三角函数常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2025年12月刊

中学生数理化高数学2025年12月 经典题突破方法 三角函数常见典型考题赏析 ■赵新晓 题型一：弧度制及其应用 1‘或二2即当圆的半径为1时，圆心 r=1 利用扇形的弧长和面积公式解题时，要 a=4 a=1, 注意角的单位必须是弧度。求扇形面积最大 角的弧度数为4或当圆的半径为2时，圆心 值的问题，常转化为二次函数的最值问题。 角的弧度数为1。应选ABC。 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理 题型二：三角函数的概念 地利用圆心角所在的三角形。 已知角α终边上一点P的坐标，可求出 1(1)已知扇形的圆心角a=受，半 α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也 可求出点P的坐标。利用角所在的象限判 径R=I0cm,则此扇形的弧长为cm,面 断角的三角函数值的符号时，注意不要忽略 积为cm。 角的终边在坐标轴上的情况。 (2)已知扇形AOB的周长为4，当扇形 例2在平面直角坐标系中，角α以x 的面积取得最大值时，扇形的弦长AB等于 轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点 P(x,写）则cos2a等于一 解：(1)由已知得a=号，R=10cm,所以 解：因为在平面直角坐标系中，角α以x 1=aR-号×101g(cm),Sas-2aR2= 轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点 ××10-9(cm). P(）,所以sna= 3 ,所以cos2a= (2)设扇形的半径为r,弧长为1，则1+ 1-2sin'a=1-2× 3/ 2r=4,即l=4一2r,0<r<2,所以扇形的面 跟踪训练2：已知角α的终边过点 积S气之女子(42rr=(2r)r= P(-8m,-6sin 30),cos a=- 5,则m 十2r=一(r一1)”十1，所以当r=1时，S取 的值为 得最大值1，此时l=2,则扇形的圆心角α= 提示：由题意得点P(一8m,一3)，显然 ↓=2，所以扇形的弦长AB=2rsin2= m>0。易得r=√64m十9，所以cosa= 2sin1。 8m 1 跟踪训练1：（多选题）已知扇形的周长 /64m2+9 5,所以m=2 是6，面积是2，则下列选项可能正确的 题型三：同角三角函数基本关系式和诱 是()。 导公式的应用 A.圆的半径为2 利用同角三角函数基本关系式和诱导公 B.圆的半径为1 式求值或化简时，关键是寻求条件与结论间 C.圆心角的弧度数是1 的联系，灵活使用公式进行变形，同时要注意 D.圆心角的弧度数是2 角的范围对三角函数值的符号的影响。 提示：设扇形的半径为r,圆心角的弧度 例3已知a为锐角，且2tan(π一a)一 12r+ar=6, 数为a。由题意得 解得 3cos(经+B）+5=0,ian(x+a)+6sin(x+B) 1 2ar2=2, 1=0,则sina= 42 高一数学经赛雅方清中学生最理化 解：由已知得 (3sin B-2tan a+5=0, 对asin x十bcos x化简时，要熟练掌握求辅 消 tan a-6sin B-1=0, 助角p的值的方法。 去sinB得tana=3,新以sina=3cosa,代人 例4已知函数f(x)=sinx一2cosx, 9 sin'a十cosa=1化简得sin'a=10。因为a 设当x=日时，f(x)取得最大值，则cos日= 为锐角，即sina>0,所以sina= 3√10 解：f(x)=sinx-2cosx=W5sin(x 10 跟踪训练3：（多选题）下列结论正确的 9),其中cosp= in=25 √5 ,则f(0)= 是()。 A.sin(π十a)=一sina成立的条件是角 5sin09)=5,所以0-9=受+2kxk∈ α是锐角 B.若cos(n元一a)= 7,所以cos0=cos(g+受+2kx)=-sing= 3(n∈Z),则cosa 25 5 跟踪训练4：化简：tan10°tan20°十 C若e≠经(k∈z,则an(受+a) tan20tan60°+tan60tan10°=_。 提示：原式=tan10°tan20°十 1 tan60(tan20+tan10)=tan10°tan20°+ tan o D.