定值问题的命题密码：解析几何与平面向量交汇的创新路径-《中学生数理化》高考数学2025年12月刊

中学生教理化解题薇学创新题追提湖颜 高三数学2025年12月 定值问题的命题密码： 解析几何与平面向量交汇的创新路径 ■江苏省扬州市扬大附中东部分校 王海 解析儿何与平面向量的交汇命题，是高 中数学中体现“数形结合”思想的典型载体， 人号+苦=1，化筒整理得(4k+3)十 而定值问题更是其中的难点与创新点。这类 (8k1t-24k)x十4(t一3k1)2一12=0，所以 问题以圆锥曲线为背景，通过向量条件构建 x1十x2= 4k1+3 ,x1x,=4(t-3k1)”-12 24k1-8k1t 动态关系，要求在变化中寻找不变的几何量 4k1+3 (如斜率、距离、面积、比值等)。本文结合具 △>0。 体例题，剖析解析几何与平面向量交汇的定 因为P,D,E三点共线，且PD与P 值问题的命题路径与解题策略。 同向，所以|PD1|PE|=PD·P它=(x1一3， 一、命题密码一：向量条件的“坐标翻 y1-t)(x2-3,y2-t)=(x1-3)(x2-3)+ 译”一从向量语言到代数方程 (y1-t)(y2-t)=(x1-3)(x2-3)+ 平面向量的核心优势在于“代数化”，命 k1(x1-3)·k1(x2-3)=(k+1)[x1x2 题者常通过向量的平行、垂直、数量积等条 厂4(t-3k1)2-12 3(.x1十x)十9]=(k?+1) 件，将几何位置关系转化为坐标方程，为定值 4k+3 问题埋下“己知条件”。解题的第一步便是精 24k号-8k1t (k号+1)(4t2+15) 3>× 4k号+3 十9 4k+3 准完成向量条件的“坐标翻译”。 例1(2024年郑州二模)已知椭圆 同理PM1PN1=k+1)(4'+15) 4k:+3 =1(a>b>0)的焦距为2，两个焦 因为|PM「|PN|=|PD1|PE|,所以 点与短轴的一个顶点构成等边三角形。 :+1)(42+15)_(k3+1)(4+15》,化简 4k?十3 4k:+3 (1)求椭圆C的方程。 得(k1十k2)(k1一k2)=0。 (2)设P(3,t),过点P的两条直线l1和 又因为k1≠k2,所以k1十k2=0,即k1十 l,分别交椭圆C于点D,E和点M,N(l1和 k,为定值0。 l2不重合)，记直线l1和12的斜率分别为k1 命题路径分析：第一，知识整合：通过“焦 和k2。若|PM|IPN|=|PD1|PE|,试判断 距”“等边三角形”，考查a,b,c的几何意义及 k1十k2是否为定值？若是，求出该值；若不 关系，结合椭圆与直线的位置关系，引人过定 是，请说明理由。 点的动直线，联立方程后利用韦达定理、弦长 解析：(1)由题意知焦距2c=2,则c=1。 公式分析线段长度关系，最终转化为斜率的 因为两个焦点与短轴的一个顶点构成等 定值问题。第二，问题设计：通过“过定点的 边三角形，所以b=√c=√5，则b2=3,所以 两条动直线”“与椭圆的交点”构建动态场景， a2=b2+c2=4。 要求在变化中寻找不变量，体现“动中求静” 所以椭圆C的方程为+苦1。 的数学思想。该题以椭圆为载体，考查“几何 问题代数化”的解析几何核心思想，通过动态 (2)k1十k2是定值。理由如下： 直线与椭圆的位置关系，检测同学们综合运 已知P(3,t),设D(x1,y1),E(x2y2), 用知识的能力。 M(x,y),N(x1,y1),所以直线L1的方程 解题策略分析：第(1)问是利用椭圆焦距 为y-t=k1(x-3),即y=k1x一3k1十t,代 2c=2,得c=1,结合“两个焦点与短轴一个 22 然数学暂腰视器滑中学生表理化 顶点构成等边三角形”，得b=√c=√5，再通 4 同理k三 x0-9 过a2=b2十c2求出a2,进而确定椭圆的方 xo-5 =1一x-59 程，是椭圆基本性质的直接应用。