椭圆中的最值问题易错点探秘-《中学生数理化》高考数学2025年12月刊

中学生数理化 解题篇易错题归类剖析 高三数学2025年12月 椭圆中的最值问题易错点探秘 ■山东省莘县实验高级中学 赵广祥 圆锥曲线是高中数学中的核心知识，其 例1已知椭圆C:天 十y=1,B是椭 中与最值相关的问题属于考查热点，更是易 错点。本文基于一轮备考复习，对椭圆中的 圆C上的动点，点A(4,0),求|AB|的最大值。 最值问题进行了全面梳理，分析各种题型的 解法一：（三角代换法）依题意可设 答题措施，并对答题过程中容易出现的错误 B(2cosa,sina)(a∈[0,2x),则|AB|= 进行梳理，旨在帮助同学们突破椭圆中的最 V(2cos a-4)+(sin a-0) 值问题，并能举一反三，推广到双曲线和抛物 v4cos'a-16cos a+16+sin'a 线当中进行应用。 √/3cos2a-16cosa+17。 一、到定点的距离问题 因为a∈[0,2π)，所以cosa∈[一1,1]， 此类问题属于基础性问题，主要考查两点间 所 以 √3cosa-16cosa+17 的距离公式：|AB|=√(x1一x2)十(y1一y2)。 W3×(-1)-16×(-1)+17=6。 解决方法主要是三角代换。若定点在坐标轴 故AB的最大值为6。 上，则可以结合椭圆方程转化为一元二次函 解法二：（消元代换法）设点B(x,y)(x 数来求最值。解题时的易错点主要有：一是 设点的形式；二是转化为什么函数；三是利用 ∈[-2,2])，则|AB|=√(x-4)+(y-0) 函数求最值的方式。 √x2-8.x+16+y7。 wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 由题意知椭圆的右焦点为F(√，0)，若 题展示了切点弦转化、斜率之积转化和相交 x=4-5,则=45 弦转化的具体应用，并提出各种方法的易错 3 点。文章只是通过题目探讨了三大类问题的 故当直线MN过椭圆的右焦点时，t= 转化，在实际解题中要灵活处理，有很多题目 43 相应的已知条件会有所变化，如斜率之积转 3 化题型中，有的题目会直接告诉k1·k2=m 点评：该题是在两条直线与椭圆相交的 (为常数)。文章给出的解题策略具有普 情境下，求证交，点弦直线过椭圆的焦，点，属于 适性：先建立含参直线方程，再通过代数变 直线过定，点问题，只不过此时定点的坐标已 形消参，最终锁定定点坐标。这些方法不仅 经确定，只要证明t存不存在，若存在，则直 适用于椭圆，经适当调整后也可推广至双曲 线MN过椭圆的右焦点；若不存在，则直线 线和抛物线的情形。建议同学们在掌握核 MN不过椭圆的右焦，点。在这类问题的解答 心方法的基础上，进一步关注解题过程中参 中，一般思路是将交点坐标求出来，利用直线 数范围的讨论及几何意义的验证。在解题 的两点式方程求直线方程，再利用含参直线 实践中，需根据条件特征灵活选取最优路 求定点的方法求出定点坐标即可。本题中， 径，特别注意易错点，通过“代数运算规范 因为，点M、V的坐标比较复杂，没有明确把 化、几何意义可视化”提升解题效率与严谨 直线方程求出来，而是根据要判断直线是否 性。正如数学大师希尔伯特所言：“数学的 过椭圆的焦点，所以直接令y=0,求出横坐 演进本质是不断寻找更优的转化路径。”掌 标，从而求得参数t的值。 握这些策略，实则是掌握解析几何中“动中 总之，本文系统地探时了圆锥曲线中直 寻静”的思维精髓。 线过定点问题的三大转化策略，通过典型例 (责任编辑王福华) 34 数学腰折中学生表理化 因为点B在椭圆C上，所以y=1一千，代 5√2 2 人-8x+16+可，得√x2-8x+16+1-无 所以点A到直线l:y=x一3的最大距 -2-8x+17. 鹰为5e 2 解法二：（平行切线法）设与直线l:y= 3 又x∈[-2,2]，则√是x-8x+17≤ 工一3平行，且与椭圆C:号十y=1相切的 /8×(-2)-8×(-2)+17=6 直线方程为l1:y=x十m。 y=x十m, 故|AB|的最大值为6。 联立 x2, 3十y2=1, 消去y整理得4x2+ 点评：该题为了体现两种方法，在情景设 置上选定了定，点在x轴上的情况。第一种方 6mx+3m2-3=0e 法是通用方法，将焦点在x轴上的椭圆上的 因为直线1与椭圆C相切，所以△= 任意点设为A(a cos a,bsin a)(a∈[0,2π))， (6m)2-4×4×(3m2-3)=-12m2+48=0, 利用平面中两点间的距离公式得|AB|= 解得m=-2或m=2。 √(2cosa一4)十(sina-0)尸，化简为一个关 因为要取得最大值，所以直线1与1应该 于cosa或sina的二次函数，求最值即可；第 在椭圆C的异侧，则m=2,即l1:y=x十2。 二种方法只针对定，点在坐标轴上的情况，思 利用平行直线间的距离公式得d= 路和第一种方法类似，唯一区别在于设，点为 12-(-3)15√2 B(x,y)(x∈[-a,a])。 √2 2 ,故点A到直线l:y=x 二、到定直线的距离问题 此类问题是教材中提出的问题，需要同 3的最大距离为52 2 学们着重关注。解题方法主要有两种：一是 ,点评：该题是求椭圆上的动，点到定直线 三角代换法；二是平行切线法。 的最大距离，是基础性问题。上面提供了两 例2已知A是椭圆C:写+y=1上 种方法，第一种方法是三角代换法，基本步骤 是：第一步设点，将焦，点在x轴上的椭圆上的 的一个动点，求点A到直线l:y=x一3的最 任意，点设为A(acos a,bsin a)(a∈[0,2π))， 大距离。 这里同学们不仅需要注意，点的坐标形式，还 解法一：（三角代换法）由题意可设 要注意α的取值范围。第二步求距离，利用 A(√3cosa,sina)(a∈[0,2π)，点A到直线 点到直线的距离公式d=|Ax,十B,+C代 l:y=x一3的距离为d,利用点到直线的距 √A+B 入，这里的易错点比较抽象，很多同学认为求 离公式得d l√3cosa-sina-3l= √2 最值与距离无关，所以到这里走不下去了。 第三步转化为三角函数求最值，这里的易错 2cos(a+）-3 点是三角函数的化简和求三角函数的最值方 √2 法。第二种方法是利用平行切线法，即根据 因为。∈[0,2元)，所以a十牙∈ 几何直观，取得最大距离时，该，点是与已知直 线平行，且与椭圆相切的切，点，从而转化为求 [g,).则cos(a+)∈[-1,1，因此 平行直线间的距离问题。基本步骤是：第一 2os(e+)-3 步设与已知直线平行，且与椭圆相切的直线 .12×(-1)-3 方程，这里的易错，点是设直线方程的形式。 √2 √2 第二步联立方程组，消元，利用判别式等于 35 中学生数理化贺韁学品城类制 0,求出截距，这里的易错，点是没想到利用 判别式去求截距m。第三步利用平行直线间 例4已知B是椭圆M:号+苦-1 的距离公式求出距离的最值，这里的易错，点 上的动点，点A(1)小，设F,R分别是 主要有两，点：①没想到用平行直线间的距离 椭圆M的左焦点和右焦点，求丨AB|十 公式；②不会确定最大值和最小值。 BF,的最小值。 三、与椭圆定义有关的最值问题 解析：设点B到椭圆右准线的距离为d。 对于这种题型，同学们容易将椭圆的定 义（椭圆上任意一点A,均有|AF1十|AF, 由题意知F,(1,0),椭圆的离心率e= a =2a)与基本不等式的应用搭上关系。解题 ·=4,根据椭圆 时的易错点主要有：一是没有想到利用基本 -子，椭圆的右准线1：x= c 不等式；二是对椭圆的定义不清；三是不会使 的第二定义得BF,。 d =e=1 ，所以1BF,1= 用基本不等式。 例3已知椭圆c荒+苦 =1(0< 2,则|AB+1BF,=1AB+ 1 2d。 b<4),F1,F2为椭圆C的左焦点和右焦点， 当y=1时，代入椭圆M:子+苦-1，得 以原点O为圆心，OF,为半径的圆O与椭圆 C相交于点A,求△AF1F,面积的最大值。 x= 5,所以B(5小 解析：由点A在椭圆C上，可根据椭圆 的定义知AF1|+AF2|=2a=8。 因此AB+BF,=AB+2d≥ 因为圆O是以原点为圆心，OF为半径，所 以ARLA放S=号·AF·AF, 2+)+(4-2）-+ 因为|AF1|十AF,=8,所以根据基本不 放当点B的坐标为石)时.A1十 等式有AF,I·1AF,≤AF+|AF,) 4 1BF,取得最小值+ 3 Γ2。 64 ,点评：要求两个定，点和一个动，点组成的两 4 =16。 条线段之和的最小值，必须满足两个条件：一 1 所以(Saa,g)m=2AF·|AF,≤ 是三，点共线；二是动点必须处于两个定点之 2×16=8 间。在解决问题的过程中，若两个条件均不满 足，则采用椭圆的第二定义，将定，点F，转移到 ,点评：该题是利用椭圆的定义AF,|十 椭圆的准线上，可以顺利解决问题。同时需要 |AF2|=2a,结合基本不等式求△AF1F2面 特别注意椭圆的第二定义及椭圆的准线方程， 积的最大值。在解决问题时，要时刻记住椭 根据三角形的形成条件，对其中的定点进行转 圆的定义，这是易错的地方。另外，要根据基 移，使其达到三点共线，且动点处于定点之间。 本不等式的“和”“积”形式确定使用不等式的 总之，椭圆的最值问题是千变万化的，但 形式。 归根结底都是围绕着以上几个方面展开的， 四、与椭圆第二定义有关的最值问题 只有将以上椭圆方面的最值进行融会贯通， 考查椭圆第二定义时，容易出现的题型 才能使得椭圆中的最值问题得以突破，并清 是求椭圆上的动点到定点的距离与到焦点的 楚各种题型在处理时的易错点。同时，文章 距离之和的最小值。解题时的易错点主要 是以椭圆为例展开的探究，以上很多情境可 有：一是对椭圆第二定义不清楚；二是不会对 以推广到双曲线和抛物线当中，甚至解决方 定点进行转移。 法都是一样的。 (责任编辑王福华) 36