若sina十cosa=1,则sin”a十cos"a= √3tan(20°+10)(1-tan20°tan10°)= 1(n∈Z) tan10°tan20°+1-tan20°tan10°=1。 提示：当a∈R时，sin(π十a)=一sina, 题型五：角的变换问题 A错误。当n=2k(k∈Z)时，cos(nπ-a)= 当“已知角”有两个时，“所求角”一般表 示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知 c0s(一a)=cosa,此时c0sa=合，当n=2k+ 角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角” 1(k∈Z)时，cos(nπ-a)=c0s[(2k+1)元 与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公 1 式把“所求角”变成“已知角”。常见的角的变 a]=cos(x-a)=一cosa,此时cosa= 3 换有2a=(a十9)+(a-9),a=十里+a里， B错误。若a≠经(k∈)，则1an(受十a）)= 2 2 晋+a=受-(g-a)a=(a+8)-g=(a sin(g+a） cos a .1 cos(经+aj sina tana,C正确。将 )+a,(+a)+(-a)=等。 等式sina十cosa=1两边平方得sin acos a 份5已知<a<,0<日< =0,所以sina=0或cosa=0。若sina=0, 则cosa=1,此时sin”a十cosa=1;若cosa= os(任+a）=-号，sim(+)=点，则 0,则sina=1,此时sin”a十cosa=1。故 sin(a十B)= sin”a十cos"a=1(n∈Z),D正确。应选CD。 解：因为<a<,所以受<十a< 题型四：两角和与差的三角函数公式及 辅助角公式的应用 x,所以sim(开+a）-√1-cos(天+a) 运用两角和与差的三角函数公式时，不 4 但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变 。又因为0CB<至，所以T<3+g<, 5 4 形应用。公式的逆用和变形应用更能开阔思 路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力。 所以cos(F+）=-1-sim(F+) 43 中学生款理化餐集贺翠被方德车1B月 12 ,所以sin(a十B)=-sin(π十&+B) (2)已知a,B均为锐角，cosa= 2√7 7 sin[(T+a)+(+p)]=-sm(+a): 3√3 sin B= ,则sin2a= 14 ,2a-3=」 eos(+p）-cos(年+a)sn(+)-8e 解：(1)依题意得t=sin36 sin144° sin 72- sin72° 跟踪训练5：已知sina= √5 5,a为钝角， c0s54° 2c0s72°。故原式= 4cos72°√4-(20s72) tan(a-B)= 3,则tang= cos 54 cos54° 4cos72°√4sin72 4cos72°·2sin72 提示：因为sm。=写。为饨角，所以 sin36° 1 4sin144°=4。 25 c0sa= √1-sin'a=- ,所以tana= 5 (2)因为cosa= 2√7 7,所以cos2a= sin a= cos a 2。又an(a一B)=子，所以tanB 1 2c0s。-1-子。又因为a,B均为镜角，所以 =tan [a-(a-B)]= tan a-tan(a-B) 1+tan atan(a-B) sin a 21,cos 8- ,所以sin2a= 13 7 一1。 43 题型六：三角函数的求值问题 2sin acos a= 7 给值求值问题，一般是将待求式子化简 因为cos2a=1-2sin'a= 1 整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然 方，所以 后根据角的范围求出相应角的三角函数值， √3 sin(2a-B)-sin 2a cos B-cos 2asin B= 代入即可。给角求值问题，一般给出的角都 2 是非特殊角，通过仔细观察非特殊角与特殊 因为a为锐角，所以0<2a<π。因为cos2a 角之间的关系，结合公式转化为特殊角的三 >0,所以0<2a<受。