第(2)问是 HFHF,1 1 所以MF,+NF,=气+一气 先设定好合适的直线方程，再与椭圆方程联 x6十5x0-55 立，借助韦达定理得到交点横坐标的关系，然 4 4一，为定值。 后结合IPM|IPN|=|PD|IPEI这一条件， 命题路径分析：第一，知识整合：结合椭圆 将几何的线段长度关系转化为代数的坐标与 的基本性质(a,b,c的关系)、向量共线、椭圆的 斜率关系，代数化简后即可推导出相应元素 第二定义，以及直线与椭圆的位置关系等知 为定值，体现了“几何问题代数化”的解析几 识。第二，动态设计：引入动点H,M,N和动 何核心解题思想。 直线HM,HN,构建“动中求静”的定值问题， 二、命题密码二：动态参数的“消去策 考查从多元变量到常数结果的转化能力 略”一从多元变量到常数结果 解题策略分析：第(1)问是利用椭圆的焦 定值问题的核心是“动中求静”，命题者会 点F2(1,0),得c=1,结合ab=6√2与a2 引入动点、动直线等动态元素，通过向量关系 b2=1,通过方程思想求解a,b,从而确定椭 建立参数间的制约，解题的关键在于找到参数 圆的方程。第(2)问是设点的坐标，由向量共 的消去路径，最终证明目标量与参数无关。 线建立点的关联，借助椭圆的第二定义转化 例2(2025年宁夏模拟预测)已知 线段比，联立直线与椭圆方程，用韦达定理消 4、B分别为椭圆C:二十=1(a一b>0)的 去动态参数，即可证明目标量为定值。 三、交汇命题的创新路径总结 左、右顶点，ab=6√2，M、N、H均为椭圆C 通过上述例题分析，解析几何与平面向 上异于顶点的点，且直线HM经过左焦点 量交汇的定值问题的命题路径可归纳为： F,,直线HN经过右焦点F,(1,0)。 (1)载体选择：以椭圆、抛物线、双曲线为背 (1)求椭圆C的方程。 景，利用圆锥曲线的代数方程构建参数关系。 HFHF, (2)试向：MP号+是否为定值？ (2)向量条件设计：通过数量积（垂直）、 共线（平行）、模长（距离）等向量工具，将几何 若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由。 关系转化为坐标方程，增加问题的隐被性。 解析：(1)依题意得 ab=6√2， 解得 (3)动态元素设置：引入动直线、动点，使 a2-b2=1, 目标量看似随参数变化，实则通过向量条件 9,b三8故椭圆C的方程为行十号1日 形成参数制约。 (4)定值目标设定：聚焦斜率、面积、离心 (2)易知F1(-1,0),F2(1,0)。 率、距离等可量化的几何量，要求通过消参证 iM(zi,1),N(z:,y2),H (o,), 明其为常数。 HM=tHF ,HN=kHF:,>,1, 总之，解题的关键在于将向量条件准确 x1=(1-t)xo-t, 故 翻译为代数方程，利用韦达定理、参数方程等 y1=(1-t)yo, 工具消去动态参数，最终结合几何意义验证 zoyo 定值。这一过程既考查向量的代数运算能 98 =1,① 力，又考验解析几何的参数处理技巧，是“数 [1-t)x。-t]+[1-)y] =1。② 形结合”思想的深度体现。掌握这组命题密 9 8 ①×(1-t)2-②得21(1t)x。-2 码，便能在解析几何与平面向量的交汇问题 中，透过动态的表象抓住不变的本质，精准破 t2一2t,化简得t= xo十9 4 解定值问题的核心逻辑。 2,+51+ x6十5 (责任编辑王福华) 23