品味三角变换中的误区警示-《中学生数理化》高一数学2025年12月刊

中学生数理化 易错题归类剖析 高一数学2025年12月 品味三角变换中的 误区警示 ■江玲 三角变换的方法灵活多样，突出对思维 osa=1,解得cos'a=名，所以cos& 9 3 的灵活性和严密性的考查。解题时，若不能 精准把握条件和公式的适用范围，则极有可 能陷入多解、漏解，甚至错解的困境。下面归 4。 纳三角变换中的解题误区，希望能给同学们 剖析：上述解法是在tana≠0，tanB≠0 一些警示。 的前提下得到的结果，因此产生了漏解。 误区1：三角函数的定义理解出错 正解：题设中含有tana=0,tanB=0的 例1已知角0的终边落在直线y 情形，即轴线角α=B=kπ(k∈Z),此时 -3x上，求2sin0+3cos0的值。 cosa=coskπ=士1也满足题意。 错解：取直线y=一3x上一点(1，一3)， 故cosa=士公或c0sa=土1。 则sin0=一3，cos0=1,所以2sin日+3cos0 =2×(-3)十3×1=-3。 警示：在三角函数求值中，注意对轴线角 剖析：上述解法对sin日=y,cosO=x的 的讨论，可以避免漏解。 理解有误，三角函数定义中的点(x,y)必须 误区3：忽视同角三角函数关系的内在 是角日的终边与单位圆的交点，不是任意点。 联系致错 正解：设角日的终边与单位圆的交点为 例3 已知sin日=m一3 m+5'cos 0= y=-3x, (x,y)。根据题意得 解得 4-2 x2+y2=1, m+5 ,0∈（受，x),求m的取值集合。 10 √10 错解：由sin0十cos0=1,结合题设得 10 10 或 故2sin0+ 3√10 3√10 =1,解方程得m=0或 y 10 y= 10 m=8,即m的取值集合为{0,8}。 3/10 3√10 3cos 0= 剖析：上述解法忽视了sinθ，cos日之间 10 或2sin日+3cosB= 10 警示：借助单位圆，将角日终边上的点转 的内在联系，当0∈（受，x)时，余弦函数的取 化成终边与单位圆的交点，通过解方程求得 值为负。 交点，再依据三角函数的定义求值。 正解：由sin0+cos0=1,结合题设得 误区2：忽视轴线角的讨论致错 m+5/ ）=1,解方程得m=0或 例2已知sina=2sinB,tana=3tanB, 求cosa的值。 当m=0时，sin0=- os0= 3 m=8。 错解：因为cosa=sine=2sin2 tan a 3tan B 与已知0∈（受，x)矛盾：当m=8时，sin日= 3cosA,所以cos月= 2c0sa。 3,0s0=一，符合题意。综上可得，m的 12 因为simA+cosA=1,所以子sina+ 取值集合为{8》。 36 高一数学描腰费新中学生最理化 警示：同角三角函数关系中既要注意正 sinY=sinB,cosB十cosY=cosa,则a-B等 余弦函数值的符号，也要注意sin0,cos0之 于( )。 间满足的平方关系。 误区4：忽视三角函数的值对角的影响 A R一答 致错 C土 3 D.答或 例4已知tan(a-g)= 2,tan B= 错解：由题设得sina一sinB=一sinY, 7,且a∈(0，元)，B∈(0，x),求2a-g的 cosa一cosB=cosY,两式平方相加得cos(a 一)一2.因为a,日均为镜角，所以一受< 1 值 错解：由tan(a一g)= 2,tan--1 ,可 。一<受，所以a一B=士吾。应选C。 得ana=an[a一月十们=了，所以1an2a 剖析：上述错解没有真正利用α，B,Y均 为锐角的条件导致多解。 2tan a3 正解：由题设得sina一sinB=-siny, 1-tan'a 一。由两角差的正切公式得 cosa一cosB=cosY,两式平方相加得cos(a tan(2a-B)=1。 因为&∈(0，π)，B∈(0，π)，所以2a一3∈ -9)=号。由y为镜角得sna一sn日= (-π，2π)。又tan(2a-B)=1,所以2a-B= 一siny<0,所以题设条件中隐含sina 票或2a月=至成2如-日- sinB。又a,B均为锐角，所以a<B,所以 剖析：在求2a一B的范围时，只是依据了 2<a一B<0,所以a一B=一3。应选B。 题目所给的a∈(0，π)和β∈(0，π)，而忽视了 警示：三个角均为锐角，一定要挖掘角之 三角函数的值对其角的范围的进一步缩小。 间的隐含条件，如题中sina一sinB=一siny 1 <0,即得a<β。 正解：由tan(a-B)=2,tan3=一方，可 得ana=lan[a-)十]=子，所以tan2a 感悟 已知sin0,cos日是方程4x2一4m.x十2m 2tan a3 1-tan'a =4,所以tan(2a-p)=1。 1=0的两个根，39<2x则m一 因为ana=了1，a∈(0，)，所以0 提示：若忽略二次方程有实根的前提条 a<平，即0<2a<受。因为tanB=-7<0, 1 件，容易导致多解。由题意结合韦达定理得 sin 0+cos 0=m, B∈(0，x),所以B∈（经，x),所以2a-B∈ sin8·cos8= 2m-1 ,代入(sin0+cos8) 4 (-元，0)。又因为tan(2a-B)=1,所以2a △=m2-2m十1≥0， B=一3π 4 =1+2sin0·cos0,解得m=1±E 。又 2 警示：在给值求角中，不能发现隐含的角 的大小关系，容易出现错解。为了避免错解的 3<0<2元，所以sin9·cos0=2m1<0, 4 发生，要根据计算结果和题设条件，估算出角 .1 1-5 的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围。 解得m<2,所以m= 2 误区5：忽视隐含条件的挖掘致错 作者单位：广西壮族自治区桂林市桂林中学 例5若a,B,y均为锐角，且sina十 (责任编辑王琼霞) 37