三角函数核心考点强化训练-《中学生数理化》高一数学2025年12月刊

高一数学核心秀酒籍中学生最理化 三角函数核心考点强化训练 ■刘中亮（特级教师） 一、选择题 1.下列各角中，与27°角终边相同的是 Cg(x)的图像关于点(.-1)对称 ()。 D.g(x)在[π，2π]上单调递增 A.63° B.153° 7.(多选题)如果若干个函数的图像经过 C.207 D.387 平移后能够重合，那么这些函数为“互为生成 2.如果点P(2sin日，sin日·cos日)位于第 函数”。下列函数中，与f(x)=sinx十cosx 四象限，那么角日所在的象限为( )。 构成“互为生成函数”的是()。 A.第一象限 B.第二象限 A.f1(x)=V2sinx+√2 C.第三象限 D.第四象限 B.f(x)=2(sin x+cos x) 3.已知sina十cosa=sin acos a=m,则 C.f:(x)=sin x m的值为( )。 A.1+√2 B.1-√2 D.f,()=2cos2(sin2十cos） C.1士√2 8.(多选题)下列结论正确的是( D.不存在 4.函数f(x)=sin2x·tanx是( A.一石是第三象限角 A.奇函数，且最小值为0 B.若角a的终边在直线y=x上，则a= B.奇函数，且最大值为2 C.偶函数，且最小值为0 k元十天(k∈Z) 4 D.偶函数，且最大值为2 C.若角a的终边过点P(一3,4)，则 5.若函数f(x)=cosx一cos2x,则 f(x)是(）。 cos a=-3 5 A.奇函数，最大值为2 D.若角a为锐角，则角2a为钝角 B.偶函数，最大值为2 9.(多选题)已知角日的终边经过点 C奇函数，最大值为 (一2，一√3)，且日与a的终边关于x轴对称， 则下列选项正确的是( )。 D.偶函数，最大值为 A.sin = V21 7 6.将函数f(x)=sinx十√3cosx一1的 B.a为钝角 图像向右平移石个单位长度，得到函数g(x) C.cos a=27 7 的图像，则下列说法正确的是( )。 D.点(tan日，sina)在第一象限 A.直线x一行是g(x)图像的一条对称轴 10.(多选题)下列命题正确的是()。 Bg(x)的最小正周期为否 A.在与530°角终边相同的角中，最小的 正角为170 29 中学生数理化高心数学满025年12月 核心考点演练 B.若角a的终边过点P(一4,3)，则 ,f(1)+f(2)+…+f(2025)=」 17.已知函数f(x)=2sin(wx+9) c0sa=— 5 C.已知0是第二象限角，则tan(sin)> (。>0,0<9<受)的图像的相邻两条对称轴 tan(cosθ) D.若一扇形的弧长为2，圆心角为90°， 间的距离为，且f()-2,则f(g)- 则该扇形的面积为 18.写出一个同时具有下列性质①②③， 11.(多选题)已知函数f(x)=sinx 且定义域为实数集R的函数f(x)= 3cosx+4 sin rcos x,则下列说法正确的是 ①最小正周期为2，②f(一x)十f(x)= ()。 2,③无零点。 A.f(x)的最小正周期是π 三、解答题 B.f(x)的最大值是2√2-1 1 1,且lg(cosa） sin a C.f(x)在(o,受)上是增函数 19.已知sina 有意义。 D.直线x=零是f(x)图像的一条对称轴 (1)试判断角a所在的象限。 12.(多选题)对于函数f(x)=sinx+ (2)若角。的终边上有一点M(停m), cos2x,下列结论正确的是( )。 且OM=1(O为坐标原点)，求m的值及 A.f(x)的值域为0,8」 9 sina的值。 20.在①tan(x+a)=3,②sin(r-a) Bfx)在[0，]上单满递增 2sin(受-a）=cos(-a),@3sin(3+a）= Cf(x)的图像关于直线x=平对称 o(+a)中任选一个条件，补充在下面同 D.f(x)的最小正周期为元 二、填空题 题的空白横线上，并解决问题。已知0<β< 13.