【课件】01“新高考2卷 第18题 “-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（南部）

该高中数学课件聚焦导数在函数性质研究中的综合应用，以2025年全国II卷第18题为例，从教材基础（如人教A版切线不等式）切入，通过梳理求导、单调性分析、极值点与零点判定的步骤，搭建从教材例题到高考综合题的学习支架，衔接2010天津卷等经典题的解题脉络。 其亮点在于融合多种解题方法（直接求导、配对放缩等）与思维导图辅助理解，通过一题多解培养学生逻辑推理和数学运算素养，如第(1)问用极限思想与放缩法结合证明零点唯一性。资料提供分层教学建议，助力教师针对不同学生设计训练，学生能深化函数本质理解，教师可提升教学效率与针对性。

导数为钥，探函数之幽微 ----2025年全国II卷第18题的思辨与启迪 参赛人：蔡旭、王瑾超、宋祥涓、梁勇 所在单位：四川省成都市成都七中英才学校 一、原题呈现 二、思维导图及试题分析 三、题目背景 四、高考溯源 五、教学建议 六、试题评析 一、原题呈现 【题目】(2025•全国II卷•18) 一、原题呈现 知识 储备 对数函数 幂函数 导数应用 数学 思想 转化与化归 数形结合 函数与方程 核心 素养 数学抽象 逻辑推理 数学运算 函数的零点与极值点是高考热门考点，这类题目的切入点一般是利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理，从而确定零点的个数. 一、原题呈现 考查目标：试题以对数函数和幂函数为载体，考查函数的导数及其在比较大小方向的应用，重点考查如何利用导函数的性质推断原函数的单调性和零点的存在性等函数性质.试题着重考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，解答过程体现了化归与转化、数形结合、函数与方程等数学思想. 二、思维导图及试题解析思路 第(1)问证明：证明存在唯一极值点和零点 该问分两个层次：极值点个数的判定和零点个数的判定. 虽然都涉及“点”的存在唯一性，但对能力要求不同. 极值点判定(基于函数局部单调性)要求相对较低，属于基础难度；零点个数判定(需结合单调性与区间端点函数值符号)难度为中档. 以下提供四种解法的思路： (1)方法一：直接求导+极限思想 二、思维导图及试题解析思路 (1)方法一：直接求导+极限思想 二、思维导图及试题解析思路 优点：思路直接，步骤规范，易于理解. 缺点：极限表达需严谨，未清晰说明趋势合理性可能会失分. 适用人群:对函数单调性与极限有基本理解，经验依赖性强， 迁移能力有限的同学. 思维导图——第(1)问 直导加极限， 规范不出错. 二、思维导图及试题解析思路 （1）方法二：配对法(结合切线不等式放缩) 二、思维导图及试题解析思路 (1)方法二：配对法(结合切线不等式放缩) 二、思维导图及试题解析思路 优点：规避极限运算，依托教材结论简化判断，运算量小. 缺点：需精准拆分函数结构，对代数变形能力要求较高. 适用人群：熟悉教材结论、擅长代数式拆分的学生. 思维导图——第(1)问 法一 法二 配对用结论， 拆分省工多. 二、思维导图及试题解析思路 (1)方法三：放缩凑点法 二、思维导图及试题解析思路 (1)方法三：放缩凑点法 优点：通过“抓特殊点”简化零点定位，技巧性强. 缺点：放缩方向易偏差，需精准控制范围. 适用人群：知识迁移能力强，擅长不等式放缩的同学. 二、思维导图及试题解析思路 思维导图——第(1)问 法一 法二 法三 放缩抓特殊， 定位准没错. 二、思维导图及试题解析思路 (1)方法四：猜根验证法 二、思维导图及试题解析思路 (1)方法四：猜根验证法 优点：针对性强，快速突破，依赖观察能力. 缺点：猜根依赖经验，逻辑严谨性稍弱. 适用人群：解题经验丰富、善于观察函数结构的学生. 二、思维导图及试题解析思路 思维导图——第(1)问 法一 法四 法二 法三 猜根凭经验， 代入效率卓. 二、思维导图及试题解析思路 直导加极限，规范不出错. 配对用结论，拆分省工多. 放缩抓特殊，定位准没错. 猜根凭经验，代入效率卓. 二、思维导图及试题解析思路 解题思路： 核心思想一致：求导确定极值点和单调区间，结合单调性分析函数图象趋势. 