三角函数中有关ω的范围问题-《中学生数理化》高一数学2025年12月刊

三角函数中有天 ■王刚 三角函数是高中数学的重要内容，求三 角函数解析式中ω的范围问题是高考的热 点。求解这类问题比较复杂，涉及的知识点 较多，也是同学们学习的一个难点。 一、三角函数的单调性与ω的关系 例1已知函数f(x)=sin(2ax+)+ w>0,若函数∫(x)在(，x)上单调递 1 减，则ω的取值范围是( A后] B哈] co,】 D.(o. 分析：由x的范围求出2x十若的范围， 结合(xa十石，2a十君)是f(x)单调递减 区间的子区间列不等式求解 解：由函数f(x)=sin(2ax+）+之在 (受，x)上单调递减，可得x一乏≤2T。因为 T-器无，所以登≤无所以0<a≤1. 当x∈(5x)时，2wx+吾∈(xw+石， 2m+石)，函数f(x)在（受，x)上单调递减， x十≥受十2kx, 2 则 2w+吾<+2kx ∈7，解得3 26≤@≤号十k,k∈Z。结合0<a<1,取 6=0,可得1s 2 3≤w≤3。应选B。 评注：若函数f(x)=Asin(wx十p)在区 间D上单调，则区间D的长度不超过半个周 期且区间D位于相邻的两条对称轴之间。 解题时，要注意“单调区间”与“在区间上单 调”二者之间的区别与联系。 青-数学识练的与西骨中学生数理化 ω的疤围问题 张启兆2 二、三角函数的对称性与w的关系 例2已知w≠0，函数f(x)=sin wx十 )x∈k的图像在(0，)上有三条对称轴， 则w的取值范围为一。 分析：根据给定的函数解析式，利用正弦 函数的对称轴，按w>0,w<0分类列出不等 式求解。 解：当ω>0时，由x∈(0，)，可得 wx+号∈（爱，受。十晋）。由函数f(x)的图 像在(0，受)上有三条对称轴得受<空。十 吾<受解得a<号。 -19 当a<0时，由x∈(0，)，可得wx十 晋∈（经+否，），由函数fx)的图像在 (0,受)上有三条对称轴得一受≤受十后< 3 受，解得号<<一号 3 30 综上可得，如的取值范园为【器。 u(倍] 评注：正余弦函数的两条相邻对称轴或 两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为子， 相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔” 为干，这就说明，可以根据三角函数的对称 性来研究其周期性。解答本题的关键在于运 用整体代换的思想和分类讨论思想，建立关 于w的不等式，进而求出w的范围。 三、三角函数的奇偶性与ω的关系 例3将函数f(x)=2ian(ox十） 25 中学生表理化架识结掉与拓层年12月 (w>0)的图像向左平移号个单位长度，得到 函数g(x)的图像，若g(x)为奇函数，则w的 最小值是( )a A B.1 C.2 n. 分析：利用图像的平移变换，结合g(x) 是奇函数，可得ω的最小值。 解：函数f(x)=2tan(ox+否)(w>0) 的图像向左平移于个单位长度，得到函数 gx)=f(e+）=2an[(x+S）+] 由g(x)为奇函数，可得四十四= 3 6 2, k∈Z,即u=36,1,k∈Z。因为0>0，k∈ 2 Z,所以0的最小值是1。应选B。 评注：对于f(x)=Asin(wx十9)(A> 0),若f(x)为奇函数，则9=kπ(k∈Z);若 ∫(x)为偶函数，则9=受十kx(k∈Z)。对于 f(x)=Acos(wx十p)(A>0),若f(.x)为奇 函数，则9=受十x(k∈Z):若f(x)为偶函 数，则p=kπ(k∈Z)。对于f(x)=Atan(wx 十9(A>0,若了)为奇函数，则9经 (k∈Z)。 四、三角函数的零点与ω的关系 研究三角函数的零点问题，常采用整体 换元思想，利用x十中的取值来确定函数零 点的情况，再根据函数零点的情况来确定ω 的值或取值范围。 例4 已知函数f(x)=os(ar+) (ω>0)在区间(0，π)上恰好有3个零点，则w 的取值范围是( )。 A.(. o,) c.(+ n(侣剖 26 分析：由x∈(0，x)得于<ar十于< wπ十，结合题意得2 <@十受<受，从而 可求得ω的范固。 解：由x∈(0，x),可得号<ax十子<a元 3 十号。因为函数f(x)=cos(ox十)(w> 0)在区间(0，x)上恰好有3个零点，所以受< wx十子<经，解得名<a≤吕即。的取值 范园是（侣]。应选D 评注：形如y=Asin(wx十p)或y= Acos(wx十p)的函数的零点问题，先把 “wx十p”看作一个整体，再根据f(x)=sinx 或f(x)=cosx的零点进行求解。正余弦函 T 数两个零点之间的“水平间隔”为2，根据函 数的零点个数，可以研究ω的取值范围。 感体与仪日 设函数f(x)=sin wx十cos wx(w>0), 若f(x十π)=∫(x)恒成立，且f(x)在 [0,]上存在零点，则w的最小值为()。 A.8 B.6C.4D.3 提示：函数f(x)=sin wx十cos wx= 厄sin(ox+牙)u>0)。设函数f(x)的最 小正周期为T。由f(x十x)=∫(x)得kT= xk∈N),所以T-密=是(k∈N),即 a=2k(k∈N)因为f(x)在[0，]上存 在零点，又x+牙∈[牙婴+]，所以 +牙≥，即w≥3。综上得a=2k(k∈ N·),且w≥3，所以w的最小值为4。应选C。 作者单位：1.江苏省梅村高级中学 2.江苏省无锡市青山高级中学 (责任编辑王琼霞)