在角81,02,03，…，0m的终边上分别 a∠2' ,cos(a十B)= √5 有一点P1,P2,P,…,P2,如果点P。的坐 标为(sin(15°一k),sin(75°十k)),1≤k≤ 1)求sin(a-)的值. 29,k∈N,则cos01十cos02+cos03+…+ (2)求B的值。 cos 02-_ 14.满足等式(1十tana)(1+tanB)=2 21.已知函数f(x)=sin(2x+若)十 的数组（α，B)有无穷多个，试写出一个这样的 数组为 sin(2x-石）十cos2x十a的最大值是1. l5.已知函数y=sin(wx+p)(w>0)的 (1)求常数a的值。 图像与直线y=号的交点中，距离最近的两 (2)求使f(x)≥0成立的x的取值集合。 点间的距离为号，那么此函数的最小正周期 22.已知函数f(x)=sin(2x-）+ 5 是 29 6,已知函数f(x)=sin[(x+1)】] (1)求函数f(x)的最小正周期及其图像 的对称中心。 5co [(x十1]，则fx)的最小正周翔为 (2)若f(x。)≤√3，求x。的取值范围。 30 高-数学清精中学生教理化 核心考点演练 23.已知函数f(x)=2cos(x+号)十 参考答案与提示 √3sin(2.x+0)。 (1)若0≤θ≤π，求使函数f(x)为偶函 一、选择题 数的日的值。 1.提示：与27°角终边相同的角构成的集 合为{a|a=27°+k·360°，k∈Z},取k=1, (2)在1)成立的条件下，当x∈ 可得α=387°，故与27角终边相同的是387°。 应选D。 ]时，求fx)的取值范围。 2.提示：因为点P(2sin0,sin0·cos0) 24.设函数f(x)=sin wxcos9 2sin0>0, 位于第四象限，所以 所以 cossin(o>0,g<）. sin0·cos0<0, sin9>0·所以角9所在的象限是第二象限。 (1)若f(0)=一 求9的值。 cos<0, 应选B。 (2)已知了：)在区间[-行]上单调 3.提示：由(sina+cosa)2=sina十 cosa十2 sin acos a=1十2 sin acos a,结合 递增，f(）)=1,再从条件①、条件②、条件 sina+cosa=sin acos a=m,可得m2=1十 ③这三个条件中选择一个作为已知条件，使 2m,解得m=1士√2。由三角函数的值域可 函数f(x)存在，求w,9的值。 知，sina&十cosa=1十√2不成立，故m=1一 条件①：f()=2。条件②：f(一罗） √2。应选B。 4.提示：f(x)=sin2x·tanx的定义域 -1.条件@：fx)在区间[-受-】上单 为女≠受+kx,k∈Z乙，关于原点对称，且 调递减。 f(x)=sin2x·tanx=2 sin xcos x· sin x 25.已知函数f(x)=2 sin wxcos9十 cos 2sin9-4sin受sim9(w>0,g<),其图 =2sinx。因为f(-x)=2sin(-x)= 2sinx=f(x),所以函数f(x)为偶函数，且 像的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相 差票，一，从以下两个条件中任速一个补充 f(x)=2sinx=1-c0s2x,x≠受+kx,k∈ Z。易得cos2x∈(-1,1]，则f(x)=1一 在空白横线上。①函数f(x)的图像向左平 cos2x∈[0,2)，所以函数f(x)的最小值为 移答个单位长度后得到的图像关于y轴对 0,无最大值。应选C。 5.提示：由f(-x)=cos(一x)一 称，且f(0)<0;②函数f(x)的图像的一个 cos(-2x)=cosx一cos2x=f(x),可知该 对称中心为（位0）且f()>0 函数为偶函数。因为f(x)=cosx一cos2z (1)求函数∫(x)的解析式。 --2cos+cos +12(cos-)+ (2)将函数∫(x)图像上所有点的横坐 标变为原来的上(1>0)，纵坐标不变，得到 名，所以当0x=片时，f)取得最大值 函数y=g(x)的图像，若函数y=g(x)在 8。