精品解析：山东省威海市文登区三校联考2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题

2025～2026学年第一学期初二数学阶段性检测 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若三角形的两边长分别为6 ㎝，9 cm，则其第三边的长可能为 A. 2㎝ B. 3 cm C. 7㎝ D. 16 cm 2. 剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，下列条件中，不能判是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 4. 如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，平分于．如果，，那么（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在中，平分，平分，且，交于点，若，则等于（） A. B. C. D. 7. 如图，中，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则（　　） A. B. C. D. 8. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，要使，依据，应添加的一个条件是_______． 12. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程求出的长为______． 13. 如图，在中，垂直平分垂直平分，若，则__________． 14. 如图所示的是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是________． 15. 小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝_________°． 16. 如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为______________． 三、解答题（共72分） 17. 如图，在和中，，点A、B、C、D在同一直线上，，若______，则.请从①，②这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 18. 已知，如图，中，，在上求作点D，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 19. 如图，在中，D是边上一点，E是边的中点，作交的延长线于点F，若，求的长． 20. 如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． （1）求小凳子顶点与墙面的距离； （2）在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 21. 如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：． 22. 如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连接交于D，则的长为多少？ 23. 如图，和均为等边三角形，且A，D，E在同一条直线上，连接BD，BE． （1）求证：； （2）若，求证． 24. 如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°． （1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　． （2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期初二数学阶段性检测 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若三角形的两边长分别为6 ㎝，9 cm，则其第三边的长可能为 A. 2㎝ B. 3 cm C. 7㎝ D. 16 cm 【答案】C 【解析】 【分析】已知三角形的两边长分别为6cm和9cm，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，或者任意两边之差＜第三边，即可求出第三边长的范围． 【详解】设第三边长为xcm． 由三角形三边关系定理得9-6＜x＜9+6， 解得3＜x＜15． 故选C． 2. 剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案． 【详解】按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得： ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了剪纸问题，解答此题的关键是根据折纸的方式及剪的位置进行准确分析，可以直观的得到答案． 3. 在中，下列条件中，不能判是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，熟练掌握“当三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形”是解题的关键．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐选项判断即可． 【详解】A．设，，， ，， ， 是直角三角形，故选项A不符合题意； B．， ，， 又， ， ， 是直角三角形，故选项B不符合题意； C．，，，， 不是直角三角形，故选项C符合题意； D．，， ， 是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：C． 4. 如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A．由于，，添加条件，不能用证明，故本选项符合题意； B．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； C．由于，，添加条件，可得，即，可以利用证明，故本选项不符合题意； D．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在中，平分于．如果，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据30°角的直角三角形的性质可得DE的长，根据角平分线的性质可得DE=CE，进而可得答案． 【详解】解：∵，，，∴， ∵BE平分∠CBD，，，∴CE=DE=4cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和直角三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握二者的性质是解答的关键． 6. 如图所示，在中，平分，平分，且，交于点，若，则等于（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可得和是等腰三角形，可得，从而可得，然后再利用角平分线的定义以及平角定义可得，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：平分平分， 在中， 故选：C． 7. 如图，中，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质、三角形外角的定义及性质，由三角形内角和定理得出，再由折叠的性质可得：，最后由三角形外角的定义及性质进行计算即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠的性质可得：， ， 故选：C． 8. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．利用展开图，轴对称，勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开， 根据题意，， ∴ 作点Ａ关于直线的对称点G，连接，则为所求最短距离， 则， 过点作，交的延长线于点E， 则四边形是矩形， 故， 故， 故， ∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为． 故选：C 9. 如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可． 【详解】解：如图所示：作A点关于直线的对称点，再连接，交直线于点P， 则此时最小，过点B作交延长线于点E， ∵，，． ∴，， ∴，， 在中， ， 则的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题． 10. 如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，四边形内角和定理，三角形外角的性质．首先作点A关于的对称点M，N，延长到点G，根据轴对称的性质可得，，，，由“两点之间线段最短”可知当M，F，E，N四点共线时，的周长最小，由四边形内角和为可得，再由三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，进行角的和差计算，即可得到答案． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点M，N，延长到点G， ∴，， ∴，， ∴的周长， ∴当M，F，E，N四点共线时，的周长最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，要使，依据，应添加的一个条件是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：， 理由如下：在和中， ， ∴， 故答案为：． 12. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程求出的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，在中，垂直平分垂直平分，若，则__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，由此计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：垂直平分垂直平分，， ， ， 故答案为：8． 14. 如图所示的是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查勾股定理定理，根据正方形的边长相等，等腰直角三角形的直角边相等，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，可知，③号正方形的边长为1， 由勾股定理，得：4号正方形的面积为：， ②号正方形的面积为：， 5号正方形的面积为：， ①号正方形的面积为：； 故答案为：16． 15. 小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝_________°． 【答案】67.5 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质等边对等角求解即可． 【详解】解：设∠ECF＝x， ∵EC＝EF， ∴∠EFC＝∠ECF＝x， ∴∠GEF＝2x， ∵EF＝GF， ∴∠FGE＝∠GEF＝2x， ∴∠DFG＝∠FGE+∠ECF＝3x， ∵DG＝GF， ∴∠GDF＝∠DFG＝3x， ∴∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x， ∵DG＝DA， ∴∠A＝4x， ∴∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x， ∵BC＝BD， ∴∠BDC＝∠BCD＝5x， ∴∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACD＝6x， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴4x+6x+6x＝180°，解得：x＝， ∴∠B＝＝67.5°． 故答案为：67.5． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质：等边对等角是解答本题的关键． 16. 如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，根据折叠前后的图形全等得到相关条件是解答本题的关键．先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：在长方形中，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 如图，在和中，，点A、B、C、D在同一直线上，，若______，则.请从①，②这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】 解：∵， ∴， ∴， 当选择①时，与的夹角为，不是， 故无法判定； 不选择①； 当选择②时， 则， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：②． 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理，逐一验证即可． 本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】略 18. 已知，如图，中，，在上求作点D，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】如图，点D为所求作的点： 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．作出线段的垂直平分线，与的交点就是所求点． 【详解】解：根据题意，，结合，得到， 故线段的垂直平分线，与的交点就是所求点，则点D即为所求． 19. 如图，在中，D是边上一点，E是边的中点，作交的延长线于点F，若，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】根据证明，再利用全等三角形的性质求出即可解决问题； 【详解】证明：∵E是边的中点， ∴． 又∵， ∴， 在与中，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵E是边的中点，， ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 20. 如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． （1）求小凳子顶点与墙面的距离； （2）在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理并结合题意构造直角三角形是解题的关键． （1）通过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理计算小凳子顶点与墙面的距离； （2）延长线段构造直角三角形，设未知数表示各边长度，再通过勾股定理列方程求解小凳子宽和木杆长． 【小问1详解】 解：过作垂直于墙面，垂足，根据题意可得，， 在中，， 即顶点与墙面的距离为． 【小问2详解】 解：延长交墙面于点，可得， 设，则，，， 在中，，即， 解得， ∴， ∴凳子宽的长度为木杆的长度为． 21. 如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：如图， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键在于通过平行线的性质找出角度的相等，进而转变为边长相等． （1）根据题意作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得，同位角相等可得，再根据角平分线的定义可得，然后求出，根据等角对等边的性质即可得证； （2）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，再根据，，整理即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连接交于D，则的长为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三线合一，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 过作交于，由等边三角形的性质及平行线的性质可证得是等边三角形，于是可得，由三线合一可得，可证得，于是可得，进而可推出，于是得解． 【详解】解：过作交于．如图所示： ，是等边三角形， ，是等边三角形， ， ， ， ，， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 23. 如图，和均为等边三角形，且A，D，E在同一条直线上，连接BD，BE． （1）求证：； （2）若，求证． 【答案】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，，然后再根据“”证明即可求解； （2）先根据三角形的外角和定理得出，进而推出，再根据“内错角相等，两直线平行”得出，最后根据含直接三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等边三角形的综合题，能够熟练运用等边三角形的性质，全等三角形的证明，三角形的外角和定理，平行线的判定定理和含直接三角形的性质是解题的关键． 24. 如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°． （1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　． （2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由． 【答案】（1）AE＝BD，AE⊥BD； （2）（1）中的结论还成立，理由如下： 如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O． ∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE与△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD， ∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH， ∴∠BOH+∠OBH＝90°， ∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD， ∴AE＝BD，AE⊥BD，（1）中的结论还成立． 【解析】 【分析】（1）延长AE交BD于H．证明△ACE≌△BCD即可； （2）延长AE交BD于H，交BC于O，只要证明△ACE≌△BCD，即可证明（1）中的结论还成立． 【详解】解：（1）如图1中，延长AE交BD于H． 在△ACE与△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD， ∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH， ∴∠BEH+∠EBH＝90°， ∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD， 故答案为：AE＝BD，AE⊥BD； （2）略 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $