利用三角函数的性质求叁数题型归纳&三角变换压轴问题的猜想与揭秘-《中学生数理化》高一数学2025年12月刊

高一数学知贸德种与哲骨中学生款理化 利用三角函数的性质求参数题型归纳一 ■许丽丽 一、根据三角函数的周期求参数 十k元≤一2 元 2 ·ω 3 例1函数f(x)=tan(ax-不)与函数 解：由 k∈Z, 2 g(x)=sin(牙-2x)的最小正周期相同，则 解得ω≤ -2k且a≤号+2k,k∈z。因为0 3 W- 解：依题意得合-2，所以w=士1。 3-2k>0. 1 >0,所以 6<k1 k∈2，即一 5 69 二、根据三角函数的平移变换求参数 +2k>0 例2将函数f(x)=asin2x十2cos2x 的图像沿x轴向右平移石个单位长度后得到 易知=0.则a≤兮且w≤号，所以0<w≤子 五、根据三角函数的值域求参数 的图像关于原点对称，则实数a的值为 解：由题意知a≠0。由f(x)=asin2x 例5已知函数f(x)=2asin(2x+若)+ +2cos2x=√a+4sin(2x+9),其中9由 a+b的定义城为[0，] 值域是[-5,1]，则 1an9=子决定。将函数f(x)的图像向右平 a十b的值为 移石个单位长度得到的函数记为g(x),则 解：因为0≤x≤受，所以答≤2x十石< 6 #(x)-f(r-5)-VaF4sin(2x-3+p). 吾，所以-是≤sin(2x+吾)<1。当a>0 易知g(0)=0,所以一否十9=k元(k∈ 时，由 b=5,解得=2.当a<0时， 3a+b=1,1 b=-5; b=1, Z》,即g=答十kx(k∈Z),所以an9=g- 3a+b=-5 解得/一2， b=1。 兰解得a2 综上可得，a=2,b=-5或a=一2，b= 3。 1。故a十b=-3或a十b=-1。 三、根据三角函数的奇偶性求参数 六、根据三角函数的对称性求参数 贷3若函数f)=n告9∈[o, 例6已知函数y=sin(2x十g) 2π]是偶函数，则9=。 (（一乏<9<)的图像关于直线x=于对称， 3 解：因为f(x)是偶函数，所以f(0)= 则p的值为」 sin号=±1，所以号=kπ+受(k∈)，即9 解：由题意得sin(十p）=士1，所以 3kx+要k∈2刀.又9∈0,2]，故9 +9=受十kx∈2)，即9= 十kπ 6 四、根据三角函数的单调性求参数 (k∈Z)。 例4已知函数f(x)=sin(owx 因为一受<9<受，所以k=0,9= 6 作者单位：新疆巴音郭楞蒙古自治州和 答)（其中w>0)在区间(-空，）上单调，则 硕县高级中学 w的取值范围为」 (责任编辑王琼霞) 13 中学生款理化智皱钟与拓车12月 三角变换压轴问题的猜想与揭秘 ■李勇 猜想一：给值求值中所求角用已知角表 和倍角公式进行求值 示用“配凑法” 猜想三：给值求角中依据函数值和“缩小 例1已知sin xcosy+cos xsin y=2, 角的范围” 例3已知a,B∈(0，π)，且cosa= √5 1 51 cos2x-cos2y=4,则sin(x-y)=（ )。 A号 R子 sin(a+8)= 10,则a-月=( )。 C D.- A. 4 B 解析：因为sin xcos y+cos xsin y= C一子成 in(z+y)三2，所以cos2x-cos2y 解析：因为cosa= cos[(x+y)+(x-y)]-cos[(x+y)-(x -y)]=-2sin(x+y)sin(-y)=-sin(x (于，），所以sina= 2w5 ”,所以sin2@导 y)=子，所以sin(x一y）=一子。应选D 1 2 sinacosa=2×25x5-4 5 5=5。因为cos2a 揭秘：解答本题的关键是将所求角用已 知角表示，即(x十y)十(x一y)=2x,(x十y) =1-2ma=1-2x(2)-号 <0,所 -(.x-y)=2y。 猜想二：给值求值中所求角用已知角表 以2a∈（经，x) 示用“换元法” 因为B∈(0，x),所以a十A∈（牙，） 例2 若cos(昏-a）=子，则sin(2a )=( 因为0<加a+》-号<复，所以a十RE 10 1 (小，所以os（。十B) B. c 7 √-sin(a+8=-7 D. 10。 