应选D。 区间[0，]上恰有3个零点，求：的取值 6.提示：因为f(x)=sinx十W5cosx 范围。 osx)-1=2sin(x+牙) 31 中学生款理化终心资察演练5车1B月 1,所以f(x)的图像向右平移若个单位长度 于D,取a-石，则角。为锐角，但2a=号，即 得g=2sin(e-吾+)-1=2sin(e+ 角2a为锐角，D错误。应选BC。 9.提示：角日的终边经过点（一2，一√3）， ）-1.因为经+后-所以x-号不是 则sin8=- 四，A正确。0与。的终边关 g)图像的一条对称轴，A情误。由纤 于x轴对称，由题意得α的终边经过点（一2， 2π，可得g(x)的最小正周期为2π，B错误。 √3)，即α为第二象限角，不一定为钝角，且 由+吾=2x,可得点（传告，-）是x) 6 cos a=- 27,B错误，C正确。因为an0= 7 图像的一个对称中心，C正确。由π≤x 3 2x,可得号<x十吾<号，所以g(x)在[x, 2 >0,sin a= √2T>0,所以点(tan0,sina） 7 在第一象限，D正确。应选ACD。 2π]上有增有减，D错误。应选C。 10.提示：由0°<k·360°+530°<360°， 7.提示：f(x)=sinx十cosx=√2sinx十 k∈Z,可得k=一1，故所求的最小正角B= 170°，A正确。由三角函数的定义得cosa= )。因为f1(x)=巨sinx十E,所以将 -4 B正确。因为0是第二 4 √32+(-4)7 f1(x)的图像向下平移√2个单位长度，再向 左平移不个单位长度即可与∫(x)的图像重 象限角，所以0<sin0<1<受，-<-1< cos0<0,所以tan(sin8)>0,tan(cos8)0, 合。因为f,(x)=2(sinx十cosx)=√2X 所以tan(sin日)>tan(cosg),C正确。弧长 Esin(x+F）=2sin(女+平)，所以f:(x)的 为2，圆心角为90，则扇形的半径为怎，所以 图像无法经过平移与f(x)的图像重合。因 为fa(x)=sinx,所以f:(x)的图像无法经 扇形的面积为21=1，D错误。应选ABC 过平移与f(x)的图像重合。因为f1(x)= 11.提示：函数f(x)=sin2x-3cos2x十 2cos (sin+cos）=2cossin 4sin xcos x =-2cos 2x -1+2sin 2x 2cos2=sinx十cosx+1=sin(x+ 2Esin(2x-)-1,其最小正周期T-受 =π，A正确。结合正弦函数的性质可知，当 )十1，所以将f,(x)的图像向下平移1个 sin(2x一牙)-1时，函数取得最大值2巨- 单位长度，与f(x)的图像重合。A,D中的 函数与f(x)“互为生成函数”。应选AD。 1,B正确。由一受十2k元<2x-天<空十 8,提示：对于A,因为-否-F-2,且 2kπ，k∈Z,可得f(x)的单调递增区间为 6 爱为第二象限角，所以一晉为第二象限角，A (仁后+km,警+k),k∈Z,C错误。当x 错误。对于B,根据终边相同角的表示可知， 时，2x一牙-0，D错误。应选AB。 角a的终边在直线y=x上，则。=kx十至 12.提示：f(x)=sinx+cos2x (k∈Z),B正确。对于C,由三角函数的定义 -21 sin x+I sin x+1--2(Isin al- 一3 得cosa= 3 √(-3)2+4 =一号，C正确。对 )》+g且1simx1∈[0,1]，则f(x)∈ 32 高-数年城心湾臂中学生款理化 [0,]A正确，当x∈[0，]时，simx 16.提示：依题意得函数f(x)= ∈[o,1小y=sinx=sinx在0，]上单调 (+1)cos (+1) 递增，结合fx)=一2(snx-)广+8知 2sin于，所以f(x)的最小正周期T=6. 因为f(1)十f(2)+…+f(6)=0,所以 f(x)在[0，]上先增后减，B错误。