应用 【典例1】．如果代数式与的值相等，那么x= ． 【变式1】．设方程的一个根的3倍少7为另一个根，则 ． 【变式2】．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 【变式3】．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（  ） A．≥ B．＞ C．≤ D．＜ 【变式4】．若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2011 B．2013 C．2018 D．2023 题型07 一元二次方程的几何应用 【典例1】．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（    ） A．11 B．21 C．11或21 D．11或1 【变式1】．已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+k2+1＝0的根，则k的值为 ． 【变式2】．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是 ． 题型08 二次三项式的因式分解 【典例1】．在实数范围内因式分解： ； ． 【变式1】．把二次三项式因式分解，下列结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】．若方程的两个解是，那么在实数范围内分解因式是（    ） A． B． C． D． 题型09 一元二次方程的实际应用 【典例1】．某商场对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的400元经过两次降价后变为225元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？设应邀请个队参赛，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（    ）    A． B． C． D． 题型10 其他解答题 【典例1】．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【变式1】．已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，判断方程两根是否都在－2与0之间 【变式2】．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值． 【变式3】．上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 3．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 4．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D．且 6．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 二、填空题 7．方程的解是 ． 8．请写出一个一元二次方程，使其一个根为2，一个根为0： ． 9．设是方程的两个根，则 ． 10．因式分解： ． 11．已知关于的分式方程，则该分式方程的解为 ． 12．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m． 13．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 14．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则 ． 三、解答题 15．解下列方程 (1) (2) (3) (4) 16．已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值 (1)； (2)． 17．已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根； (2)此方程的两个实数根为、，且，求k的值． 18．某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围成一个所占面积为长方形的临时仓库，已知墙的长度为60米，如图所示，设所围成的长方形的面积为1600平方米，求长方形的宽x为多少米？ 19．某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？ 20．某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 21．对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于x的代数式的不动值是 ． (2)判断关于x的代数式是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由． (3)已知关于x的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求a的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为2，直接写出正整数a的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 一元二次方程 教学目标 1. 了解一元二次方程的概念； 2. 学习一元二次方程的解法； 3. 掌握一元二次方程的判别式； 4. 知道一元二次方程根与系数的关系； 5. 学习一元二次方程的应用。 教学重难点 1.重点 （1）一元二次方程的有关概念及其应用； （2）一元二次方程的解法及其应用； （3）一元二次方程的判别式，韦达定理及其应用。 2.难点 （1）多参数问题； （2）一元二次方程的综合应用。 知识点1 一元二次方程 1.一元二次方程 ①定义：一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程. ②一般形式：一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a、b、c为已知数，且a≠0). ③其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项. 要点：一元二次方程的特征 （1）都是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2。 2.一元二次方程的根 ①.满足方程ax²+bx+c=0(a≠0) 的实数x叫作这个方程的实数根(或者实数解),简称实根或者根. ②.判断一个未知数的值是不是这个方程的根： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根。 ③.一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，未知数为x的一元二次方程的两个根通常用x₁、x₂表示. 【即学即练】 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故此选项错误； B、是一元二次方程，故此选项正确； C、，方程化简后二次项系数为0，不是一元二次方程，故此选项错误； D、，未知数最高次数是1次，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：B． 2．已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式 （），再确定一次项系数． 本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握将方程化为一般形式后确定各项系数的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ∴一次项系数为 ， 故选：A． 3．已知关于的方程的一个根为2，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握基础知识是解题关键．将代入方程即可求出的值． 【详解】解：已知是的一个根， ∴， 解得：． 故选：B． 4．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 整理，得：， 解得：， 故选：． 知识点2 一元二次方程的解法—开平方法与配方法 1.开平方法 对于形如（x+n）2=d(d≥0)的方程，可用开平方法解. 开平方法的步骤是：把方程变形成（x+n）2=d(d≥0)，然后开平方得x+n=或x+n=-，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解. 2.配平方法 一般地，像这样，在方程x2+4x=12的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 3.用配方法解一元二次方程的步骤 要点：用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a； （4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解． 