又日为锐角，所以 角函数即得结果。给值求角问题，一般先求 角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确 吾<2a-g<受所以2a-日=5 定角的大小。给值求角遵照以下原则：已知 正切函数值，选正切函数，已知正、余弦函数 跟踪训练6：(1)已知cos(x一无) 值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 告则sin2x+)= (0,),则选正，余弦皆可：若角的范围是(0， (2)已知a为锐角，1 π)，则选余弦较好：若角的范围为（一受，受）， tan80-sina,则 则选正弦较好。 例6(1)黄金三角形有两种，一种是顶 提示：1)因为c0(x一无)=一青，所以 角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108 cos(2x-F)=2cos(e-0）-1=云，所以 的等腰三角形。已知在顶角为36°的黄金三 角形中，36°角对应边与72角对应边的比值 sin(2x+）=sim[(2x-g）+] 为5,1≈0.618，这个值被称为黄金比例。 2 cos(2x-）= 若t=5,1,则-2sim27 2 2t A-1 (2)由题设条件得1十 tan 80 44 高一数学是酸方清中学生教理化 经典题突破方法 sin80°+√cos80 2sin(80°+60) sin 80 sin 80 -sin dcos 6 (1-cos 20)-sin'0.c- 2sin 140 sin40° 1 1 sin20 2sin40°cos40 sin40°cos40 cos 405 cos0 cos 0= =sin Otan9。因为T< cos 4 1 1 sin50°-sina 所以sina=sin50°。因为a 0<专，所以sin0e(径，)，且am0>1> 22 为锐角，所以a=50°。 sina> 2 >cos 0> 1 题型七：三角恒等变换的综合应用 ，所以c=sin0tan9> 三角恒等变换的关键是变角、变函数名 b=sin8>a=sin0cos日。应选C。 称和变结构，尤其要注意角之间关系的变化， 题型八：三角函数的周期性、对称性与奇 同时要注意公式的逆用和变形应用。形如 偶性的应用 奇偶性的判断方法：三角函数中，奇函数 y=asinx+bcos x化为y=W√a'+bsin(.x 一般可化为y=Asin wx或y=Atan wx的 十)的形式，可进一步研究函数的周期性、单 形式，偶函数一般可化为y=Acos wx的形 调性、最值及对称性 式。周期的计算方法：函数y=Asin(wx十 贪7若a,a∈（受，x),且(1-c0s2a)1 p)y=Ac0s(or十，>0的周期为二，函 十sinB)=sin2 acos B,则下列结论正确的是 ()。 数y=Atan(oz十p)(w>0)的周期为严。对 A.2a+B=2 5π B.2a-9=8 称轴、对称中心的求法：形如f(x)= Asin(wx十+g)或f(x)=Acos(wx+p)的函 D,a-月= 数，如果求∫(x)的对称轴，只需令ωx十9= 解：由a,3∈（受，x),可得sina≠0。因 受十kxk∈Z)或令ar十g=kxk∈2)，求 即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只 为(1-cos2a)(1+sinB)=sin2acos3,所以 2sin'a (1+sin B)=2sin acosacos B, 箭令ar十g=x(∈)或令ax十g=登十 sina(1+sinB)=cos acos B,所以sina= kπ(k∈Z),求x即可。对于函数f(x)= cos acos B-sin asin B=cos(a+B),所以 Aan(ar+g),令amx+9=经(k∈Z),求出 cosa+B)=cos(受-a). x即得f(x)的对称中心的横坐标。 因为a,∈（经，x).所以x<a十B<2元， 例8(1)（多选题）已知函数f(x)= sinx(sinx一cosx),则下列说法正确的是 且-<-a<0,所以a十=2 2 -a+2x, ( )。 A.函数f(x)的最小正周期为x 可得2a+B-。应选A B.点(-，0)是y=f(x)图像的对称 跟踪训练7：已知平<0<号，若a= 4 中心 tan日 11 tam0+1,b=2-2c0s20,c= .1 cos日-c0s0, C点（管·号）是y=fx)图像的对称中心 则a,b,c的大小关系是( )。 