f0) f(1)+f(2)+…+f(2025)=f(1)+ f(2)+f(3)=√3+3+0=23。 [sin01+cos(2×o)=1,f(g）-sin2+ 17.提示：因为函数f(x)图像的相邻两 cos(2×)=0,f(0)≠f(),C错误。易 条对称轴间的距离为受，所以号-受，可得 知y=|sinx|和y=cos2x的最小正周期均 T=,即2=元，所以a=2,这时函数f(x) 为π，故f(x)的最小正周期为π，D正确。应 选AD。 =2sin(2x+9)。因为f(E 1=2,所以 二、填空题 13.提示：因为sin(75°+k)=sin[90° (2)-2-2sin(),in ) (15°一k)]=c0s(15°-k),所以点 1,因为0<9<空，所以否十9=空，可得9 Pg(sin(15°-k°)，cos(15°-k)),所以cos0 sin(15°-k) 艺-吾-吾，所以f(x)=2sin(2x+). √sin(15°-k)+cos'(15°-k) =sin(15 一k°)，所以cos01十cos02十cos0十…十 故f(（g）=2sim(2×g+3）=2sin( cos02g=sin14°+sin13°+sin12°+…十 sin(-14)。又sin(15°-k)+sin(k°-15) ）=2(4m子s骨+on）-E26 2 =sin(15°-k)-sin(15°-k)=0,所以 18.提示：函数f(x)=in()十1的 cos01十cos02+cos0:十…+cos02g=sin0° =0。 定义域为R,最小正周期T--2。满足 14.提示：由(1十tana)(1+tanB)=2,可 得1+tanB+tana+tan atan B=2,所以 f(-x)+f(x)=2sin(-x)+1+ 1 tanB+tana=l-tan atan B,所以 sin(rx)+1=-是sin(x)十1十 1 1 巴=1，所以an(a十A》=1,所以 1 sin(rx)+1=2。因为-1≤sin(元x)≤1， π a十B=kπ十 ,k∈Z,所以。可以为0，B可 所以名<x)≤号，所以f)无零点。故 以为于，即数组为(0，牙)。（答案不唯一） 函数fx)=立in(x)十1符合题意。（答 15.提示：利用正弦型函数的周期性求 案不唯一) 解。当sin(ax十p)=之时，若ax,十g-否。 三、解答题 则最近的另一个值为：十9=否，所以 19,提示：1因为a过。所以 1 w(x,-x1)=2 sina0。又因为lg(cosa)有意义，所以 3。而x,一x1=3,所以w= cosa>0,所以a是第四象限角。 2。故此函数的最小正周期是-元。 (2)因为oM=1,所以() +m2=1, 33 中学生数理化 核心考点演练 高一数学2025年12月 解得m=土 5。又。为第四象限角，所以 )+cos 2.x+a- 1 2 sin 2x+2 cos 2x+ m<0,所以m=一 5。故sina= =OM r 2 sin 2x-2 cos 2x+cos 2x+a-3 sin 2x 4 十cos2x十a=2sin(2x+)十a。因为函数 20.提示：(1)选条件①，tan(π十a)= f(x)的最大值是1，所以2十a=1,所以a= tan a= sina=3。因为sin'a十cosa=1,0< -1。 cos a &<空，所以sine- 3√10 W10 2)由(1)知f(x)=2sin(2x+若）-1. 10 10 ,所以 由f(x)≥0，可得2sin(2x+）-1≥0，即 sin(a-F）=sincos 元 4 -cos asin5 4 sin(2x+若)≥2，所以若+2kx≤2x+石≤ 6 选条件@，由sin(x-a)-2sin(受 +2kπk∈Z,即kx≤x≤答十kr,k∈Z 6 a)=cos(-a)化简得sina=3cosa。因为 故x的取值集合是{女km≤≤智+kx sine十cosa=1,0<a<,所以sina k∈Z。 3w√10 10 eos。=e,所以。) 22.提示：(1)f(x)的最小正周期T=π。 