例说两角和与差公式在解题中的应用&巧用三角函数妙解题-《中学生数理化》高一数学2025年12月刊

中学生教理化驾照皱约与拓展年12月 例说两角和与差公式 在解题中的应用 ■罗文军 一、求给定角的三角函数值 例1利用两角和与差的公式计算 sin75°，cos75的值。 解：sin75°=sin(30°+45°)=sin30°· os45°+c0s30sin45°=号×9+× 2 2 2 _2+6 2 4 c0s75°=c0s(30°+45°)=c0s30°c0s45° sin 30"sin 45x2 2 2 √6-√2 4 二、求已知三角函数式的值 例2求an1°+tan29°+ 3tan1°. tan29°的值。 解：因为tan30°=tan(1°十29°)= tan1°+tan29°√ 1-tan1°tan29° 3,所以tan1°+tan2g°+ 3tan1tan29°= 3 2(1-tan1°tan29)+ 3tan1tan29°= √5 3 三、辅助角公式的应用 例3当x=0时，函数f(.x)=4sinx十 3cosx一10取得最大值，求cos0的值。 解：由辅助角公式得f(x)=4sinx十 3cosx一10=5sin(x+p)一10，其中p满足 3 cos9=5,sin9=亏。由三角函数的性质知 当0十9=受+2kx(k∈Z)时，f(x)取得最大值 -5,所以cos9=cos(经十2k元-9）=sim9=子。 3 四、给值求角问题 例4已知tana,tanB是方程x2十 16 35x十4=0的两根，且a,9∈(-受，），求 a十B的值。 解：因为tana十tanB=一3√3，tana· tanB=4,所以tana<0,tanB0,所以a,B∈ (-受，0），所以a+B∈(-元，0，所以tan(a ana+an日=5，所以a十g=-2经 +8)-1-tan atan 8 3 五、和差角公式的逆用 例5求函数f(x)=cos(x十29)+ 2 sin osin(x+9)的最大值。 解：因为f(x)=cos(x+2p)+2sinp· sin(x+o)=cos [(x+o)+o]+2sin osin(x +p)=cos(x+p)cos o-sin(x+p)sin+ 2sin osin(x+o)=cos(x+o)cos o+sin (x 十p)sinp=cos[(x+p)-p]=cosx,所以 f(x)=cosx1,所以函数f(x)的最大值为1。 感与仪0 已知。∈（侵，且m。=气，则 sin(g+a）-os(-2a）= 提示：因为a∈（受，，sma-,所以 c0s。=-广sn。=-25,所以 sin(g+a）=sin若cosa十cosin=2× 1 ()+×9-25 5 10 因为sin2a-2 sin acos a=2×5 () 5,c0s2a=1-2sin'a=1-2× (）-吾所以o(-2a)=c0要· cos 2a+sin sin2a=-×是-×4 4 2 52 72 10 作者单位：甘肃省秦安县第二中学 (责任编辑王琼霞) 在高中数学中，三角函数不仅是一个重 要的知识点，也是一个重要的解题“工具”，利 用这个工具解题，有时会达到出其不意的效 果。下面举例说明，供同学们参考。 一、利用三角函数证明不等式 例1已知p2十q2=2,求证：p十q≤2。 解：（方法1）由p2十q2=2,可设p= W2cos0,q=√2sin9,9∈R,则p十q=√2cos日 +Esin0=2sin(0+不)。 因为sin(9+不)≤1，所以2sin(g+军)≤ 2,所以p十q≤2。 (方法2)由p2十q2=2,可得p”≤2，g2≤ 2,所以一√2≤p≤√2，一√2≤g≤√2。 令力十q=t,则p=t一q,所以p2十92= 2可化为(t-q)2+q2=2,即2g2-2tg+t2 2=0。要使此方程有解，需满足△=4t2一 8(t2一2)≥0，解得一2≤t≤2。验证：当t=2 时，由2q2-2tg+t2-2=0,即2g2-4q+2= 0,解得q=1,此时p=1,满足p2十g=2。 所以p十q≤2成立。 点评：方法1通过三角代换，将p十q用 三角函数表示，利用正弦函数的性质即可证 明；方法2令p十q=t,可得2g2-2tq十t 2=0,结合判别式即可证明。不难发现，方法 1优于方法2。 二、利用三角函数求无理函数的值域 例2求函数y=√1一x+√x+3的值 域。 解：（方法1）由1-x≥0，x十3≥0，可得 一3≤x≤1。因为1一x和x十3不能同时为 0,所以y=√I一x+√x+3>0。 