数学一模保分卷03（全国二卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B C C C A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）由题意知，甲、乙两人各实验一次，且两人得分之和为0分， 则甲通过乙不通过，或者乙通过甲不通过，所以其概率为， 整理可得，解得或，经检验，都合乎题意. 故或.…………（5分） （2）由题意知，故，结合（1）可知； 则甲乙两人能一次性通过的概率分别为， 由题意可知X的可能取值为， 则， ， ， ， ，…………（11分） 故X的分布列如下表： X -4 -2 0 2 4 P 则.…………（13分） 16．（15分） 【详解】（1）因为， 所以，即，     所以.        …………（3分） 因为，所以.…………（5分） （2）由，得，     解得（负根已舍去），         所以的周长为…………（10分） （3）设外接圆的半径为，则，     所以，得，         所以.…………（15分） 17．（15分） 【详解】（1）若，则，． 又，所以， 故曲线在处的切线方程为，即；…………（4分） （2）的定义域为，． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减；…………（9分） （3）由，可得， 即， 令，易知单调递增， 由，可得， 则，即．…………（13分） 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，因此的取值范围为．…………（15分） 18．（17分） 【详解】（1）因为底面是矩形，所以，因为平面，平面，故平面， 在直角梯形中，，因为平面，平面，故平面， 又因，平面， 故平面平面，又因平面，故平面.…………（5分） （2） 由题意，在矩形中，，在直角梯形中，， 所以为二面角的平面角，即得，同理， 因为，平面，所以平面， 由（1）平面平面，则得平面，…………（7分） 过点作于，由平面，平面，所以， 且，平面，故平面，即是四棱锥的高， 由， 所以， 由，平面，平面，所以平面， 又因为平面，且， 所以， 所以，， 当时，取得最大值.…………（10分） （3） 过点作的垂线，交于点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以，…………（13分） ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以，…………（15分） 因为平面和平面垂直，所以， 即，整理可得， 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 故当取得最大值时，即取得最小值， 此时， 由，，，所以，则.…………（17分） 19．（17分） 【详解】（1）根据定义，有： ， 即．…………（3分） （2）（i）的证明：注意到：，故，反之有．而且，进而且， 即．…………（7分） （ii）的证明：根据定义和已知条件，数列和数列均为整数数列．考虑数列的伴随数列：，即数列的伴随数列就是数列．…………（9分） （3）由（2）中（ii）的证明可知：只需证明数列的伴随数列为数列． 设，由定义有，即， 进而有， 由（2）中（i）的证明可知，这等价于， 即．故数列与数列互为伴随数列．…………（13分） 记数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，…为， 易见数列的伴随数列的通项公式为， 记函数，则其反函数为：， 由（3）中所证明结论可知数列的通项公式为．…………（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知点，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（新情景）设线段，点从点出发沿线段向点运动，其任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离，已知与运动时间满足，其中为常数，为自然对数的底数.点从点出发沿射线作匀速运动，两点同时出发且初始速度相同.当的长度分别为与时，的长度分别为，则（    ） A． B． C．2 D．4 6．已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 7．（椭圆和数列综合）已知椭圆，直线，若，都存在椭圆上两点，关于对称，则（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（    ） A． B． C． D． 10．设函数，则（    ） A．是的一条切线 B． C．当时， D．若在区间上有最小值，则实数的范围为 11．在直四棱柱中，，，点，在以线段为直径的圆上运动，且，，三点共线，点，分别是线段，的中点，则下列说法中正确的是（    ）    A．平面平面 B．当四棱柱的体积最大时， C．当时，过的平面截该四棱柱的外接球所得截面面积的最小值为 D．当时，过点，，的平面截该四棱柱所得的截面周长为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数学中有许多猜想，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5不是质数．