8 四种策略，求复合函数的对称轴&9 幂函数四类压轴问题想与揭秘-《中学生数理化》高一数学2025年10月刊

高一数学如阳售种拓骨中学生最理化 四种策略，求复合函数的对称轴 ■杜海洋 一、试题呈现 点评：利用复合函数的对应法则和自变 已知f(x十2)是偶函数，则y=f(2x) 量的取值关系，建立方程关系可以快速找到 的图像的对称轴是( )。 突破口，此方法的本质与策略3一样。 A.x=-1 B.x=1 三、试题变式 C.x=2 D.x=-2 1.已知函数y=f(2x一1)的图像关于 二、试题解答 点(1，一1)对称，则下列函数为奇函数的 策略1（特例法） 是()。 设f(x十2)=x2,则f(x)=(x-一2)2，所 A.y=f(2x)+1 以f(2x)=(2x一2)2。由二次函数的对称轴 B.y=f(2x+1)+1 即为y=f(2x)图像的对称轴，可得x=1。 C.y=f(2x)-1 应选B。 D.y=f(2x+1)-1 点评：作为选择题或填空题，可利用特例 提示：将已知函数图像向左平移1个单 进行探究解答，但要注意举特例需满足题设 位长度，再向上平移1个单位长度，可得函数 条件。 y=f[2(x+1)一1]+1，其图像关于原点对 策略2（定义法） 称，即y=f(2x+1)十1的图像关于原点对 因为f(x十2)是偶函数，所以f(x十2) 称，这时函数为奇函数。应选B。 =f(2一x),即f(x)的图像关于直线x=2 2.下列函数中，其图像与函数y=1og2x 对称。当2x=2时，则x=1。应选B。 的图像关于直线x=2对称的是()。 点评：处理抽象函数的对称性，由于涉及 A.y=log2 (2+x)B.y=log2 (2-x) 抽象函数的表达式的复杂性，因此可令h(x) C.y=1og2(4+x)D.y=1og2(4-x) =f(x+2),由h(-x)=h(x)得f(x+2) 提示：设所求函数的图像上任意点 f(2一x),这样可便于理解。 P(x,y),则点P关于x=2对称的点为 策略3（平移伸缩法） Q(4一x,y)。由点Q在y=log2x的图像 将函数y=∫(x十2)向右平移2个单位 上，可得y=1og2(4-x),即函数y=log2x关 长度，可得函数y=f(x)的对称轴为x=2, 于x=2对称的函数为y=1og(4一x)。应 再将函数y=f(x)的横坐标缩小到原来的 选D。 3.已知函数f(x)的图像沿x轴向左平 之得到函数y=/2r),所以y=f2x)的对 移2个单位长度后与函数y=2的图像关于 称轴为x=1。应选B。 x轴对称，若f(xo)=一1，则x。=( 点评：利用函数图像的平移、伸缩、对称 A.-2 B.2 变换，可以找到函数与函数图像之间的关系， C.-log23 D.1og23 但要注意平移、伸缩都是针对函数的自变量 提示：先求与函数y=2的图像关于x 而言。 轴对称的函数，即得y=一2，再向右平移2 策略4（复合函数法） 个单位长度得f(x)=一22，所以f(x。)= 因为∫(x十2)是偶函数，所以其对称轴 一22=一1，可得x。=2。应选B。 为x=0,将x=0代入x十2得x十2=2，由 作者单位：成都经济技术开发区实验中学校 2x=2,解得x=1。应选B。 (责任编辑王琼霞) 13 中学生款理化架被控与新车1D月 幂函数四类压轴间题猜想与揭秘 ■宫鸡明 (1)求f(x)的定义域。 猜想一：幂函数性质的判断问题 (2)求f(x)的单调区间。 例1写出一个同时具有下列性质①② (3)求f(x)在区间[1,5]上的最大值和 ③的函数f(x)=一。 最小值。 ①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②对任意两 解：(1)利用函数定义域的定义，结合一 个不同的正数x1,,都有x)-x 元二次不等式求解。由一x2十5.x十6≥0，可 TI-T? 得x2一5x一6≤0，所以一1≤x≤6，所以函数 0恒成立；③对任意两个不同的正数x1,x2, f(x)的定义域为[一1,6]。 都有f作)）>x士 (2)利用复合函数的单调性求解。由(1) 2 知f(x)的定义域为[一1,6]。令函数 解：取幂函数∫(x)=√，再逐一进行验 证。对于①，由f(x)=√，可得f(x1x2) )=-+5x+6=-(e-)+其 √1x2=f(x1)f(x),①满足。