引人辅助角解题“三部曲“-《中学生数理化》高一数学2025年12月刊

高一数学以栋构气西肾中学生款理化 引入辅助角解题 三部曲 ■张振继（特级教师） 我们知道，将asin x十bcos x化为一个 2 5 cos a= √2 。令cosg 5sing-2 ,则 角的三角函数形式有利于问题的解决，而将 asin x十bcos x化为一个角的三角函数形式 sin(a+p)= √ 通常需要三步：一提，即提系数√a十b, ，所以a十9=牙+2k元或a十 asin x+bcos aa a sin a 9=要+2k,所以a= 4一9十2kπ或a= V后十万cosx二取，即取角9，令sin9 b 3-9十2kπ，其中k∈z。所以2a= 2 29+4k元或a=2 一20+4kπ，其中k∈Z。 b +万，0sp=V后十方三用，即用公式， sin(-2) asin x+bcos va2+b2 (sin acos o+ 易得tan2a=tan -2） 2 cos xsin)=√a+b'sin(x+p)。 cos 2o 1 一、辅助角为特殊角 1-tan sin 20 tan 2o 2tan o 如果辅助角是特殊角，那么可以求出特 2 殊角，从而将三角函数化为一个角的三角函 由cos9= 5,sin= ，可得anp=2, 数形式求解。 所以tan2a= 1-tan'2_-3 例1。化简：sin50(1十√5tan10°)。 2tan o 4。应选C。 / an10+3os10) (方法2)由sina+2cosa= 2,两边平 解：原式=sin50°· cos 10 方得sin'a+4cosa+4 sin acos a- ,即 5 =sin50°· 2(sin10cos30°+cos10°sin30) cos 109 3cosa+4 sin acosa=2,所以3X1+cos2a 3 2 =2cos40°.sin40°=2cos40°sin40° c0s10 cos10° 号，所以tan2a=n2e=一3 +2sin 2a= cos 2a 4 sin 80 c0s10°=1。 应选C。 二、辅助角为非特殊角 例3 在锐角△ABC中，若2(1一 如果辅助角为非特殊角，那么可以用辅 cosA)=sinA,求sinB+2sinC的取值范 sin A 助角的正弦或余弦的三角函数表示出来，从 围。 而化为一个角的三角函数形式求解。 解：由2(1一cosA)=sinA,可得4(1一 例2若sina十2cosa= V1 2,则tan2a cosA)=sin'A=1-c0s2A,解得cosA=亏 3 =( )。 或0sA=1(合去)，所以nA=号 A.3 C.3 4 4 D.- 3 易得sinB+2sinC=sin(A+C)+2sinC sin A sin A 解：（方法1）由sina+2cosa=, 2,可 3 5cosC+亏sinC+2sinC 13sin C+4cos C 5 sin a 1 4 4 5 23 中学生数理化 知识结构与拓展 高一数学2025年12月 令cos9 13 4 (不妨取9 W185 sin=- 185 b sin ,则 cos号+sin9cos 为锐角)，则3sinC+4cosC-85 √a'+b cos pcos 5 -sin psin 5 4 in(C+ p)。 因为△ABC为锐角三角形，所以 =an语，所以 n(+) os(e+)】 0<c<, 可得受-A<C<受，受-A am(十晋)=am所以9+答=kx+语 <A+C< k∈Z,即g=kx十晋k∈D.故名=am9 元 +9<C+p<2+9。易得sin(C+p)≤l。 =tan(kx+)）=an-。 显然sin(5+9）-cos9- 13 √185 元 (方法2)由已知条件得 5 sin(受-A+）=cos(A-p)=号×13 元bπ 5 W185 cos sin5 4 4 11 <13 8元 X W185 W/185 √185 -sin(2+). sin 15 8π 解这个关于合的方程可得，合 据上得 11 <sin(C+p)≤1，所以< c0515 /185 4 8元元 8π 丽sin(c+p)≤，即inB+2sinC sin 15cos 5-cos 15sin 5 4 4 sin A 8元 +sinsing 8π cos 15cos 5 的取值范周为化， tan =。 3 三、化为一个角的余弦或正弦求解 b 令cos9= Vab'sing= a a于，则 感悟与收 已知函数f(x)=√5 sin wx十cos wx asin x+bcos x=√a+bcos(x-p)。 (w>0)在[0，π]上有两个零点，则w的取值 例4已知非零实数a,b满足 范围是( ) asin5 +bcos5 元 -bsin 5 =am语求名的值。 A(侣，) 侣) acos 5 c(g,) n) +bcos5 asin 5 提示：函数f(x)=√3 sin wx十cos wx= 解：（方法1）由 acos- 2sin(r). 因为x∈[0，x],所以ox十 a b an话，可得a十b 8π 音+ Va+b 5 吾∈[若wx十]，结合函数y=inx的图 b Va+bsin号 像与性质得2x≤。m+否<3，解得 6≤w 8π 一tan15 名故。的取值范围是[日，吕)。应选B 引人辅助角g,满足cos9一a+石 作者单位：河南省商丘市夏邑县佳合高中 (责任编辑王琼霞) 24