例析三角函数的求值问题&利用三角函数的性质求参数问题的审题，解答与反思-《中学生数理化》高一数学2025年12月刊

知识结构与拓展 中学生教理化高数学202年12月 例析三角函数的求值问题 ■张红梅 三角函数的求值题型较多，解题的关键 要注意判断三角函数值的符号 是要灵活运用三角公式。下面就三角函数的 二、弦切转化求值 求值问题举例分析，供同学们学习与参考。 例2已知sin0+2cos9 =2,则sin8· 一、利用sin2a十cos2a=1求值 sin0-cos 0 12 cos 0= 例1已知a是第四象限角，cosa= 13 解析：由题设得an0十2 则sina等于( )。 tanθ-1 =2,所以tan8 A是 c是 D.一i2 sin Ocos0 =4,所以sin8cos日= sin'0+cos20 解析：因为a是第四象限角，所以sina< tan 4 12 1+tan'g-17 cos a-13' 所以sina= 5 0。因为 评注：对含有sina,cosa的齐次式，可根 13 sin'a+cos a=1, 据同角三角函数的商数关系，转化为只含有 应选B。 正切的式子，即“化弦为切”，再利用整体代入 评注：利用同角三角函数的平方关系时， 求解。 3833g38383833g38383838303g383g3g38383g3383g-g3833g3818383g3g38383g3g3g33g8 整理得(2y-√2)sin0十ycos日=2，即 √4a+I+√I2b+3的最大值，即求m+ /(2y-√2)2+y2sin(0+p)=2(p为辅助 √3n=√6(cos0+√5sin0)的最大值。 角)，所以√(2y-√2)2十y2≥2，整理得(5y+ 因为√6(cos0+√5sin0)=2√6sin(0+ √2)(y一√2)≥0，解得y≥√2（由y=√2，可 得Esin0+2。=2,即sin9十cos9=2,所 )≤26，所以Aa++26+3的最大 2sin 0+cos 0 值为2√6。 以0=至，即当9=年a=1时不等式取等 点评：对于(1)，设a=tan0,且0∈ 号)。所以Ea士2五的最小值是E. [0,2),换元后利用辅助角公式与三角函数 2a+1 应选B。 的性质求解。对于(2)，令 √4a+=m'可 √4b+I=n, (2)已知√4a十I+√12b十3=√4a+1 √4a干丁=m,即得 得m2十n2=6,令 m=6cos0,可得m十 十√5·√4b+1,设 ln=√6sin0, √4b+I=n, √3n=√6(cos0十√5sin0),再结合辅助角公 m=4a+1, 所以m2十n2=6。 式即可求解。在求解过程中，辅助角公式和 n2=4b+1, 三角函数的有界性起到了关键作用。 m-6cos8g∈ 则求 作者单位：江苏省太仓市明德高级中学 n=√6sin0, [o,], (责任编辑王琼霞) 18 高一数学以栋构气西肾中学生款理化 三、利用sina土cosa,sin acos a之间的 评注：利用二倍角公式求值时，分别从 关系求值 “角”“函数名”“幂”“形”着手分析，通过消除 例3已知sin0+cos0= (0<<) 差异即可求出三角函数的值。 六、利用辅助角公式求值 则sin0一cos0=。 解析：由(sin0+cos0)2=1十2sin0cos0 例6在△ABC中，sinA+cOsA= 2 可得2sn9cos0=子，所以(smg- 16 则角A的值为一。 解析：在△ABC中，由sinA十cosA= c0s0=1-2sin0c0s9=号。由0<0<开知 2 竖，结合辅助角公式得sn(A+)-, sin9-cos8<0,所以sin0-cos9=- 3 所以sin(A十)=。因为0<A<,所以 评注：一般地，已知sina士cosa,sina· cosa三式中一式的值，可求另外两式的值。 A+-，即A-登 四、利用和差角公式求值 评注：常见的辅助角变形公式有sinx士 4 例4若锐角a,B满足cosa=5,cos(a cosx=V2sin(x±T),W3sinx士cosx= 十B)-号则sim9的值是( )。 2sin(x士若），inx士5cosx=2sin(x士号)等。 