【即学即练】 1．一元二次方程的解为（    ） A．， B． C．， D． 【答案】A 【分析】先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程． 本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 【详解】解： 解得，． 故选：A． 2．关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．有两个解 B．当 时，有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，分，两种情况，利用直接开方法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时，方程没有实数根； 当时，方程有两个解； 故选B． 3．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程——配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤，并能灵活运用是解决此题的关键．将方程通过配方法转化为完全平方形式，需移项后加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：， 移项：将常数项移到方程右边，得到， 配方：方程两边加上一次项系数一半的平方，即加1：， 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得：， 因此，配方后的方程为选项B． 故选：B． 4．如下是小明在解方程时的过程．他在解答过程中开始出错的步骤是（    ） ① ② ③ ④ A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．将二次项系数化为1，继而将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则，即， ∴， ∴，． ∴他在解答过程中开始出错的步骤是第③步， 故选：C． 5．代数式的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了配方法的应用，掌握配方法成为解题的关键． 先根据完全平方公式配方，然后根据非负数的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴代数式的最小值是4． 故答案为：4． 知识点3 一元二次方程的解法—因式分解法 1.因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于0的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题. 像这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 因式分解法适用于解某些特殊的一元二次方程. 要点：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解. 2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【即学即练】 1．一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 直接利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 ∴，． 故答案为：，． 2．三角形的两边长为4和7，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，三角形三边的关系．先利用因式分解法解方程得到，再根据三角形三边的关系确定第三边长的长，然后计算三角形的周长． 【详解】解：， ， 或， 解得， 当时，，不符合三角形的三边关系，所以舍去， 当时，，符合三角形的三边关系， 则三角形三边分别为7、4、4，三角形的周长是， 故答案为：． 3．已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了用换元法与因式分解法解一元二次方程；设，则原方程可化为，再用因式分解法解即可，注意当X为负数时要舍去． 【详解】解：设，则原方程可化为， 分解因式得：， 解得：， 由于， ∴不合题意，舍去， ∴， 即， 故答案为：1． 知识点4一元二次方程的求根公式 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： ①解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，它的实数根可以写成x=（b2-4ac≥0）的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． ②在求根公式中，如果b²-4ac=0,那么x1=x2=,即方程有两个相等的实数根(重根). 【归纳结论】 在解一元二次方程时，把方程化成一般形式ax²+bx+c=0(a≠0),如果b²-4ac≥0,那么把a、b、c的值代入求根公式，就可以求得方程的实数根；如果b²-4ac<0,那么原方程没有实数根.这种解一元二次方程的方法称为公式法. 2.一元二次方程的解法小结（非书面） 特殊的一元二次方程解法：①（直接）开平方法；依据：实数平方的非负性 ②因式分解法；依据：因式分解 一般的一元二次方程解法：③配方法；依据：完全平方公式 ④公式法；依据：配方法推导而来 配方法、公式法同途同归；因此，一般的，它们都适用所有的一元二次方程. 【即学即练】 1．若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴可以为：， ∴满足要求的方程为：， 故选：A． 2．方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得：，． 故答案为：，． 3．一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】先化为一般形式，再用一元二次方程求根公式即可得到答案． 【详解】解：， 化为一般形式得：， ， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式． 知识点5 一元二次方程的判别式 1.一元二次方程的判别式 由前面的公式法我们知道，根据b²-4ac的值的符号可以判断一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况，我们把b²-4ac叫作该一元二次方程的判别式，通常用符号“△”(读作“/'deltə/”)来表示，记作△=b²-4ac. 2.利用一元二次方程的判别式判断根的情况 利用判别式，可以不解方程就能判断一个一元二次方程是否有实数根，以及有实数根时两根是否相等. 对一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0): ①当△=b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△=b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； ③当△=b²-4ac<0时，方程没有实数根. 要点：利用一元二次方程的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 3.依据根的情况判断一元二次方程的判别式的符号 ①当方程有两个不相等的实数根时，△>0; ②当方程有两个相等的实数根时，△=0; ③当方程没有实数根时，△<0. 要点： （1）逆用一元二次方程的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 【即学即练】 1．方程的根的判别式的值为 ． 【答案】49 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根的判别式为，代入数据计算即可解答． 【详解】解：． 故答案为：49． 2．关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 3．下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有两个实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义逐一分析即可求解． 【详解】解：A、， ， ∵时， ∴，即关于的方程一定有两个实数根，故该选项符合题意； B、当时，原方程变为， 解得，， 故该选项不符合题意， C、， ， 当时，，即关于的方程没有实数根，故该选项不符合题意； D、， ， 当时，，即关于的方程没有实数根，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．如果关于x的一元二次方程有两个不等实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是能正确计算根的判别式，并注意本题易忽略二次项系数不为的情况． 