三角恒等变换中的六类创新问题-《中学生数理化》高一数学2025年12月刊

创新题追根溯源 中学生数理化高数学2025年12月 三角恒等变换中的六类创新问题 ■冷文华 创新1：三角恒等变换中的“差异分析法” 元17√2 3 1 sin 2xcos-cos 2xsin4- 50。 例1 计算： sin220 c0s220°+ 点评：“换元变角法”是三角恒等变换中 64sin20°= 的常用方法。“换元变角法”的实质就是角的 3 1 解析： c0s220° +64sin220°= sin220 配凑，如题中2a十是=2(。十晋）一千。如果 3cos220°-sin20 sin220°·cos2209 64sin20° 采用换元变角法，那么就只是简单的代入，且 操作简单，直达目标。 (√5cos20°-sin20)(W3cos20°+sin20) 创新3：三角函数名称的互化（切化弦）】 sin20°·cos220 32- 32cos40°= 4cos50°sin80 例3 .+32 计算：女c0s20 -sin10°· 2sin20° 4sin'40 tan 53 -tan5°）= 32c0s40°=32cos40°+32-32c0s40°=32。 点评：“差异分析法”是三角恒等变换中 解析：原式= 2c0s210 2×2sin10°cos10 的常用策略。通过观察角、函数名称及运算 结构之间的差异，进行差异分析，找出差异之 sin10° cos 5 sin 5 cos 10 sin 5 cos 5/ 2sin10° -sin10°. 间的内在联系，选择恰当的公式，促使差异的 cos25°-sin25° cos10° 转化。 sin5cos5° 2sin10°-sin10°.c0s10 1 2sin10° 创新2：三角恒等变换中的“换元变角 法” cos10° sin 20 os10°-2sin(30°-10）_ 2sin 10 sin10°= 2sin 10 例2设a为锐角，若co十若）-手， c0s10°- 1 2 2c0s10° 2sin10° √3sin10° 则sin(2a+泛)的值为 2sin 10 2sin10° 解析：已知a为镜角，设x=a十晋，则 。 点评：本题凸显目标意识下“化异为同、 a=x- 吾，若<r<经，所以2如+臣 分式类约项”的解题思路。解题的关键是“切 2(x-)+是=2x-平. 化弦”和“变角”(20°=30°一10)技巧，以及二 倍角公式、和差角公式的灵活运用。 由c0Sx= ，吾<<可得inx 56 创新4：三角恒等变换中的“结构式子的 变换” 亏，所以sin2x=2 sin xcos x= 3 2 25,C0s2.x= 例4若3cos(5-0）+c0s(元+9)=0. 2c0s2x-1=25 则cos20士2sin20的值是 故sin(2a+)=sin(2x-F) 解析：由已知得3sin日-cos0=0,即 40 高一数学新避酒开中学生款理化 an9=子，所以cos0+3sin20= g]=sin(a-君)cos百+cos(a-若）小sin君 cos'0+sin 0cos 0 1+tan 0 6 sin'0+cos'0 1+tan'0 5 =3+5 8 点评：本题充分展现了三角恒等变换中 点评：三角变换与三角函数的图像和性 “结构式子变换”的关键作用。对已知式子的 质紧密相连、不可分割。题中借助图像上相 结构进行变形，使其更贴近某个公式或期待 邻两个最高点的距离为π，求出“的值，利用 的目标，通常有“升幂与降幂”“常值代换”“逆 用、变用公式”“通分与约分”“分解与组合” 图像关于直线x一对称求出9的值，为进 等，从而便于问题的圆满解决。 一步求得c0s(。+2)的值提供了条件。 创新5：三角函数图像与性质中的“三角 变换” 创新6：函数最值求解中的“三角换元 例5已知函数f(x)=√3sin(w.x十p) 法” 例6求函数u=√2t+4十√6一t的最 (。>0,-乏<9<受)的图像关于直线x= 值。 零对称，且图像上相邻的两个最高点的距离 解析：由2t十4≥0且6-t≥0得-2 t≤6，结合t的有界性，可利用三角换元法求 为π。 最值。 (1)求w和p的值。 (2)若f(份）=（后<a<),求 设1=-2+8cos9.0e[0,引.则函数 u=√2t十4十√6一t等价于函数p(0)= cos(a+2）的值。 √/16cos0十W√8sin日=4cos0+2√2sin日= 解析：(1)因为函数f(x)的图像上相邻 2√6sin(0十a),其中a由tana=√2确定。 两个最高点的距离为π，所以∫(x)的最小正 因为0∈ 周期T=元，所以a=2=2,这时f(x)= b,]所以g+eee+引， 所以um.=g(0)s=26sinT=2√6。 W3sin(2x十p)。因为函数f(x)的图像关于 2 直线x=子对称，所以2×答十9=元十空，k 显然um是9(0)和9()中的较小者。 ∈Z,即9=kx-吾k∈7。由一受<9<2， √6 易得sina=3,cosa= √ 3。 由9(0)= 取=0，可得9=一若。故a=2,9=一石。 26sina=4>g(3)=26×sin(a+z) (2)由1)得f(x)=sin(2x-若），所 2√6cosa=2√2，可得umm=g(8)mm=2√2。 故uin=2√2，umx=2√6，即函数u 以f(号）=m2×号吾)=，所以 √2t十4+√6一t的最大值为2√6，最小值为 sina-君）=子 2√2。 点评：当函数自变量取值为区间时，三角 由<a<智，可得0<a一<受，所以 2π 换元法能发挥重要作用。题中利用三角函数 的有界性，结合辅助角公式求出最值，巧妙地 osa)-√-ma-)- 将代数问题转化为三角问题来解决。 作者单位：安徽省广德中学 故cos(e+）=sina=sim[a-晋) (责任编辑郭正华) 41