例析三角函数值的符号应用&聚焦三角函数中的数学思想-《中学生数理化》高一数学2025年12月刊

高一数学如阳售种与哲骨中学生最理化 例析三角函数值的符号应用 ■徐信忠 角α的三角函数值的符号只与角α所在 正一负。 的象限有关，下面分类解析三角函数值的符 四、确定点所在的象限 号应用。 例4点P(cos2025°，sin2026)所在 一、确定三角函数值的符号 的象限是( )。 例1（多选题）下列各三角函数值中， A.第一象限 B.第二象限 符号为负的是( C.第三象限 D.第四象限 A.sin(-100) B.cos(-220°) 解：cos2025°=cos(2025°-6×360°)= C.tan(-10) D.cos2π cos(-135°)<0，sin2026°=sin(2026°-6× 解：对于A,一100°为第三象限角，则 360°)=sin(一134°)0，所以点P(c0s2025°， sin(-100)<0。对于B,cos(-220°)= sin2026°)在第三象限。应选C。 c0s(一220°+360)=c0s140°<0。对于C, 评注：熟记正余弦函数在各象限的符号 -10∈(2罗，-3x).则-10为第二象限角， 是解题的关键。 五、求函数的值域 故tan(-10)<0。对于D,cos2π=1>0。应 例5设角α的终边不在坐标轴上，则 选ABC sin a cos a tan a 评注：三角函数值在各个象限的符号可 函数y=sina 的值域 cos a tan a 归纳为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。 为( )。 二、确定角所在的象限 A.{-1,3} B.{1,3} 例2已知tana>0且sina+cosa>0, C.{-1} D.{3} 那么a是第象限角。 解：①当a是第一象限角时，sina,cosa, 解：因为tana>0,所以a为第一、三象 sin a cos a 限角。若a为第一象限角，则sina>0,cosa an&均为正值，所以sina cos a >0,可得sina+cosa>0;若a为第三象限 tan a =3。②当a是第二象限角时，sina 角，则sina<0,cosa<0,可得sina十cosa< tan a 0。综上可得，α为第一象限角。 为正值，cosa,tana为负值，所以 sina 十 sin a 评注：当a为第一或三象限角时，tana>0。 cos a tan a 三、确定三角形的形状 cos a tana=一1。⑧当a是第三象限 例3在△ABC中，若sinA·cosB· 角时，sina,cosa为负值，tana为正值，所以 tanC<0,则△ABC是()。 sina cos a tan a A.锐角三角形 =一1。④当a是 B.直角三角形 第四象限角时，sina,tana为负值，cosa为正 C.钝角三角形 cos a tan a D.锐角或钝角三角形 值，所以sina中cos atan。 =-1。 解：因为A,B,C是△ABC的内角，所 综上可知，函数y的值域为{一1,3}。应 以sinA>0。因为sinA·cosB·tanC<0, 选A。 所以cosB·tanC0,所以cosB和tanC 评注：涉及三角函数的绝对值间问题，要注 中必有一个小于0，即B,C中必有一个钝角。 意分类讨论思想的应用。 应选C。 作者单位：江苏省兴化市昭阳中学 评注：若两个数的积为负，则这两个数一 (责任编辑王琼霞) 中学生款理化智皱钟与拓车12月 聚焦三角☒数中的数学思想 ■黄晓丽 聚焦一：数形结合思想 例1图1是函数y=Asin(wx十p) 评注：对于三角函数的图像变换，要注意 (A>0,>0,9<)图像的一部分，则此 正确判断哪一个点是“第一零点”，同时要注 意图像平移遵循“左加右诚”的原则。 函数的解析式为 聚焦二：方程思想 例2已知a∈(-受，受)，且sma+ cos a-15 ，则tana=。 解：（方法1）由sina十cosa= √5 ，平方得 图1 1+2sin acos a= 5,所以sin acos a=一 解：（逐一定参数法）由图知A=3,T 所以sin acos a=一 所以ana 2 后-（一吾)=x,所以w=祭=2，这时y= sin'a+cos'a tan'a+1 2 3sin(2x十9)。因为点（一石，0）在图像上，所 ,即21an'a十5tana+2=0,解得tana 以0=3sim(否×2+9)，所以-g×2+ 合或ana=-2。