因为一元二次方程有两个不等实数根，所以且，得关于的不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴且， ∴， ∴且． 故答案为：且． 知识点6 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的根与系数关系的定理： 韦达定理 如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x₁、x₂,那么 ，x1•x2 = 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【即学即练】 1．设方程的两根分别是，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：因为方程的两根分别是， 所以． 故选：A． 2．若一元二次方程的两个不相等的实数根为，，则：的值是（   ） A．－2 B．1 C．7 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，先求出根的和与积，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解∶∵一元二次方程的两个不相等的实数根为，， ∴，． ∴， 故选∶D． 3．已知方程的两根分别为，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次方程根与系数的关系，直接计算两根的倒数和． 【详解】已知方程 的两根为 和 ，由根与系数的关系可得： 根的和：， 根的积：， 所求表达式为 ，通分后得： ， 将根的和与积代入： ． 故选： B． 知识点7 一元二次方程的应用 1.二次三项式的因式分解 要将二次三项式ax²+bx+c因式分解，如果b²-4ac≥0,可以用求根公式求出方程ax²+bx+c=0的两个根x₁、x₂,然后得到ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2). 但如果b²-4ac<0,那么二次三项式ax²+bx+c在实数范围内就不能因式分解. 2.可化为一元二次方程的分式方程：在求解上面的分式方程时，去分母后所得到的整式方程是一个一元二次方程，所以上面的分式方程是可化为一元二次方程的分式方程，其求解步骤与解可化为一元一次方程的分式方程类似. 3.求解可化为一元二次方程的分式方程的步骤. 4.列一元二次方程解应用题的一般步骤 审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数（直接假设和间接假设）→列一元二次方程→解方程→检验→作答。 【即学即练】 1．某工厂2023年的总产值为500万元，2025年总产值为960万元．若该厂每年的平均增长率都是x，则可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据某工厂2023年的总产值为500万元，2025年总产值为960万元，列出一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 2．联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设参加联欢会的同学有x人，则每人送出件礼物，根据共送礼物870件可列出方程． 【详解】解：设参加联欢会的同学有x人，则每人送出件礼物， 由题意得，． 故答案为：． 3．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内因式分解，先令，利用求根公式求出两个根，根据分解即可． 【详解】解：令， ， ， ， ∴， 故答案为：． 题型01 一元二次方程的有关概念及应用 【典例1】．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该方程中，当时，它不是一元二次方程，不符合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程不是整式方程，不符合题意； D．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； 故选：D． 【变式1】．把化成一般形式为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 3 0 【分析】原式去括号、移项、合并同类项，写出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【详解】解：，， 去括号：， 移项合并同类项：， ∴二次项系数为：；一次项系数为：，常数项为：； 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式为：是解题的关键． 【变式2】．若关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2； 结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 解得． 故选：C． 题型02 一元二次方程的根 【典例1】．要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【详解】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a-3≠0，a≠3． 故选B． 【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程． 【变式1】．若m是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先根据一元二次方程解的定义得到，则，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一个根是，将代入原方程得到关于的一元一次方程进而即可解答．本题考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴将代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 【变式3】．若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义、代数式求值，根据方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得出，整理为，整体代入计算即可，熟练掌握方程的解的定义、代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型03 一元二次方程的解法 【典例1】．用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5) (6)， 【分析】利用直接开平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解． 【详解】（1）解： 直接开平方可得：， 或 ∴原方程的解为：，； （2）解： 因式分解得：， ∴原方程的解为：，； （3）解：， 平方差因式分解得：， 整理得：， ∴原方程的解为：，； （4）， 提取公因式可得：， 整理得：， ∴原方程的解为：，； （5）解：∵方程， ， ∴原方程的解为：； （6）， ， 因式分解得：， ∴原方程的解为：， 【点睛】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择． 【变式1】．方程(x+1)2=4(x-2)2的解是(   ) A．x=1 B．x＝5 C．x1=1，x2=5 D．x1=1，x2=-2 【答案】C 【分析】根据方程表示x+1与2（x-2）的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，据此即可把所求方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：原方程可化为：(x+1)2=[2(x-2)]2， x+1=±2(x-2)，即x+1=2x-4或x+1=-2x+4， 解得x1=5，x2=1； 所以选C 【点睛】解一元二次方程的基本思想是降次，就是把二次方程转化为一元一次方程． 【变式2】．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【答案】B 【分析】根据配方的步骤计算即可解题． 【详解】 故B错误．且ACD选项均正确， 故选：B 【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可． 【变式3】．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是    (    ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2 C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝2 【答案】B 【分析】先把一元二次方程展开合并，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴x-4=0或x+2=0， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解题的关键． 