差异：零点存在性的论证方式，方法一：教材例题中已经出现过利用极限判断函数零点，所以本题也可直接利用极限思想来说明；方法二、三、四，都是借切线不等式ln(x+1)x(x>-1) (人教A版94 页) 通过一定的放缩得出. 二、思维导图及试题解析思路 第(2)(i)问 二、思维导图及试题解析思路 第(2)(i)问方法一：直接求导化简 二、思维导图及试题解析思路 第(2)(i)问方法一：直接求导化简 二、思维导图及试题解析思路 优点：步骤直接，依赖基本求导法则，无需特殊技巧. 缺点：运算量极大，易出现符号错误或通分失误. 适用人群：运算能力极强的学生. 求导硬运算， 符号细斟酌. 第(2)(i)问方法一：直接求导化简 二、思维导图及试题解析思路 第(2)(i)问方法二：综合分析法 二、思维导图及试题解析思路 综合倒推理， 变形方向握. 第(2)(i)问方法二：综合分析法 二、思维导图及试题解析思路 优点：减少运算量，通过逻辑推理(目标倒推)替代复杂计算. 缺点：需精准把握不等式变形方向，逻辑链条易断裂. 适用人群：逻辑推理能力强的学生. 第(2)(i)问方法三：消元留3k，换元化解g(t) 二、思维导图及试题解析思路 第(2)(i)问方法三：消元留3k，换元化解g(t) 二、思维导图及试题解析思路 第(2)(i)问方法三：消元留3k，换元化解g(t) 换元降难度， 变量理得妥. 二、思维导图及试题解析思路 优点：通过换元减少变量，降低表达式复杂度. 缺点：换元过程需理解变量关系，对整体思维要求高. 适用人群：擅长变量转化的学生. 第(2)(i)问方法四：直接通分化解g(t) 二、思维导图及试题解析思路 第(2)(i)问方法四：直接通分化解g(t) 二、思维导图及试题解析思路 极值巧代换， 复导记心窝. 第(2)(i)问方法四：直接通分化解g(t) 二、思维导图及试题解析思路 优点：利用极值点条件整体代换，简化计算. 缺点：需熟悉复合函数求导法则及符号判断. 适用人群：对导数公式熟练的学生. 第(2)(i)问方法五：消元保留x1 二、思维导图及试题解析思路 避通分看符， 关联快突破. 第(2)(i)问方法五：消元保留x1 二、思维导图及试题解析思路 优点：避免通分的繁琐运算，直击符号本质. 缺点：对导函数符号的判断要求高. 适用人群：对函数性质敏感且能联系前后问的学生. 第(2)(i)问方法六：同构+借助函数单调性分析g(t)符号 二、思维导图及试题解析思路 第(2)(i)问方法六：同构+借助函数单调性分析g(t)符号 二、思维导图及试题解析思路 构函看单调， 同构捕捉着. 第(2)(i)问方法六：同构+借助函数单调性分析g(t)符号 二、思维导图及试题解析思路 优点：依托函数单调性简化证明,逻辑清晰,体现数学本质. 缺点：需精准识别同构结构并构造合适的辅助函数. 适用人群：擅长函数构造与性质分析的学生. 第(2)(i)问方法七：借助不等式性质分析g(t)符号 二、思维导图及试题解析思路 第(2)(i)问方法七：借助不等式性质分析g(t)符号 二、思维导图及试题解析思路 不等助判断， 观察速度豁. 第(2)(i)问方法七：借助不等式性质分析g(t)符号 二、思维导图及试题解析思路 优点：利用不等式性质快速判断，技巧性强. 缺点：需理解函数单调性与相关不等式的关联,路径可能不直观. 适用人群：对不等式的基本性质比较熟练且观察能力强的同学. 第(2)(i)问方法八：分解函数g(t) 二、思维导图及试题解析思路 第(2)(i)问方法八：分解函数g(t) 二、思维导图及试题解析思路 分解拆函数， 本质细探索. 第(2)(i)问方法八：分解函数g(t) 二、思维导图及试题解析思路 优点：通过结构分解降低复杂度,揭示数学本质,体现高阶思维. 缺点：需深刻理解导函数的结构特征和对称性,难度较大. 适用人群：对函数对称性有深刻理解的同学. 第(2)(i)问方法九：二次求导分析g(t)的符号 二、思维导图及试题解析思路 第(2)(i)问方法九：二次求导分析g(t)的符号 二、思维导图及试题解析思路 高阶辨凹凸， 一二三阶托. 第(2)(i)问方法九：二次求导分析g(t)的符号 二、思维导图及试题解析思路 优点：体现高阶导数的分析价值,思维层次高,是处理一阶 符号不明时的通用方法. 缺点：高阶导数计算复杂,步骤繁琐,可能引入新难点. 适用人群：对函数的凹凸性(二阶导数)敏感且不惧复杂 计算的同学. 