看似简单却不简单，多视角探究三角形面积-《中学生数理化》高考数学2025年12月刊

看似简单却不简单， 2025年新高考全国Ⅱ ■河南省信阳市固始 一、题目考法与特点 2025年新高考全国Ⅱ卷解析几何大题 是在解答题的第二个位置，从难度上看确实 算是比较简单了。试题考查椭圆的标准方 程、直线与椭圆的位置关系。由已知面积反 求过定点的弦长问题，用最基本的方法求解 即可。试题很好地体现了高中数学课程中对 于解析几何的学习与考查要求，符合同学们 的学习实际，难度适中，计算量不大。试题重 点考查同学们对椭圆概念的理解与掌握，以 及运算求解能力，对不同思维类型的同学提 供了不同的发挥空间，符合考试评价改革中 对于基础性、综合性的考查要求。 二、真题呈现及方法探究 题目(2025年新高考全国Ⅱ卷第16 医已知椭圆C:号+ =1(a>b>0)的离 心案为② ,长轴长为4。 (1)求椭圆C的方程。 (2)过点(0，一2)的直线1与椭圆C交于 A,B两点，O为坐标原点。若△OAB的面 积为√2，求AB。 分析：(1)利用椭圆的基本知识和基本概 念即可求解。(2)思路一：联立直线与椭圆方 程，利用韦达定理，先求弦长AB|,再求高 h,则Sa心=号1AB·h,其中A为点O到 直线AB的距离；思路二： (作和法)如图1，S△o4B= 1 SAAOM十S△O1=2 |OM|· |y1一y2|=x1一x2|;思路 三：（作差法）如图2，S△o4 图1 =|S△Aop一S△op|,则S△OAB= -x2|=x1-x2|。 解：(1)由题意知，2a=4,则a=2。 高三数学是破空清中学生教理化 解题篇经典题突破方法 多视角探究三角形面积 卷第16题试题分析及解题启示 高级中学 殷武娟 因为e=￡=2 ，所以 c=√2，故b2=a2-c2=2。 所以椭圆C的方程为 图2 (2)方法一：（韦达定理十弦长公式）易知 直线1的斜率存在且不为0，设直线（的方程 为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2)。 y=kx一2， 联立《 y,消去y整理得(1+ 4+之=1， 2k2)x2一8kx十4=0，所以x1十x2= 8k 1十2k2’ x12:=1+26,△=64k2-16(1+2k2)= 4 之或② 32k-16>0,解得k<- 故Saw=2x1一xV1+k×2 √1十k =|x1-x2|=√(x1十x2)2-4x1x2= 4√2k2-1 =2,化简得=马 1+2k2 2 由弦长公式得|AB|=√1十k|x1一x2 =√+×=6. 方法二：（作和法）易知直线！的斜率存 在且不为0，设直线1的方程为y=kx一2， A(x1,y1),B(x2,y2)。 y=kx-2, 联立 ，消去y整理得(1+ 8k 2k')x2-8kx十4=0，所以x1十x?=1十2k 4 x12:=1+26,4=64k2-16(1+2k2)= 32:-16>0,解得6<- ≥或八2 2 39 解题篇经典题突破方法 中学生数理化离数学02年月 设直线1交x轴于点M(会0)，可得 SAOAL-2 oM1·1-=引： 1(k.x1-2)-(kx2-2)1=|x1-x2= √/(x1十x2)-4x1x2= 4√2k-1 1+2k2 =√2，化 简得k=之。 3 由弦长公式得|AB|=√1十k|x1一x2 √+多×反=5 方法三：（作差法）易知直线L的斜率存 在且不为0，设直线l的方程为y=kx一2， A(x1,y1),B(x2y2) y=kx一2， +苦-. 联立x2 消去y整理得(1十 8k 2k2)x2-8kx十4=0，所以x1+x?=1十2k, IIT:= 1+26,4=64k-16(1+26')= 4 326一16>0，解得k<号或k>号 2 设直线1交y轴于点P(0,一2)，可得 S△0AB= 11Op1·1x1-x,1=2×2× 2 4/2k2-1 √/(x1+x2)-4x1x2= 1+2k2 =√2，化 简得k:=3 。 由弦长公式得|AB|=√1十k|x1一x2 -+×=5 点评：本题第二问考查直线与椭圆的位 置关系，对△AOB的面积的理解有不同的角 度。如果将△AOB的面积显解为21AB1· h就是思路一；如果将△AOB的面积理解为 两个三角形的面积之和就是思路二；如果将 △AOB的面积理解为两个三角形的面积之 差就是思路三。在几种不同的解题思路中， 可以选择使用韦达定理直接求解，也可以选 择直线的，点斜式方程或斜截式方程，着重考 40 查理性思维和数学探究的综合素养，助力不 同思维水平的同学正常发挥。 三、高考溯源 1.(2014年全国新课标卷第20题)已知 点A(0,-2),椭圆E:十=1(a≥b≥0) 的离心率为气F是椭圆的右焦点，直线AD 的斜率为2 3,0为坐标原点。 (1)求椭圆E的方程： (2)设过点A的直线l与椭圆E交于P,Q 两点，当△OPQ的面积最大时，求直线1的方程。 2.(2024年新高考I卷第16题)已知 A03)和P(,）为椭阅C若+若-1 (a>b>0)上两点。 (1)求椭圆C的离心率； (2)若过点P的直线l交椭圆C于另一 点B,且△ABP的面积为9，求直线l的方程。 四、备考方略 在高考数学中，解析几何一直是重点和 难点，对同学们的综合能力要求较高，解析几 何题目的特点在于将几何图形与代数方程紧 密结合，需要同学们具备较强的数形结合能 力、运算能力和逻辑推理能力。在具体解题 时，同学们要仔细审题，明确题目所给出的条 件和要求解的问题。例如，对于直线与圆锥 曲线的位置关系问题，同学们要知道灵活运 用直线方程的形式、圆锥曲线的方程及性质。 在解题方法的选择上，要根据题目的特 点灵活运用。该真题方法的选择主要源于三 角形面积求法的不同，解题时，不仅需要同学 们掌握这些方法的具体步骤，还需要理解每 种方法的适用条件和优势。比如，联立方程 法适用于求交点坐标等问题，但运算量较大。 运算能力是解决解析几何问题的关键。很多 同学在解题过程中因为运算错误或烦琐而导 致失分。因此，复习备考时要着重强调运算 的技巧和规范性，如化简式子、合理利用对称 性等，同时同学们要多做练习，提高运算速度 和准确性。 (责任编辑王福华)