对于②，对 图像的开口向下，对称轴方程为x多·结合 任意两个不同的正数x1,x2,都有 复合函数的单调性可知，f(x)的单调递增区 f(x)一fx》0恒成立，所以函数f(x) 间是 [-1,]单调速减区间是[层6 在(0，十∞)上单调递增。易知函数f(x) (3)根据函数的单调性求最值。由(2)知 √x在(0，十∞)上是单调递增函数，②满足。 对于③，任取x1,x2∈(0，十∞)，且x1卡x2, fx)在，]上单调通增，在[吕5上单调 因为r色门- 「fx)+f(x2) 递减，所以f(x)在区间[1,5]上的最大值为 f(）=子又号-1<5-号，所以fx)在 x1十xg x1十x2十2√1x2 2 4 区间[1,5]上的最小值为f(5)=√6。故函数 (√x1-√x2)2 >0,所以[】] f(x)在区间[1,5]上的最大值为名，最小值 「x)+fx2], 两边开平方得 为√6。 揭秘：外层为幂函数的复合函数，要明确 作士）小生型，③满是.故所 内层函数在定义域下的单调性，结合复合函 2 数的“同增异减”法则确定单调区间，进而求 求函数f(x)=√x(答案不唯一)。 出区间上函数的最值。 揭秘：研究幂函数主要考虑定义域、对应 猜想三：外层为幂函数的复合函数由单 法测、奇偶性、单调性等。当幂指数大于零 调性求参数的取值范围问题 时，常常要研究图像的凸凹性。 例3若函数y=√x-az在[a2, 猜想二：幂函数作为外层函数的复合函 十∞)上单调递增，则实数a的取值范围为 数的定义域、单调区间及最值问题 例2设函数f(x)=√/一x十5x十6。 解：由题意可令函数t=x2一ax= 14 高一数学如阳售种与拓骨中学生最理化 x(x一a)≥0，则其图像的开口向上且对称轴 f(xx)f(xe）f(x1) 。应选C。 方程为x=受。显然幂函数y=F在定义域 揭秘：依据所求结论的结构特征构造函 上单调递增。 数g(x)=x)=V4- 一，注意g(x)的定 当a≤0时，函数y=√x-ax的定义 x x 域为（一∞，a]U[0,十∞），可知函数y=√ 义域为(0,2)，且g(x)在定义域上单调递减， 在（一∞，a]上单调递减，在[0，十∞）上单调 进而作出大小判断。 递增，此时函数y=√一a.x在[0，十∞)上 单调递增，结合题设递增区间得≥0， 解得 a0, 1.已知函数f(x)=√xT,则下列选项 a≤0；当a>0时，函数y=√x'一ax的定义 错误的是()。 A.f(x)的图像过点(0,0) 域为（一o∞，0]U[a,+∞），可知函数y=√ B.f(x)的图像关于y轴对称 在（一∞，0]上单调递减，在[a,十∞）上单调 C.f(x)在(0，十∞)上单调递增 递增，此时函数y=√x一a.x在[a,十o∞)上 D.f(x)>0 a2≥a, 单调递增，结合题设递增区间得 解得 提示：因为f(0)=0,所以f(x)的图像 a>0, 过点(0,0)，A正确。函数f(x)的定义域为 a≥1，即a∈[1，十o∞)。 R,且f(-x)=√T一xT=√xT=f(x),所 综上可得，实数a的取值范围为（一∞， 以∫(x)为偶函数，其图像关于y轴对称，B 0]U[1,+∞)。 揭秘：外层函数为幂函数，内层函数为二 正确。当x>0时，f(x)=√反=x,根据幂 次函数的复合函数，通过合理分类，寻找内层 函数的性质知f(x)在(0，十∞)上单调递增， 函数的单调区间，结合题设条件求出参数的 C正确。因为|x|≥0，所以f(x)=√xT 取值范围。 0,即f(x)≥0，D错误。应选D。 猜想四：构建外层为幂函数的复合函数 2.已知a= 比较大小 ().b=().c 例4已知函数f(x)=√4一x',若0< (售)》产，则abc的大小关系是( )。 x1<x2<xa<2,则( )。 A.f((f(:) A.abc B.b>a>c C.a=c>b D.c-a>b B.fx）<f(xf(x) 提示：因为e=(借)产-[（号）] C.I((() T3 (号)广，函数y=(保) 在定义域R上单调递 D.f(xf( 减，<1<号，所以6> 3 >c。又因为函数 解：令函数g(x)=fx）-V4一z 3 x y=x在(0，十∞)上单调递增，且5> 4 -1(0<x<2)。因为函数y=7 4 2 -1在 所以a=(传)一（层）>一() =b。综 区间(0,2)上单调递减，所以函数g(x)在区 上可得，a>b>c。应选A。 间(0,2)上单调递减。又因为0<x1<x,< 作者单位：江苏省常州市金坛区第一中学 x<2,所以g(x)<g(x2)<g(x1),所以 (责任编辑王琼霞) 15