A是 B 7 C.25 1 D. 七、利用三角函数的性质求值 解析：因为a,B∈(o,）cos(a十9) 例7记函数f(x)=sin(ox+牙)十b (w>0)的最小正周期为T。若<T<,且 号，所以0之a+B元，所以sina=写，sin(a +8)-号.故sing=sin[a十a)-a] y=f(x)的图像关于点(，2)中心对称，则 7 f(）=一 sin(a十B)cosa一cos(a+B)sina-25。应选C。 评注：常见的变角技巧有a=(a十B)一 解析：由函数的最小正周期T满足< 8.a=月-（月-a),a=2[(a+9)+(a-9], T<,可得π<2x<元，解得2<u<3。 3 B-2[(a+A)-(a-A)],十a-受- 2 因为函数图像关于点(，2)中心对称， (任-+a=-(管-a)等 所以受十子-x(k∈2，且6=2，所以。 五、利用二倍角公式求值 十号k(k∈z)。又2<w<3,所以w 6 赏5若9e[任引m20=8,则 多，所以函数fx)=m(停x+)+2,所以 sin 0= 解析：由0∈ [], 可得20∈ f(受)=sim(受×受+)+2=1。 1 评注：解题时，要熟记三角函数的对称中 [臣]，所以c0s20=-个-m20=言， 心，灵活运用三角函数的对称轴方程。 所以sinθ= /1-c0s203 作者单位：湖北省巴东县第三高级中学 2 4 (责任编辑王琼霞) 19 中学生款理化智识被黎与拓器年12月 利用三角函数的性质求参数问题的审题、解答5反思 ■石汉荣 含参数的三角函数问题，一般属于逆向 sin5xsin(号十9)=0对任意的x恒成立。 思维问题，难度相对较大一些。下面利用三 角函数的性质求参数问题，进行策略性的分 只有选项D符合。应选D。 类解析。 反思：函数f(x)=Acos(wx十p)十B为 一、根据三角函数的单调性求参数 奇函数台9=k元十受(k∈Z),且B=0:函数 例1 已知函数f(x)=in(ax+)(w> f(x)=Acos(wx十P)十B为偶函数台P=k元 0》的单调递增区间为[x一受北x十] (k∈Z)。 k∈ 三、根据三角函数的周期性求参数 7](k∈ Z),单调递减区间为[k元十kπ十 例3若函数y=sinar·sin(ax+受） Z),则w的值为 (w>0)的最小正周期为牙，则w=一。 审题：正弦函数和余弦函数的两个单调 区间并集的长度就是函数的一个周期。 审题：根据诱导公式和二倍角公式，把原 解答：由题意得(ex十）一(kx一》 函数化为f(x)=Asin(wx十p)的形式，再结 合周期公式T=2红求解。 即f(x)的周期为π，则w=2。 反思：解答此类问题要注意单调区间给出 解答：因为函数y=sin wx·sin(wx十 的方式，如“函数f(x)在[k元一kx十 -sin wxcos wx 1 sin2wc,所以周期 (k∈Z)上单调递增”与“函数∫(x)的递增区 间为kx一登kx+]k∈Z)”是不同的 T=2π 2a=7,所以w=7。 二、根据三角函数的奇偶性求参数 反思：求f(x）=Asin(wx十p)的周期， 要注意x的系数”是否规定了正负号，若无 例2已知f(x)=cos(√3x+9) √5sin(√3x十p)为偶函数，则p可以取的一 符号规定则利用周期公式T=求解。 个值为( )。 A.晋 R C.-x D.-z 感悟 6 3 审题：把原函数化为一个角的一种三角函 若函数f(x)=asinx一bcos x在x=四 3 数形式是处理奇偶性的切入点。利用辅助角 处有最小值一2，则常数a,b的值为 公式把原函数化为f(x)=Acos(x十p)的形 提示：由辅助角公式得函数∫(x)= 式，再利用偶函数的定义构建恒等式求值。 √Ja+bsin(x一p)(其中p由tanp= 确定) a 解答：因为f(x)=cos(√3x十p) √a+b=-2, 5sin5x+p)=2os[x+)+5】 由题意可得 3 b 解得 () 2a- 2 =一2， 2cos [(十9)+x]是偶函数，所以 a=-3， 2os[(5+)+5x]-2cos[(5+p)-Bx b=1 作者单位：陕西省洋县中学 对任意的x恒成立，化简整理得 (责任编辑王琼霞) 20