求导硬运算,符号细斟酌. 综合倒推理,变形方向握. 换元降难度,变量理得妥. 极值巧代换,复导记心窝. 避通分看符,关联快突破. 构函看单调,同构捕捉着. 不等助判断,观察速度豁. 分解拆函数,本质细探索. 高阶辨凹凸,一二三阶托. 二、思维导图及试题解析思路 第(2)(i)问 二、思维导图及试题解析思路 49 单调性问题 求导研究 思路一：直接求导研究 思路三、四、五：消元 思路六、七：同构法 思路九：复合多次求导 分析法 思路二：利用分析法转化 分解函数 思路八：将函数进行分解 二、思维导图及试题解析思路 第(2)(ii)问： 第(2)(ii)问方法一：利用(i)问结论 前论直接用， 逻辑不脱缰. 二、思维导图及试题解析思路 优点： 步骤简洁,连贯运用前问结论. 缺点： 依赖(i)问的正确证明且逻辑链条较长,思路易断层. 适用人群： 能串联各问逻辑的学生. 第(2)(ii)问方法二：构造新函数验证 二、思维导图及试题解析思路 第(2)(ii)问方法二：构造新函数验证 二、思维导图及试题解析思路 构新函验证， 化简耐心扛. 第(2)(ii)问方法二：构造新函数验证 二、思维导图及试题解析思路 优点：结合(i)问,体现函数建模能力,逻辑判断直接. 缺点：函数表达式复杂,解析式化简和求导过程需要耐心. 适用人群：擅长数学构造及理解精细,运算能力强的同学. 第(2)(ii)问方法三：有理分式逼近(帕德逼近) 二、思维导图及试题解析思路 不等显神通， 帕德背景广. 第(2)(ii)问方法三：有理分式逼近(帕德逼近) 二、思维导图及试题解析思路 优点：体现高等数学背景,思维层次高. 缺点：逼近过程抽象,计算量极大且高中阶段难以严谨操作. 适用人群：思维层次高,对函数逼近思想有了解的同学. 第(2)(ii)问 前论直接用，逻辑不脱缰. 构新函验证，化简耐心扛. 不等显神通，帕德背景广. 二、思维导图及试题解析思路 三、题目背景 1. 素养要求 本题严格对标《普通高中数学课程标准》,聚焦函数与导数的核心内容,重点考查： 逻辑推理：通过极值点、零点的唯一性证明,检验演绎推理的严谨性； 数学运算：复杂函数求导、分式化简、不等式变形等过程,考查运算的准确性与技巧性； 数学抽象：从函数结构中提炼对称关系、转化双变量问题,体现抽象思维能力； 直观想象：结合函数单调性与图像趋势分析,培养数形结合思想. 试题完全符合高考“基础性、综合性、应用性、创新性”的考查要求,突出对“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)和“四能”(发现、提出、分析、解决问题能力)的综合检测. 三、题目背景 2. 编题背景与命题渊源 教材根基：源于教材核心内容(导数公式、单调性、极值、零点),深度融合教材习题结论(如人教A版94页切线不等式),强化“回归教材”的命题导向. 高等数学背景： 函数 f (x)可视为ln(x+1)与三阶麦克劳林展开式的差值,蕴含函数逼近思想； 第(2)(ii)问本质是多变量问题, 与2010年天津卷、2011年辽宁卷等相关试题一脉相承. 反套路设计：规避传统极值点偏移题的“差函数构造”套路，通过辅助函数 g(t)搭建思维台阶，将双变量函数问题转化为单变量函数问题进行单调性分析，更精准地考查学生的真实思维能力. 四、高考溯源 (1)教材中的初等函数背景 ①人教A版选择性必修二94页练习第2题： 证明： ②人教A版选择性必修二95页例7： 根据初等函数的增长速度的比较,判断： ③北师大版选择性必修二83页例5： 四、高考溯源 (2)以往高考题中的呈现 四、高考溯源 (2)以往高考题中的呈现 五、教学建议 （一）针对基础薄弱学生：夯实基础，规范步骤 1.聚焦教材核心：以教材例题(如单调性、极值)为蓝本,强化“求导→单调性→极值点”的规范训练,如每天1道类似2010年天津卷第(Ⅰ)问的基础题. 2.分解步骤教学：将复杂问题拆解为“求导→解方程→判符号→下结论”,用流程图展示解题路径. 3.强化计算准确性：开展“求导专项训练”,要求写出每一步的依据. 五、教学建议 （二）针对基础相对扎实的学生：强化转化，突破中档障碍 1.技巧专题训练：开设“放缩法应用”“双变量转化”专题,结合2011年辽宁卷第(2)问,针对性的用不等式简化证明. 2.