故sin(a-B)=sin[2a-(a十B)]= 解析：令x=吾-，由os(餐-a）-号 sin 2acos(a+B)-cos 2asin (a+)X 可得0s=：令y=2如一，则y= (）-()×-号 2 2x,所以sin(2a-若）=siny=sin(受-2x） 又因为a∈（于，），8∈(0，元），所以。 c0s2x=20sx-1=2×(号)-1=-日 B∈（一，），所以a一月=一至。应选A 元 应选B。 揭秘：利用正余弦函数的性质，缩小α与 揭秘：利用换元法，令x= 3 a,y a十B的取值范围，结合三角公式求得2a,a十 B的正余弦值，再利用两角差的正弦公式求 2a- 6,找到y与x的关系，再结合诱导公式 得结果。 14 高一数学如阳售种哲骨中学生最理化 猜想四：给角求值中合理“选择主元探求 1 定值” 当an(a一B) =2tan(a-B),tan (a-B)= 例4若△ABC为斜三角形，且sinA= 时取等号。故1an(a十B》的最大值为 2 4 cosB,则anA+tanB的值为( tan C )。 应选D。 A.-2 B.-1 揭秘：对所求角进行变换得到α十B一 C.0 D.1 2a一(a一B),再对题设条件sin(a十B)= 解析：由sinA=c0sB,可得A十B=受 cos2asin(a一B)进行转化得到tan2a= 2tan(a一B),最后结合基本不等式即得最大值。 或A一B=受。因为△ABC为斜三角形，所 猜想六：三角变换中凸显“目标意识和结 构的变换” 以A-B=登即A=受十B. c0s220°+c0s240°+c0s280 故lanA十tanB 例6计算 tan A+tan B sin20°+cos50°+cos50°sin209 tan C tan[π-(A+B)] tan A+tan B tan A+tan B 解析：根据二倍角公式及和差化积公式 tan(A+B) tan A+tan B 1-tanA·tanB 化简分母，再利用二倍角公式及两角和与差 的余弦公式化简分子，从而求得结果。 anA·tanB-1=an(径+B·ianB 原式的分母=sin20°+cos250°十cos50°· 1= 1 一anB·tanB-1=-2。应选A。 sin20°=1-c0s40°十1+c0s100° 2 2 揭秘：注意斜三角形中的隐含条件，合理 1 选择主元B,利用三角形内角和与互余角进 z[sin(20°+50)+sin(20°-50°)]=1 行变换，从而将所求的值转化为定值。 猜想五：函数最值探究中合理选择主元 2c0s40+2os10o+7sin70-7- 用“均值不等式” (cos10-c0s40)+合sin70=子 1 例5若sin(a+B)=cos2asin(a-B), 则tan(a十B)的最大值为( sn302sn702+7in702-. A B 原式的分子=cos220°+cos240°十 1+cos 40 1+cos 80 c号 D. cos280°= 2 2 解析：因为sin(a十B)=cos2asin(a 1+cos160°=3+cos40°+sin10°-cos20 9 B),所以sin[2a-(a-B)]=cos2asin(a +cos(30°+10)+sin10°-cos20°-3 B),所以sin2acos(a-B)-sin(a-B)cos2a 2 2 =cos2asin(a-B),所以sin2acos(a-B)= +cos30°c0s10°+sin30°sin10°-cos20 2cos2asin(a-B),即tan2a=2tan(a-B)。 所以tan(a十B)=tan[2a一(a-B)]= 3 c0s(30°-10°)-c0s20°3 2 2。 tan 2a-tan(a-B)tan(a-B) 1+tan 2atan(a-B)1+2tan'(a-B) cos220°+cos240°+c0s280 要使tan(a十B)取得最大值，不妨设 sin20°+cos50°+cos50°sin20=2。 tan(a-3)>0,则tan(a十B)= 揭秘：三角变换中结构变换的公式主要 有降幂公式、积化和差公式、和差化积公式等。 1 +2an(a-8)22=4,当且仅 作者单位：陕西省洋县中学 tan(a-B) (责任编辑王琼霞) 15