精品解析：青海省西宁市第十一中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

2025-2026学年青海省西宁十一中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合． 【详解】解：A选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意； D选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：是分式方程，不是整式方程，故选项错误； B：可变形为，是一元一次方程，故选项错误； C：符合一元二次方程的定义，故选项正确； D：中，当时，不是一元二次方程，故选项错误； 故选：C． 3. 已知二次函数，下列说法中不正确是（ ） A. 该二次函数的图象的开口向下 B. 该二次函数图象的顶点坐标是 C. 该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D. 已知点和都在这个二次函数的图象上，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据可得该二次函数的图象的开口向下，由此即可判断选项A正确；将二次函数的解析式化成顶点式即可判断选项B错误；求出当时，的值即可判断选项C正确；根据二次函数的增减性即可判断选项D正确． 【详解】解：∵二次函数中， ∴该二次函数的图象的开口向下，则选项A正确； 二次函数化成顶点式为， ∴该二次函数图象的顶点坐标是，则选项B错误； 当时，，解得或， ∴该二次函数的图象与轴的交点坐标是和，则选项C正确； ∵二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵点和都在这个二次函数的图象上，且， ∴，则选项D正确； 故选：B． 4. 下列命题中，①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③等弦所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的基本概念和命题的真假判断． 根据弧、弦、等弧等定义逐一分析各命题：①半圆是弧，正确；②弦是线段，不是圆上两点之间的部分，错误；③等弦所对的弧不一定相等，因为可能涉及优弧或劣弧，且未指定同圆或等圆，错误；④根据弧向圆心角的关系可知④正确；⑤是圆的定义，正确．因此正确命题为①和⑤． 【详解】解：半圆是圆上任意两点与直径端点围成的弧，①正确； 弦是连接圆上两点的线段，不是“部分”，②错误； 等弦所对的弧可能有优弧和劣弧之分，且未指定同圆或等圆，③错误； 因为能够重合的弧叫等弧，即只有在等圆或同圆中才存在等弧，所以等弧所对的弦相等，④正确； 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，⑤正确； 正确的是①④⑤． 故选：C． 5. 已知等腰的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程的两根，则的周长为（ ） A. 6.5 B. 7 C. 6.5或7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意可得关于x的方程有两个相等的实数根，再根据一元二次方程根的判别式求出k的值，然后求出方程的根，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】由题意得：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 则其根的判别式， 解得， 则方程为， 整理得：， 解得， 因此，等腰的三边长分别为， 则的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、一元二次方程根的判别式等知识点，利用一元二次方程根的判别式求出k的值是解题关键． 6. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把，，代入二次函数中，比较，，即可． 【详解】∵点，，经过 ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握点在函数图象上的点． 7. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项错误． 故选：． 8. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②m为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据所给二次函数的图象，可得出，，的正负， 再结合抛物线的对称性和增减性，对所给结论依次进行判断即可，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 抛物线的开口向下， ∴， 抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①符合题意， ∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴当时，函数取得最大值为， 则对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），其函数值不大于， 即， ∴，故②符合题意， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 即，故③符合题意， 由函数图象可知，当时，函数值小于零， ∴， 又∵， ∴， 即，故④符合题意， ∵抛物线对称轴为直线，且时函数值小于零， ∴当时，函数值小于零， 又∵当时，函数值大于零， 则， ∴， ∴，故⑤不符合题意， ∴符合题意的有个， 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 若将抛物线向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为______. 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可得，掌握二次函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 故答案为：或． 10. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， ∴， 又∵二次项系数，即， ∴． 故答案：． 11. 某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将共有49人感染，设这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了个人， 经过一轮传染之后有人感染流感，两轮感染之后的人数为49人，依此列出一元二次方程即可． 【详解】解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，，依题可得： ，即， 解得：或（舍去） 故答案为：6． 12. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______  ． 【答案】2035 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解的含义．利用a是方程的根，得到，结合两根之和，然后代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴且， 即， ∴ 代入，得， 故答案为：2035 13. 已知抛物线，当时，则的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】把抛物线化成顶点式，结合对称轴，开口方向，确定时，二次函数的最大值与最小值，再确定范围即可． 本题考查了顶点式的转化，抛物线的增减性，最值，熟练掌握增减性和最值确定方法，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，函数有最小值， ∴抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴在这个范围内， ∴二次函数的最小值为2, ∵， ∴当时，取得最大值，且最大值为， 故的取值范围为． 故答案为：． 14. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为_____m． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点， 则：O为原点，，； 设函数解析式为，把A点坐标代入得， ∴抛物线解析式为， 当水面上升1.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴此时的水面宽度为m 故答案为2． 15. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为_______． 【答案】##128度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可得，结合，得，再利用圆周角定理求解． 【详解】四边形为圆内接四边形， ， 又， ， 在中，由圆周角定理，可得， 故答案为：． 16. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，将边AD绕它的端点旋转，当另一端点恰好落在边BC所在直线的点E处时，线段DE的长为__________． 【答案】或或5 【解析】 【分析】分两种情形：绕A旋转或绕D旋转，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=3，AD=BC=5，∠ABC=∠DCB=90°， 当AD绕A旋转，AD==5时，， ∴C=1，C=9， ∴，， 当AD绕D旋转时，， 综上所述，满足条件的DE的值为或3或5， 故答案为：或3或5． 【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 17. 如图，AB是的直径，C，D是上点，且，分别与，相交于点，，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有______  ． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质，掌握圆中有关的线段、角的相等是解题的关键，特别注意垂径定理的应用． 是的直径，可证①；，，，可证②；不可能是的垂直平分线，可得，可证③；是的直径，，，可证④；由④有，，点为中点，是的中位线，可证⑤，由此即可求解． 【详解】解：①∵是直径， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故②正确； ③∵在中，是外角， ， 在中，是外角，， 又∵， ， ∴不可能是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴，故③不正确； ④∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为圆心， ∴，故④正确； ⑤由④有，， ∵点中点， ∴是的中位线， ∴，故⑤正确； 综上可知：其中一定成立的有①②④⑤， 故答案为：①②④⑤． 18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）或 （2）或 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）根据公式法计算可以得解； （2）根据公式法计算可以得解； （3）根据因式分解法计算可以得解； （4）根据直接开平方法计算可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，， ，，， ， ， 解得或； 【小问2详解】 解：由题意，， ，，， ， ， 解得或； 【小问3详解】 解： 解得或； 【小问4详解】 解：由题意， 或， 解得或． 20. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标是、、． （1）画出绕点B逆时针旋转的； （2）画出关于点O的中心对称图形； （3）可由绕点M旋转得，请写出点M的坐标：________． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）分别确定绕逆时针旋转后的对应点再顺次连接从而可得答案； （2）分别确定关于原点对称的对称点再顺次连接从而可得答案； （3）如图，由；是旋转对应点，则到旋转中心的距离相等，到旋转中心的距离相等，可得线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，再根据在坐标系内的位置写出其坐标即可. 【详解】解：（1）如图，是所求作的三角形， （2）如图，是所求作的三角形； （3）如图，；是旋转对应点， 到旋转中心的距离相等，到旋转中心的距离相等， 则线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，其坐标为： 【点睛】本题考查的是旋转作图，中心对称的作图，确定旋转中心，掌握旋转的性质是解本题的关键. 21. 已知，在中，，，点D是边上的一点（不与点B，C重合），连接 （1）如图1，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，则与的关系是______； （2）如图2，点D，F都在线段上，且． ①求证： ②若，，求的周长． 【答案】（1）， （2）①见解析，② 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，，利用证明即可得到； （2）①将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，证明可得，利用勾股定理从而可证明结论； ②过A作于H，然后根据勾股定理分别求出三边即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ，即， ； 【小问2详解】 解：①证明：将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，如图2所示： 则，， ∵ ， ∴， 又∵， ， ， 由（1）可知：，， ∴， ∴； ②解：过A作于H， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴的周长为． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及等腰直角三角形的相关知识，解题的关键是灵活应用全等三角形的判定与性质． 22. 如图，抛物线经过点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： （3）设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）连接交对称轴于点P，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线解析式为，得出当时，，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图1中，连接交对称轴于点P， 根据对称性可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴点P坐标． 【小问3详解】 在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形． 理由如下： ∵， ∴顶点D的坐标为， ∵， ∴， 设点M的坐标为，则： ，， ①当A为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ②当D为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ③当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即 ， 解得或， 所以点M的坐标为或； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，二次函数的顶点式，勾股定理等知识，有一定的难度，数形结合、分类讨论及方程思想的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年青海省西宁十一中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数，下列说法中不正确的是（ ） A. 该二次函数的图象的开口向下 B. 该二次函数图象的顶点坐标是 C. 该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D. 已知点和都在这个二次函数的图象上，则 4. 下列命题中，①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③等弦所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．正确的是（ ） A ①②③ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ②④⑤ 5. 已知等腰的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程的两根，则的周长为（ ） A. 6.5 B. 7 C. 6.5或7 D. 8 6. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 7. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②m为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 若将抛物线向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为______. 10. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为_____． 11. 某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将共有49人感染，设这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则______． 12. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______  ． 13. 已知抛物线，当时，则的取值范围______． 14. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为_____m． 15. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为_______． 16. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，将边AD绕它端点旋转，当另一端点恰好落在边BC所在直线的点E处时，线段DE的长为__________． 17. 如图，AB是的直径，C，D是上点，且，分别与，相交于点，，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有______  ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ______________． 三、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） 20. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标是、、． （1）画出绕点B逆时针旋转； （2）画出关于点O的中心对称图形； （3）可由绕点M旋转得，请写出点M的坐标：________． 21. 已知，在中，，，点D是边上的一点（不与点B，C重合），连接 （1）如图1，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，则与的关系是______； （2）如图2，点D，F都在线段上，且． ①求证： ②若，，求周长． 22. 如图，抛物线经过点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： （3）设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $