剖析圆锥曲线中有关最值问题的突破策略-《中学生数理化》高考数学2025年12月刊

中学生表理化学创新降视 剖析圆锥曲线中有关最值问题的突破策略 ■江苏省如东县掘港高级中学 胡松燕 圆锥曲线作为高中数学的重要内容，其 突破策略：面对含参数的椭圆与顶点，需 参数方程在解决各类问题中具有独特的优 先利用椭圆中的基本关系消元，将多元参数 势。在最值问题中，圆锥曲线参数方程的应 转化为单变量；若顶点为其他曲线动点，联立 用能够将复杂的几何问题转化为三角函数或 曲线方程得到坐标参数式，再通过“分割法” 代数函数问题，为解题提供了新的思路和方 拆分四边形面积为三角形面积和，结合三角 法。随着数学教育的发展和高考命题的改 函数辅助角、导数或均值不等式，在参数约束 革，对圆锥曲线参数方程在最值问题中的考 下分析函数最值。 查也不断演变，更加注重对同学们创新思维 2.距离最值问题 和综合应用能力的检测。 例2(2025年江苏期末联考)已知曲 一、圆锥曲线参数方程在最值问题中的 线E,+Y=1,P(,y,)是曲线E 应用例题分析 3 6 1.面积最值问题 上任意一点，则|√3x。十y。的最大值为 例1(2025年河南模拟预测)已知椭 ( ) 圆C的中心与坐标原点O重合，F(3,0)为C A号 B.30 C.√/15D.√30 2 的一个焦点，且点B(0,√7)在C上。 (1)求C的方程及离心率； 解析：由+-1如，当x<0 6 (2)设P为C在第一象限的部分上一 点，求四边形OFPB面积的最大值。 >0时，方程为苦-号-1：当z≥0y≥0 解析：)由题意可设C的方程为 时，方程为写+若-1：当>0，y<0时，方 =1(a≥b>≥0)，C的半焦距为c(c>0),则 程为写苦 =1;当x<0,y<0时，方程为 c=3,b=√7，a=b+c=4,所以C的方 =1,无解。 36 3y2 c 3 馋为三+=1离心率一。一多 如图1，曲线在第二、四 (2)由题意及(1)可设点P(4cos日， 象限是双曲线的一部分，在 V7sin0),0<0<受，则Smap6=Sar十 第一象限是椭圆大心 =1 5x+y=0 6 Sam=合×3×w7sin0+2×7X4os0 1 的一部分，15x。十y。|可看 成是点P(xo,y)到直线√5x 图1 (3sin0+4cos0)=5V7sin(0+92≤5☑ 十y=0的距离的两倍。 2 2 2 由图可知，点P(x。,y。)在椭圆上时，距 (其中g为锐角，且tang= 4) 3/ 离最大。 故当0= 一9时，四边形OFPB的面 设P(5cos0,6sin0)0<g<受），则 2 √3.xo+yo=3cos日+√6sin0=√15sin(0+ 积取得最大值，且最大值为。 p),其中tanp= √6 ，则V5x。十ymm 26 然数学暂腰视器滑中学生表理化 √15。故选C。 复杂条件（如向量、弦长）转化为可利用圆锥 突破策略：如若遇到绝对值曲线，我们可 曲线性质求解的表达式。 先按x,y的正负分四象限拆解曲线，明确各 二、圆锥曲线参数方程在最值问题中命 区域方程；然后设直线方程，二次曲线联立用 题演变的特点 判别式找相切截距，高次曲线求导分析切线， (1)知识融合度增加：不再单纯考查圆锥 转化为截距极值问题；综合各象限t的绝对 曲线参数方程与最值的简单结合，而是将其 值，依托分类讨论、转化与化归、函数与方程 与函数、不等式、向量等知识融合，要求同学 等思想，贯通“拆分一求解一比较”逻辑链。 们具备综合运用知识的能力。 3.向量数量积最值问题 (2)条件设置多样化：通过改变圆锥曲线 例3(2025年江苏模拟预测)己知M 的方程形式、增加限制条件、引入新的几何元 是椭圆后十y=1上一点，线段AB是圆C: 素，使题目条件更加复杂多变，考查同学们对 不同条件的分析和处理能力。 x2十(y一6)2=4的一条动弦，且|AB|= (3)问题形式创新化：除了传统的求距 2√2，则MA·M序的最大值为 离、代数式的最值等问题，还会出现一些新的 解析：如图2，设AB 问题形式，如求面积的最值、探究最值成立的 的中点为N,由|AB|= 条件、与实际应用相结合的最值问题等，更加 2√2→|AN|=√2，|CN 注重对同学们创新思维和应用能力的考查。 =√AC'-AN 三、应对圆锥曲线参数方程在最值问题 中命题演变的策略 √2，故点N的轨迹是以 (0,6)为圆心，r=√2为 图2 (1)强化基础知识：扎实掌握圆锥曲线参 数方程的定义、形式和几何意义，熟练运用三 半径的圆，MA·Mi=(MN+NA)·(MN 角函数、代数函数的相关知识进行运算和分 +NB)=(MN+NA)·(MN一NA)= 析，为解决复杂问题奠定基础。 MN12-|NA|2=|MN12-2,|MN|ma= (2)注重思维训练：培养转化与化归思 MC+r。 想，将几何问题转化为代数问题；分类讨论思 设M(√0sin0,cos日)，则|MC|= 想，根据不同的条件进行分类求解；函数与方 √（√/10sin0)2+(cos0-6) 程思想，建立目标函数求解最值。通过大量 √37+9sin0-12cos日 的练习和思考，提高思维的灵活性和创新性。 √37+9(1-cos0)-12cos日 (3)加强综合能力培养：在日常学习中， 多做综合性的练习题，将圆锥曲线参数方程 √46-9cos0-12cos日，当且仅当cos0= 与其他知识进行融合练习，提高综合运用知 -号时，Mc=,√46-0·(-专)+12·号 识解决问题的能力。同时，关注数学知识在 实际生活中的应用，培养数学建模能力。 =5√2」 圆锥曲线参数方程在最值问题中的命题 所以|MN|mx=MClm十r=5√2十 不断演变，从基础的单一曲线与直线位置关系 √2=6√2，(MA·MB)mx=|MN|x-2= 求最值，逐渐向多参数、多知识融合方向发展。 72-2=70。 在解题时，要深刻理解参数方程的本质，把握 突破策略：对于此类圆锥曲线与圆、向量 参数的几何意义或代数意义，灵活运用函数、 结合的问题，利用圆的弦长、中点等性质，将 不等式、几何性质等知识突破命题难点，实现 向量关系转化为坐标或距离关系；借助圆锥 高效解题。同时，通过对命题演变规律的总 曲线的方程，结合二次函数、均值不等式等工 结，能够更好地预测命题趋势，提升应对圆锥 具，求相关距离、向量运算的最值，关键是把 曲线最值问题的能力。（责任编辑王福华） 27