现设（n∈N*），bn＝，则数列{bn}的前21项和为 ． 13．已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为 . 14．小虹同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形的图案，如图所示，腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，其中的顶点为的中点. 若当点到的距离为4.5时，，则当等腰梯形的面积取到最小值时， . （结果保留2位小数）    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 甲、乙两人参与“过独木桥”活动，每参与一次称为一次实验（不管是否通过）.甲、乙两人能一次性通过的概率分别为和.若一次性通过得1分；没通过得分，两人每次是否一次性通过均相互独立.已知甲、乙两人各实验一次，且两人得分之和为0分的概率为. (1)求的值； (2)若甲一次性通过的概率小于乙一次性通过的概率，甲、乙两人各实验两次，求两人得分之和的分布列和数学期望. X -4 -2 0 2 4 P 16． （15分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，求的周长； (3)若外接圆的半径为，求数列的前项和. 17． （15分） 已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，恒成立，求的取值范围． 18． （17分） 如图，在六面体中，侧面是直角梯形， ，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为. (1)求证：平面； (2)当时，求关于的函数解析式，并求的最大值； (3)若平面平面，当取得最大值时，求的值. 19． （17分） （新定义）设单调不减的无界非负数列，定义数列为，这里表示集合中元素的个数，称为数列的伴随数列． (1)若数列满足，求数列的伴随数列（可以用表示不超过的最大整数）； (2)对任意的正整数，，证明下述关于伴随数列的基本性质： （i）； （ii）若为整数数列的伴随数列，则也为数列的伴随数列： (3)设函数在上连续，严格递增且无界，满足，且对任意正整数，都有，证明：数列与数列互为伴随数列，这里是的反函数；并利用上述结果，直接写出数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的通项公式． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知点，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（新情景）设线段，点从点出发沿线段向点运动，其任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离，已知与运动时间满足，其中为常数，为自然对数的底数.点从点出发沿射线作匀速运动，两点同时出发且初始速度相同.当的长度分别为与时，的长度分别为，则（    ） A． B． C．2 D．4 6．已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 7．（椭圆和数列综合）已知椭圆，直线，若，都存在椭圆上两点，关于对称，则（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（    ） A． B． C． D． 10．设函数，则（    ） A．是的一条切线 B． C．当时， D．若在区间上有最小值，则实数的范围为 11．在直四棱柱中，，，点，在以线段为直径的圆上运动，且，，三点共线，点，分别是线段，的中点，则下列说法中正确的是（    ）    A．平面平面 B．当四棱柱的体积最大时， C．当时，过的平面截该四棱柱的外接球所得截面面积的最小值为 D．当时，过点，，的平面截该四棱柱所得的截面周长为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数学中有许多猜想，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5不是质数．现设（n∈N*），bn＝，则数列{bn}的前21项和为 ． 13．已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为 . 14．小虹同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形的图案，如图所示，腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，其中的顶点为的中点. 若当点到的距离为4.5时，，则当等腰梯形的面积取到最小值时， . （结果保留2位小数）    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 甲、乙两人参与“过独木桥”活动，每参与一次称为一次实验（不管是否通过）.甲、乙两人能一次性通过的概率分别为和.若一次性通过得1分；没通过得分，两人每次是否一次性通过均相互独立.