【变式4】．一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】方程变形为x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：x（2x﹣5）＝4x﹣10， x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0， （x﹣2）（2x﹣5）＝0， x﹣2＝0或2x﹣5＝0， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想），掌握因式分解解方程的方法是解题的关键． 【变式5】．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(    ) A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 【答案】D 【详解】①2x2=18，所以利用直接开平方法.②9x2－12x－1＝0，公式法.③3x2＋10x＋2＝0，公式法. ④ 2(5x－1)2-2(5x－1)=0,利用因式分解法. 所以选D. 题型04 一元二次方程的判别式 【典例1】．下列方程中，无实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A． 可变为，∴，∴方程无实数根，故此选项正确；B． 可变形为，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；C． 可变形为，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；D． 可变形为，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故此选项错误． 【变式1】．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的最大整数是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分，最后解得可取的最大整数． 【详解】解：已知关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∵，，， ∴， 即， 解得且， ∴其中可取的最大整数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．本题中二次项系数不为零是易错点． 【变式2】．如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分类讨论：当m-1=0时，方程为一元一次方程，有解；当m-1≠0时，根据判别式的意义得到△=12-4×（m-1）×1≥0，解得m≤且m≠1，然后综合两种情况就可得到m的取值范围． 【详解】解：当m-1=0时，x+1=0，解得x=-1； 当m-1≠0时，△=12-4×（m-1）×1≥0，解得m≤且m≠1， 所以m的取值范围为m≤. 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 【变式3】．若关于x的一元二次方程x2-3x+a-2＝0有实数根． （1）求a的取值范围； （2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解． 【答案】（1）a≤；（2）x＝1或x＝2． 【分析】（1）根据韦达定理列出关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围； （2）由（1）求出a的值，代入原方程即可得到一个新的方程，解新方程可以得到解． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根， ∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0， 解得a≤； （2）由（1）可知a≤， ∴a的最大整数值为4， 此时方程为x2﹣3x+2＝0， 解得x＝1或x＝2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握根的判别式应用及一元二次方程的求解是解题关键 ． 题型05 韦达定理 【典例1】．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程有两根为，． 先把方程化成一般式，再根据一元二次方程根与系数关系求出与的值，判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． 故选：D． 【变式1】．已知和是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用根与系数的关系，可得出，将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：D． 【变式2】．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2024 B．2027 C．2032 D．2035 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据根与系数的关系和一元二次方程的解的定义得到，，进而得到，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 【变式3】．设、是一元二次方程的两个根，且，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得出，再利用因式分解法解一元二次方程，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根，且， ， 原方程为， 解得：，， ， 故答案为：． 【变式4】．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 题型06 一元二次方程的代数应用 【典例1】．如果代数式与的值相等，那么x= ． 【答案】2 【分析】由题可得，整理得到即解出即可． 【详解】解：根据题意得 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键． 【变式1】．设方程的一个根的3倍少7为另一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则，．设方程的一个根为，则另一个根为，根据根与系数的关系得出，得出，另一个根为，进一步利用两根的积得出的数值即可． 【详解】解：设方程另一个根为，则一个根为， 则，解得， 因此． 故答案为：． 【变式2】．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 【答案】B 【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案. 【详解】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1， 所以此时方程为： 即： 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4， 所以此时方程为： 即： 从而正确的方程是： 故选： 【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键. 【变式3】．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（  ） A．≥ B．＞ C．≤ D．＜ 【答案】A 【详解】因为,且 a＜0,所以≥,故选A. 【变式4】．若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2011 B．2013 C．2018 D．2023 【答案】B 【分析】此题考查了新定义，配方法的应用，解二元一次方程组的，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值． 【详解】解：与为同族二次方程， ， ， ∴， 解得：， ， 当时，取最小值为2013． 故选：B． 题型07 一元二次方程的几何应用 【典例1】．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（    ） A．11 B．21 C．11或21 D．11或1 【答案】A 【分析】先求出方程的根，然后分x＝1和x＝11两种情况，利用三角形三边关系进行判断即可． 【详解】解：由可得， ∴或， 解得x＝1或x＝11， 当x＝1时，因为10＞1，所以能组成三角形，此时该三角形的周长为11； 当x＝11时，因为10＜11，所以不能组成三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式1】．已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+k2+1＝0的根，则k的值为 ． 【答案】-5或或 【分析】根据等腰三角形的定义，分a=2和a=3，分别代入方程，解之可得k值． 【详解】解：∵2，3，a分别是等腰三角形三边的长， 当a=2时，即x=2，代入， 得：， 解得：k=-5，或k=1（舍）， 当a=3时，即x=3，代入， 得：， 解得：k=，或k=， 故答案为：-5或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，解题的关键是要注意根据等腰三角形的定义进行分类讨论． 【变式2】．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解． 【详解】解：∵，p=3，c=2， ∴， ∴a+b=4， ∴a=4−b， ∴ ∴当b=2时，S有最大值为． 【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积． 题型08 二次三项式的因式分解 【典例1】．在实数范围内因式分解： ； ． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内的因式分解，分解的因式一般要分解分到无理数为止是关键．利用二次三项式进行因式分解即可． 【详解】解：令， ， ， ∴ ∴ ∴； 令， ， ∴ ∴ ∴， 故答案为：；． 【变式1】．把二次三项式因式分解，下列结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程和在实数内分解因式，能求出方程的解是解此题的关键．先把y看出已知数求出关于x的方程的解，再分解因式即可． 【详解】解：， ， 则， 所以， 故选：C． 【变式2】．若方程的两个解是，那么在实数范围内分解因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解法和一元二次方程根的关系即可得出结论． 【详解】解：∵的两个解是， ∴=0 ∴在实数范围内，= 故选D． 【点睛】此题考查的是利用一元二次方程的根进行因式分解，掌握因式分解法和一元二次方程根的关系是解题关键． 题型09 一元二次方程的实际应用 【典例1】．某商场对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的400元经过两次降价后变为225元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 【变式1】．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 【变式2】．学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？设应邀请个队参赛，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设应邀请个队参赛，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应邀请个队参赛， 根据题意得，， 即， 故选：． 【变式3】．布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这个长方形垂直于墙的一边长为米，则这个平行于墙的一边长为米，据此根据长方形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 题型10 其他解答题 【典例1】．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】(1)二 (2)或，过程见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． （1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解： 或， 解得：或． 【变式1】．已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，判断方程两根是否都在－2与0之间 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【分析】（1）计算判别式得到 ，则可根据判别式的意义得到结论； （2）利用因式分解法求出方程的两个根，，根据得出，进而得出． 【详解】（1）∵，，， ∴ ∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根 （2）， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 并， 综上所述： ∴当时，方程的两根都在－2与0之间 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． 【变式2】．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根据一元二次方程根的个数求参数、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式变形、解一元二次方程等知识点． （1）由方程有实数根即可得出，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再由（1）中m的取值范围即可确定m的值． 【详解】（1）解：∵该方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程的两个实数根为，， ∴、， ∴， 解得或． ∵， ∴． 【变式3】．上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为60元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得： 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得： ， 整理，得 解得 因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为60元． 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 根据一元二次方程的定义进行判断即可 【详解】解：A、当时不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意； C、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意； D、该方程符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故本选项正确； 故选：D． 2．已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 解得， ∴． 故选：D． 3．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解，但一定要注意一元二次方程二次项系数不等于0，然后舍去不满足的取值即可． 【详解】解：把 代入， 得到： ∴或 ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴； 故选：B ． 4．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，列方程，即可作答． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 由一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，可得关于的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，，且， 故选：． 6．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程综合．熟练掌握方程解的含义，根与判别式的关系，根与系数的关系，是解题的关键． 一元二次方程的有关性质．一元二次方程解的含义，代数变形，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，逐一分析每个命题的正确性，进行判断即可． 【详解】命题①：∵方程有两个不等实根， ∴根判别式． ∴原方程的判别式为， 原方程必有两个不等实根． ∴①正确． 命题②：∵是方程的根， ∴， ∴． ∴． ∴②正确． 命题③：∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 存在实数m、n满足此条件（如取，）． ∴③正确． 命题④：∵c是方程的根， ∴， ∴． 当时，方程成立但不一定为0． ∴④错误． 综上，正确的命题为①②③， 故选：D． 二、填空题 7．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用直接开平方法求解即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．