D.直线，-爱是)=f()园像的对称袖 A.c>a>b B.b>c>a C.c-ba D.b>a>c (2)已知函数f(x)=巨cos(+ tan sin Ocos0 提示：易得a= tan'0+1 sin'0+cos'0 十)是奇函数，且∈[-，】，则的值 45 经典题突破方法 中学生数理化离数￥0年12月 为 应选ABC。 解：(1)由f(x)=sinx(sinx一cosx)= (2)由函数f(x）=2sin(wx+p) sin'x-sin xcos x= 1-cos 2x 2 2 sin 2x= (>0,<受)的最小正周期为，其图 竖sm(2x+)+号，可得T-经=，A 像关于直线正=吾对称，可得 正确。当x=一冬时，2x十至=0，此时 2元， w 解得ω=2，结合 sim(2x十)=0，则函数f(x)关于点(-否， 6w+9=E+kπ，k∈Z 号)对称，B错误。当=爱时，2x十至-受， 1g<受得9=。据上得函数∫(x)= 此时sin(2x+不)=1，则函数f(x)关于直 2sin(2x+）,所以f(）=2sin(2×T+ 线x=后对称，C错误。当x-爱时，2x+开 )=. 题型九：三角函数单调性的应用 =3,此时sim(2x+平）=-1，则函数fx) 2 求形如y=Asin(wx十9)或y= 对称，D正确。应选AD Acos(wx十p)(其中w>0)的单调区间时，要 关于直线x=二 视“ωx十p”为一个整体，通过解不等式求解； (2)由已知得十9=x+受(k∈Z),所 已知三角函数的单调区间求参数时，先求出 函数的单调区间，再利用集合间的关系求解。 以p=x十(k∈).因为g∈[-受，]， 例9已知函数f(x)=cos2x-sinx, 则( 所以当k=0时9一至，符合题意。故一牙 A.(x)在(-受，一)上单调递减 跟踪训练8：(1)（多选题）下列函数中， 最小正周期为π的是( Bx)在(-至，)上单调递增 A.y=cos 2x B.y=|cos x C.f(x)在(o,）上单调递减 C.y-cos(2x+) D.fx)在（任）上单调递增 D.y=tan(2-) 解：易得f(x)=cosx-sin'x=cos2x。 (2)已知函数f(x)=2sin(wx十9) 对于A,由x∈（受，），可得2x∈ (。>0,p<受)的最小正周期为元，其图像 (-元，一，所以函数f(x)=cos2x在 关于直线x= 对称，则f(）=一。 (一受，一否)上单调递增，A不正确。对于 提示：(1)对于A,y=cos|2x|=cos2x, B,由x∈（-)，可得2x∈（空若） 其最小正周期为π。对于B,由函数图像知 y=|cosx|的最小正周期为元。对于C,y= 所以函数f(x)=c0s2x在(-，)上不单 0s(2x+)的最小正周期T-=元。对 2 调，B不正确。对于C,由x∈(0，于)，可得 于D,y=tan(2x- )的最小正周期T一空。 2x∈(o,),所以函数f(x)=0s2x在 46 高一数学经赛雅方清中学生最理化 (o,)上单调递减，C正确。对于D,由x∈ 解：因为f(x)=Asin(ox十牙）(w>0) (任》，可得2x∈（受，）所以函数 的图像与x轴的两个相邻交点间的距离为 了)=c0s2x在（罕，）上不单调，D不正 牙，所以函数了x)的最小正周期T-警，所 确。应选C。 以w=3,故函数f(x)=Asin(3x十智）。为 跟踪训练9：若f(x)=cosx一sinx在 了得到g(x)=Acos3x的图像，只需将函数 [一a,a]上单调递诚，则a的最大值是( )。 f(x)的图像向左平移8个单位长度，可得g(x) A B受 C.3π 4 D.元 =Asim3(+意)+]=Asin(3x+） 提示：函数f(x)=cosx一sinx= Acos3x的图像。应选C。 2cos(x十)。由题意得a>0。因为函数 跟踪训练10：已知曲线C1:y=cosx, f(x)=巨cos(x+T)在[-a,a]上单调递 C,:y=sin(2x+）,为了得到曲线C,则对 a+≥0， 曲线C的变换正确的是( )。 A.先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐 减，所以 ia+≤， 解得0<a≤至，所以 标不变)，再把得到的曲线向右平移石个单位 a>0, 长度 a的最大值是平。应选A B.