已知甲、乙两人各实验一次，且两人得分之和为0分的概率为. (1)求的值； (2)若甲一次性通过的概率小于乙一次性通过的概率，甲、乙两人各实验两次，求两人得分之和的分布列和数学期望. X -4 -2 0 2 4 P 16． （15分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，求的周长； (3)若外接圆的半径为，求数列的前项和. 17． （15分） 已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，恒成立，求的取值范围． 18． （17分） 如图，在六面体中，侧面是直角梯形， ，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为. (1)求证：平面； (2)当时，求关于的函数解析式，并求的最大值； (3)若平面平面，当取得最大值时，求的值. 19． （17分） （新定义）设单调不减的无界非负数列，定义数列为，这里表示集合中元素的个数，称为数列的伴随数列． (1)若数列满足，求数列的伴随数列（可以用表示不超过的最大整数）； (2)对任意的正整数，，证明下述关于伴随数列的基本性质： （i）； （ii）若为整数数列的伴随数列，则也为数列的伴随数列： (3)设函数在上连续，严格递增且无界，满足，且对任意正整数，都有，证明：数列与数列互为伴随数列，这里是的反函数；并利用上述结果，直接写出数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的通项公式． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即， 又由，可得，解得，即， 所以. 故选：A. 2．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的乘法运算化简复数，即可判断其共轭复数. 【详解】，， 故选：C. 3．已知点，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 4．小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用事件相互独立性，互斥，根据恰好射中两个靶子的概率是建立等式，求出x，再利用事件相互独立性乘法公式进行求解． 【详解】记小明射中三个靶子分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，且，， 恰好能射中两个靶子为事件，且两两互斥， 所以 ， 整理得，三个靶子都没射中为事件， 故， 故选：C． 5．设线段，点从点出发沿线段向点运动，其任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离，已知与运动时间满足，其中为常数，为自然对数的底数.点从点出发沿射线作匀速运动，两点同时出发且初始速度相同.当的长度分别为与时，的长度分别为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据题意分别表示出即可解出答案. 【详解】设，则. 当时，点在点处，其尚未经过的距离为线段的总长度， 即，解得，即. 因为点在任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离， 设点在时刻的速度为，即， 所以点的初始速度为. 又两点同时出发且初始速度相同， 故点的速度，则. 当的长度为时，时间为，代入中，得，即，两边取自然对数，得. 同理，当的长度为时，时间为，得. 当时，点走过的距离为， 同理，当时，点走过的距离为， 故， 故选：C. 6．已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正弦函数的单调性和在区间上单调递增确定的最大值，再由正弦函数的单调性求出值域即可. 【详解】因为，所以当时，， 因为在区间上单调递增，所以，则，即， 所以，所以，解得，则的最大值为1， 此时， 当时，，则在区间上的值域为. 故选：C. 7．已知椭圆，直线，若，都存在椭圆上两点，关于对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点和点关于直线对称得出和 ，再利用点差法得出， 将前两个式子代入化简即可求得，，最后利用等比数列的前项和公式计算即可. 【详解】由题意可得，线段的中点坐标为， 则点坐标满足直线的方程，即， 即，① 又由题意可得，则，② 因点，都在椭圆， 则，， 两式相减得，， 即， 将①式和②式代入得，， 化简得， 则， 则， 则 . 故选：A 8．已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题化为与有两个交点，利用导数研究过原点的切线斜率，数形结合判断参数的范围. 【详解】作出函数的图象，如图示： 当时，，则， 若切点为，则，则切线为， 由切线过原点，则，所以为的一条切线方程， 当时，，则， 若切点为，则，则切线为， 由切线过原点，则，即 ，所以为的一条切线， 当时，，则， 若切点为，则，则切线为， 由切线过原点，则，即 ，所以为的一条切线， 综上，考虑直线，，与曲线相切， 由图知，当时与有两个交点， 所以时函数恰有两个零点． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据等比数列片段和的性质及已知得，进而得到、，再依次判断各项的正误. 【详解】由题设，，而，则， 所以，又，则，A错， 且，所以，B对， ，，C对，D错. 