请写出一个一元二次方程，使其一个根为2，一个根为0： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程．设方程为，根据一元二次方程根与系数的关系“，”求解即可． 【详解】解：设方程为， ∵一个根为2，一个根为0， ∴，， ∴， ∴一元二次方程为， 故答案为：（答案不唯一）． 9．设是方程的两个根，则 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．根据根与系数关系得到，之后将代入方程中得到，变形为，两式相加即可得到答案． 【详解】解： 是方程的两个根， ，， ， ． 故答案为：2024． 10．因式分解： ． 【答案】 【分析】令原式，求出的值，即可确定出因式分解结果． 【详解】解：时，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，解一元二次方程，解题的关键是用公式法求出方程的解． 11．已知关于的分式方程，则该分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程以及因式分解法解一元二次方程，先把分式方程化为整式方程，再移项合并同类项，运用因式分解法解方程，注意验根，即可作答． 【详解】解： 去括号，得 得 即、 解得 经检验，是原方程的解，使得原方程无解 ∴该分式方程的解为 故答案为： 12．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m． 【答案】1 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．设小道进出口的宽度为，根据平移可得种植花草是一个矩形，根据面积为，即可列出关于x的一元二次方程，整理后解得即可得出结论． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意，得：， 整理，得：． 解得或34（舍去）， 所以小道进出口的宽度为． 故答案为：1． 13．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， 整理可得， 又关于的方程有两个实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 14．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则 ． 【答案】 【分析】由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解． 【详解】由根与系数的关系得，， 所以， 则， 则 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值． 三、解答题 15．解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤． （1）利用开平方根法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； （3）利用十字相乘法即可求解； （4）利用求根公式即可求解． 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： ∴，； （3）解： ∴，； （4）解： ∵， ， ∴，． 16．已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根与系数的关系可得，，再将所求代数式变形，最后代入求解即可； （2）根据题意可得，，推出，再将所求式子变形，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：，是方程有两个实数根， ，， ； （2），是方程有两个实数根， ， ， 17．已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根； (2)此方程的两个实数根为、，且，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为1或 【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程． （1）分与两种情况进行分类讨论； （2）先用表示出的值，再根据列方程求解即可得出的值． 【详解】（1）证明：当时，方程为，方程有实数根． 当时，方程为一元二次方程，， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论为任何实数，方程总有实数根． （2）解：∵方程的两个实数根为、， ∴，， ∴解方程得：， 解得：或． ∵此方程的两个实数根为、，且， ∴， ∴或， ∴或， 经检验均符合． ∴的值为1或． 18．某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围成一个所占面积为长方形的临时仓库，已知墙的长度为60米，如图所示，设所围成的长方形的面积为1600平方米，求长方形的宽x为多少米？ 【答案】长方形的宽为40米 【分析】本题可根据题意分别用表示垂直于墙的一边的长或平行于墙的一边的长，再根据面积公式列出方程求解即可．本题考查的是一元二次方程的运用，要注意靠墙的那面不需要栅栏． 【详解】 解：设长方形的宽为米，则平行于墙的一边为米． 根据题意得． 解得，， 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，． 答：长方形的宽为40米． 19．某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？ 【答案】10人 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划医疗队每分钟多检测x人，根据若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务建立方程可求出，设现在每分钟还要多检测y人，根据要再提早小时完成任务建立方程求解即可． 【详解】解：设原计划医疗队每分钟检测x人， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 设现在每分钟还要多检测y人， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：现在每分钟还要多检测10人才能去增援另一小区． 20．某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 【答案】每本画册应降价4元． 【分析】设这种画册每本降价x元，根据“这种画册的销售利润平均每天达到2240元”列出方程，即每本画册的利润乘以销售量等于总利润，再求解，把不符合题意的舍去． 本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题利润问题，根据数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】设这种画册每本降价x元， 由题意可得，， 整理得， 解得，， ∵要求每本售价不低于55元， ∴符合题意． 故每本画册应降价4元． 21．对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于x的代数式的不动值是 ． (2)判断关于x的代数式是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由． (3)已知关于x的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求a的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为2，直接写出正整数a的值． 【答案】(1)3或 (2)关于代数式没有不动值； (3)①；②正整数a的值为3． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）根据可得只需要判断出方程是否有解即可； （3）①根据题意可得关于的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可； ②根据题意可得方程，设的两根为和， 由根与系数的关系得，，由题意得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，则， ∴， ∴或， 解得或， ∴关于的代数式的不动值是3或； 故答案为：3或； （2）解：关于代数式没有不动值，理由如下： 当时，则， ∴， ∴原方程无解， ∴不成立， ∴关于代数式没有不动值； （3）解：①∵关于的代数式仅有一个不动值， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得 解得； ②由题意得，则， 设的两根为和， ∴，， 由题意得， ∴，即， ∴， 整理得， 解得或， ∴正整数a的值为3． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$