sin a cos -cos asin π5 由2x一号=，6∈乙，可得x=若十 45 选条件③.由3sin(经+a）=cos(+ ,k∈乙，故函数f()图像的对称中心为 a)化简得3cosa=sina。因为sin'a十cos'a (倍+经，)∈ -1,0<a<2,所以sima-3 (2)因为f(x。)≤5，所以sin(2x。- -cos a- 10 /10 10 ,所以sin(e-)=sin acos ）+誓≤，即sn,一）≤誓，所以 π5 -誓+2≤2，-晋≤号十2张x,k∈五即 cos asin 45 (2)因为0<月<a<受，且cos(a十8) 罗十≤x,≤行十k元，k∈，所以x,的取 值范雨为[-三+x,受+]k∈。 ,所以受<a十日<元，所以sin(a十B) 23.提示：(1)f(x)=2×1+cos(2x+0) √1-cos'(a+B)= 25 ,所以sinB=sin[(a +5sin(2x+9)=1+2sin(2x+0+若）. +8)-a]=sin(a+B)cos a-cos(a+B)sin a 竖。又0<9<受，所以9-牙 因为f(x)为偶函数，所以十晋-受十 21.提示：(1)根据三角函数的两角和与 k元，k∈Z,即0-答十k,k∈乙。因为0≤0≤ 差公式得f(x)=sin(2x+）+sin(2x x,所以日=号 34 高一数学公车酒籍中学生教理化 核心考点演练 (2)在(1)成立的条件下，函数f(x)= 25.提示：(1)由题意得f(x)= 2sin(2x+号+若)+1=2cos2x+1.因为 2sin arcosp+2sin p4sin sin xe[吾，]，所以2x∈[受]所以 2sin wx cos o+2sin -sin p(2-2cos wx)- 2sin wx cos o+2cos wx sin o=2sin(wx+p). eos2x∈[]，所以fx)e[o3: 因为其图像的一条对称轴与相邻对称中心的 24.提示：(1)因为f(x)=sin wxcos9十 横坐标相差至，所以T=4×至-仁，所以 coswxsin9(w>0,g<罗），所以f(0)= w=2。则函数f(x)=2sin(2x十9)。 sin Ocos p+cos Osin p=sin p-- 2。又因 选条件①，函数f(x)的图像向左平移 3 个单位长度后得到的图像对应的函数为y= 为<受，所以g=一吾 (2)因为f(x)=sin wxcos十cos wxsin 2sin[2(x+)十9]。由题意知该函数为偶 (o>0,g<),所以f(x)=sin(ox十g) 函数，所以管十9=受十k,k∈，即 (@>0,g<受)，所以f(x)的最大值为1 十kπ，k∈Z。因为|p|<π且f(0)<0, 最小值为一1。 即sinp<0,所以p=- 石。故函数f(x) 选条件①，因为f(x)=sin(wx十p)的最 大值为1，最小值为一1，所以f() =2无 2sin(2x-若）. 解，故条件①不能使函数∫(x)存在 选条件②，函数(x)图像的一个对称中 选条件@，因为fx)在[晋，]上单 心为（经0小，则晋十9=k元，k∈么，所以9 调递增，且f(）=1,f()=-1,所以 若十k元，k∈Z。因为g<元且f(答）> 召-誓-（←受）=，所以T-2,。 2π 0,即sin(号十p)>0,所以9=一若。故函数 1。所以f(x)=sin(x十p)。因为 fx)=2sin(2x-若) f(-)=-1,所以sim（-+g)=-1,所 (2)由题意得函数g(x)=2sin(2tx 以-答十9=一空+2x,k∈，所以9 )x∈[o],所以2-∈[-吾 石+2kx,k∈Z。因为<受，所以9 2πt元 3 6 6 选条件③，因为f(x)在[-号，]上单 因为函数y=g(x)在区间[0，】上恰 有8个学点，所以2x<- <3π，解得 调递增，在[一令，一】上单调递减，所以 ≤<即e[） f(x)在x=一 答处取得最小值一1，即 作者单位：河南省开封市第十中学 f(一罗)=一1。以下与条件®相同（略）。 (责任编辑郭正华) 35