先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐 题型十：函数y=Asin(wx十P)的图像 标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位 与变换 长度 由y=sin wx的图像得到y=sin(wx十 C,先把横坐标缩短到原来的号（纵坐标不 9)(ω>0，p>0)的图像有两种主要途径，即 “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。如果平 变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度 移前后两个图像对应的函数的名称不一致， 那么应先利用诱导公式化为同名函数后再进 D.先把横坐标缩短到原来的？〔纵坐标不 行平移变换。 例10函数f(x)=Asin(ar+罗)(w> 变)，再把得到的曲线向左平移是个单位长度 0)的图像与x轴的两个相邻交点间的距离为 提示：Cy=sin(2x+）=cos[图 晋，为了得到函数R()=A09ar的图像， (2x+)]=cos(答-2x）=cos(2x-) 只需将∫(x)的图像( ）。 cos2(-). 把y=cosx的图像的横坐 A.向左平移登个单位长度 标缩短到原来的2，得到y=cos2x的图像， B.向右平移个单位长度 再把y=c0s2x的图像向右平移是个单位长 C向左平移器个单位长度 度即得到C,的图像。应选C。 D.向右平移个单位长度 题型十一：三角函数单调性与w的关系 利用题设条件，确定函数的单调区间，根 中学生款理化餐典李疏方车12月 据区间之间的包含关系建立不等式，即可求 N,即2n9,n∈，所以n=0,1,2,3,4,即周 得“的取值范围。解答这类问题的关键是建 期T有5个不同取值，所以w的取值共有5 立关于“的不等式或方程，即可求得“的范 个。应选D。 围或取值。 例11 已知w>0,函数f(x)= 感悟与 1 2 cos wx- im(元一ax)在(g,)上单调 若函数f(x)=√3 sin wx十cos wx(w> 递增，则ω的取值范围是( 。 0)在区间(0，)上仅有一条对称轴及一个对 A.[2,6] B.(2,6) 称中心，则ω的取值范围为( )。 「。107 n(e》 A.(5,8) B.(5,8] c. [2,3J C.(5,11] D.[5,11) 2 cos wx- 提示：应选B。 解：函数f(x)= 2 -sin(π 作者单位：河南省邓州市湍北高级中学校 wx）= 2 cos wx_ 2 sin wx-sin wx cos 5十 (责任编辑郭正华) 6 ymy合金wi金ayy金m金ym cos wx sin 誓=sim(ox+）.因为函数 勘误 6 本刊2025年10月刊第5页例6因应用 )在（经，）上单调递增，所以 函数性质错误，导致对各选项的判断出现错 2k元一1 5元 误，特此勘正，并为对广大读者的正常阅读产 2≤3w+ 6 k∈Z,解得6k一4≤ 生的不良影响致款。 2w 5不≤2kπ十 正解：已知函数T=f(t)的图像下凸且 6 2 ω4k一 ,k∈Z。由6k-4≤4k一2 2 ,可得 单调递减，设t,<,<t,则)ft 2 k≤号k∈。因为w>0,k∈五，所以太=1， f()。对于A,因为十：=2，所以 所以2a≤9。应选C 产=，所以)十f>f(,即 2 2 f(t1)十f(t)2f(t2),A正确。对于B,因为t 跟踪训练11：已知函数f(x)=3sin(wz +9),w>0,若f(）-3,f(x)=0,函数 +≥2所以兰>所以f士） f(x)在（石，）上单调递减，则w的取值共 f,且)士>f作)所以 2 有( )。 f(t1)十f(t)与2f(t,)的大小关系不确 A.2个 B.3个C.4个 D.5个 定，B错误。对于C,因为f(t1)+f(t)= 提示：因为f()=3,f(x)=0,所以 2f(t),所以f(t2)= f(+f( 2 6 2n+1·T(n∈N),可得T= ）所以<士，印十≥2 A 10元 32n干Dn∈N).因为f(x)在(，)上 C错误。对于D,由f(t)十∫(t)>2f(t2), 且f)+f)>2f(）知f)与 单调递减，所以号≥晋-答-吾，所以T≥ f()的大小不确定，结合f(x)递减得 吾，即320n≥景，所以2m十1≤10，n∈ 10π t1十t:与2t2的大小不确定，D错误。应选A。 48