三角恒等变换之“三变”&例析三角函数最值(值域)问题的五种求法-《中学生数理化》高一数学2025年12月刊

高一数学如阳售种与哲骨中学生最理化 三角恒等变换之“三变” ■宋晴晴 葛辉2 三角恒等变换主要是以同角三角函数的 正余弦函数的相互转化。 基本关系式、诱导公式、两角和与差的公式和 例2(1)已知a为锐角，且tana 二倍角公式为基础，解决三角函数的化简、求 值与证明问题。三角恒等变换的基本思路 cos2a+,则tana的值为。 是：分析差异，建立联系，促进转化，达成目 (2)已知函数f(x)=√3sin2x+2cos2x 标。同学们要掌握三角恒等变换的“三变”， 十4，当x∈R,求函数f(x)的最小值 即变角、变名称和变结构，下面举例分析。 解：(1)利用弦化切求解。因为tana= 一、变角 1 1 sin'a+cos a 1 cos 2a+1 2cos'a 2cos'a 2tan'a 在三角恒等变换中，出现较多的是角的 变换，可以利用两角之间的和、差关系，互余、 1 ,所以tana-2tana十1=0，解得tana= 互补关系进行角的变换。常见的角变换有 1。 2a=a+月-（月-a),月=8_a2,天+ 2 2,4 (2)利用正余弦函数的相互转化求最值。 a=受-（任-a)等。 因为函数f(x)=√3sin2x十cos2x十1十4= 例1(1)已知a,B都是锐角，且cosa= 2sin(2x+若）)+5，所以当2x+ 6 =2kn- 7osa+8)=- 14,求cosB的值。 6∈乙.即x=kx一晋，k∈乙时，函数 元 元 (2)2sin40°+sin20 f(x)取得最小值3。 c0s20° 的值为。 点评：在三角恒等变换中，为了统一三角 解：(1)利用已知角与所求角存在的和差 函数的名称，常用辅助角公式进行转化，从而 1 关系求解。因为cosa=7,a∈(0，)，所以 方便研究三角函数的性质。 三、变结构 sin a=43 49.由9∈(0，)，可得a+∈0， 三角函数的结构变换主要是三角函数式 子的恒等变形 π)，所以sin(a+B)=√1-cos2(a+B)= 例3化简：√1一sin40 /1-cos40 7 58,所以cos8=cos(a+B-a)=co0s(a+g)· 1 cosa十sin(a十B)sina=2 解：利用平方公式化简求解。原式= (2)原式=2sin(60°-20+sin20 √(sin20°-cos20)'+ /1-(1-2sin20°) cos 20 2 3cos20°-sin20+sin20=5。 =|sin20°-cos20°|+√sin'20°=cos20°- cos 20 sin20°+sin20°=c0s20°。 点评：解题时，观察已知角与所求角之间 点评：通过分析所求式子的结构特征，可 的关系，进行拆角或凑角，利用角与角之间的 以找到变换的方向，如“通分”“去根号”等。 转化求解。 作者单位：1.安徽省阜阳市第七高级中学 二、变名称 2.安徽省阜阳第一中学 三角函数名称的变换主要是弦切互化和 (责任编辑王琼霞) 3 中学生教理化驾识额粹与年12月 知识结构与拓展 例析三角函数最值（值域） 2tanx十tan(受-x)的最小值为一。 问题的五种求法 解：f(x)=2anx十an(经-x) ■传知（特级教师） cos2W2,当且仅当anz 一、归一法 cosx sin x 例1(1)函数f(x)=4 cos xsin(x十 取等号，所以函数f(x)的最小值为2√2。 四、数形结合法 ）-5,x∈(-若，)的最大值为一 例4求函数f(x)=sinx十|sinx|的 值域。 (2)已知sina十cosB= 是，则2sima十 2sinx,sinx≥0， 解：易得f(x)= 作出 cosB的取值范围是一。 l0,sinx<0。 解：(1)函数f(x)=4cosx( 函数(x)的图像（图略）。由图可得f(x)的 sin 值域为[0,2]。 2 cos )3-2sin xoos +23 cos3 五、利用函数图像的凸凹性 =sin2x+5cos2x=2sin(2x+5）。由x∈ 例5求函数f(x)=(sinx+）: (-石，g),可得2x+号∈(o,),所以0< (osx+)在(o,)上取得最大值时的 x值 2sin(2x+)≤2，故f(x)的最大值为2。 (2)由sme十cos月=号，可得cosB= 解：f(x)-(sinx+)(osx+） 2 合sin2x十sn(e+）)+g-snx-2x) 1 sina,所以2sina+cosB=2sina+号- 1-1≤sina≤1， 十n(e+)+。 由x∈(0，)，可得元 sina=sina十 2。由 一1≤2 .3 可 -sina≤1， -2x∈(0，x),x+ ∈（后，）.因为函数 1 35 得2≤sina≤1，所以2≤sina+2≤2，即 y=sinx在(0，π)上的图像上凸，所以f(x) 2sna十c0sB的取值范国是2] 1 =zsin（元一 二、换元法 是[im(x-2a)+in(e+若）十sim(c+若)】十 1 例2函数y=sin xcosx十sinx十cosx 的最大值为一。 (x-2x)+(+)+(x+) 解：设sinx十cosx=t,则sin xcos x= 4 2 sin ,1,且[一22]，所以原函数等价于 2 53 4=2 sin- n4r+5,当且仅当元一2x=x十 9 4 g)-2+4=24+1)-1≤22+ 吾，即x-时等号成立。故当函数(x)在 10-1=3+E.故函数ym=3+厄. 三、不等式法 (,)上取得最大值时的x值为需 作者单位：河南省商丘市夏邑县佳合高中 例3 若x∈(0,2)则函数f(x) (责任编辑王琼霞)