y=√一x十√x+3两边分别平方得 y2=1-x+2√W1-x)(x十3)+x+3=4十 2√(1-x)(x+3)=4+2√/-(x十1)+4。 当-3≤x≤1时，-(x十1)2十4∈[0， 4],所以√一(x+1)十4∈[0,2]，所以4+ 2√-(x+1)2十4∈[4,8]，即4≤y2≤8，所 以2≤y≤2√2，即函数的值域为[2,2√2]。 (方法2)由（√I一x)2+(√x十3）2=4， 高一数学以炼牌气哲肾中学生款理化 巧用三角函数妙解题 ■王佩其 且（√一x)∈[0,4]，(x+3)∈[0,4]，联 想到sin日十cos20=1,于是可得4sin0+ 4c0s20=4。利用三角代换，令√1一x= 2cos0,+3=2sim0,其中g∈0，]，则 y=√1-x+Wx+3等价于f(0)=2cos0十 2sin0-2sin() 因为9∈[，]，所以0+至∈ [任]所以sm(o+)∈竖，所以 f(9)=2Esin(0+F)∈[2,2E],即函数的 值域为[2,2√2]。 点评：解答本题的关键是先求出定义域。 方法1是将函数式两边分别平方，结合二次 函数的性质求解；方法2是利用三角代换，令 √1-x=2cos0,√x+3=2sin0,其中0∈ [0,],结合正弦函数的性质求解。可见，方 法2（三角代换法）更优，且能减少计算量。 三、利用三角函数求代数式的最值 例3(1)i设a≥0，则2a士2+五的 2a+1 最小值是( )。 A.1 B.√2 C.√3 D.2 (2)已知a十b=1,则√4a+1十 √12b+3的最大值为」 解：(1)已知a≥0，可设a=tan0,且0∈ [0,受)。由题设令y= 2a+2a+工 2a+1 1 √2tang+2×- os0 √2sin日+2 2tan 0+1 2sin8+cos0>0,化简 17 知识结构与拓展 中学生教理化高数学202年12月 例析三角函数的求值问题 ■张红梅 三角函数的求值题型较多，解题的关键 要注意判断三角函数值的符号 是要灵活运用三角公式。下面就三角函数的 二、弦切转化求值 求值问题举例分析，供同学们学习与参考。 例2已知sin0+2cos9 sin0-cos 0 =2,则sin8· 一、利用sin2a十cos2a=1求值 12 cos 0= 例1已知a是第四象限角，cosa= 13 解析：由题设得an0十2 =2,所以tan8 则sina等于( )。 tanθ-1 A是 c是 sin Ocos 0 D.-i2 =4,所以sin0cos日= sin'0+cos20 解析：因为a是第四象限角，所以sina tan 4 12 1+tan'0-17. 0。因为《 cos a-13' 所以sina= 5 评注：对含有sina,cosa的齐次式，可根 13 sin'a+cos a=1, 据同角三角函数的商数关系，转化为只含有 应选B。 正切的式子，即“化弦为切”，再利用整体代入 评注：利用同角三角函数的平方关系时， 求解。 3833g3383833g38-3838383收3g-383g383838-33833838-收3833g38388383g38383g33g3g33g收 整理得(2y-√2)sin0十ycos日=2，即 √4a+I十√I2b+3的最大值，即求m+ √(2y-√2)2+y2sin(0十p)=2(p为辅助 √3n=√6(cos0+√5sin0)的最大值。 角)，所以√(2y-√2)十y2≥2，整理得(5y+ 因为√6(cos0+√5sin0)=2√6sin0+ √2)(y一√2)≥0，解得y≥√2（由y=√2，可 得Esin0+2。=2,即sin9+cos9=2,所 )≤26，所以Aa++26+3的最大 2sin 0+cos 0 值为2√6。 以0=至，即当9=至a=1时不等式取等 点评：对于(1)，设a=tan0,且0∈ 号)。所以Ea士2云五的最小值是E. [0,2),换元后利用辅助角公式与三角函数 2a+1 应选B。 的性质求解。对于(2)，令 √4a+T=m'可 √4b+I=n, (2)已知√4a+1+√12b+3=√4a+1 √4a+丁=m,即得 m=√6cos0, 得m2十n2=6,令 可得m十 十√5·√4b+1,设 ln=√6sin0, √4b+I=n, √3n=√6(cos日+√5sin0),再结合辅助角公 m2=4a+1, 所以m2十n2=6。 式即可求解。在求解过程中，辅助角公式和 n2=4b+1, 三角函数的有界性起到了关键作用。 m=后cos9g∈ 则求 作者单位：江苏省太仓市明德高级中学 n=√6sin0, [o,], (责任编辑王琼霞) 18