错题归因分析：收集学生在求导、分式化简中的典型错误,制作“易错点手册”(如“复合函数求导符号规则”、“分式通分技巧”). 3.递进设问引导：通过问题链引导思考(“为什么要构造？”“如何利用的表达式消元？”),培养逻辑串联能力. 五、教学建议 （三）针对基础扎实，思维品质突出的学生：深化本质，拓展视野 1.背景知识渗透：简要介绍导数中多元问题、麦克劳林展开的背景(教材必修一256页三角函数部分已经给出的麦克劳林展开),帮助学生理解问题本质，如对比2011年辽宁卷与本题的偏移证明逻辑异同. 2.一题多解探究：组织“解法优化”讨论,分析不同方法适用场景(如直接法适合运算强的学生,分析法适合理性强者，同构法适合结构洞察者). 3.原创题改编训练：引导学生基于本题改编试题(如改变函数形式、调整参数范围),培养命题思维,深化本质理解. 六、试题评析 《教育强国建设规划纲要(2024-2035年)》指明了高考改革的方向, “深化高考综合改革,构建引导学生德智体美劳全面法则的考试或考核内容体系,重点强化学生关键能力、学科素养和思维品质考查”.本题研究函数极值点和零点的关系,在第(1)问确定其存在性和唯一性；第(2)问引入辅助函数探索极值点和零点之间的关系；试题设问由浅入深,思维量逐步提升,考查了化归与转化、数形结合、函数与方程等数学思想,使得不同层次的学生都有获得感,具有较好的区分选拔功能. 试题考查导数应用的主干知识,对高中数学教学有积极的引导作用. 六、试题评析 1.高考导向价值 反套路命题：通过辅助函数设计,规避传统极值点偏移问题“差函数”构造的套路解法,考查真实思维能力和知识迁移能力. 分层考查：第(1)问基础+中档,第(2)(i)问中档+拔高,第(2)(ii)问(依托第(i)问实现区分)的设计,有效区分不同能力层次的考生. 高阶思维：蕴含的函数逼近(麦克劳林、帕德逼近)和导数中的多元问题思想,自然衔接初等数学与高等数学,为大学学习铺垫. 六、试题评析 2.育人价值 培养理性思维：通过严谨的导数运算、符号判断和逻辑推理,提升逻辑推理素养. 发展创新意识：多种解法的探究鼓励学生多角度思考,培养解决问题的创新意识和策略决策能力. 渗透数学文化：展现函数逼近思想的发展脉络,体会数学的严谨性与简洁美和应用价值. 六、试题评析 3.教学启示 立足教材：深入挖掘教材例题与习题(如切线不等式、函数的性质)的潜在价值,进行变式教学. 强化素养：减少机械刷题,注重导数作为研究函数性质的工具性作用,加强其在分析单调性、极值、零点等问题的综合应用训练. 适度拓展：在高三复习中可适当融入多变量问题,麦克劳林及帕德逼近等背景知识,开拓学生视野加深对问题本质的理解. 分层教学：设计阶梯式问题链和针对性策略,满足不同层次学生的发展需求. 六、试题评析——感悟 1.数学问题解决的三层思考： 自然思考→有效思考→简练思考 2.解题思考的原则与策略： 强化审题意识、挖掘问题背景→提取问题特征、联想解决方法 →突出目标导向、注重前景判断→优化思维层次，提升解题水平. 六、试题评析——感悟 3.运算方法维度： 解法的预估→解法的优化→运算品质的提升. 2025年全国Ⅱ卷第18题以教材为根基，以高等数学为背景，通过巧妙的设问设计，既考查了基础知识与基本技能，又检测了学生的数学思维与创新能力. 这类“好题”的出现，指引高中数学教学应回归本质，在培养学生核心素养以及思维习惯和品质、促进他们思维进阶上下功夫，真正实现从“解题”到“育人”的转变. EMBED Equation.DSMT4 在单调递减. 主要利用第(i)问结论,借助函数g(t)的单调性,对t进行恰当赋值,得到 f (2x1)< f (x2)=0,结合函数 f (x)的单调性可得2x1>x2；或构造新函数验证,利用f (x2)=0,转化为判断f (2x1)与0的大小关系；有理分式函数逼近(帕德逼近)此方法对学生高等数学背景、思维层次要求较高. 1.(2010年天津卷)已知函数 (Ⅰ)求函数 的单调区间和极值； (Ⅱ)已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称， 证明: 当 时， (Ⅲ)如果 且 , 证明: . 2.(2011年辽宁)已知函数 (1)讨论f (x)的单调性； (2)设a > 0，证明：当 时， (3)若y = f (x)图像与 轴相交于A、B两点，设线段AB中点横坐标为x0，证明： $