2025年新高考全国Ⅰ卷第18题试题分析及解题启示-《中学生数理化》高考数学2025年12月刊

解题篇经典题突被方法中学生数理化 高三数学2025年12月 2025年新高考全国I卷第18题试题分析及解题启示 ■河南省信阳市固始县高级中学教育集团 胡云兵 一、题目考法与特点 元将定圆和定椭圆上点的距离最大值问题转 2025年新高考全国I卷第18题以解析 化为定椭圆上点到定圆圆心的距离最大值问 几何中的轨迹和最值问题为载体，考查同学 题，最后用整体代入转化为二次函数的最值 们熟悉的椭圆、直线和圆。试题的背景是“反 问题来求解。 演点”，考查恒等变形、整体代入等代数运算 解析：(1)由题意知，A(0,一b),B(a, 能力，以及解析几何中的数形结合、化繁为简 0),所以|AB|=√a+b=√0，所以a2+ 等思想，是一道较为综合、难度较高的题目。 b2=10。 试题虽然是解析几何问题，但其中加入了平 面几何和二次函数的元素，希望同学们在面 由e=C-22 a ,得c= 3a,所以c2= 对具体问题时，能将自己学习到的各个板块 的知识有机结合进行应用，体现了试题的综 2b二号a2,即a=9b。结合a+62 合性、灵活性及全面性，有助于选拔具有科学 10,解得b=1,a2=9。 素养、能够举一反三、进行自主探究的拔尖创 新型人才。 所以椭圆C的方程为写+y=1 二、真题呈现及方法探究 (2)①方法一：设点P(m,n),m≠0， 题目 (2025年新高考全国I卷第18 R(x,y),由题意知，A(0,一1)。 (y+1_n+1 题)已知椭圆c十1(a>b>o)的肉 故 心案为2 √x2+(y+1)·√m+(n十1)=3， ,下顶点为A,右顶点为B,AB1 3 3m x= =√10 解得 m2+(n+1), 所以点R的坐 (1)求椭圆C的方程。 y=、 -m2-n2+n+2 m2+(n+1)9 (2)已知动点P不在y轴上，点R在射 3m 线AP上，且满足|AR|·|AP|=3。 标为 -m2-n2十n十2 m2+(n+1)’m2+(n+1)2 ①设P(m,n),求R的坐标（用m,n表 方法二：设点P(m,n),m≠0，R(x,y), 示)； 由题意知，A(0,一1)，则AP=(m,n十1)。 ②设O为坐标原点，Q是C上的动点， 因为点R在射线AP上，且满足|AR|· 直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍， |AP|=3,所以存在入，使得A京=λAP,且 求PQ的最大值。 入>0。 分析：在第(1)问中，利用已知条件转化 因为AR1·|AP1=入1AP12=[m2+ 为a,b或a,c的方程，直接求解；第(2)问的 3 第①小问先求出|AP|和|AR|,然后利用 (n十1)2]=3，所以入= Γm'+(n十1)2。 A下和AP共线同向来求出A下，再求出点R 因为O求=OA+A求=OA+AA户= 的坐标，或先求出AP,然后使用点R在射线 AP上这一条件假设A求=入AP,再利用 (0,-1)+ 3 m2+(n+1)2 （m,n+1)= |AR·AP|=3解出入，从而求出点R的 3m -m2-n2十n十2 坐标。第②小问使用三角形不等式或三角换 n2+(n+1)2,m2+(n+1)2 ,所以点R 37 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高三数学2025年12月 的坐标为 3m -m2-n2+n+2 距离是( )。 7n2+(n+1)2,m2+(n+1)2 A.52 B.√46+√2 ②方法一：（三角形不等式法）由①知 C.7+√2 D.6√2 -m2-n2十n十2 37m kop= m,所以 解析：设圆x2十(y一6)=2的圆心为 -m2-n2+n+2_3 M(0,6),半径为r=√2。 3m m ,即m2+(n十4)2 设Q(x,y),则8十y=1,且二1≤y奶 18,所以点P在以T(0,一4)为圆心，3√2为 半径的圆上，但要除去(0，一4十3√2)和 ≤1，点Q到圆心M(0,6)的距离为|QM|= (0,一4一3√2)两点。 √Jxi+(y-6)=√10(1-y)+(y。-6)F= 设Q(x,y),因为Q为椭圆x2十9y2=9 √9(+号)+50，所以当y。=- 时. 上一点，所以|PQ1≤|QT|+|PT|= √x+(y+4)F+3√2=√9-9y+(y+4) QMmx=5√2，所以|PQ|ms=|QM|mx十 PM=5√2+√2=6√2。故选D。 +3E=√9(-2)+27+3E. ,点评：本题与2025年新高考全国I卷第 因为-1≤y≤1，所以当y=之时，PQ 18题第(2)问的思路和方法基本一致，充分 体现高考试题的经典性和延续性，所以同学 取得最大值为3√3+3√2。 们在平时做题时，要注意对高考试题的研究 方法二：（三角换元设点法）因为Q是椭 和思考，探寻命题的规律和思维路径。 圆C上的动点，所以可设Q(3cos0,sin日)。 四、备考方略 结合方法一可知|QT12=(3cos0)2十 新高考试卷强调对思维能力的考查，解 (sin0+4)2=9cos20+sin20+8sin0+16= 题时要多想少算，对于解析儿何专题主要体 -8sin0+8sin0+25。 现在：通过挖掘几何信息，加强几何转换，优 令h=sin0,则h(u)=-8u2+8+ 化繁难运算，一般来讲，几何信息挖掘得越透 25= 8(-2)广'+27∈[-1,1，所以当 彻，代数运算就会越简单。 在复习备考过程中，同学们要规范答题， n=交时，h(u)s=27,所以QTa=35, 1 踩准得分点，减少过失性失分。在答题过程 中，针对不同位置的解析几何问题要力争做 所以|PQ取得最大值为3√3+3√2。 好以下几点： 点评：本题第(2)问的第②小问是求动直 (1)容易题争取不丢分一规范解答少 线的最大值，方法一联想到“三角形两边之和 跳步； 大于第三边”，注意到PQ取最大值时必过 (2)中等题争取少丢分—得分点处写 圆心，于是以圆心T作为三角形顶点，接下 清楚； 来只需要计算|QT|的长度即可；方法二通过 (3)较难题争取多拿分—知道一点写 点P在椭圆上运动，可以考虑三角换元设 一点，一道高考题做不出来，不等于一点想法 点，从而实现“减元设，点”，为接下来求最值做 都没有，应尽量将自己知道的写出来； 准备，这种方法在2024年全国乙卷的解析几 (4)克服“会而不对，对而不全”的问题。 何问题中也有体现。 解答题一般都设置了层次分明的“台 三、高考溯源 阶”，入手易，解到底难，因此看似容易的题也 题源(2014年福建高考理科数学第9 会有“咬手”的关卡，看似难做的题也有可得 题)设P,Q分别为圆x2十(y一6)=2和椭 分之处，所以尽量做到中等题少丢分，难题多 圆。十y”=1上的点，则P,Q两点间的最天 得分。 (责任编辑王福华) 38