立足定义寻根问底——三角函数的定义应用与交汇-《中学生数理化》高一数学2025年12月刊

高一数学如阳售种与哲骨中学生最理化 立足定义 寻根问底 三角函数的定义应用与交汇 ■何美千 三角函数的定义是进行三角函数化简、 二、已知角α的一个三角函数值和终边 求值和证明的重要依据，也是三角函数所有 上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关 知识的根本。有了它才有了同角三角函数关 的三角函数值 系、诱导公式、图像与性质，才有了三角函数 例2设a是第二象限角，P(x,1)为其 知识与其他数学知识的有机融合。因此解决 1 三角函数问题，要抓住问题的本质，深刻理解 终边上一点，且cosa=2x,则tana一一。 三角函数的定义。正如数学大师波利亚所说 1 “当我们遇到问题的时候，回到定义中去”。 解：由题意得cosa一V中行立1。因 一、已知角α的终边上一点P的坐标，求 为x≠0，所以√x+1=2,解得x=士√3。 角α的三角函数值 因为α是第二象限角，所以x=一√3，所以 例1已知角a的终边经过点P(一4m, 3m)(m≠0)，则2sina十cosa的值 tana=1=1=- 3 是()。 点评：解答本题的关键是三角函数定义 A.1或-1 n号成号 的灵活应用。 C1成-号 D-1成号 三、已知角α的终边所在的直线方程，求 角a的三角函数值 解：由题意得点P与原点间的距离r= √(-4m)+(3m)下=5|m。 例3已知角。的终边在直线y=5 当m>0时，r=5m,可得sina=3m= 上，求sina和tana的值。 5m 3 ,c0sa=57m 4m三号所以2sina+cos。 解：若角。的终边为直线y= 3x(x> =2×3-42 555 0),在角a的终边上任意取一点(，气)(> 当m<0时，r=一5m,可得sina= 0),则它到原点的距离r= 3m 3 cosa=二-，所以2sina -47m4 - -57m 3 √5 十e0sa=2×(-)+-号 2W 3t,可得sina= 3 2√ 2,tan a=- 3 t 综上可得，2na十0sa的值是号支 3 。应选B。 2 若角&的终边为直线y-9x(x<0)在 ③ 3 点评：若点P(x,y)是角a终边上异于 顶点的任一点，点P到原点O的距离为r,则 角。的终边上任意取一点(，气：)1<0，则 sina=y :cos g= ,ana=之(x≠0)。 1 它到原点的距离r= 2√3 x 3t,可 5 中学生数理化 知识结构与拓展 高一数学2025年12月 √3 六、三角函数的定义与诱导公式的交汇 得sina 3 1 23 2 tan a= 3 例6已知角α的顶点与原点O重合，始 t 边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆 3 1 5 的交点为P(告，）：则as红-a)=( )。 综上可得，sina=士乞tana 3。 点评：利用三角函数的定义，把三角函数 A.一5 B. 3 C. D. 的求值问题转化为关于x,y,r的代数运算 解：由题意知a与π一a的终边关于y轴 问题，从而求出相应三角函数的值。 对称，所以π一α的终边与单位圆的交点为 四、用三角函数定义证明三角恒等式 Q(一子，）：由三角函数的定义可得0s( 例4求证：1十tana= 1 cos'a 。应选A。 4 证明：由三角函数的定义知cosQ= 点评：解答本题的关键是利用α与π一a tana=义，所以左边=1十兰 x2+y2 的终边关于y轴对称，确定对称点的坐标，再 x r! 利用三角函数的定义求解。 1 =右边，所以1+tana= 1 cos a cos'a 感悟与收日 1.在平面直角坐标系xOy中，设角a的 点评：本题借助三角函数的定义证明三角 恒等式，不仅思路清晰，操作简便，而且有助于 顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴 培养同学们思维的灵活性和创造性。 重合，终边经过点Pt,1),且sin(a+) 五、三角函数的定义与同角三角函数的 交汇 5,则t=( )。 例5已知-交<a<0,sina十cosa- 2 A.-2 c. D.2 号，求sina-cosa的值。 提示：由题意得cosa= t 三，则 √2+ 解：在角α的终边上任取一点P(x,y)。 根据三角函数的定义知sina=,c0sa一子 sin(e+）=cosa √2+1 ,解得 (其中x>0,y<0),所以兰+-号，平方得 1 t=- 2或1=子（舍去）。应选B. 12x2十25xy+12y2=0,解得y=一 3 2.已知角a的终边经过点P(一5， x或 一12)，则sin(经+a)的值等于一 y=- 3x,所以r= 4x,r=一 3y或r= 提示：由题意得角a的终边与3十a的 5 2 3x,r= 4y,所以sina-cosa= 终边关于直线y=一x对称。因为角α的终 34 7 --=-5或sina-cosa= 边经过点P(-5,-12),所以暨十。的终边 43 5。故sina一cosa= 7 经过点Q(一12,5)。由三角函数的定义得 5 5 5 5 点评：利用三角函数的定义，避开了同角 sim经+a）-1+亏8 三角函数公式的记忆与运用，这是解题的一 作者单位：江苏省盐城市学富实验学校 种好方法。 (责任编辑王琼霞)