揭秘三角函数的值域(最值)的五类问题-《中学生数理化》高一数学2025年12月刊

揭秘三角函数的值域 ■张哲 贺 一、利用三角函数的单调性求值域 例1若函数f(x)=3sinx一4cosx的 定义域为[0，]则f(x)的值战为一 解析：根据正弦函数和余弦函数的单调 性求解即可。因为函数y=cosx在 [o,]上单调递减，所以y=-4osr在 [0,]上单调递增。又函数y=3sinx在 [0,]上单调递增，所以函数f(x)=3sinx 一4osx在[0，]上单调递增，所以f(x) =f(0)=-4,f(x)=f(经）=3，所以 f(x)的值域为[一4,3]。 揭秘：解答本题的关键是确定函数∫(x) =3sinx-4cosx在[，]上单调递增，进 而求出值域 二、换元化归为二次函数在区间上的单 调性求值域 例2不等式cos2x+2sinx-1一m≤0 在[晋，]上有解，则实数m的取值范园 是 解析：由原不等式整理得m≥一sinx十 2simx在[-受，]上有解 令sinx=,由x∈[，]，可得 [怎，所以m≥-m+2n等价于 m≥-t+2t=-(t-1)2+1在t∈ [冬]上有解。下国只稀求出) 一t2+十2t的最小值即可。因为函数g(t)= -(t-1)2+1在t∈ 2,1上单调递增， 声一数￥如阳德种与哲骨中学生表理化 最值)的五类问题 十策 赵自霞 所以当t=一 3 时，g(t)=一(t一1)2十1取 得最小值，其最小值为一（一-）广°+1 子-后。故m≥一是-5，即实数m的取 值范围是 [是-5，+) 揭秘：形如y=asin'x十bsin x十c的值 域问题，可设sinx=t,化归为关于t的二次 函数g(t)=at十bt十c求值域，但要注意定 义域对值域的限制。 三、分式型三角函数的值域 所31)函数)=册号的值拔为 0 (2)设函数f(x)= 品若[]表 示不超过x的最大整数（如[2.3]=2），则函 数y=[f(x)]的值域是。 解析：(1)（方法1）利用正弦函数的有界 性和分离常数法求值域。函数y=snt一名 sin +1 3 sin十13nP因为sinx sin+1 1飞(0,2]，所以当sinx=1时，y=-2,所 以该商数的值城为（一，引 (方法2)通过反解方程求函数的值域。 由y= 、D,可得(sinx十)y=sinx二 2,即(1一y)sinx=y十2，显然y≠1，所以 sin x= y+ 1-y 因为-1<sinx≤1，所以 -1<品≤1，解得y≤一是，所以该函数的 .1 1一y 值城为(-，】 (2)由分离常数得f(x)=3-2sinx sin x+2 27 知识结构与拓展 中学生数理化驾识皱学与0年2月 -2(sinx十2)+7 7 sin ++2 =一2+sinx十2因为 sinx∈[-1,1]，所以1≤sinx+2≤3，所以 7 3≤s27,所以3≤一2十inx十2 5所以f)∈[哈可]故函数v-门 的值域是{0,1,2,3,4,5}。 揭秘：解答本题的关键是要充分考虑自 变量的取值范围对函数值域的限制。 四、含绝对值的三角函数的值域 例4(1)函数f(x)=sinx一3sinx| 在[臣0]上的值城是[-2,0]，则。的取值 范围是 (2)函数y=cosx+|cosx,x∈[0,2π] 的值域为 解析：(1)分两种情况去绝对值，结合正 弦函数的值城求解。当∈[臣时，(x) =sinx-3sinx=-2sinx,则f(受） =-2, f(π)=0；当x∈[π，2π]时，f(x)=4sinx, 则r() =-2。 故a的取值范函是[x,] (2)易得函数y=cosx十|cosx|= 2 0E[0,]u(受2]， 当 T E e(受 [0,]U(受2]时y=2ax∈[o,2]:当 ∈（会，]时y=0∈o。综上得ye0,2。 揭秘：含绝对值的三角函数问题，要准确 划分函数值取正负的区间，不能遗漏区间的 端点，且要注意函数在不同区间上的单调性 和最值情况。 五、根据三角函数的值域（最值）求参数 例5当0∈(0，)时，若存在实数k, 使得k= sg十sin9成立，则实数k的最小 1 9 值为 0 28 解析：由k=1 c0s2a十；2月，结合sin日 c0s0=1,可得k= )(sin20+ cos'0)= sin'0 cos g+1+9+ 9cos20 sin20 =10+sin0 cos2日 9cos20 sinB。 因为0∈(0，)，所以sin0>0, cos9>0,所以in9>0 cos20 9cos0>0。由基本 sin20 不等式得sin0+9cos'9 /sin'0 9cos20 c0s20 sin0≥2 cos20 sin'0 =2g=6,当且仅当in09cos0时等号成立。 cos 0 sin0 据上可得，k=10+sin0+9cos cos'0 sin'0 ≥16， 即k≥16，所以实数k的最小值为16。 揭秘：解答本题的关键是“1”的妙用，凑 积为定值，结合基本不等式求出最小值。 感怀与收 已知函数f(x)=a-bcos(2x+若) (6>0)的最大值为号，最小值为一，则函数 g(x)=一4asin(bx-否)取最大值时对应x 的集合为一。 3 f(x)mx=a十b= 2, 提示：由题意得 解 1 f(x)in=a一b= 21 1 得 a=乞'所以g(x)=-2sin(x-罗）.因 b=1, 为-1≤sim(x-）≤1，所以-2≤g(x)≤ 2,所以g(x)的最大值为2，当g(x)取最大值时 sin(x-号）=-1，则x-吾=2kx- ,k∈z, 所以x=一正十2kx,k∈Z。故g(x)取最大值 6 时对应x的集合为=一答+2kxk∈7。 作者单位：河南省安阳市实验中学 (责任编辑王琼霞)