例析诱导公式的五种常考题型-《中学生数理化》高一数学2025年12月刊

题型一：给角求值 例1 sin(5x-空)-cos(贤+)+ tan(经-）十sinx=( )。 A.32+5v3 B.B-② 6 2 C.32+55+6 D.3-2-2 6 解析：原式=sin平-cos(受+）十 an(经-)+0=号+sm吾+9-竖+ 3 +_E+5E_32+5 2 3 2 6 6 2。应选A。 点评：利用诱导公式求任意角的三角函 数值，需遵循“负化正、大化小、小化锐、锐求 值”的步骤。负化正，即借助奇偶性将负角转 化为正角；大化小，即通过终边相同的角，把 角化为0°到360间的角；小化锐，即运用诱导 公式将大于90°的角转化为锐角：锐求值，即 求出锐角三角函数的值。 题型二：给值求值 倒2已知角a∈(2，o),且tana 3 tan asin a一4sin'a=0,则sin(a十2025π)等 于( )。 A.5 4 BC-是D.-厘 4 解析：因为tana-3 tan asin a-4sina= 0,所以sin'a_3sin'a cos'a -4sina=0。 cos a 因为a∈(-受0，所以sina>0,所以 3 一4=0，解得1=4或 1 cos'a cosa cosa osa =一1 因为a∈(-受o）,所以cosa∈(0,1) 1 ∈(1，十∞)，所以1 cos a =一1舍去，所以 cos a 1 1 cos a =4,即cosa=4,所以sina= vT-cos sin(a+2025) 青一数学如阳售牺骨中学生表理化 例析诱导公式的 五种常考题型 ■赵清军 na+)=一sima=Y下，应选A 点评：给值求值问题的解题策略：仔细观 察条件与所求式在角、函数名称及运算上的 差异和联系；将已知式变形向所求式转化，或 将所求式变形向已知式转化；借助三角恒等 变换公式，求出三角函数的值。 题型三：利用互补或互余关系求值 例3已知c0s(37°+a)= 3,且0< a<90°，则tan(37°十a)sin(53°一a)一 c0s(143°-a)=( )。 A.3+② B3② 9 9 C.3+22 D.3-22 9 9 解析：因为0°<a<90°，c0s(37°十a)= 3>0,所以37°<37°十a<90°。令37°+a= 1 m,则m为锐角。因为cosm= 3,所以sinm -2 3,且a=m-37,所以tan(37°十a)· sin2(53°-a)-cos(143°-a)=tan msin(90° -m)-cos(180-m)=tan m cos'm+cos m =-sin mcos m十cosm=3+22。应选C. 9 点评：利用互补或互余关系求值时，互余 角可实现三角函数名称的转换，互补角能起 到降元的作用。常见的互余角有否一。与 十a, 6 ,至十。与牙一a等，常见的互补角有 +a与-a,晋+a与-a,至+a与 一a等。 21 中学生教理化贺职装黎与纸腿车12月 题型四：利用诱导公式化简或求值 例4已知tan(7π一a)=3,则 sin(一a)一cos(元一a) sim(3x-a）-sin+a o 解析：因为tan(7π一a)=tan(π-a) -tana=3,所以tana=-3。 故sin(-a)-cos(r-a) sn3x-a）-sin(+a】 sina十cosa sin(x-a)-sin(r+2+a】 =sin a+cos a sina十cosa =一tan&+1 -2。 tana+1 点评：利用诱导公式化简或求值的解题 策略：利用诱导公式把任意角的三角函数转 化成锐角三角函数时，要注意角的取值范围， 注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用； 对式子进行化简或求值时，要注意所求角与 已知角之间的关系。 题型五：利用诱导公式证明等式 例5 已知tam(e+牙）=m,求证 sim(e+l5）+3eos(a-1 13π m+3 sin-a+29）-os(e+号 m+1 7 证明：先从所求式子的左边出发，利用同 角三角函数间的基本关系进行化简，再利用 tan(e+8）=m代入即可证得右边。 sin[x+(e+】 +3cos (a+8)-3元 sin[4x-(a+8)]-cos[2x+(a+8)】 sin(e+8）-3eos(e+8) -sim(e+8）-cos(a+8) tan(e+8）+3 tan(e+）)+i 把已知条件an(a+）=m代人上式 22 得原大-故原式成。 点评：三角恒等式的证明要遵循化繁为 简的原则，可以左推右，也可以右推左，或用 “左右归一”法进行证明。 感任与收日 1.已知角a的终边在第三象限，cos(74 十a)=号，证明：am(a-106)=一号 提示：由题意可知，cos(a一106)= c0s(106°-a)=cos[180°-(74°+a)]= -os(74+a)=-多，sin(a-106) -sin[180°-(74°+a)]=-sin(74°+a)。因 为a为第三象限角，所以74°十a为第三或第 四象限角。又cos(74+。)=号>0，所以74 十a为第四象限角，所以sin(74°十a)= -V-cos(7+a)=-专。所以sin(a 106)=sin(74°+a)=5。故tan(a- 106)= sin(a-106°)4 cos(a-106)=-3· 2.若sim(-x）=子，且0<x<受，则 sin(ξ+x）=( ）。 3 提示：利用诱导公式将sin(g+x)化为 c(-x小，再利用同角三角函数关系求 值。易得sin(g+a）=sim[受-(s-】= os(-x).因为0<x<受，所以-x∈ (-否，)，所以0(-x） √-m(管)-2径.应选A 作者单位：安徽省巢湖市第一中学 (责任编辑王琼霞)