因为a∈(-受，，且 0<sina十cosa=5<l,所以cosa>-sina p=kπ(k∈Z),即p= 十kπ(k∈Z)。因为 3 1 19<受所以9=各，故函数y >0,即tana>-1,所以tana= 2 (方法2)由sina+cosa= 3sin(+). 5,平方得 5,即2 sin acos a=- (待定系数法)由图知A=3。因为图像过 1+2sin acos a= 5,所 点(0)和（昏o所以 十9=不， 3 以(sina-cosa)”=1-2 sin acos a= 解得 5。因 5w+9=2r, 为a∈(-受，)，且0<sma+osa=后 5 w=2, 1,所以cosa>-sina>0,即cosa>0,sina 9= 所以函数y=3sin(2x十 3 3W <0,所以sina-cosa= 2。 结合题设得 (图像变换法)由A=3,T=π，点 √5 (若0)在图像上，可知图像是由y sin a=- 5 所以tana sina 1 cos a 2。 3sin2x向左平移答个单位长度得到的，所以 25 cos a=- 5, 评注：方程思想是三角函数化简与求值 y=3sin2(x+）,即函数y=3sin(2x+号)。 中常用的重要的数学思想。 8 高一数学以栋构气西肾中学生款理化 聚焦三：函数思想 评注：分类讨论思想就是“化整为零，各 例3函数y=sin'x+sinx-1的值域 个击破，再积零为整”的解题策略，同时要确 是 保分类准确，且不重不漏。 解：令t=sinx,则t∈[-1,1]。原函数 聚焦五：转化与化归思想 等价于g)=+1-1=(+)-号e 例5已知a,B∈(，，且sin(a十月) [-1,1门。所以当t=-2,即sinx=- 2 会sn(日-牙)=器则cos(e+) x=2k元-吾(k∈)或x=2x-要(k∈Z刀 时，ymin=一 ;当t=1,即simx=1,x=2k元 5 解：由题意知a十B∈（侵，2x),sin(a十 B)=- 吾<0，所以os(a十2)=青。因为 3 十受(k∈时，ym=1。所以函数y=sinx 十sinx一1的值域为 小 B-平∈（经，），所以cos(B-）=一石 评注：求形如y=asin'x十bsin x十c, 所以cas(a+F)=cos[a+)-(-军)] a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通 过换元，令t=sinx,将原函数转化为关于t cos(a+B)cos(B-）+sin(a+B)· 的二次函数，利用配方法求值域或最值，但不 要忽视正弦函数的有界性。 sin(a-)=-专 聚焦四：分类讨论思想 评注：常用的拆角与拼角技巧有2a 例4已知函数f(x)= (a+B)+(a-B),a=(a十3)-B=(a-B)十B, cos2(n元十x)·sin(nr一x）(n∈Z)。 B=十里_22=(a十29)-(a+8),a-月= cos[(2n+1)元-x] 2 2 (1)化简函数f(x)的表达式。 a-y)+(y-),平+a=2-(任-a)等。 (2)求f026)的值。 聚焦六：整体思想 解：(1)当n为偶数，即n=2k(k∈Z)时 例6已知a∈(0，元)，且sina十c0sa= f(x)= cos2(2k元+x)·sin'(2k元-x) √2 cos[(4k+1)π-x] ,则sina一cosa=一0 cos2x·sin2(-x)_cos2x·(-sinx)2 =sin'x; cos2(π-x) (-cos a) 解：由sina十cosa= ② ，可得(ina十 当n为奇数，即n=2k十1(k∈Z)时，f(x) cos[(2k+1)r+x]·sim[(2k+1)一 cosa)2=1十2 sin acos a= z,即sin acos a= 1 c0s2{[2(2k+1)十1]x-x} cos2(x+x)·sin(元-z)=（-cosx)'sin2x 1<0,结合&∈(0，r)得sina>0,cosa< cos2(π-x) (-cos x) 0,所以sina-cosa>0。 sinx。 因为(sina-cosa)2=1-2 sin acos a= 综上得函数f(x)=sinx。 3 √6 (2由1知f(20264)）=in:20g6 ，所以sina-cosa= 2 评注：利用整体思想解题，可以降低解题 sin(674x+x+)=sin(+）=sim3 的难度，达到快速解题的目的。 3 作者单位：湖北省恩施高中 4。 (责任编辑王琼霞) 9