故选：BC 10．设函数，则（    ） A．是的一条切线 B． C．当时， D．若在区间上有最小值，则实数的范围为 【答案】ABD 【分析】借助导数的几何意义计算可得A；求导后计算可得B；构造函数，利用导数研究函数单调性后可得C；结合函数单调性利用最小值性质可得D. 【详解】对A：， 令，则或， 又，则在处的切线为，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：令，， 则， 故在上单调递增，又， 故，即，故C错误； 对D：由，则当时，， 当时，， 故在上单调递减，在、上单调递增， 又，且， 若在区间上有最小值，则有， 解得，故D正确. 故选：ABD. 11．在直四棱柱中，，，点，在以线段为直径的圆上运动，且，，三点共线，点，分别是线段，的中点，则下列说法中正确的是（    ）    A．平面平面 B．当四棱柱的体积最大时， C．当时，过的平面截该四棱柱的外接球所得截面面积的最小值为 D．当时，过点，，的平面截该四棱柱所得的截面周长为 【答案】ABD 【分析】对A：借助线面垂直判定定理先证平面，再借助面面垂直判定定理即可得；对B：利用基本不等式可得时，四棱柱的体积最大时，则可建立适当空间直角坐标系求证；对C：求出球心到直线的距离后借助垂径定理计算即可得；对D：作出所需平面计算周长即可得. 【详解】对A：由直四棱柱性质可得，由为直径，则， 又，、平面，故平面， 又平面，故平面平面，故A正确； 对B：由，则， 则， 当且仅当时，等号成立， 即四棱柱的体积最大时，，同理， 则此时四棱柱为正方体， 则可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，    有、、、、， 则，，有， 故，故B正确； 对C：当时，则由B可得此时四棱柱为正方体， 有、，则， 由正方体性质可得该正方体的外接球球心为，设为， 则，外接球半径为. 则点到直线的距离， 又该截面面积取最小时，点到该截面的距离为， 则，故C错误； 对D：取中点，连接、、、、， 则且，又，故， 故、、、四点共面，即所求截面为四边形， 则截面周长为 ，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数学中有许多猜想，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5不是质数．现设（n∈N*），bn＝，则数列{bn}的前21项和为 ． 【答案】 【分析】先对进行化简，再以裂项相消法求数列{bn}的前21项和. 【详解】 ＝＝＝n＋1， 所以bn＝＝＝－， 则＝－＋－＋＋－＝－＝． 故答案为： 13．已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由正态分布的对称性可得出，则，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为随机变量满足，，， 由正态分布的对称性可得， 所以正实数、满足， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 14．小虹同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形的图案，如图所示，腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，其中的顶点为的中点. 若当点到的距离为4.5时，，则当等腰梯形的面积取到最小值时， . （结果保留2位小数）    【答案】 【分析】如图建系，设抛物线方程为，根据题意得到，将其代入抛物线得到，根据抛物线设，，利用导数求出，设直线的方程为，利用直线的方程求出和，求出，利用基本不等式求最小值即可得解. 【详解】如图建系，设抛物线方程为，    当点到的距离为4.5时，， 则，代入抛物线，解得， 则，即，设，则， 设，， ，，， 则直线的方程为， 令，解得，令，解得， 故， 当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，取最小值，此时. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）甲、乙两人参与“过独木桥”活动，每参与一次称为一次实验（不管是否通过）.甲、乙两人能一次性通过的概率分别为和.若一次性通过得1分；没通过得分，两人每次是否一次性通过均相互独立.已知甲、乙两人各实验一次，且两人得分之和为0分的概率为. (1)求的值； (2)若甲一次性通过的概率小于乙一次性通过的概率，甲、乙两人各实验两次，求两人得分之和的分布列和数学期望. 【答案】(1)或. (2)分布列见解析； 【分析】（1）分析可知，甲通过乙不通过，或者乙通过甲不通过，利用独立事件和互斥事件的概率公式可得出关于的方程，解之即可； （2）根据题意可得出关于p的不等式，结合（1）中的结果可得出p的值，分析可知随机变量的可能取值有-4、-2、0、2、4， 求出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，继而求出数学期望. 【详解】（1）由题意知，甲、乙两人各实验一次，且两人得分之和为0分， 则甲通过乙不通过，或者乙通过甲不通过，所以其概率为， 整理可得，解得或，经检验，都合乎题意. 故或. （2）由题意知，故，结合（1）可知； 则甲乙两人能一次性通过的概率分别为， 由题意可知X的可能取值为， 则， ， ， ， ， 故X的分布列如下表： X -4 -2 0 2 4 P 则. 16．（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，求的周长； (3)若外接圆的半径为，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先用正弦定理角化边，再用余弦定理即可求出； （2）由(1)知，又，可求出边，进而求出周长； （3）由正弦定理可求出，进而求出，再用求和公式即可求出. 【详解】（1）因为， 所以，即，     所以.         因为，所以. （2）由，得，     解得（负根已舍去），         所以的周长为 （3）设外接圆的半径为，则，     所以，得，         所以. 17．（15分）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案详见解析 (3) 【分析】（1）由题可得切线方程斜率与切线所过点，据此可得答案； （2）分类讨论，两种情况下，的正负性可得单调区间； （3）由题可得，结合单调性，可得，最后由单调性可得答案. 【详解】（1）若，则，． 又，所以， 故曲线在处的切线方程为，即； （2）的定义域为，． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； （3）由，可得， 即， 令，易知单调递增， 由，可得， 则，即． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，因此的取值范围为． 18．（17分）如图，在六面体中，侧面是直角梯形， ，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为. (1)求证：平面； (2)当时，求关于的函数解析式，并求的最大值； (3)若平面平面，当取得最大值时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) 【分析】（1）由面面平行的判定定理可得平面平面，然后由面面平行的性质定理即可证明； （2）根据题意，由条件可得，然后分别表示出与，然后代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，建立空间直角坐标系，分别求得平面，平面的法向量，由可得的最大值，然后代入（2）中的体积公式计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为底面是矩形，所以，因为平面，平面，故平面， 在直角梯形中，，因为平面，平面，故平面， 又因，平面， 故平面平面，又因平面，故平面. （2） 由题意，在矩形中，，在直角梯形中，， 所以为二面角的平面角，即得，同理， 因为，平面，所以平面， 由（1）平面平面，则得平面， 过点作于，由平面，平面，所以， 且，平面，故平面，即是四棱锥的高， 由， 所以， 由，平面，平面，所以平面， 又因为平面，且， 所以， 所以，， 当时，取得最大值. （3） 过点作的垂线，交于点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 因为平面和平面垂直，所以， 即，整理可得， 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 故当取得最大值时，即取得最小值， 此时， 由，，，所以，则. 19．（17分）设单调不减的无界非负数列，定义数列为，这里表示集合中元素的个数，称为数列的伴随数列． (1)若数列满足，求数列的伴随数列（可以用表示不超过的最大整数）； (2)对任意的正整数，，证明下述关于伴随数列的基本性质： （i）； （ii）若为整数数列的伴随数列，则也为数列的伴随数列： (3)设函数在上连续，严格递增且无界，满足，且对任意正整数，都有，证明：数列与数列互为伴随数列，这里是的反函数；并利用上述结果，直接写出数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的通项公式． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. (3)证明见解析；. 【分析】（1）根据伴随数列的定义求解； （2）（i）利用证明；（ii）根据伴随数列的定义求； （3）根据伴随数列的定义证明数列的伴随数列为数列，然后由已知数列的伴随数列的通项公式构造出，通过反函数得出通项公式． 【详解】（1）根据定义，有： ， 即． （2）（i）的证明：注意到：，故，反之有．而且，进而且， 即． （ii）的证明：根据定义和已知条件，数列和数列均为整数数列．考虑数列的伴随数列：，即数列的伴随数列就是数列． （3）由（2）中（ii）的证明可知：只需证明数列的伴随数列为数列． 设，由定义有，即， 进而有， 由（2）中（i）的证明可知，这等价于， 即．故数列与数列互为伴随数列． 记数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，…为， 易见数列的伴随数列的通项公式为， 记函数，则其反函数为：， 由（3）中所证明结论可知数列的通项公式为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $